固体电子理论 很好的课件解析

第二章 固体电子理论
固体电子理论
电子理论
恒定势场 自由电子理论
经典电子理论
(德鲁德（Drude）模型)
量子电子理论（索末菲 （Sommerfeld）模型）
周期性势 场
能带理论 → 半导体理论
§2.1 金属的自由电子理论
经典自由电子理论
特鲁德把理想气体的动力学理论运用于自由电子气，得出自由电子的平均能量
dZ
Vc 4 3
4 k 2dk
固体电子理论
利用关系式 得
电子态密度（能级密度） 其中
dk 2m dE 2E
3
dZ 4Vc 2m
2
EdE
h2
3
g(E) dZ 4Vc 2m 2 E C E
dE
h2
3
C 4Vc 2m 2 2
由上式可知，随着能量增加，其状 态密度增大，而且与能量成 的E 关系， 见右图。
由上式可以看出，在一般温度时，每个电子的平均能量与0K时电子的
平均能量相差
k BT
E
0 F
2
的数量级。
固体电子理论
电子对热容的贡献:
在T≠0 K时
则
CVe
5 6
E0 2
k B 2T EF0 2
2
2
kB
kBT EF0
1mol电子对热容的贡献为：
CVe
N0kB 2
2
kBT EF0
R2
2
kBT EF0
固体电子理论 3.费米能量
电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计规律 热平衡下时，能量为E的本征态被电子占据的几率
f (E)
1
E EF
e kBT 1
—— 费米分布函数
EF：费米（Feimi）能量或化学势，体积不变条件下系统增加 一个电子所需的自由能。
固体电子理论
1) T > 0K时
电子填充能量E＝EF 几率
1 f (EF ) 2
1 f (E) EEF
e kBT 1
固体电子理论
f (E)
1
E EF
e kBT 1
2) T ＝ 0K时
3) 在较低温度时，分布函数在 E＝EF 处发生很大变化
固体电子理论
k空间的费米面 E＝EF
T＝0K时费米面内所有状态均被电子占有
T≠0K 费米能量降低，一部分电子被激发到费密面外附近
采用分离变量法：
x, y, z x x y y z z
E
P2 2m
2k 2 2m
2
2m
k
2 x
k
x 2 y 2eiky y 3 z 3eikzz
（3） （4）
固体电子理论
由周期性边界条件： 1x L 1x
kx
2nx
L
nx 0,1,2
固体电子理论
E～E+dE之间状态数 E～E+dE之间的电子数
电子总数为：
取决于费密统计分布函数
固体电子理论
a) T＝0K时的费米能量 总的电子数
电子浓度
固体电子理论
T＝0K时电子的平均能量 —— 平均动能
结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。电子满足泡 利不相容原理，每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子所有 的电子不可能都填充在最低能量状态 。
每摩尔金属所含自由电子的内能
Em
3 2
kBT
mm2
2
3 U 2 N0 ZkBT
每摩尔电子对定容热容的贡献
在室温下，一价金属 的摩尔定容热容
Ce
U T
V
3 2 N0ZkB
CV
Ce
Cl
3 2
N0kB
3N0kB
3 R 3R 2
实验表明，在室温下金属的热容恒接近于3R，也就是说热容全部是由晶格所 贡献。精确的实验还指出，每个电子对热容的贡献要比3/2kB小两个数量级。金 属中自由电子起着电和热的传导作用，对热容却几乎没有贡献，这是经典自由电
在波矢空间每个许可的状态可用一个点代表。
kx
O
2
L
ky
2
L
固体电子理论 2. 固体中自由电子的能级密度
在三维波矢空间中，每一个电子态平均占据的k空间体积为
单位体积中包含的k的点数（状态密度）为
1
2
3
L
2
3
L
所以在k
k
d
k
的体积元 d k中包含的状态数为：
L
2
3
d
k
V
2
3
L
每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则体积元 d k 可容纳的电子数：
T
R 2
2
kB EF0
固体电子理论
晶格振动对热容的贡献：
德拜温度 则
由上可知，随着温度降低，CVe 增大 CVa
因此只有当温度很低时才考虑电子对热容的贡献。
总的热容为：
CV CVe CVa T bT 3 CV bT 2
T
总结：
固体电子理论
金属中大多数电子的能量远远 低于费密能量，由于受到泡利不 相容原理的限制不能参与热激发
固体电子理论
b) T≠0K时的费米能量 EF
总的电子数
f (E)
1
E EF
e kBT 1
对上式进行分步积分,得
上式第一项等于零
固体电子理论
当
时，f E
只有在EF附近有较大的值
令
把 gE 在E＝EF附近用泰勒级数展开，最终可得
由前面可知 得
温度升高费密能级下降
固体电子理论 金属的热容
T≠0 K时,电子的平均能量
3
dZ
L
2 2
dk
Vc
4 3
d
k
Vc L3
固体电子理论
所以在k标度下的电子态密度（状态密度）为：
自由电子的能量为：
g(k)
dZ
dk
Vc
4 3
E 2k 2 2m
由上可以看出在k空间中，自由电子能量等于某个定值的曲面是一个球面，其
半径是：
k
2mE
在能量E→E+dE之间的区域，就是半径为k和k+dk的两个球面之间的球壳层， 体积是 4πk2dk ,对应的状态数目：
eik r
e kxxkyykz z
（5）
由归一化条件：
1/ L3/ 2
h2
E 2mL2
nx2 ny2 nz2
（6） （7）
金属中自由电子的能量依赖于一组量子数(nx,ny,nz),能量E是不连续 的，只能取一系列分立的值，这些分离的能量称为能级。
固体电子理论
波矢空间（k-空间）
以波矢分量kx、ky、kz为坐标轴构成的空间，通常称为波矢空间或k－空间。
子理论无法解释的主要困难之一。
固体电子理论
量子自由电子理论
1.自由电子的能量状态
对于无限深势阱：
U x, y, z 0
0 x, y, z L
U x, y, z x, y, z 0 x, y, z L
（1）
其本征方程：
2 2 x, y, z E x, y, z
（2）
2m
固体电子理论
只有在EF附近约 范围内电 子参与热激发，对金属的热容 量才有贡献
一般温度下，晶格振动的热容 量比电子的热容量大得多
固体电子理论
§2 布洛赫定理
1928年，布洛赫（Bloch）提出了他的单电子能带理论。布洛赫