社会统计学 第五章 正态分布
统计学课件第5章正态分布配套讲义
Business Statistics: A First Course, 5e © 2009 PrenticeHall, Inc..
X Z
Chap 6-26
经验法则
对于任何正态分布，观测值在平均数周围的如何分布 ?
f(X) μ ± 1σ 包括了大约68.26% 的X值 σ σ
X
P( X ) 1.0
Chap 6-14
标准正态分布表
• 教科书 (附录表 E.2)上累计标准正态分布表给出了低于
一个需要的Z值概率 (也就是,从负无穷到Z)
例子: P(Z < 2.00) = 0.9772 0
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Chap 6-5
正态分布形态
f(X)
改变μ 左或右移分布.
改变σ 增加或减少散布 σ
μ
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X
Chap 6-6
标准正态分布
•
任何正态分布(任何平均数和标准差的组合)都能够转换为标准 正态分布(Z)
1.000
0.5478 1.0 - 0.5478 = 0.4522
Z 0
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Z 0 0.12
Chap 6-22
0.12
计算两个值之间的正态分布概率
• 假设X服从正态分布，平均数 8.0 且标准差 5.0。 计算 P(8 < X < 8.6)
正态分布的概念及应用
• 正态分布的简介 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用场景 • 正态分布在数据分析中的应用 • 正态分布在机器学习中的应用 • 正态分布与其他统计分布的关系
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 描述了许多自然现象的概率分布 形态，其概率密度函数呈钟形曲 线，且具有对称性。
贝叶斯推断
正态分布在贝叶斯推断中发挥了重要作用。通过贝叶斯定理，我们可以根据先 验知识和数据更新对未知参数的估计，而正态分布可以作为先验知识的分布形 式。
核方法和支持向量机
核方法
在支持向量机（SVM）等核方法中，正态分布作为核函数的一 种形式，用于将输入空间映射到高维特征空间，从而使得线性 不可分的数据变得线性可分。
在时间序列分析中，正态分布可用于描述时间序列数据的分布特征， 并建立预测模型。
05
正态分布在机器学习中的应用
概率模型和贝叶斯推断
概率模型
正态分布是一种常用的概率分布，在贝叶斯推断中，我们常常假设某些参数服 从正态分布，以便进行统计推断。例如，在朴素贝叶斯分类器中，特征的概率 分布被假设为正态分布。
考试成绩和测试评分
考试成绩和各种测试评分也经常呈现正态分布，因为大多数人的得分集中在平均分附近， 而高分和低分的人数较少。
气温、降雨量等气候数据
气温、降雨量等自然现象数据也可以用正态分布来描述，因为它们通常遵循类似的统计规 律。
科学研究和技术开发
01 02
实验结果和测量数据
在科学实验和测量中，很多数据呈现正态分布，如放射性衰变的半衰期、 化学反应速率等。这些数据反映了物质内部微观粒子的随机运动和相互 作用。
正态分布在统计学中的地位
正态分布ppt课件统计学
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
正态分布知识点
正态分布知识点正态分布是统计学中最为重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
它在自然界、人类社会和经济现象中都有着广泛的应用。
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，呈现出对称性和集中性。
正态分布的形状可以通过其期望值（均值）和标准差来描述。
期望值表示数据的中心位置，标准差表示数据的离散程度。
通常情况下，正态分布的均值、中值和众数（最常出现的值）是相等的，呈现出对称性。
正态分布的曲线在均值附近最高，在离均值越远的位置，曲线越低。
正态分布的曲线在均值两侧对称，这意味着大约68%的数据位于均值的一个标准差范围内，大约95%的数据位于均值的两个标准差范围内，大约99.7%的数据位于均值的三个标准差范围内。
这种统计规律被称为“68-95-99.7法则”。
正态分布可以用来描述许多自然现象，例如身高、体重、智力水平等。
在这些现象中，大多数个体集中在均值附近，而离均值越远的个体越少。
这也解释了为什么大多数人的身高在平均身高附近，而极矮或极高的个体数量较少。
正态分布在统计学中有许多应用。
首先，它可以用来进行数据分析和假设检验。
通过分析数据的分布情况，可以判断某个变量是否服从正态分布。
在假设检验中，可以利用正态分布假设来进行参数估计和推断。
其次，正态分布可以用来进行抽样推断。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布接近于正态分布。
这意味着我们可以通过对样本数据进行统计分析，来推断总体的性质和特征。
正态分布还可以用于建立概率模型和预测。
在金融领域，股票价格的波动、汇率变动等都可以用正态分布进行建模。
在质量控制中，正态分布被用来评估生产过程的稳定性和规范性。
此外，正态分布的特点也对科学研究和实践有着重要意义。
在实验设计中，可以通过对因素的测量，了解数据是否服从正态分布，从而选择适当的统计方法和模型。
总之，正态分布作为统计学中的重要概率分布，具有许多重要的应用。
其形状对称、集中性强的特点，使得它成为了许多自然现象和实际问题的理想模型。
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
五、正态分布社会统计学原理
【例6】:
已知ξ服从标准正态分布N（0，1），求P （ ξ≥1.3)=? 解：因为 ≦ ＝1， 而 ≦ ＝ P（ ξ＜1.3)＋ P（ ξ≥1.3) ＝1 因此有P（ ξ≥1.3)＝1－ P（ ξ＜1.3)＝1 － 1.3＝0.0968
33
【例7】
已知ξ服从标准正态分布N（0，1），求P （ ξ≤－1.3)=? 解：附表四中没有给出Z≤0的 Z值。根 据标准正态分布图形是以Z＝0为对称的 原理， P（ ξ≤－1.3)=1－ 1.3＝0.0968
解：1. 年龄换为标准分： Z1＝ ，Z2＝
25 － 25 5 ＝0
30 － 25 5
＝1
2. 查表得 Z1 ＝0.50, Z2 ＝0.8413 Z2 - Z1 =0.3413, 所以25岁到30岁之间结婚的人，百分数为34.13%.
36
4.3 标准正态分布表的使用
45
为什么社会经济 生活、自然界存在 许多随机变量的分 布都服从正态分布？ 请结合中心极限 定理来解释。
46
如果一个现实的量是由大量独立偶然的因 素的影响叠加而得，且其中每一个偶然因素的 影响又是均匀地微小的话，可以断定这个量将 近似地服从正态分布。这就解释了为什么在自 然、社会、经济领域里大量存在服从正态分布 的随机变量。例如，身高、体重、智商、婚龄 等等，因为影响它们的因素都是大量的。
x
9
1.2 正态分布的基本特征
特征一：一个高峰 特征二：一条对称轴 特征三：一条渐近线
f (x)
众值=中位值＝均值
M0＝Md=μ
x
10
1.3 正态分布的数学表达式
－ 1 x 2 2 2 e
( x)
_正态分布及其性质概述
_正态分布及其性质概述正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是统计学中最重要的概率分布之一、它在自然界和社会经济领域中的应用十分广泛。
正态分布具有许多重要的性质，包括对称性、峰度和尖度等。
本文将对正态分布及其性质进行概述。
正态分布是一种连续概率分布，其密度函数在整个实数轴上都有定义。
正态分布的密度函数由两个参数决定，即均值μ和标准差σ。
均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的离散程度。
正态分布的密度函数可以用公式表示为：N(N，μ,σ)=1/√(2Nσ²)×N^−((N−μ)²/(2σ²))正态分布的最显著特点是其对称性。
正态分布以均值为对称中心，左右两侧的面积相等。
也就是说，分布曲线在均值处是最高的，随着离均值的距离增加，分布曲线逐渐下降。
除了对称性外，正态分布还具有另外两个重要性质：峰度和尖度。
峰度描述了分布的峰值的陡峭程度，即分布曲线的形状。
正态分布的峰度为3，即峰度等于3时为正态分布。
如果峰度大于3，分布曲线会比正态分布更陡峭；如果峰度小于3，分布曲线会比正态分布更平坦。
尖度是描述分布曲线顶部尖度的性质。
正态分布的尖度为0，表示分布曲线的顶部相对平滑。
如果尖度大于0，表示分布曲线的顶部更窄和尖锐；如果尖度小于0，表示分布曲线的顶部更宽和平坦。
正态分布在自然界和社会经济领域中应用十分广泛。
许多自然现象，如人的身高、体重、智力等，以及经济和金融领域，如股票价格的波动、利润率的分布等，都可以用正态分布进行建模和分析。
正态分布还是很多统计推断和假设检验方法的基础，如回归分析、方差分析等。
正态分布具有很多重要的性质，使得它在统计学和概率论中被广泛研究和应用。
除了前面提到的对称性、峰度和尖度外，正态分布还具有以下性质：1.正态分布的随机变量的平均值和标准差是唯一可以使得分布最大化的值。
2.正态分布的随机变量具有独立性，即每个随机变量的取值不会受其他随机变量的影响。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等众多领域都有着广泛的应用。
下面，让我们一起来深入了解正态分布。
一、什么是正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数呈现出一种独特的“钟形”曲线，具有对称性。
从数学表达式上看，正态分布的概率密度函数为：＼ f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，决定了曲线的位置；＼（＼sigma\）是标准差，决定了曲线的“胖瘦”程度。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线以均值\（＼mu\）为对称轴，左右两侧对称。
这意味着在均值两侧相同距离处，出现观测值的概率相等。
2、集中性大部分数据集中在均值附近，离均值越远，数据出现的概率越小。
3、均值和中位数、众数相等这三个统计量在正态分布中是重合的，反映了数据的中心趋势。
4、标准差的作用标准差\（＼sigma\）越大，曲线越“胖”，数据的分散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。
三、正态分布的产生原因为什么在现实世界中会有如此多的现象符合正态分布呢？1、大量独立随机因素的综合作用许多自然和社会现象受到众多微小、相互独立的随机因素的影响。
例如，人的身高受到遗传、营养、环境等多种因素的影响，当这些因素的数量足够多且相互独立时，最终的结果往往呈现正态分布。
2、中心极限定理根据中心极限定理，当从一个总体中抽取大量独立同分布的随机样本，并计算其均值时，这些均值的分布将近似于正态分布。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，通过对产品质量特征的测量，如果其符合正态分布，可以设定合理的控制界限，来监控生产过程是否处于稳定状态。
2、考试成绩评估考试成绩通常近似服从正态分布。
教师可以根据正态分布来确定合理的分数段，评估学生的学习情况。
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义一、什么是正态分布在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布。
它就像是自然界和人类社会中许多现象的“常客”，无处不在。
想象一下，我们测量一群人的身高，或者记录一段时间内某地区的气温，这些数据往往会呈现出一种特定的规律，这就是正态分布。
正态分布的形状就像一个钟形，中间高，两边逐渐降低并且对称。
这意味着大部分数据集中在平均值附近，而离平均值越远，数据出现的频率就越低。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线是关于均值对称的。
也就是说，如果均值是μ，那么在μ 左侧和右侧相同距离处的数据出现的频率是相等的。
2、集中性大部分数据都集中在均值附近。
这反映了在许多情况下，一个典型的或者最常见的值是存在的。
3、均匀变动性从均值向两侧，曲线的下降是均匀的。
这意味着数据的变化是相对平稳和有规律的。
三、正态分布的数学表达式正态分布的概率密度函数可以用下面的公式来表示：f(x) ＝（1 ／（σ √（2π)）） e^（（（x μ)＾2 ／（2σ^2)））在这里，μ 是均值，σ 是标准差，π 是圆周率，e 是自然常数。
这个公式看起来可能有点复杂，但它精确地描述了正态分布的形状和特征。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，例如制造零件，产品的某些质量指标往往服从正态分布。
通过对这些指标的监控和分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整。
2、考试成绩学生的考试成绩通常也近似符合正态分布。
这有助于教师评估教学效果，确定合理的分数段和等级划分。
3、金融领域股票价格的波动、收益率等常常呈现正态分布的特征。
投资者可以利用这一特点进行风险评估和投资决策。
4、医学研究例如人体的生理指标，如血压、身高体重指数等，很多都符合正态分布。
这对于疾病的诊断和预防具有重要意义。
五、如何计算正态分布的概率为了计算给定区间内的概率，我们通常需要借助数学表或者使用统计软件。
例如，要计算某个值 x 以下的概率，可以通过将 x 标准化为 z 分数：z ＝（x μ) ／σ然后，查找标准正态分布表来获取对应的概率。
统计学正态分布
统计学正态分布统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，正态分布是最为重要和广泛应用的一种概率分布。
本文将介绍正态分布的定义、特点、应用以及与其他分布的比较。
正态分布，又称高斯分布或钟形曲线分布，是一种对称的连续概率分布。
它的概率密度函数（PDF）可以用以下公式表示：f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ是均值（期望），σ是标准差。
正态分布的均值决定了曲线的位置，标准差决定了曲线的形状。
当μ=0，σ=1时，称为标准正态分布。
正态分布具有许多重要的特点。
首先，它是对称的，即曲线的左右两侧是镜像关系。
其次，大部分数据集都可以近似地用正态分布来描述。
这是由中心极限定理保证的，即当样本容量足够大时，样本均值的分布会趋于正态分布。
因此，正态分布在统计推断中扮演着重要的角色。
正态分布在许多领域中都有广泛的应用。
首先，它可以用来描述许多自然现象，如身高、体重等。
在人群中，身高和体重的分布通常近似于正态分布。
其次，正态分布在工程和质量控制中也起着重要的作用。
例如，在制造过程中，产品尺寸的分布通常可以用正态分布来描述。
通过分析正态分布，可以评估产品的质量水平和生产过程的稳定性。
除了正态分布，在统计学中还有许多其他的概率分布。
例如，均匀分布、指数分布、泊松分布等。
与这些分布相比，正态分布具有许多独特的优点。
首先，正态分布是连续的，可以表示任意小的概率。
其次，正态分布具有良好的数学性质，便于进行推导和计算。
最重要的是，许多统计推断方法是基于正态分布的假设建立的，因此正态分布在统计学中具有特殊的地位。
尽管正态分布在统计学中具有重要地位，但也存在一些限制。
首先，正态分布假设数据呈正态分布，但实际数据往往不完全符合这个假设。
因此，在使用正态分布进行统计推断时，需要进行适当的检验和修正。
其次，正态分布对异常值比较敏感，当数据中存在异常值时，正态分布的拟合效果会受到影响。
正态分布解释
正态分布解释正态分布是统计学中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它在各个领域都有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中经常被使用。
正态分布的特征是呈钟形曲线，两侧的尾部逐渐衰减。
其分布是由两个参数所决定，即均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了曲线的中心位置，而标准差则决定了曲线的宽度。
当均值为0，标准差为1时，这个分布被称为标准正态分布。
正态分布有许多重要的性质。
首先，它是对称的，即曲线两侧呈镜像关系。
其次，68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，而95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内。
这个性质被称为“三个标准差原则”。
正态分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在自然科学中，正态分布可以用来描述许多自然现象，如身高、体重等。
在社会科学中，正态分布可以用来描述人口统计数据、心理测量等。
此外，在工程学中，正态分布被用来描述可靠性和质量控制等。
正态分布的解释还可以从概率密度函数来进行拓展。
概率密度函数是描述随机变量在某一点附近的概率分布的函数。
对于正态分布来说，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * e^(-((x - μ)^2) / (2 * σ^2))其中，e为自然对数的底数。
通过概率密度函数，我们可以计算出特定取值范围内的概率。
例如，我们可以计算出落在某个特定区间的概率，或者求出某个特定值的累积概率。
总之，正态分布是一种常见的概率分布，具有许多重要的性质，可以用来描述各种现象和数据。
在实际应用中，我们可以利用正态分布的特性来进行数据分析和推断。
统计学正态分布
统计学正态分布正态分布又称高斯分布，是一种均值和方差均有定义的固定形状分布，它用于描述数值变量对应的概率分布，是取值变量具有'正态'性质的特点，也是很多自然变量的取值的分布规律的简化模型。
它也是非常重要的一种统计学分布，在泊松分布、二项分布等许多统计分布之中，正态分布是最广泛运用的分布。
2、正态分布的特点正态分布有许多特点，是一种双峰分布，即中间有一个峰值，左右两边各有一个峰值，而且两边的峰值点是接近的，有点像一个钥匙孔，呈现出一个“正态状”。
它也有另一种说法，叫做“中心极限定理”，即随着样本量的增加，样本数据的分布会收敛于正态分布，因此，正态分布也被认为是样本数据的“最终”分布模式。
二、实证检验正态分布是一种数学模型，因此，使用实证检验来检验其是否适用于一定的数据集，是非常有必要的。
常见的实证检验有假设检验，即比较样本数据和标准正态分布之间的匹配程度，从而判断样本是否拟合于正态分布；也可以使用曲线拟合法、K-S检验等实证检验法来检验模型的正确性。
三、应用1、正态分布在实践中的应用正态分布在实际应用中，最常见的是样本平均值的分析，如果样本数据满足正态分布性，那么就可以做出很多有用的推导，例如可以用正态分布求出样本均值在不同置信度下的置信区间，从而可以使用此置信区间来进行假设检验，对实验数据进行可信度分析。
2、正态分布在学术上的应用正态分布也被广泛用于学术上，如在统计学上，正态分布可以用于描述离散变量的分布模式；在多元统计学上，正态分布可以用于回归分析；在机器学习中，正态分布也可以用于建模，提供模型的参数估计。
四、总结以上就是关于正态分布的内容，从介绍、实证检验、应用及总结来看，正态分布是一个较为重要的统计学分布，不仅在理论研究上有很多应用，而且在实际应用中也有很多应用，它为统计学研究提供了很多便利和参考。
正态分布性质
正态分布性质正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，常用于描述许多自然现象和社会现象。
它具有许多特性和性质，这些性质使得正态分布在统计分析中得到了广泛的应用。
本文将介绍正态分布的性质及其在实际应用中的含义。
一、对称性正态分布是一种对称分布，其特点是均值、中位数和众数相等，并且分布曲线的左右两侧是对称的。
这种对称性意味着数据在均值附近出现的概率较高，而离均值较远的数据出现的概率较低。
对称性的存在使得正态分布可以用来描述各种现象，例如身高、体重、考试成绩等。
二、均值和中位数相等在正态分布中，均值和中位数是相等的。
均值代表了分布的中心位置，而中位数代表了一半样本在均值的左边，一半样本在均值的右边。
均值和中位数相等意味着正态分布是一种典型的对称分布，而不会出现明显的偏移。
三、标准差决定曲线的形状正态分布的形状由其均值和标准差来决定。
标准差描述了数据在均值周围的分散程度。
当标准差较小时，数据相对集中在均值附近，曲线的峰度较高，而当标准差较大时，数据分散程度较大，曲线会变得扁平。
这种特性使得我们可以通过改变标准差的大小来调整正态分布的形状，以适应实际的数据情况。
四、68-95-99.7法则正态分布的另一个重要性质是68-95-99.7法则，也称为“三个标准差法则”。
根据这一法则，大约68%的数据落在均值的一倍标准差范围内，约95%的数据落在两倍标准差范围内，而大约99.7%的数据落在三倍标准差范围内。
这一法则使得我们可以通过计算标准差，估计数据在均值附近的集中程度。
五、中心极限定理中心极限定理是正态分布的一个重要性质，它表明当样本量足够大时，样本的均值近似服从正态分布。
这意味着在实际应用中，即使原始数据不符合正态分布，当样本量足够大时，我们仍然可以使用正态分布来近似描述样本的分布。
中心极限定理在统计推断中起到了至关重要的作用。
六、线性变换的稳定性正态分布具有线性变换的稳定性，即对于正态分布的样本，经过线性变换后仍然服从正态分布。
统计学正态分布公式整理
统计学正态分布公式整理正态分布，也被称为高斯分布，是统计学中最为重要的概率分布之一。
它在自然界和社会现象中广泛存在，并且具有许多重要的特性和应用。
正态分布的概率密度函数可以通过正态分布公式来计算，该公式是由数学家卡尔·弗里德里希·高斯在18世纪提出的。
正态分布公式如下所示：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^((-(x-μ)^2) / (2 * σ^2))在这个公式中，f(x)表示给定随机变量取值为x的概率密度。
μ是正态分布的均值，代表了分布的中心位置，而σ是标准差，用于描述分布的离散程度。
π是圆周率，e是自然对数的底。
正态分布公式的整体结构包括三个主要部分：常数项、指数项和系数项。
常数项(1 / (σ * √(2π))) 表示了整个概率密度函数在峰值位置的高度，用于保证概率密度函数的总面积为1。
指数项 e^((-(x-μ)^2) / (2 * σ^2)) 描述了随机变量x与均值μ和标准差σ之间的关系。
指数项的指数部分表达了x与μ之间的偏离程度，偏离程度越大，指数项的值越小。
系数项将常数项和指数项结合在一起，用于调整整个概率密度函数的形状和尺度，使其满足正态分布的要求。
正态分布公式的整理可以帮助我们更好地理解和应用正态分布。
首先，我们可以通过调整均值μ来改变分布的中心位置。
较大的均值会使分布向右移动，而较小的均值会使分布向左移动。
其次，通过调整标准差σ，我们可以改变分布的离散程度。
较大的标准差会导致分布更加平坦，而较小的标准差会导致分布更加陡峭。
最后，正态分布公式的整理还可以帮助我们计算概率和区间。
例如，我们可以使用正态分布公式计算给定范围内的概率。
具体而言，我们可以通过计算随机变量落在给定范围内的面积来得到相应的概率。
总结起来，统计学正态分布公式是描述正态分布以及相关统计推断的基础。
通过理解和应用这个公式，我们可以更好地分析和解释各种现象，并进行准确的预测和推断。
正态分布课件课件
医学研究
正态分布经常被用来描述人体的生理指标，例 如血压、体重、心率和血糖等。
工程技术
正态分布在工程技术中也有着很重要的应用， 例如在质量控制和可靠性分析中。
正态分布在数据分析中的应用
偏度和峰度
使用偏度和峰度帮助了解正态 分布的形状和分布。偏度描述 了平均值分布在曲线的何处， 而峰度则描述了曲线的陡峭程 度。
正态分布在适用性和排除异常值方面存在一 些限制。如果样本不符合正态分布，此时用 正态分布进行分析可能会导致错误的结论。
Hale Waihona Puke 正态分布的常用假设及检验假设检验
假设检验是指在一定的显著水平下，对总体参数提 出假设，并根据样本数据的分布，用统计学方法判 断原假设是否成立。
P值
P值是在假设检验中使用的一个统计量，通常一起出 现的是显著性水平。 p值是落在拒绝域的概率，越小 说明差异越显著。
正态分布优缺点
1 优点
2 缺点
正态分布具有左右对称性，易于使用和理解， 广泛适用于各行各业的数据分析。
中心极限定理
中心极限定理告诉我们，样本 均值的分布逼近于正态分布， 无论样本分布如何。这意味着 我们可以在特定条件下使用正 态分布来预测总体分布。
置信区间
使用正态分布来计算置信区间。 在数据分析中，置信区间是指 根据样本数据计算出的一个区 间，以此来推测总体参数的范 围。
正态分布的概率计算方法
1
累积分布函数
正态性检验方法
正态Q-Q图
Q-Q图是通过将样本数据分布和正态分布进行比较来检验正态性的。如果点的分布趋近于一 条直线，则样本数据符合正态分布。
Shapiro-Wilk检验
Shapiro-Wilk检验是一种经典的正态性检验方法。该检验基于样本数据的偏度、峰度、样本 大小和简单随机抽样的原则，可以判断样本数据是否符合正态分布。
统计分布的正态分布
统计分布的正态分布正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一。
它的特点是以均值为中心对称，呈钟形曲线。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，它可以帮助我们理解和解释一系列现象。
本文将介绍正态分布的特点、应用、统计推断以及一些实例。
正态分布的特点正态分布的曲线呈钟形，左右对称，其形状由均值和标准差决定。
均值决定曲线的中心位置，标准差决定曲线的宽度。
一般而言，正态分布的均值为0，标准差为1，这样的分布称为标准正态分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/(σ√2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示某个特定值x的概率密度，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。
正态分布的曲线图通常被称为钟形曲线或高斯曲线。
正态分布的应用正态分布在现实生活中广泛应用，特别是在统计学和自然科学领域。
下面列举一些常见的应用场景：1. 身体特征：身高、体重等身体特征往往呈现正态分布。
大多数人的身高集中在平均身高附近，极端身高的人较少。
2. 考试成绩：在大规模考试中，考试分数往往呈现正态分布。
绝大多数学生的成绩集中在平均分附近，优秀和较差的学生属于少数。
3. 生产质量控制：正态分布可以指导生产质量控制。
通过收集产品的测量数据，可以分析产品的特征是否符合正态分布，进而评估生产过程的稳定性和准确性。
4. 自然现象：许多自然现象也可以用正态分布来描述，例如天气预测中的温度分布、地震中的震级分布等。
正态分布的统计推断正态分布在统计推断中扮演着重要角色。
根据中心极限定理，当我们从总体中抽取多个样本时，样本均值的分布将会逐渐接近正态分布。
这个特性使得正态分布成为统计推断中一些重要方法的基础。
1. 参数估计：对于一个未知总体的均值或标准差，我们可以通过采集样本数据来估计总体参数。
通过计算样本均值和样本标准差，可以利用正态分布的性质得到总体参数的估计值。
正态分布的主要内容
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。
正态分布概念是由法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）于1733年首次提出的，后由德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
[1] 但德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。
后来到1837年，海根（G.Hagen）在一篇论文中正式提出了这个学说。
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n P ( A) N
（2）古典概率类型
在古典概率类型问题中，所有可能的试验结果是有 限的，即试验的基本事件数是有限的，并且，所有 这些基本事件都是等可能的。 若事件组 A1, A2 , A3 ,, An 满足下面三个条件，则称该事 件为等可能完备事件组。
（1）二项试验
一个二项实验是一个满足如下条件的实验:
实验由确定的试验数所组成; 每个试验只有两个可能的结果,通常称为”成功” 和”失败”; 任一试验的结果独立于任何其他试验结果; 在各次实验中,”成功”的概率和”失败”的概率 都是固定的常数,并且他们的和等于1。
（2）二项实验的概率
1 5 p , q 1 p , n 20, m 7. 6 6
因此,20次中恰好出现7次6点的概率为:
P
7 20
1 7 5 20 -7 C （ ） （ ） 6 6
7 20
二项实验的概率
如果单次试验中,事件成功与失败的概 1 率相等,即 p q 2 则上述二项实验 的概率公式可简化为:
C
m n
Pnm m!
例7：
一条航线上共有十个航空站，请问这条航 线上共有多少种不同的飞机票？ 有四栋大楼将分配给四个单位使用，分配 原则是每个单位只允许分配一栋，请问共 有多少种分配方案？
例8：
抛掷一枚骰子20次,则恰好出现7次“6 点”的概率. 解:这是一个二项实验,依题意,此时
例2：某年级共有学生100名，其中来自广东 省的有25名，来自广西省的有10名，问任抽 一名，来自两广的概率是多少？
（2）一般情况
对于任意两个事件A和B，不满足事件A和 事件B互不相容，则事件“A+B”的概率为事 件A的概率与事件B的概率之和减去事件A 与事件B同时发生的概率： 公式为： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
2.你结交了一位新朋友,问她是否有孩子.她 说有两个.你问大的是女孩吧?她说是.那么 两个孩子都是女孩的概率是多少?
概率在日常生活中运用的例子:
双色球由33个红球和16个蓝球组成，彩民 需选6个红球和1个蓝球组成一张彩票。一 等奖需所有红球和蓝球都猜中。求一等奖 的中奖概率？ 如果任意七个球猜中6个球即为二等奖，求 二等奖的概率？
EG，如果无数次投掷硬币，就可以断定正面朝上的次数 与抛掷总次数的比接近1/2。。。。。。
一些试验者所做试验的记录
试验者 狄摩根 布丰 皮尔逊 皮尔逊 投掷总次数n 2048 4040 12000 24000 出现正面朝上的次数m（频数） 1061 2048 6019 12012 频率=m/n 0.518 0.5069 0.5016 0.5005
m n
m n m
n! m n m p q m !(n m)!
复习：排列
一般来说，从n个不 同元素中，任取m （m<n)个元素按照 一定的顺序排成一 列，称为从n个不同 元素中每次取m个 元素的一个排列， 这些排列的种数记 作
p
m n
n! ( n m)!
n!表示n的阶乘， n!=n×(n-1)(n-2)……3 ×2 ×1
EG,向空中抛掷一枚硬币,落地后正面朝上的结果是不能事 先确定的,从副洗好的扑克牌中任意抽出一张来，它是黑 桃2的结果也是不能事先确定的。
问题：既然社会中存在大量的非确定性现 象，那么预期或预测如何可能？
统计规律：从表面上看来非确定性现象好像是捉 摸不定的，纯粹是偶然性起支配作用，但实际上 ，在研究了大量同类现象后，通常会揭示出一种 确定的规律性，这就是所谓的统计规律。
举例
分析哪些是必然事件，哪些是不可能事件 或随机事件？
例1.某企业有青年工人100名，其中20名已婚，今 任抽25名，那么其中含有5名为已婚者的事件是？ 例2.任抽25名，其中至少5名为未婚者的事件是？ 例3.任抽25名，其中有21名为已婚者的事件是？
4.概率的计算方法
（ 1）频率法
5.概率的加法运算
1）特殊情况 若事件A与事件B互不相容（互斥），即两件 事情不可能同时发生，那么事件A或事件B发 生的概率等于两事件单独发生概率之和： P(A+B)=P(A)+P(B)
例1：抛掷骰子一次，若事件A表示出现5点 的情况，事件B表示出现6点的情况。那么， 抛掷骰子一次，出现5点或6点的概率为？
对于一个二项实验,设在单次试验中,事件A发生( 成功)的概率为P,事件A不发生(失败)的概率为q,即
1n次试验中事件A恰好发生m次的概 且 p q ,则在 n ( q p ) 率为 的二项展开式中当P的指数是m的那一 项,即
P( A) p, P( A) q,
Pn(m) C p q
例题3：
为了研究父代文化程度对子代文化程度的 影响，某大学统计出学生父亲具有大学文 化程度的占25%，母亲具有大学文化程度 的占18%，而父母双方都具有大学文化的 占10%，问学生中任抽一名，父代至少有 一名具有大学文化程度的概率是多少？
例4：
若事件A表示抛掷骰子一次，出现偶数点的 情况，事件B表示出现的点数大于3的情况 。请问，抛掷骰子一次，出现偶数点或点 数大于3的概率为：
随机事件：随机现象的结果 以及这些结果的集合。 随机事件有两种极端情况：
必然事件：如抛掷一枚在硬币若 无支撑落于地上； 不可能事件：如抛掷一枚硬币悬 于空中。
1.概率定义
日常生活中，人们常 用“比较级”来表示 随机事件发生可能性 的大小，例如：
某生明年不可能考上
概率就是随机事 件发生可能性大 小的数量表示。
第五章 抽样分布与推断
第一节 抽样分布
1
一 随机现象及其特征
随机现象例子：
全国每天有多少婴儿出生？ 多少人因车祸死亡？ 多少人结婚，多少人离婚？ 多少人晚间收看新闻联播？ 天气的变化？ 手术的成功？ 骰子的点数？
这些现象的共同点：在一 定条件下（例如某天、某 时）事物出现只具有可能 性而但不具有必然性。 这种现象就是随机现象， 大量存在自然、经济、社 会领域内。 社会现象分成两种确定性 现象和非确定性现象
……
确定性现象与非确定性现象
确定性现象:在一定的条件(S)下某种结果必然会 发生的现象,此时现象的可能结果只有一个,并且事 先就能够确定.
EG,向空中扔一石块必然会落地;标准大气压下水在100℃ 时肯定会沸腾.
非确定性现象:指在某种条件实现后,某种结果可 能发生也可能不发生的现象.也就是说,此时存在多 种可能性,但究竟发生哪种结果事先却不能肯定.
例5：
根据统计结果，在自然生育情况下，男婴 出生的概率为22/43；女婴出生的概率为 21/43。某单位有两名孕妇，问两名孕妇都 生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是 多少？其中一名孕妇生男婴、一名孕妇生 女婴的概率是多少？
（2）一般情况
对于任意两个事件A和B，不满足相互独立 时，乘法公式为：
三、二项分布与均值分布
1.二项分布（Bernoulli Distribution)
二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的 概率分布,它是由伯努利创始的,因此又称为伯努利 分布 社会调查问卷中有许多变量取值只有两类的问题：
是否结过婚？ 是否赞成“一对夫妻只生一个孩子”？ 免收农业税以来，你家经济状况是否得到改善？
p
m n
复习：组合
一般来说，从n个不 同元素中，任取m （m<n)个元素编成 一组，称为从n个不 同元素中每次取m 个元素的一个组合 ，这些组合的种数 记作
m Cn
C
m n
n! m!( nm)!
n!表示n的阶乘， n!=n×(n-1)(n-2)……3 ×2 ×1
排列和组合的区别
有顺序——排列； 无顺序——组合； 两者的联系：
大学； 某生明年可能考上大 学； 某生明年很可能考上 大学；
概率的表达实质和这 些“比较级”是一样 的，只是更为精确。
2.随机事件的概率
在一组不变的条件S下，重复做n次试验，m为 在n次试验中事件A发生的次数。当n很大时， 事件A发生的频率m/n稳定地在某一常数p附件 摆动，并且随着试验次数n的增加，其摆动幅 度会越来越小，则事件A称为随机事件，并把 数值p称为随机事件A发生的概率，记作： P(A)= p
P(AB)=P(A)P(B/A)
P(B/A)又称为条件概率，表示在事件A发生 的条件下事件B发生的概率。
例6：
盒中装有16个球，其中6个为玻璃球，剩 下10个为木质球。而玻璃球中有2个是红 色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红 色的，7个是蓝色的。现从中任取2个，问 得到都是蓝色玻璃球的概率是多少？ 得到一个是蓝色玻璃球，一个是蓝色木质 球的概率是多少？
1.随机现象具有双重性
偶然性：在一次试验或观察中事件出现的可能具 有偶然性；可能会出现; 它表示为：若……，可能…… 统计规律性：在相同条件下，进行大量重复试验 或观察时，随机事件出现可能的大小是稳定的。 概率论研究的正是随机现象的统计规律性。
2.偶然性和规律性的关系
单独的现象具有偶然性，但对于大量的现象，具
3.概率的取值范围
不可能发生的事件，称为不可能事件，概率p=0; 一定发生的事件，称为必然事件，概率p=1; 一般的随机事件，发生的可能性处于“必然”与“不 可能”之间，发生的概率为： 0≤P(A)≤1
概率值越大，这一事件发生的可能性越大。