用空间向量求点到面的距离精编版

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第三章 空间向量与立体几何
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令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
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第三章 空间向量与立体几何
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用向量方法求点到平面的距离时： 1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
工绝具对值.
第三章 空间向量与立体几何
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答案：
10 3
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第三章 空间向量与立体几何
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[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
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第三章 空间向量与立体几何
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解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uur
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
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变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
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第三章 空间向量与立体几何
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解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
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利用向量点到平面的距离
如何利用空间向量求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
r uuur r
uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
n
sin |uAuuPr nr |
d
AP n
uuur r d | APr n |
n

O
A
uuur
r
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
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练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
P r
则
d=|
uuur PO
|=|
uuur PA
|

cos
APO.
n
∵
uuur PO
⊥
,
r n

,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos

uuur PA,
r n
|.
A O

∴d=|
uuur PA
||cos

uuur PA,
r n
|=
|
uuur PuAur
r n
|
.
|n|
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量 4、代入公式—通过公式 d | APr n | 代入求解．
n
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第三章 空间向量与立体几何
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练考题、验能力、轻巧夺冠
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[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤
用空间向量求点到面的距离
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P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
O
垂线段的长度。
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向量法求点到平面的距离
Hale Waihona Puke Baidu
d
sin uuur d | AP | sin
AP
P
r
uuur r