用空间向量求点到面的距离精编版
用向量法求点到面的距离公式
用向量法求点到面的距离公式在咱们学习数学的过程中，向量可是个厉害的“武器”，能帮咱们解决好多难题，今天就来唠唠用向量法求点到面的距离公式。
咱先来说说为啥要学这个。
想象一下，你站在一个大广场上，面前有一堵高高的墙，你想知道自己离这堵墙有多远，这时候向量法就能派上用场啦！要搞清楚这个公式，咱得先把一些基础的东西整明白。
啥是向量？简单说，向量就是既有大小又有方向的量。
比如说力，速度，这些都是向量。
那点到面的距离又是啥呢？假设咱们面前有一张大大的纸，这张纸就是一个平面，然后有一个小点点在纸的外面，这个小点点到纸的最短距离，就是点到面的距离。
好啦，接下来看看怎么用向量法求这个距离。
咱们先得有个平面的方程，比如说 Ax + By + Cz + D = 0 ，这里的 A、B、C 可不是随便的数字哦，它们决定了平面的方向。
然后再有一个点 P(x₀, y₀, z₀) ，咱们要算这个点到平面的距离 d 。
这时候，咱们得找一个从平面上随便一点到点 P 的向量，假设平面上有个点 Q(x₁, y₁, z₁) ，那向量 PQ 就出来啦，它是 (x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀) 。
接下来，咱们再找一个平面的法向量 n ，法向量就是和平面垂直的向量。
这个法向量 n 可以表示成 (A, B, C) 。
然后呢，点到面的距离公式就是 d = | (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D) | /√(A² + B² + C²) 。
可能有的同学会问啦，这公式咋来的呀？别着急，咱们来详细讲讲。
咱先把向量 PQ 投影到法向量 n 上，这个投影的长度就是点 P 到平面的距离 d 。
那投影的长度咋算呢？就用向量 PQ 和法向量 n 的点积除以法向量n 的模长。
向量 PQ 和法向量 n 的点积是 (x₁ - x₀)A + (y₁ - y₀)B + (z₁ -z₀)C ，也就是 Ax₀ + By₀ + Cz₀ - (Ax₁ + By₁ + Cz₁) 。
用空间向量求点到面的距离 PPT
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
面面距离空间向量求法
面面距离空间向量求法面面距离空间向量求法_________________________数学中，面面距离是指两个平面之间的距离。
它可以用来表示两个平面的距离，也可以用来表示一个平面上的两个点之间的距离。
一般情况下，我们使用空间向量法来求解面面距离。
### 一、定义面面距离是指两个平面之间的距离，它可以用来表示两个平面的距离，也可以用来表示一个平面上的两个点之间的距离。
它是一个平面上三点形成的三角形中最大的边所对应的距离，它可以用来描述平面上三点之间的相对位置关系，这三点可以是同一个平面上的任意三个点。
### 二、求解要求解面面距离，我们可以使用空间向量法。
假设A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）是平面上的三个不同的点，其中AB = (x2-x1, y2-y1)和BC = (x3-x2, y3-y2)是AB和BC这两条边对应的向量，则面面距离可以用如下公式求得：<p align="center"> $d=\frac{|(x_2-x_1)(y_3-y_2)-(y_2-y_1)(x_3-x_2)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$ </p>### 三、应用面面距离有很多应用，最常用的就是在几何图形分析中，通过计算出三个不同点之间的距离，来分析这三个不同点形成的三角形。
此外，还可以用来表示几何图形中某些特殊形态的距离，比如多边形的内角、外角和外接圆的半径等。
此外，面面距离也可以用来衡量不同几何图形之间的相似度，可以用来分析几何图形中物体的位置、大小和形状。
例如，可以使用面面距离来衡量一个正方形和一个圆之间的相似度。
### 四、总结总之，面面距离是一个重要的数学概念，它有很多应用。
它可以用来衡量几何图形之间的相似度、表示三点之间的相对位置关系，也可以用来分析几何图形中物体的位置、大小和形状。
通过使用空间向量法，可以很容易地求得三个不同的平面之间的距离。
空间向量求点到平面的距离
空间向量求点到平面的距离空间向量求点到平面的距离是在几何学中一项重要的概念，它用于表达物理世界里的位置关系。
它的概念可以应用于许多不同的情况，如人们在分析受力时，可以利用这个概念来求解力的位置和大小，在建筑设计时，可以确定结构的外形，以及检验结构的稳定性等等。
在计算空间向量求点到平面的距离时，首先需要了解的是，平面的定义，它是由三点组成的，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，其中za=zb=zc。
定义垂直空间向量的模式是：u=(x1-x2，y1-y2，0)，v=(x3-x2，y3-y2，0)，w=(x4-x2，y4-y2，z4-z2)，其中x4，y4和z4是待测点的坐标。
根据向量数学的定义，平面的法向量可以用下式表示：N=(u×v)，法向量的模为|N|=(u^2+v^2+w^2)^(1/2)。
距离就是点到平面的距离，可以用点P到平面的距离的点的坐标w=(x4，y4，z4)和法向量N的点积来求解，公式为：d=|N w|/|N|。
在实际应用中，需要注意的是，当法向量N为零向量时，表示平面不存在，此时距离d无法求解。
对于求解点到平面的距离，除了以上介绍的公式之外，还可以用另一种方法，即直接解三角形的方法，它把问题分解成若干个三角形，求解各个三角形边长，再利用余弦定理求解距离。
空间向量求点到平面的距离的计算方法有很多，如向量计算法、直接解三角形法等，但它们都有同样的一般性，即把空间作为一个整体，针对具体的问题使用相应的算法，以此来求解点到平面的距离。
此外，距离的结果也及其重要，因为它是一个客观量，它往往会影响最终的结果，比如分析受力时，结果会对受力结构的稳定性有很大的影响。
针对空间向量求点到平面的距离，在实际应用中，有几个重要的问题需要注意，首先需要明确平面的定义，以及垂直空间向量的模式；其次，根据向量数学的定义，可以得出平面的法向量，得出法向量的模；最后，根据点的坐标和法向量的模，即可求出点到平面的距离。
利用空间向量解决空间距离问题
z
D1
E
C1
A1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
S (1)证明：AC SB; ( 2)求二面角N CM B的大小； ( 3)求点B到平面CMN 的距离. O A x M z
N
C y B
1 2)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ( x, y, z )为面A1BE的法向量， 2 则 1 n A E 0, x y 0, 1 z 2 n A1 B 0, y z 0, E
y 2 x, 即 z 2 x,
取x＝ 1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
D1
C1
A1
D
B1
C
B
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0 ,
得B1到面A1BE的距离为d A1B1 n n 2 3 A
y
x
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴， DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 E D1 C1 设n ( x, y, z )是与 A1E , D1B都垂直的向量， 1 A1 则 B1 n A E 0, x y 0, 1 2 n D1 B 0, x y z 0, D y 2 x, C 即 取x＝ 1，得其中一个n (1, 2,3) z 3x, B 选A1E与BD1的两点向量为D1 A1 1,0,0 , A
向量法求点到面的距离
向量法求点到面的距离介绍在三维空间中，向量法是一种常用的方法来求解点到面的距离。
点到面的距离是指从一个点到一个平面的最短距离。
该方法通过定义向量来计算点到面的距离，通过求解向量的垂直分量实现。
基本原理点到面的距离的基本原理是利用一个向量，从点出发到达平面上的任意一点，然后通过计算该向量在平面法向量上的投影来求解距离。
步骤Step 1: 确定平面的法向量首先，我们需要明确平面的法向量，法向量对于描述平面的方向非常重要。
如果平面已经被定义，法向量通常是已知的；否则，我们需要根据平面上的三个非共线点来计算出法向量。
Step 2: 确定点到平面上的一点我们需要选择一个点，该点将成为我们到平面上距离的参考点。
可以选择平面上的任意一点作为参考点，这取决于具体情况。
Step 3: 计算点到平面的向量通过使用参考点和平面上的一点，我们可以计算出从点到平面的向量。
这个向量的起点是点，终点是平面上的任意一点。
Step 4: 计算向量在法向量上的投影通过计算点到平面向量在法向量上的投影，我们可以得到点到平面的距离。
投影的计算方法是将向量与法向量进行点乘。
Step 5: 求解距离最后，通过计算得到的投影长度，我们可以得到点到平面的最短距离。
这就是点到面的距离。
示例示例平面方程我们假设有一个平面，方程为：x + y + z = 1。
示例点坐标我们选择一个点的坐标为：(2, -1, 3)。
示例步骤1.确定法向量：根据平面方程，法向量为 (1, 1, 1)。
2.确定参考点：我们选择 (0, 0, 1) 作为参考点，但可以选择其他任意点。
3.计算点到平面的向量：从点 (2, -1, 3) 到参考点 (0, 0, 1) 的向量为 (-2, 1, 2)。
4.计算向量在法向量上的投影：将向量 (-2, 1, 2) 与法向量 (1, 1, 1) 进行点乘得到投影长度 1。
5.求解距离：由于投影长度为 1，点 (2, -1, 3) 到平面的距离为 1。
利用向量求点到平面的距离
利用向量求点到平面的距离点到平面的距离是计算一个点到一个平面的最短距离，可以使用向量的方法来进行计算。
在二维空间中，平面可以由一个法向量和一个过平面上一点的向量表示。
而在三维空间中，平面可以由一个法向量和平面上一点的向量表示。
首先，我们从二维空间开始讨论。
假设我们有一个平面的法向量n = (a, b)和过平面上一点的向量p = (x0, y0)。
现在我们需要计算一个点Q = (x, y)到这个平面的最短距离。
我们可以假设Q到平面的最短距离是D。
这意味着Q到平面上的任意一点M的距离都是D。
现在我们将点M表示为向量m = (x, y)。
注意，由于点M在平面上，所以点M与法向量n是垂直的。
假设向量m0是向量p = (x0, y0)指向点M的向量，即m0 = m - p。
我们可以将m0分解为两个分量：一个平行于法向量n的分量m1和一个垂直于法向量n的分量m2。
这样我们可以写出向量m0：m0 = m - p= (x, y) - (x0, y0)= (x-x0, y-y0)向量m1是m0在法向量n方向上的投影，即m1 = proj_n(m0)。
投影的计算方法是将m0与法向量n进行点积，再将结果除以法向量n的模的平方，并与法向量n相乘：m1 = proj_n(m0)= (m0 · n / |n|^2) * n我们可以计算出m0 · n = (x-x0) * a + (y-y0) * b，计算出|n|^2 = a^2 + b^2，将这些值代入上式中：m1 = ((x-x0) * a + (y-y0) * b / (a^2 + b^2)) * (a, b)因为点M位于平面上，所以向量m2与法向量n垂直。
因此，垂直分量m2等于向量m0减去平行分量m1：m2 = m0 - m1现在，我们可以计算垂直分量m2的模长|m2|，这个模长等于Q到平面的最短距离D。
我们有：D = |m2|这就是二维空间中点到平面的距离的计算方法。
点到面的距离向量公式
点到面的距离向量公式点到面的距离向量公式是计算点到平面距离的重要公式。
在三维空间中，点和平面都是常见的几何概念，点到平面的距离是很多几何问题中必须解决的问题之一。
下面将介绍点到面的距离向量公式的定义、推导以及应用。
一、定义点到面的距离向量公式是指，已知空间中一点P和一个平面S，求点P到平面S的距离d。
该公式可用向量的方法求解，即点到面的距离等于点P到平面S的垂线距离，垂线距离又等于点P到平面S 的法向量的模长。
二、推导假设平面S的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为(x0,y0,z0)。
平面S的法向量为N=(A,B,C)，则点P到平面S的距离为：d = |AP·N|/|N|其中，AP表示向量P与平面上任意一点A的向量差。
由向量点乘的定义可得：AP·N = |AP|×|N|×cosθ其中θ为向量AP与N的夹角。
由于向量AP与平面S的法向量N垂直，则cosθ=0，因此：AP·N = 0代入点到面的距离公式可得：d = |AP·N|/|N| = 0/|N| = 0即点P在平面S上，距离为0。
如果点P不在平面S上，则向量AP与平面S的法向量N不垂直，cosθ≠0。
由于AP·N=|AP|×|N|×cosθ，因此：|AP·N| = |AP|×|N|×cosθ代入点到面的距离公式可得：d = |AP·N|/|N| = |AP|×|N|×cosθ/|N| = |AP|×cosθ根据向量叉积的定义，平面S的法向量N可以表示为：N = (A,B,C) = (i,j,k)其中i、j、k分别是坐标轴上的单位向量。
则向量AP可以表示为：AP = (x0-x,y0-y,z0-z)其中(x,y,z)为平面上任意一点的坐标。
则：|AP| = sqrt((x0-x)^2+(y0-y)^2+(z0-z)^2)cosθ = (AP·N)/(|AP|×|N|) = (x0-x)A+(y0-y)B+(z0-z)C)/sqrt(A^2+B^2+C^2)×sqrt((x0-x)^2+(y0-y)^2+(z0-z)^2)代入点到面的距离公式可得：d = |AP|×cosθ = ((x0-x)A+(y0-y)B+(z0-z)C)/sqrt(A^2+B^2+C^2)即点到面的距离向量公式为：d = ((x0-x)A+(y0-y)B+(z0-z)C)/sqrt(A^2+B^2+C^2)三、应用点到面的距离向量公式在计算机图形学、机器人学、物理学等领域有广泛的应用。
点到面的空间距离公式
点到面的空间距离公式在空间几何中，点到面的空间距离是指从一个点到一个平面的最短距离。
这个距离的计算可以用到向量和线性代数的知识。
我们先来看一下点到平面的空间距离公式。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)，那么点到平面的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，| | 表示取绝对值，√ 表示开方。
这个公式的推导可以通过向量的方法来得到。
设平面上的一个点为P0(x0, y0, z0)，平面上一点为P(x, y, z)。
则向量P0P可以表示为P0P = (x - x0, y - y0, z - z0)。
又设平面的法向量为n(A, B, C)。
由于点到平面的距离是垂直于平面的最短距离，所以向量P0P垂直于平面的法向量n。
根据向量的内积公式，可以得到P0P与n的内积为0，即(n·P0P) = 0展开后可得A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0整理后即可得到点到平面的距离公式。
点到面的空间距离公式在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，可以用来计算点到平面的距离，从而判断点在平面的哪一侧。
在物理学中，可以用来计算物体在重力场中的高度，或者计算电荷在电场中的势能。
除了点到平面的距离公式，还有其他的空间距离公式。
例如，点到直线的距离公式，点到点的距离公式等等。
这些距离公式在解决空间几何问题中起到了重要的作用。
总结一下，点到面的空间距离公式是通过向量和线性代数的知识推导而来的，用来计算点到平面的最短距离。
它在几何学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们解决空间几何问题。
向量求点到面的距离公式
向量求点到面的距离公式在我们学习数学的旅程中，向量这个家伙可真是个让人又爱又恨的角色。
今天咱们就来聊聊向量中求点到面距离的公式，这可是个有点难度但超级有趣的知识哦！还记得有一次我在课堂上讲这个知识点，下面的同学们那表情，有的一脸迷茫，有的眉头紧皱，仿佛在说：“老师，这是啥呀？”但有个叫小李的同学，眼睛瞪得大大的，充满了好奇和探索的欲望。
咱们先来说说为啥要学这个点到面的距离公式。
想象一下，你站在一个大大的房间里，地面就像一个平面，而你所在的位置就是一个点。
那你离地面这个平面有多远呢？这就是咱们要研究的问题啦。
那这个公式到底是啥呢？假设平面的方程是 Ax + By + Cz + D = 0 ，点的坐标是 (x₀, y₀, z₀) ，那点到面的距离 d 就等于 |Ax₀ + By₀ +Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) 。
听起来是不是有点晕乎？别着急，咱们来一步步拆解。
比如说，平面方程里的 A、B、C 其实就像是平面的“方向指引”，它们决定了平面的“倾斜程度”。
而那个 D 呢，则和平面在空间中的位置有关。
再来说说这个公式怎么用。
假设我们有个平面 2x + 3y - z + 5 = 0 ，有个点 (1, 2, 3) ，那距离 d 就是 |2×1 + 3×2 - 1×3 + 5| / √(2² + 3² + (-1)²) ，算出来就是12 / √14 。
为了让大家更好地理解，我在课堂上给同学们出了一道题：已知平面 x - 2y + 2z - 5 = 0 ，点 (3, 1, 4) ，求点到面的距离。
大家一开始都有点不知所措，不过在我的引导下，慢慢地都算出了答案。
小李同学还主动站起来给大家讲解他的思路，那股认真劲儿，真让人欣慰。
学习这个公式的时候，大家可别死记硬背，要多做几道题，找找感觉。
就像骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但多练几次就能稳稳当当啦。
空间向量点到面距离公式
空间向量点到面距离公式好的，以下是为您生成的关于“空间向量点到面距离公式”的文章：在咱们学习空间向量的这个奇妙世界里，有一个特别重要的家伙，那就是点到面的距离公式。
这玩意儿可真是个神奇的存在，就像是一把能解开好多难题的神秘钥匙。
还记得有一次，我在课堂上给学生们讲解这个公式的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸疑惑地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？”我笑了笑，决定给他举个超级有趣的例子。
我说：“想象一下，咱们现在在一个大大的房间里，地面就是一个平面，你站在房间的一个角落，这时候你和地面之间就有一个距离。
那如果我们把这个房间、你站立的位置还有地面都用数学的方式来表示，这个距离就能通过咱们今天要学的空间向量点到面距离公式算出来啦。
”那这个神秘的公式到底是啥呢？它其实是：d = |向量 AB ·向量 n| / |向量 n|，这里的 AB 是从平面外一点 A 到平面内任意一点 B 所构成的向量，n 是平面的法向量。
为了让大家更好地理解这个公式，咱们来详细拆解一下。
先来说说这个法向量 n ，它就像是平面的“守护神”，垂直于这个平面。
而向量AB 呢，就是那个从点 A 指向平面内点 B 的“小箭头”。
当我们计算向量 AB 和法向量 n 的点积时，就好像是在探究它们之间的某种“默契程度”。
然后再除以法向量 n 的模长，就能得出点 A 到平面的距离 d 啦。
举个例子来说，如果平面的方程是 2x - 3y + 4z = 5 ，点 A 的坐标是(1, 2, 3) ，我们首先要找到平面的法向量。
根据方程的系数，法向量 n就是(2, -3, 4) 。
然后在平面上随便找一个点 B ，比如说令 x = 0 ，y = 0 ，算出 z = 5/4 ，那 B 点的坐标就是(0, 0, 5/4) 。
接下来算向量 AB ，就是(0 - 1, 0 - 2, 5/4 - 3) ，也就是(-1, -2, -7/4) 。
然后计算向量 AB 和法向量 n 的点积，(-1)×2 + (-2)×(-3) + (-7/4)×4 ，算出来是 -3 。
用空间向量求距离
二、直线到平面的距离
l
d | AP n | n
P
n
d
O A
| AP n |
n
A
n
P
d O
四、异面直线的距离
d | AP n |
a
n
n
P
AP ?
b
n?
A
A、P分别是直线a、b上的任意两点;
n 是与 a, b 都垂直的向量
四种距离的统一向量形式：
z
P
A x
F Cy Q
E
B
例5.正方体ABCD A1B1C1D1的边长为4, M、N、 E、F分 别 是A1 D1、A1 B1、D1C1、B1C1的 中 点. (1)求证 : 平面AMN // 平面EFBD;
(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离.
C
EF (2, 2, 0), EG (2, 4, 2),
F
BE (2, 0, 0)
设平面 EFG 的一个法向量 A
为 n ( x, y, z) n EF，n EG
2x 2y 2x 4
0 y 2z
0
n
(
1 3
,
1 3
,
1)
E
B
y
d | n BE| 2 11
n
11
例4 .如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1,E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离；
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
Ax
C
y
B
例3.如图,正四棱锥S ABCD的高SO 2,底边长 AB 2,求异面直线BD与SC之间的距离.
S
空间直角坐标系中求点到面法向量的距离
空间直角坐标系中求点到面法向量的距离在空间直角坐标系中，点到面的距离是几何学中一个重要的概念。
它用来描述一个点到平面的垂直距离，也就是点到平面法向量的长度。
本文将介绍如何计算点到面法向量的距离，并通过生动的实例和详细的步骤进行解释，以便读者能够全面理解并应用于实际问题中。
要计算点到面法向量的距离，首先需要明确点和面的定义。
在空间直角坐标系中，点由三个坐标值 (x, y, z) 表示，面由一个平面方程表示。
平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C 是平面的法向量的分量，D 是平面方程的常数项。
为了计算法向量的长度，我们需要将法向量的分量提取出来。
假设我们有一个点 P (x0, y0, z0) 和一个平面的方程 Ax + By+ Cz + D = 0。
我们的目标是计算点到面法向量的长度，即点 P 到平面的垂直距离。
步骤如下：1. 计算平面的法向量 N = (A, B, C) 的长度。
法向量的长度可以通过计算其分量的平方和的平方根来得到，即||N|| = √(A^2 +B^2 + C^2)。
2. 将点 P 的坐标代入平面方程，计算点 P 到平面的距离。
代入后的方程为 D = Ax0 + By0 + Cz0 + D。
3. 使用点到平面的垂直距离公式计算距离 d：d = |D| / ||N||。
这个公式表示点到平面的垂直距离等于点到平面方程的常数项 D 的绝对值除以法向量的长度。
通过这个方法，我们可以精确地计算点到面法向量的距离。
接下来，我们将通过一个生动的例子来演示如何应用这个方法。
假设我们有一个点 P(2, 3, 4) 和一个平面的方程 2x + 3y - 4z + 5 = 0。
我们要计算点 P 到这个平面的垂直距离。
首先，我们计算平面的法向量 N = (2, 3, -4) 的长度：||N|| = √(2^2 + 3^2 + (-4)^2) = √29。
接下来，将点 P 的坐标代入平面方程：2(2) + 3(3) - 4(4) + 5 = 4 + 9 - 16 + 5 = 2。
用空间向量求点到面的距离
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1 |
d
AP n
uuur r d | APr n |
n
O
A
uuur
r
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
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第三章 空间向量与立体几何
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[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
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第三章 空间向量与立体几何
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解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
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2019/12/30
第三章 空间向量与立体几何
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解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
空间几何向量法之点到平面的距离-向量点到面
空间几何向量法之点到平面的距离1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量； (2) 求出该平面的法向量；(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是该店到平面的距离。
uuuur r AB ?n例子： 点 A 到面的距离 dr （注： AB 为点 A 的斜向量， n 是 面的法向量，n点 B 是面内任意一点。
）2.求立体几何体积（向量法） 体积公式：1、柱体体积公式： V Sh.2、椎体体积公式： V1S.h33、球体体积公式： V4 R 33课后练习题例题：在三棱锥 B — ACD 中，平面 ABD ⊥平面 ACD ，若棱长 AC=CD=AD=AB=1，且∠ BAD=300，求点 D 到平面 ABC 的距离。
要求平面 外一点 P 到平面 的距离，可以在平面 内任取一点 A ，则点 P 到平面 的距离即为 d=| PA | |PA n ||PA n ||PA | |n ||n |建立如图空间直角坐标系，则A （21,0,0 ），B （321,0, 21 ）， C （ 0, 23 ,0 ）， D （ 21 ,0,0)∴ AC (21, 23,0), AB ( 23 ,0,12), DC ( 21 , 23,0)设 n =(x,y,z) 为平面n AB23 x21z的一个法向量，则21 x 23 yn AC∴ y 33 x, z3x ，可取 n ( 3,1,3)代入d|DC n |得， d33 39|n|2 2，即点 D 到平面 ABC 的距离是39 。
13 13131. 已知 A(2,3,1) 、 B(4,1,2) 、 C(6,3,7) 、 D( -5,-4,8)是空间不共面的四点 ,求点 D 到平面ABC 的距离 .解：设 n(x, y, z) 是平面 ABC 的一个法向量，则由ngAB 0 及 ngBC 1 0 ,得2x 2y z 0 y2 x3得 n (3,2,2) ,于是点 D 到平面 ABC 的距离为2x 2y 5z,取 x=3,z2 x3uuur r DA gn d= r =n4949 17 =.17172. 已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形， E 、 F 分别是 AB 和 AD 的中点， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC=2 ，求点 B 到平面 EFG 的距离 .解： 建立如图 2 所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0) ，∴ GE =(2,4, -2),GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为n(x, y, z) ，则由ngGE 0 及 ngGF 2x+4y 2z 0 0 ，得2y 2z4xuuur rx=yg2 2 11(1,1,3) ,于是点BE nz ,取 y=1,得 nB 到平面 EFG 的距离为 d= r =.3yn11113.在棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1 中，求点 C 1 到平面 A 1 BD 的距离。
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uur
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
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变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
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解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
答案：
10 3
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[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
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解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
用空间向量求点到面的距离
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P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
O
垂线段的长度。
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向量法求点到平面的距离
d
sin uuur d | AP | sin
AP
P
r
uuur r
P r
则
d=|
uuur PO
|=|
uuur PA
|
cos
APO.
n
∵
uuur PO
⊥
,
r n
,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos
uuur PA,
r n
|.
A O
∴d=|
uuur PA
||cos
uuur PA,
r n
|=
|
uuur PuAur
r n
|
.
|n|
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令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
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用向量方法求点到平面的距离时： 1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系
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利用向量点到平面的距离
如何利用空间向量求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
r uuur r
uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
n
sin |uAuuPr nr |
d
AP n
uuur r d | APr n |
n
O
A
uuur
r
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
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练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
工绝具对值.
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2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量 4、代入公式—通过公式 d | APr n | 代入求解．
n
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练考题、验能力、轻巧夺冠
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[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.