高精度差分格式及湍流数值模拟(一)
流体力学中的多尺度湍流模拟与建模
流体力学中的多尺度湍流模拟与建模湍流是流体力学中一个复杂而普遍存在的现象，涉及到多尺度的运动和相互作用。
在实际应用中，对湍流进行准确模拟和有效建模具有极大的重要性。
本文将介绍流体力学中的多尺度湍流模拟与建模方法，并探讨其在工程实践中的应用。
第一部分：湍流模拟方法湍流模拟是通过数值方法模拟湍流流动，以获得流场的详细信息。
在多尺度湍流模拟中，常用的模拟方法包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）、雷诺平均导数模拟（RANS）等。
直接数值模拟是一种最为精确的模拟方法，通过求解流动的Navier-Stokes方程来模拟湍流现象。
由于湍流流动存在广泛的空间和时间尺度，直接数值模拟的计算成本极高，通常只能用于精细的研究和小规模的流动模拟。
大涡模拟是在直接数值模拟的基础上发展起来的一种方法，通过将大涡的运动精确模拟，而对小涡采用模型进行参数化。
相比于直接数值模拟，大涡模拟的计算成本较低，可以在一定程度上模拟湍流的多尺度特性。
雷诺平均导数模拟是一种更为常用的湍流模拟方法，在工程实践中得到广泛应用。
该方法通过将流场的各个变量进行平均处理，然后引入湍流模型来描述湍流效应。
由于雷诺平均导数模拟只考虑了平均尺度上的湍流特性，无法准确模拟湍流的具体结构，因此在一些对流动细节要求较高的场合，该方法的精度有限。
第二部分：湍流建模方法湍流建模是为了在湍流模拟中描述湍流效应而引入的方法。
这些模型基于湍流的统计性质和物理规律，对湍流的各种参数进行描述和计算。
常用的湍流建模方法包括湍流能量方程、湍流应力传输方程等。
湍流能量方程是湍流建模中的一种重要方法，用于描述湍流的能量传输过程。
该方程通过考虑湍流的产生、消耗和传输等过程，以及湍流能量的耗散来描述湍流的演化规律。
基于湍流能量方程，可以计算湍流的能谱和湍流能量的分布等参数。
湍流应力传输方程是湍流建模中的另一种关键方法，用于描述湍流的动量传输过程。
该方程通过考虑湍流的各向异性和湍流的剪切作用等因素，计算湍流应力的分布和演化规律。
湍流数值模拟及其在工程热力学中的应用
湍流数值模拟及其在工程热力学中的应用湍流是自然界和工程中广泛存在的一种流动状态，其具有不规则、不稳定、非线性等特点。
因此，湍流研究成为了流体力学中的一个重要分支。
湍流数值模拟（Large Eddy Simulation）是目前研究湍流问题的重要手段之一，广泛应用于工程热力学中。
湍流数值模拟技术的发展历程湍流数值模拟技术起源于20世纪50年代，当时主要应用于理论模拟。
20世纪80年代后，随着计算机技术的发展，数值模拟技术应用于实际工程中，并得到广泛应用。
近年来，由于计算机性能的不断提高和算法的不断改进，湍流数值模拟技术越来越成熟，其应用范围也更加广泛。
湍流数值模拟技术的基本原理湍流数值模拟技术的基本原理是将流场分为宏观湍流和微观湍流两部分，并通过不同方法对二者进行模拟。
具体而言，宏观湍流采用平均场方程进行模拟，微观湍流则通过小尺度涡结构之间的相互作用进行模拟。
在湍流数值模拟过程中，关键是要准确地描述湍流的能量转移和钝化机制，以便合理地模拟湍流特性。
目前，湍流数值模拟技术主要有两种方法：直接数值模拟和大涡模拟。
直接数值模拟（Direct Numerical Simulation，DNS）是最为精确的湍流数值模拟方法，它直接求解完整的Navier-Stokes方程，但计算量也是最大的。
而在工程应用中，一般采用次网格模型，采用模型对小尺度湍流进行近似处理，减少计算量。
其中，大涡模拟（Large Eddy Simulation，LES）是一种很有代表性的方法，它将外部湍流场分解为大尺度湍流和小尺度湍流两部分，对大尺度湍流进行直接数值模拟，对小尺度湍流采用模型进行处理。
湍流数值模拟在工程热力学中的应用湍流数值模拟技术在工程热力学中有着广泛的应用。
具体而言，湍流数值模拟可以用来模拟涡流管道的流动、火焰、燃烧室和喷气发动机等复杂流场问题。
下面，我们将从两个方面来介绍湍流数值模拟在工程热力学中的应用：（1）流体力学问题湍流数值模拟技术在流体力学问题中得到了广泛应用，例如现代汽车设计中对车身和车厢空气动力学的研究，对于气动设计、噪声控制和气密性等方面的分析有很大的帮助。
高精度频率域弹性波方程有限差分方法及波场模拟
地 球 物 理 学 报
CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS
Vol. 49 , No. 2 Mar. , 2006
殷 文 ,印兴耀 ,吴国忱等 . 高精度频率域弹性波方程有限差分方法及波场模拟 . 地球物理学报 ,2006 , 49 (2) :561～568
时间域计算方法按时间片递推计算 , 每一个时 间片的舍入误差会累积到下一片中 , 如果计算的时
u 9 λ 9 u 9v 9w ρ9 2 = + + 9 x 9x 9y 9z 9t
2
+2 +2
9 μ9u 9 μ 9 u 9v + + 9x 9x 9y 9y 9x 9 μ9w 9 μ 9 u 9w + + 9y 9y 9x 9y 9x
562
地 球 物 理 学 报 ( Chinese J . Geophys. )
49 卷
间片较多 ,最终可能导致累积误差太大而波场值太
1 引 言
波动方程数值模拟实质上是根据地下介质条件 求解地震波波动方程 , 模拟的地震波场包含地震波 传播的各种信息 . 通过地震波场数值模拟 , 人们可 以探索地震波传播机理 、 验证修改解释方案 、 进行反 问题研究等 . 这对于地震采集施工设计 , 地震资料 的处理 、 解释以及地震勘探后的岩性评价都具有重 要意义 . 随着三维地震勘探的广泛应用及复杂介质 精细成像的普遍开展 , 研究高效的正演模拟数值方 法非常必要 . 波动方程正演模拟的数值方法有许多种 , 但大 都存在处理计算精度或边界条件问题的困难 . 虽然 有限元方法不受边界几何条件的限制 , 处理自由边 界条件较为简单 , 但有限元方法要求的大计算量和 高存 储 量 在 现 有 的 计 算 水 平 下 仍 然 是 难 以 接 受 [1 ] 的 . 有限差分法是进行波动方程数值模拟的一种 有效方法 ,具有计算速度快 、 占用内存小等优点 , 该 方法对近远场及复杂边界都有广泛的适用性 , 能够 准确地模拟波在各种介质及复杂结构地层中的传播 规律 . 但常规有限差分法通常具有较强的数值频 散现象 ,存在边界反射 , 且计算效率较低 . Claton 和 [3 ] Engquist 提出一种基于声波或弹性波方程的吸收 边界条件 ,该方法仅适用于入射角较小的情况 ,并且 当泊松比大于 210 时 , 会出现不稳定问题 ; Cerjan et
高精度差分格式及湍流数值模拟(三)
~m; (~10m)
最小尺度涡： 微米量级； 中小尺度涡： 0.1mm~ 1mm量级
直接数值模拟： 分辨出最小尺度涡； 网格量极为巨大： 计算量、存储量大
对高性能计算需求强烈
二、 高精度CFD软件 OpenCFD
OpenCFD: 作者开发的一套高精度、开放的CFD程序
1） OpenCFD-SC : 高精度差分 2） OpenCFD-EC: 有限体积 3） OpenCFD-Comb: 化学反应计算
computational region
200
z 300
outflow boundary
buffer region
400
500
示例2：有攻角小头钝锥边界层转捩的DNS
3） 计算结果验证
a.不同网格之间的比较 （网格收敛性） b. 不同扰动形式的结果比较 （模型正确性） d. 与Horvath静风洞实验比较 （与实验结果比较） c. 与 eN方法比较 （与理论结果比较） e. 与Stenson实验比较 （与实验结果比较）
面向工程计算开放的CFD代码(Open CFD code for Engineering Computing)
算法： 多块结构网格有限体积 + RANS 特点： 适用于复杂外形工程计算
差分-有限体积混合方法
3） 高精度化学反应模拟程序—— OpenCFD-Comb
面向化学反应的开放CFD程序： An OpenCFD code for Combustion
高精度差分格式及 湍流数值模拟 （三）
Part 3 可压缩湍流DNS
1. 背景 2. OpenCFD软件简介 3. 典型可压缩湍流的直接数值模拟示例 4. 湍流模型的评估及改进 5. 湍流燃烧的DNS 6. 小结
流体流动的高精度高分辨率格式
流体流动的高精度高分辨率格式High Accuracy and High Resolution Schemes of Fluid Flows 采用高精度高分辨格式不仅可以降低对网格规模的要求，而且能够正确分辨其中复杂的流动现象。
近年研究表明，在提高数值模拟可靠性和有效性方面，高精度高分辨率要求已成为计算流体力学（CFD）技术发展中的一个决定性因素。
高精度高分辨数值方法的研究已极大地推动了CFD学科的快速发展和应用型人才的培养，它也已在很多实际应用领域例如航空航天、海洋船舶、核物理等的产品 (如飞行器)设计、制造和研究中发挥着重要作用。
本课程即是围绕当前CFD及应用研究中的核心高精度高分辨率数值方法而设计的。
课程主要讲授高分辨激波捕捉方法、高精度有限体积方法、高阶紧致差分方法、湍流计算方法、同伦分析方法及应用、并行计算等。
内容涉及线性双曲方程的差分格式和拟线性双曲型守恒律方程的守恒型差分格式，高分辨激波捕捉方法(TVD, ENO, WENO等)，间断Galer kin方法，高阶紧致格式和应用，结构网格及非结构网格的有限体积方法，高精度有限体积方法的最新进展，结构网格及非结构网格的有限体积方法，高精度有限体积方法的最新进展，湍流计算方法（包括RANS,LES及DNS）、转捩预测方法，并行计算，同伦分析方法的基本思想、广义同伦概念及其在力学、数学中应用等。
通过模型方程和精选的示例介绍基本原理、数学理论，阐释求解问题的思路及实践应用；以专题方式介绍最新发展、若干前沿，以及复杂流体流动直接数值模拟等知识。
课程兼具理论性、实用性和前沿性。
本课程面向力学、航空航天、数学及相关理工科专业的研究生、高年级本科生。
本课程负责人为田振夫教授，并邀请国内CFD 及其应用领域三位知名教授组成教学团队。
李新亮,研究员/博导 中国科学院力学研究所高温气体动力学国家重点实验室研究员，中国科学院大学岗位教授。
主要研究方向是计算流体力学，可压缩湍流与转捩，飞行器空气动力学等。
大气湍流运动数值模拟仿真方法综述
大气湍流运动数值模拟仿真方法综述大气湍流是指大气中流体的无序运动，常常出现在多尺度、多层次的大气环流中。
了解和研究大气湍流运动具有重要的科学和应用价值，可以为天气预报、气候模拟以及空气污染等方面的研究提供有力支持。
数值模拟仿真成为研究大气湍流运动的重要手段之一，本文将对大气湍流运动数值模拟仿真方法进行综述。
一、拉格朗日方法：拉格朗日方法是一种经典的描述流体运动的方法，通过跟踪流体的质点运动来模拟流体的流动。
在大气湍流运动数值模拟中，拉格朗日方法常常用于描述物质的运动轨迹，例如云的形成和演变过程等。
拉格朗日方法的优点是能够准确地模拟微观尺度的湍流过程，但其计算量较大，难以用于大尺度的湍流模拟。
二、欧拉方法：欧拉方法是一种描述流体运动的方法，它通过对流体流动的宏观性质进行求解来模拟流体的流动。
在大气湍流运动数值模拟中，欧拉方法常常用于求解流体的运动方程，例如质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程等。
欧拉方法的优点是计算量相对较小，可以用于大尺度的湍流模拟，但其无法精确地模拟湍流的微观尺度特征。
三、雷诺平均方法（RANS）：雷诺平均方法是一种常用的湍流模拟方法，其基本思想是将流场分解为平均分量和脉动分量，并通过对脉动分量进行平均，来模拟湍流过程。
在大气湍流运动数值模拟中，雷诺平均方法常常用于求解雷诺平均动量方程和湍流能量方程等，以模拟湍流的宏观尺度特征。
雷诺平均方法的优点是计算效率高，适用于中尺度和大尺度的湍流模拟，但其无法准确地模拟湍流的细节特征。
四、大涡模拟方法（LES）：大涡模拟方法是一种适用于直接模拟湍流的方法，其基本思想是将湍流流场分解为大尺度涡旋和小尺度涡旋，并通过求解小尺度涡旋的方程来模拟湍流过程。
在大气湍流运动数值模拟中，大涡模拟方法常常用于模拟中尺度和小尺度的湍流，以获取湍流的细节特征。
大涡模拟方法的优点是能够较好地模拟湍流的细节特征，但其计算量较大，难以用于大尺度湍流的模拟。
五、直接数值模拟方法（DNS）：直接数值模拟方法是一种用于准确模拟湍流的方法，其基本思想是通过求解流场的基本方程，直接模拟湍流中所有的尺度下的流动特征。
湍流的理论与实验研究
湍流的理论与实验研究湍流的理论与实验研究湍流是流体力学界公认的难题，被认为是经典物理学中最后一个未被解决的问题。
自然界和工程领域的绝大多数流动都是湍流，因此湍流研究具有重大意义。
近年来，随着实验测量技术和数值模拟能力的不断增强，学术界对高雷诺数和高马赫数湍流有了许多新的认识。
我国科学界也结合国家重大战略需求和学科发展前沿，分析国际上湍流研究的特点、现状和发展趋势，希望对湍流产生机制和流动本质进行深入研讨，加强与航空、航天、航海等相关单位和部门间的沟通与联系，推动湍流研究的发展。
针对国内学科发展现状，尤其是实验研究相对薄弱的特点，国家自然科学基金委员会数理科学部、工程与材料科学部和政策局，于2014年3月20-21日在北京联合举办了第110期双清论坛，论坛主题为“湍流的理论与实验研究”。
来自全国15个单位的近50位流体力学与工程领域的专家学者应邀出席。
与会专家通过充分而深入的研讨，凝练了该领域的重大关键科学问题，探讨了前沿研究方向和科学基金资助战略。
本期特刊登此次论坛学术综述。
一、湍流研究的重要意义自1883年雷诺（Reynolds）发现湍流以来，湍流问题的研究一直困扰着众多学者。
著名物理学家费曼曾说，湍流是经典物理学中最后一个未被解决的难题；2005年《科学》杂志在其创刊125周年公布的125个最具挑战性的科学问题中，其中至少两个问题与湍流相关。
在我们日常生活中，湍流无处不在。
自然界和工程应用中遇到的流动，绝大部分是复杂的湍流问题。
在自然界，从宇宙星系的时空演化，到星球内部的翻滚流动，从大气环流的全球运动，到江河湖泊的区域流动，都有湍流的身影。
在工程领域，从陆地、海洋、空天等交通运载工具，到原子弹、氢弹、导弹、战斗机、舰船等国防武器的设计；从全球气象气候的预报，到地区水利工程的设计；从传统行业如叶轮机械、房桥建筑、油气管道，到新兴行业如能源化工、医疗器械、纳米器件的设计，都需要了解和利用湍流。
因此，湍流流动的研究不仅仅是一个学科发展的问题，更具有重要的工程应用价值。
(2021年整理)湍流的数值模拟综述
湍流的数值模拟综述编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湍流的数值模拟综述）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湍流的数值模拟综述的全部内容。
湍流的数值模拟一、引语流体的流动形态分为湍流与层流。
而层流是流体的最简单的一种流动状态。
流体在管内流动时，其质点沿着与管轴平行的方向作平滑直线运动。
此种流动称为层流或滞流,亦有称为直线流动的.流体的流速在管中心处最大，其近壁处最小。
管内流体的平均流速与最大流速之比等于0.5，根据雷诺实验，当雷诺准数引Re<2320时，流体的流动状态为层流.当雷诺数Re〉2320时，流体流动状态开始向湍流态转变，湍流是一种很复杂的流动状态,是流体力学中公认的难题。
自从19世纪末O.Reynolds提出湍流的统计理论以来，已经有一个多世纪了，经过几代科学家的努力，湍流研究取得很大进展，但是仍然不能满足工程应用的需要，以至于经常有悲观的论调侵袭湍流研究。
为什么湍流问题没有圆满地解决会受到如此关注呢？因为湍流是自然界和工程中十分普遍的流动现豫，对于湍流问题的正确认识和模化直接影响到对自然环境的预测和工程的质量.例如，当前影响航天器气动力和气动热预测准确度的主要障碍是缺乏可靠的湍流模型。
和其他一些自然科学的准题不同，解决湍流问题具有迫切性。
湍流运动的最主要特征是不规则性，这是大家公认的。
对于湍流不规则性的深入认识,是一百多年来湍流研究的上要成就之一。
早期的科学家认为，像分子运动一样，湍流是完全不规则运动。
类似于分子运动产生黏性,湍流的耗散可以用涡黏系数来表述。
20世纪初，一些杰出的流体力学家，相继对涡黏系数提出各种流体力学的模型，如Taylor(1921年)的涡模型,Praudtl(1925年)的混合长模型和von Karman （1930年)相似模型等。
高精度有限差分法与复杂流动的数值模拟
数 的限制 ，给 出 了物 理 尺 度 和 网格 尺 度 之 间 的关 系 ．对 比 分 析 了谱 方 法 和 差 分 法 中 的 混 淆 误 差 ．
最后 数值 模 拟 了几 种典 型 复 杂 流 动 ：可压 三维 平 面 混合 流， 充 分 发 展 的可 压 和 不 可压 槽 道 湍 流 ，
工 作 Ｌ ，参 照 国 内 外 有 关 研 究 采 用 两 种 分 析 方 法 ， ｌ Ｊ
结 构 ．又 如 ，在 气 动 噪声 的 生成 与 传 播 中 ，声 能 与 主流 能量 之 间有 量 级 之 差 ，声 波 的 波 长 与 流 动结 构
的特 征尺 度有 量 级之 差 ． 为 了能 正 确 捕 捉 到 各 种 不 同尺 度 的 流 动 结 构 ，
Ｅ ｍａ ：ｆｄ ＠ Ｉｔ ． ｃ ． Ｃ ｃ — ｉ ｕ ｘ ｎ ｉ ｈ ａ ．ｎ ｌ ｏ ｍｅ
维普资讯
有 计 算 资 源 的 同时 采 用 高精 度 方 法是 直 接 数 值模 拟
湍 流 的重 要途 径 ．
定性 导致 的非 定 常 多 尺 度 流 动 ， 以及 高 温所 导致 的
非平衡 流 动等 ．本 文所 涉 及 的复 杂 流 动 主要 指 第 二 种 ．非 定 常 多 尺 度 复 杂 流 动 的 主 要 特 征 是 ：三 维 ， 非 定 常， 非稳 定 的 多 尺 度 流动 ．如 ，在 湍 流 中有 大 尺 度的 宏 观 结 构 ， 也 有 包 括 Ｋ ｌ ｇ ｒｆ 尺 度 的 小 ｏｍｏ ｏｏｆ
分 析 和 讨论 了与 非 定 常 多尺 度 复 杂 流动 数 值 模拟 相
关 的 一些 问题 ，如高 精 度有 限差 分 法 的 研 究 ，物 理
波 与 数值 波 的 传 播 特 性 及 网 格 尺 度 与 精 度 的 关 系， 物理 黏 性 及 数 值 耗 散 与 网 格 Ｒｅｎ ｌ ｙ ｏｄ ｓ数 之 间 的 关 系，数值 计算 中的混 淆误 差 等 ．
高精度差分格式及湍流数值模拟(一)
u(x j ) eikxj
du ikeikxj dx
uj
k x
eikx j
k kr iki 修正波数 k ikx i
精确解 差分解
耗散误差
ki
色散误差
1st order upwind
2nd order center
3
3rd order upwind
5th order upwind
5th order upwind compact
网络中心培训讲座
高精度差分格式及 湍流数值模拟
李新亮 中国科学院力学研究所
提纲
Part 1. 高精度差分格式 Part 2. 湍流模拟 Part 3. OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟
提纲
Part 1. 高精度差分格式 1. 前言 2. 高精度高分辨率差分格式 格式的精度、分辨率及优化 常用的高分辨率格式： 紧致格式、TVD/保单调格式； WENO格式 3. 群速度控制格式
u x
j
1 2x
(u j2
4u j1
3u j )
7
6
3u x3
j
x2
O(x3)
截断误差
方法1： Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难）
方法2： 数值实验
ln err
给定一测试函数（可精确求导），计算 误差对网格尺度的依赖关系
n = 斜率
err Axn
ln err ln A nln x
u a u 0 a 0
x x
f j a1 f j3 a2 f j2 a3 f j1a4 f j a5 f j1 a6 f j2
1） 若高精度逼近
， u
x
必然利用多个基架点
高阶差分法数值模拟研究与应用
高阶差分法数值模拟研究与应用一、高阶差分法的基本原理高阶差分法是一种常用的数值模拟方法，用于求解微分方程的数值解。
它基于差分近似原理，将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代计算得到数值解。
高阶差分法的基本思想是将求解区域划分为若干个网格，然后在每个网格内进行差分逼近。
通过选取适当的差分格式，可以提高数值解的精度和稳定性。
二、数值模拟研究的方法1. 网格划分：将求解区域划分为若干个网格，通常采用均匀网格或非均匀网格，根据求解问题的特点选择合适的网格划分方法。
2. 差分逼近：在每个网格内，根据求解问题的微分方程，选取适当的差分格式进行逼近。
常用的差分格式有前向差分、后向差分和中心差分等。
3. 迭代计算：利用差分逼近得到的差分方程，通过迭代计算求解数值解。
常用的迭代方法有显式欧拉法、隐式欧拉法和龙格-库塔法等。
4. 边界条件：在数值模拟中，需要指定边界条件来确定问题的解。
常见的边界条件有一阶边界条件和二阶边界条件等，根据问题的特点选择合适的边界条件。
三、数值模拟的应用案例高阶差分法在各个领域都有广泛的应用，以下列举两个具体的应用案例。
1. 流体力学模拟在流体力学中，高阶差分法被广泛应用于模拟流体的运动和传热过程。
通过将流体区域划分为网格，利用高阶差分法求解流体的动量方程和能量方程，可以得到流体的速度场和温度场分布。
这对于研究流体的流动特性和热传递规律具有重要意义。
2. 结构力学分析在结构力学中，高阶差分法可以用于求解结构的静力学和动力学问题。
通过将结构划分为网格，利用高阶差分法求解结构的平衡方程和振动方程，可以得到结构的应力分布和振动模态。
这对于设计和优化结构具有重要作用。
四、总结高阶差分法是一种常用的数值模拟方法，通过将微分方程转化为差分方程，利用差分逼近和迭代计算求解数值解。
它在流体力学、结构力学等领域有着广泛的应用。
因此，深入研究和应用高阶差分法对于理解和解决实际问题具有重要意义。
湍流数值模拟方法
湍流数值模拟方法
以下是 8 条关于“湍流数值模拟方法”的内容：
1. 嘿，你知道吗，湍流数值模拟方法就像是给混乱的湍流世界绘制一幅清晰的地图！比如在飞机设计中，通过数值模拟就能提前了解气流的情况，多神奇呀！
2. 哇塞，湍流数值模拟方法那可是探索复杂流体世界的一把钥匙啊！就好像你进入了一个满是迷雾的森林，而它能为你指引方向，像天气预报中对气流的模拟不就是很好的例子吗？
3. 哎，大家想想看，湍流数值模拟方法不正是解决复杂流体问题的得力助手吗？在水利工程中，模拟水流的湍流情况，难道不是超级重要的吗？
4. 哈哈，湍流数值模拟方法简直就是一个神奇的魔法棒呀！它可以在虚拟世界中重构湍流的模样，就如同在海洋研究中模拟海浪的涌动，厉害吧！
5. 嘿呀，你说湍流数值模拟方法是不是特别了不起呀！它能让我们看清那些难以捉摸的湍流现象，好比在汽车风阻设计中能发挥关键作用一样，这不就是明证吗？
6. 哇哦，湍流数值模拟方法啊，那可是打开湍流奥秘之门的秘密武器呢！就像在航天领域对火箭周边气流的模拟，这是多么不可或缺呀！
7. 哎呀，说起来湍流数值模拟方法，那可真是太重要了！它能把那些乱糟糟的湍流变得清晰可见，比如在研究大气环流时的应用，不厉害吗？
8. 嘿，湍流数值模拟方法真的是非常关键啊！能帮助我们深入理解湍流这个复杂的家伙，就如同在工业管道中模拟流体的流动，真的特别有用！
我的观点结论就是：湍流数值模拟方法在各个领域都有着至关重要的作用，能为我们解决很多复杂的流体问题，一定要重视和深入研究它呀！。
05-直接数值模拟
湍流直接数值模拟的基本原理（4）
初边值条件
− 平均运动的初边值 − 脉动运动的初边值
准确性
近似方法
− 先给出一个恰当的初边值条件 − 然后计算许多步（往往上万步），流动进入“真实”湍流
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
9
湍流直接数值模拟的基本原理（5）
各向同性湍流的模拟
模拟结果-标度律的检验
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
16
湍流直接数值模拟的谱方法（7）
平面槽流湍流的模拟
边界条件
周期性条件 周期性条件
网格设计
IFE , Zhejiang University
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
20
湍流直接数值模拟的差分方法（2）
混合层的直接模拟
边界条件
无反射条件
周期性条件
初始条件
− 平均流场
IFE , Zhejiang University
− 脉动场
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
21
湍流直接数值模拟的差分方法（3）
混合层的直接模拟
模拟结果-涡结构
IFE , Zhejiang University
17
湍流直接数值模拟的谱方法（8）
平面槽流湍流的模拟
模拟结果-统计速度分布
IFE , Zhejiang University
模拟结果-近壁结构
浙江大学航空航天学院流体工程研究所
18
湍流直接数值模拟的谱方法（9）
湍流直接数值模拟
式中，第一项是乘积w＝uv在谱空间中的投影，第二项是 在伪谱运算中产生的误差，故称混淆误差。
第6章 湍流直接数值模拟
6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
混淆误差的消除--3/2规则 将函数在傅里叶空间中展开的系数进行延拓到原来的3/2倍， 延拓后函数的傅里叶系数有M＝3N/2项。延拓按以下的规则赋 值：
a. 近似非定常出口条件：
(5)出口条 件 b. 嵌边区(或强粘性区)方法
第6章 湍流直接数值模拟
6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理 6.3.2 格栅湍流的直接数值模拟 6.3.3 平面槽道湍流的直接数值模拟
第6章 湍流直接数值模拟
6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理 谱方法是一种加权余量的数值计算方法，它把微分方程离散化 为代数方程组，其基本原理如下。设有微分方程：
第6章 湍流直接数值模拟
6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
混淆误差产生原因： 当用伪谱方法计算时，谱空分量用，它等于：
利用三角级数公式
第6章 湍流直接数值模拟
6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
在上式中，p、q、k的取值范围都是{一N/2，N/2-1}，所 以取值不等于零的波数组合情况只有两种：p+q-k＝0，或 p+q-k＝ N，于是有
以延拓的谱系数做伪谱运算，得到类似的乘积公式
第6章 湍流直接数值模拟
6.3 湍流直接数值模拟的谱方法
6.3.1 谱方法的基本原理
上面式中p,q,k的取值范围都是{-M/2,M/2-1}，所以，当时，由 延拓公式(6．18a)~(6．18d)可得式(6.19)的第一项,该项恰好是准确的 卷积，即：
计算流体力学中的数值模拟方法
计算流体力学中的数值模拟方法在计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）领域，数值模拟方法是一种通过数学方程的近似解析来研究流体流动的方法。
数值模拟方法在工程领域中被广泛应用于研究气体和液体的运动行为，分析和预测流体力学问题的解。
本文将介绍数值模拟方法的基本原理以及常用的数值模拟算法。
数值模拟方法的基本原理是将流体运动的偏微分方程离散化，然后通过数值算法求解离散化后的方程，从而得到流体的数值解。
数值模拟方法通常基于三个方程组成的流体力学基本方程：连续性方程、动量方程和能量方程。
其中连续性方程描述了流体的质量守恒，动量方程描述了流体的运动行为，而能量方程描述了流体的能量变化。
在数值模拟方法中，最常用的数值模拟算法之一是有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）。
有限差分法将偏微分方程中的导数项通过差分近似的方式转化为代数方程，从而得到偏微分方程的离散化形式。
通过迭代求解离散化方程，可以得到流体的数值解。
有限差分法简单易懂，适用于一维、二维和三维问题。
然而，有限差分法在处理复杂流体问题时可能存在低精度和数值耗散等问题。
另一个常用的数值模拟算法是有限体积法（Finite Volume Method，简称FVM）。
有限体积法将流体力学方程中的积分形式转化为代数形式，通过在空间中定义有限体积，将物理量的积分平均值表示为对有限体积的平均值。
通过数值积分求解离散化后的方程，可以得到流体的数值解。
有限体积法具有局部守恒性、边界处理简单等优点，适用于处理复杂流体问题，但计算量较大。
另外，还有有限元法（Finite Element Method，简称FEM）和边界元法（Boundary Element Method，简称BEM）等数值模拟方法。
有限元法将求解域划分为离散的单元，利用单元上的基函数对流体物理量进行插值，从而得到流体物理量的数值解。
湍流的数值模拟方法
• 这里 是一个特征长度尺度，称为混合长度 (mixing length), 不同流场，它的值需要指定。
混合长度
• 混合长度 (mixing length) 在一些典型 流场的值。
Round jet
流场
平面混合层 Plane Mixing Layer 平面射流 Plane jet 圆管射流 Round jet Plane Mixing Layer 0.07 层厚度 Layer width 射流厚度 1/2 射流厚度 1/2
and Launder (1995)
• 目前有很多学者在继续此方面的工作
Brian E. Launder
• 本科Imperial College, London • 硕博 MIT 实验流体力学 • 1964-1976 Imperial College 讲师
• 此间，和同事学生提出了k-ε等湍流模型 • 培养出了众多优秀科学工作者，比如 Hanjalic, Rodi等
与‘已知量’的关系，才能得到解 (close
涡流粘度
Eddy viscosity or turbulent viscosity
• 二维流场分子粘性力
• 为描述雷诺应力，Boussinesq 1887 定义了 与之相对应的 • RANS模型的核心在于给出 要求精度高，适用范围广 的数学表达式，
涡流粘度,
entire equation as a model” (Ferziger and Peric, p275)
• 长度尺度 L与k, ε的关系， 利用平衡湍流中能量消散和生成达到动态平衡
k-ε 湍流模型 2方程
k-ε 湍流模型 特点
• 廉价，易收敛，应用领域不 仅包括科研，工程中也大量 适用。被各行业所接受。 • 明显缺点，用k来描述湍流量， 自然而然的假设湍流具有各 向同性的特点，所以在强烈 各向异性的场中，会出现明 显偏差。比如冲击射流。
湍流模拟的数值方法介绍
湍流模拟的数值方法介绍湍流流动是自然界常见的流动现象，是一种高度非线性的复杂流动，但人们已经能够通过某些数值方法对湍流进行模拟，取得与实际比较吻合的结果。
对于湍流运动，已经采用的数值计算方法主要可以分为三类：直接数值模拟、大涡模拟和雷诺时均方程法。
1.直接数值模拟（Direct Numerical Simulation，简称DNS）方法就是直接用瞬时的N-S方程对湍流进行计算。
DNS的最大好处是无需对湍流流动作任何简化或近似，理论上可以得到相对准确的计算结果。
DNS对内存空间及计算速度的要求非常高，目前还无法用于真正意义上的工程计算，但大量的探索性工作正在进行之中。
2. 大涡模拟法（large eddy simulation, 简称LES）为了模拟湍流流动，一方面要求计算区域的尺寸应大到足以包含湍流运动中出现的最大的涡，另一方面要求计算网格的尺度应小到足以分辨最小涡的运动。
然而，就目前的计算机能力来讲，能够采用的计算网格的最小尺度仍比最小涡的尺度大许多。
因此，目前只能放弃对全尺度范围上涡的运动的模拟，而只将比网格尺度大的湍流运动通过N-S方程直接计算出来，对于小尺度的涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟，从而形成目前的大涡模拟法。
LES方法的基本思想可以概括为：用瞬时的N-S方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度涡，而小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。
总体而言，LES方法对计算机内存及CPU速度的要求仍比较高，但低于DNS方法。
3.雷诺平均法（RANS：Reynolds-averaged Navier-Stokes）虽然N-S方程可以用于描述湍流，但N-S方程的非线性使得用解析的方法精确描写三维时间相关的全部细节极端困难，即使能真正得到这些细节，对于解决实际问题也没有太大的意义。
这是因为，从工程应用的观点上看，重要的是湍流所引起的平均流场的变化，是整体的效果。
雷诺平均法（Reynolds-averaged Navier-Stokes，简称RANS）是将非稳态的N-S控制方程组作时间平均运算，湍流的各种瞬时量被表示成时均值和脉动值之和，在所得的时均方程中会出现脉动值的乘积的时均值这一类新未知量，从而使方程组不封闭。
cfd高精度格式
f+ j+
1 2
=
mM(∆j
+
3 2
f
+
−
∆j
+
1 2
f+,
∆j+
1 2
f+
−
∆j−
1 2
f
+)
f
fj−+
1 2
=
mM(∆j
+
3 2
f
−
−
∆j+
1 2
f−,
∆j+
1 2
f−
−
∆j−
1 2
f
−)
fj± = f ±(u(xj),
∆j+
1 2
f
±
=
fj±+1
−
fj±
方程在t = 0.9和t = 2时图像分别如图(??)和图(??)所示。
Figure 10: t = 0.9
Figure 11: t = 2
7 二阶Godunov格式(MUSCL格式)
对于单个守恒律方程
∂u ∂f (u)
df
+
= 0, a(u) =
(30)
∂t ∂x
du
与上方程相容的守恒型格式
unj +1
=
unj
−
λ(fj+
1 2
−
fj−
1 2
)
≡
(E∆x (∆t)un )j ,
+ αu],
f −(u)
=
1 [f (u) − αu]
(47)
2
2
9 WENO格式
取α
湍流边界层近壁区多个相干结构的数值模拟
１ 基 本 方 程 与 数 值 方 法
基 本 方 程 为 Ｎ ｖｅ Ｓｏｅ 方 程 ａｉ —ｔ ｓ ｒ ｋ
Ｏ ｎ
＋ （ ・ ） ＝一 ｐ ＋ 瓦 “ “ １
ｘ ・ Ｕ ＝ ０． ７
“
， （ ） １
万
行 理论 分 析 ， 因此 ， 值 模 拟是 探 索湍 流 相 干结 构 的 数 产 生 和发 展 的重 要 手段 之 一 ． 高精度 、 用 高分 辨 率 的 差 分 方 法 数 值 求 解 Ｎｖ ｒ ｔ ｅ ａｉ — ｏ ｓ方 程 ， 拟 具 有 多 ｅＳｋ 模
［ 章 编 号 ］ １０ — ６ ２ ０ ）５０ ８ ・５ 文 ０ １ ４ Ｘ（０ ２ ０ —３ ３０ ２
湍 流 边 界 层 近 壁 区 多 个 相 干 结 构 的 数 值 模 拟
陆 昌根
（ 海大学水文水资 源及环境学院 ， 苏 南 京 河 江 ２ ０９ ） １０ ８
［ 摘 要 ］ 从 流 动 稳 定 性 理 论 中 的一 般 共 振 三 波 概 念 出 发 ， 出 一 种 湍 流 边 界 层 近 壁 区 多 个 相 干 结 构 的理 论 模 提
示 平 板 边 界 层 近 壁 区 的 湍 流 场 ， 现 存 在 一 系 列 不 发
０ 引 言
湍 流是 自然 界普 遍 存 在 的一 种 物 理 现 象 ． 湍 在 流 研究 中相 干结 构 占有 很 重要 的 地 位 ， 其 在 湍 流 尤 边 界 层 近壁 区域 中 ， 干结 构 是湍 流 生 成 、 相 维持 及 湍 流能量 输 运过 程 中 的关 键 因 素 ， 其 进 行 研 究 有 助 对 于 了解湍 流 本质 、 立 较 合理 的 湍流 模式 ． 时湍 流 建 同 边 界层 流 动与 众 多 工 程 技 术 问题 密 切 相 关 ， 们 希 人 望通 过 控 制 相 干 结 构 来 控 制 湍 流 运 动 ， 减 阻 、 为 降 噪 、 合燃 烧 等 工程 问题提 供 指 导性 意 见 ． 混 近年 来 ， 理论 分 析上 ， 在 不少 学 者 曾用 流动 稳 定 性 理论 来解 释 和 预 测 相 干结 构 的产 生 和 发 展 ， 获 并
求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现
Key Words: Convection equation; High-order; Compact difference scheme; LOD method; Finite difference method
II
目录
第一章 绪论...................................................................................................................... 1
Finally, these schemes deduced in this paper are integrated into the software of "PHOEBESolver", which makes it easier for scholars in numerical solutions of partial differential equations to use these schemes in this paper.
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一、 前言
• 计算流体力学: Computational Fluid Dynamics 简称CFD
计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控 制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此 预测流体运动规律的学科
CFD: 通过离散求解流动方程得到流动信息
Copyright by Li Xinliang
4
流体力 学问题
2） 高阶保单调格式
f x j
f j1/2 f j1/2 x
高阶方法：光滑区 精度高 但鲁棒性差
低阶方法： 精度低 但鲁棒性好
保单调限制器示意图
基本思路： 低阶方法形成一个“保单调区间”，对高阶方法进行限制
Suresh A & Huynh HT (1997)
3 阶格式构建保单调区间 （极值点3阶精度）
u x
j
1 2x
(u j2
4u j1
3u j )
7
6
3u x3
j
x2
O(x3)
截断误差
方法1： Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难）
方法2： 数值实验
ln err
给定一测试函数（可精确求导），计算 误差对网格尺度的依赖关系
n = 斜率
err Axn
ln err ln A nln x
优点： 对网格光滑性要求不高，可处理复杂外形 不足： 推广到高阶精度难度大
0
1
x0 , y0
➢高精度差分法： 复杂流动的精细模拟 典型应用： 湍流精细模拟 （直接数值模拟、 大涡模拟）
湍射流的涡量分布：DNS
RANS
➢ 湍流精细模拟 与 高精度格式
➢ 激波给可压湍流DNS的数值方法带来巨大挑战 矛盾： 低耗散 vs. 抑制振荡（需要耗散）
ki
3 2.5
2
1st order upwind 2nd order center 3rd order upwind 5th order upwind 5th order upwind compact 6th order central 6th order central compact exact
—— 得到多个差分
{j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2}
5）根据每个模板的光滑程度，设定权重
{j-3,j-2,j-1,j}； {j-2,j-1,j,j+1}； {j-1,j,j+1,j+2}
6） 对多个差分结果进行加权平均 。光滑度越高，
权重越大。如果某模板存在间断，则权重趋于0；
如果都光滑，则组合成更高阶格式。
有限差分法 有限体积法 有限元法 间断有限元 法(DG) 谱方法 粒子类方法
优点 简单成熟，可构造高精度 格式 守恒性好，可处理复杂网 格 基于变分原理，守恒性好
精度高、守恒性好、易于 处理复杂网格
精度高
算法简单，可处理复杂外 形
缺点
适用范围
处理复杂网格不够 相对简单外形的
灵活
高精度计算
不易提高精度（二 复杂外形的工程 阶以上方法复杂） 计算
网络中心培训讲座
高精度差分格式及 湍流数值模拟
李新亮 中国科学院力学研究所
提纲
Part 1. 高精度差分格式 Part 2. 湍流模拟 Part 3. OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟
提纲
Part 1. 高精度差分格式 1. 前言 2. 高精度高分辨率差分格式 格式的精度、分辨率及优化 常用的高分辨率格式： 紧致格式、TVD/保单调格式； WENO格式 3. 群速度控制格式
✓ 紧致格式： 同样的基架点，可构造更高阶格式 （因为自由参数更多）
Lele SK. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. Journal of Computing Physics 1992; 103:16–42. Fu D., Ma Y., A High Order Accurate Difference Scheme for Complex Flow Fields, put. Phys., 1997, 134:1-15.
U F1 F2 0 t x y
坐标变换 计算空间
每一维独立处理 一维重构（一维Taylor展开）
例如：
f x
j
a1 f j2
a2
f j1
a3
fj
a4 f j1
f j ( f j+1 f j1) / 2x
5 阶迎风差分格式
f j (2 f j3 15 f j2 60 f j1 20 f j 30 f j1 3 f j2 ) / 60x
五个基架点被分成三个组
2) WENO格式的原理描述
注： 为了简便，以非守恒型形式为例讲授其思路，实际使用时，请采 用下一节介绍的守恒形式
考虑线性单波方程：
u a u 0 (1) x x
a0
计算 u
x j
（1） 确定网格基架点： 6个点 {j-3 , j-2,j-1,j,j+1,j+2} 构造出该基架点上的目标差分格式
➢ 2003年以前， 多采用人工粘性（或滤波); 近期, 多采用WENO 格式 不足： 耗散较大， 计算量大
➢ 新方法： 迎风紧致格式；群速度控制格式； 加权群速度控制格式(WGVC-M); 优化的保单调格式OMP; 优化的MUSCL方法
二、 高精度、高分辨率差分格式
1. 格式的精度、 分辨率及优化 1) 差分格式精度： 截断误差的阶数
B) 并行方法2： 数据重分布 计算x方向导数时： 数据按行分割
52 Fij 3 dij 3 Fi1 j
计算y方向导数时： 数据按列分割
Fij
5 3
dij
2 3
Fij 1
CPU 0 CPU 1 CPU 2
CPU 0 CPU 1 CPU 2
优点： 子步内部没有并行效率损失 不足： 需要数据重新分布， 数据交换量较大
● 航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用 实验难点：复现高空高速流动条件
波音777
Copyright by Li Xinliang
波音787
7
CFD 面临的挑战及主要任务：
➢复杂流动的数学模型
湍流的计算模型； 转捩的预测模型； 燃烧及化学反应模型； 噪声模型……
➢ 高精度高效算法
高精度激波捕捉法；
u(x j ) eikxj
du ikeikxj dx
uj
k x
eikx j
k kr iki 修正波数 k ikx i
精确解 差分解
耗散误差
ki
色散误差
1st order upwind
2nd order center
3
3rd order upwind
5th order upwind
5th order upwind compact
后面的数据必须等待前一步计算完成，难以直接并行
B) 并行方法1： 流水线法
流水线示意图 步骤：
1) 计算 d(:,:) 2) for k=1,M
{ 如果 myid=0, 计算 F(k,0), 否则 从myid-1接收 F(k,0); for i=1,N1 (N1=N/P) 计算 F(k,i); 如果myid ≠P-1 向 myid+1 发送 F(k,N1) } 优点： 无需数据重分布； 不足： 有并行效率损失， 并行数难以放大
1.5
1
0.5
00
1
2
3
2. 常用的高分辨率格式 1） 紧致格式
✓引入导数信息、 联立求解
j-1
j
j+1
Fj
f x
j
普通格式： Fj =af j1 bf j cf j1
显式给出差分表达式；
紧致格式： Fj1+Fj + Fj1=af j1 bf j cf j1 隐式给出差分表达式；
6阶对称紧致 1/ 3Fj1 Fj 1/ 3Fj1 (28( f j1 f j1) ( f j2 f j2 )) / 36x 5阶迎风紧致 2 / 5Fj1 3/ 5Fj (3 f j1 44 f j1 36 f j 12 f j1 f j2 ) /120x
ln(x)
2) 差分格式的分辨率
精度： 充分小网格 情况下的误差特性 分辨率： 有限尺度网格 情况下的误差特性
x 0
例：
格式1 格式2
u x
j
a1u j3
a2u j2
.......10
5u x5
x4
u x
j
b1u j3
b2u j2
....... 0.1
4u x4
x3
间断有限元法; 大规模代数方程组高效解法 ……
➢ 复杂外形、复杂网格处理方法
自适应网格； 直角网格，浸入边界法； 无网格法； 粒子算法；
Copyright by Li Xinliang
8
传统计算方法： 有限差分法， 有限体积法 ， 有限元法， 谱方法（谱元法）等； 最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格
2.5
6th order central 6th order central compact
exact
2
1.5
5% 误差
1
0.5
00
1
2
3
4） 分辨率优化
原则： 牺牲精度、提高分辨率
方法： 1） 构造含自由参数的差分格式 u j F ( ,uk ) 2） 计算出格式的色散、耗散误差特性； 3） 调整自由参数，使得色散、耗散特性最优
1
10个点