高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

1．柱坐标系

柱坐标系

(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为

Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有

之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点

R.

∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P

(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.

由公式求出ρ，再由tan θ＝y

x 求θ.

由公式⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

z ＝z ，

得ρ2＝x 2＋y 2

，

即ρ2

＝12

＋(3)2

＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y

x

＝3，

又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π

3

，

∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π3，5.

已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan

θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫4，π3，8，

求

它的直角坐标．

直接利用公式求解．

由变换公式⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

z ＝z

得

x ＝4cos π

3

＝2，y ＝4sin π3

＝23，z ＝8.

∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．

已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z

即可．

3．点N 的柱坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π2，3，求它的直角坐标．

解：由变换公式⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

z ＝z ，

得

x ＝ρcos θ＝2cos π

2

＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2

＝2，

故点N 的直角坐标为(0,2,3)．

4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，π2，1，求A ，B 两点间距离．

解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1.

由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0.

∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)．

∴|AB |＝

－1－

＋－

＋

－

＝ 6.

故A ，B 两点间的距离为 6.

课时跟踪检测(五)

一、选择题

1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，2

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，2

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，5π3，2