2015届高考数学一轮总复习 3-2利用导数研究函数的性质

2015届高考数学一轮总复习 3-2利用导数研究函数的性质

基础巩固强化

一、选择题

1．(文)(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2

x ＋ln x ，则( )

A ．x ＝1

2为f (x )的极大值点

B ．x ＝1

2为f (x )的极小值点

C ．x ＝2为f (x )的极大值点

D ．x ＝2为f (x )的极小值点 [答案] D

[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2

x )＝0可得x ＝2.

当02时 f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点． (理)(2012·陕西理，7)设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 [答案] D

[解析] 本题考查了导数的应用—求函数的极值． f ′(x )＝e x ＋x e x ，令f ′(x )＝0， ∴e x ＋x e x ＝0，∴x ＝－1，

当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＝e x ＋x e x <0，x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＝e x ＋x e x >0，∴x ＝－1为极小值点，故选D.

[点评] 求函数的极值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域． 2．(2013·贵州四校期末)已知函数f (x )＝x 3－2x 2－4x －7，其导函数为f ′(x )．则以下四个命题： ①f (x )的单调减区间是(2

3，2)；

②f (x )的极小值是－15；

③当a >2时，对任意的x >2且x ≠a ，恒有f (x )>f (a )＋f ′(a )(x －a )； ④函数f (x )有且只有一个零点． 其中真命题的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

[答案] C

[解析] f ′(x )＝3x 2－4x －4＝(3x ＋2)(x －2)，可得f (x )在(－∞，－23)上为增函数，在(－2

3，2)上

为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，故①错误；f (x )极小值＝f (2)＝－15，故②正确；在(2，＋∞)上，f (x )为“下凸”函数，

又a >2，x ≠a ，当x >a 时，有f (x )－f (a )x －a >f ′(a )恒成立；当x

x －a

故恒有f (x )>f (a )＋f ′(a )(x －a )，故③正确；f (x )极大值＝f (－2

3)<0，故函数f (x )只有一个零点，④正确．真

命题为②③④，故选C.

3．(文)(2013·郑州第一次质量预测)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )

A ．2

B ．－1

C ．1

D ．－2

[答案] C

[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，且y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

3＝k ×1＋13＝13

＋a ×1＋b k ＝3×12＋a

，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.

(理)(2013·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

[答案] C

[解析] 依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.

4．(2012·洛阳统考)若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同零点，则a 可能为( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] A

[解析] f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)，由f ′(x )>0得x <1或x >2，由f ′(x )<0得1

5．(文)

函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极大值点有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

[答案] B

[解析]由导函数的图象知，f(x)在(a，b)内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．(理)(2012·重庆理，8)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如下图所示，则下列结论中一定成立的是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

[答案] D

[解析]当x<－2时，1－x>3，则f′(x)>0；

当－2

∴函数f(x)有极大值f(－2)，当12时，1－x<－1，则f′(x)>0，∴函数f(x)有极小值f(2)，故选D.

6．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()