高精度差分格式及湍流数值模拟(一)

U F1 F2 0 t x y
坐标变换 计算空间
每一维独立处理 一维重构（一维Taylor展开）
例如：
f x
j
a1 f j2
a2
f j1
a3
fj
a4 f j1
f j ( f j+1 f j1) / 2x
5 阶迎风差分格式
f j (2 f j3 15 f j2 60 f j1 20 f j 30 f j1 3 f j2 ) / 60x
u(x j ) eikxj
du ikeikxj dx
uj
k x
eikx j
k kr iki 修正波数 k ikx i
精确解 差分解
耗散误差
ki
色散误差
1st order upwind
2nd order center
3
3rd order upwind
5th order upwind
5th order upwind compact
YF-23，风洞实验5,500小时，CFD计算15,000机时
YF17 Copyright by Li XYinliFan1g7
YF23
6
● 90年代， CFD 在飞机设计中发挥了主力作用 波音777， CFD占主角
● 2000 之后， CFD 取代了大部分风洞实验 波音787：全机风洞实验仅3次
u a u 0 a 0
x x
f j a1 f j3 a2 f j2 a3 f j1a4 f j a5 f j1 a6 f j2
1） 若高精度逼近
， u
x
必然利用多个基架点
2） 如果该基架点内函数有间断，会导致振荡
3） 间断不可能处处存在
4） 把基架点分成多个组（模板），
每个模板独立计算j点导数的逼近。
Suresh A, Huynh HT. Accurate monotonicity-preserving schemes with Runge-Kutta time stepping. Journal of Computing Physics 1997; 136:83–99.
3. WENO格式
1) 基本思路
间断有限元法; 大规模代数方程组高效解法 ……
➢ 复杂外形、复杂网格处理方法
自适应网格； 直角网格，浸入边界法； 无网格法； 粒子算法；
Copyright by Li Xinliang
8
传统计算方法： 有限差分法， 有限体积法 ， 有限元法， 谱方法（谱元法）等； 最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格
—— 得到多个差分
{j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2}
5）根据每个模板的光滑程度，设定权重
{j-3,j-2,j-1,j}； {j-2,j-1,j,j+1}； {j-1,j,j+1,j+2}
6） 对多个差分结果进行加权平均 。光滑度越高，
权重越大。如果某模板存在间断，则权重趋于0；
如果都光滑，则组合成更高阶格式。
网络中心培训讲座
高精度差分格式及 湍流数值模拟
李新亮 中国科学院力学研究所
提纲
Part 1. 高精度差分格式 Part 2. 湍流模拟 Part 3. OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟
提纲
Part 1. 高精度差分格式 1. 前言 2. 高精度高分辨率差分格式 格式的精度、分辨率及优化 常用的高分辨率格式： 紧致格式、TVD/保单调格式； WENO格式 3. 群速度控制格式
1
10个点
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3x
4
5
6
1
20个点
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3x
4
5
6
有效网格点数： 一个波长里面的网格点数 （PPW: Point per Wavelength)
PPW 2 2 x kx
= PPW 2
每个波长里面2个网格点， 谱方法的分辨率， 差分法的极限
3） 格式的分辨率： Fourier分析
➢ 2003年以前， 多采用人工粘性（或滤波); 近期, 多采用WENO 格式 不足： 耗散较大， 计算量大
➢ 新方法： 迎风紧致格式；群速度控制格式； 加权群速度控制格式(WGVC-M); 优化的保单调格式OMP; 优化的MUSCL方法
二、 高精度、高分辨率差分格式
1. 格式的精度、 分辨率及优化 1) 差分格式精度： 截断误差的阶数
u x
j
1 2x
(u j2
4u j1
3u j )
7
6
3u x3
j
x2
O(x3)
截断误差
方法1： Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难）
方法2： 数值实验
ln err
给定一测试函数（可精确求导），计算 误差对网格尺度的依赖关系
n = 斜率
err Axn
ln err ln A nln x
有限差分法 有限体积法 有限元法 间断有限元 法(DG) 谱方法 粒子类方法
优点 简单成熟，可构造高精度 格式 守恒性好，可处理复杂网 格 基于变分原理，守恒性好
精度高、守恒性好、易于 处理复杂网格
精度高
算法简单，可处理复杂外 形
缺点
适用范围
处理复杂网格不够 相对简单外形的
灵活
高精度计算
不易提高精度（二 复杂外形的工程 阶以上方法复杂） 计算
✓ 紧致格式： 同样的基架点，可构造更高阶格式 （因为自由参数更多）
Lele SK. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. Journal of Computing Physics 1992; 103:16–42. Fu D., Ma Y., A High Order Accurate Difference Scheme for Complex Flow Fields, J.Comput. Phys., 1997, 134:1-15.
一、 前言
• 计算流体力学: Computational Fluid Dynamics 简称CFD
计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控 制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此 预测流体运动规律的学科
CFD: 通过离散求解流动方程得到流动信息
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4
流体力 学问题
理论
优点：准确快捷 不足： 难以找到精确解
实验 优点： 直接、可靠、最终验证方式 不足： 周期长、费用高
计算
优点： 周期短、费用低 不足： 受模型及算法限制，需验证
计算流体力学(CFD): 在航空航天领域得到广泛应用 ● 1970 年代， 飞机设计主要依赖风洞实验
YF-17研制，风洞实验13,500小时 ● 1980年代，CFD逐渐发展， 部分取代实验
1.5
1
0.5
00
1
2
3
2. 常用的高分辨率格式 1） 紧致格式
✓引入导数信息、 联立求解
j-1
j
j+1
Fj
f x
j
普通格式： Fj =af j1 bf j cf j1
显式给出差分表达式；
紧致格式： Fj1+Fj + Fj1=af j1 bf j cf j1 隐式给出差分表达式；
6阶对称紧致 1/ 3Fj1 Fj 1/ 3Fj1 (28( f j1 f j1) ( f j2 f j2 )) / 36x 5阶迎风紧致 2 / 5Fj1 3/ 5Fj (3 f j1 44 f j1 36 f j 12 f j1 f j2 ) /120x
优点： 易于推广到高阶格式 不足： 要求网格足够光滑， 不易处理复杂外形
有限体积： 离散积分方程 （多维离散）
U 1 F nds 0
t
k
控制体边界上进行重构
u(x,
y)
u
x0
,
y0
(x
x0
)
x
+(
y
y0
)
y
u
1 2!
(x
x0
)
x
(
y
y0
)
y
2
u
...
•多维重构（多维Taylor展开）， 推广到高阶精度复杂
2.5
6th order central 6th order central compact
exact
2
1.5
5% 误差
1
0.5
00
1
2
3
4） 分辨率优化
原则： 牺牲精度、提高分辨率
方法： 1） 构造含自由参数的差分格式 u j F ( ,uk ) 2） 计算出格式的色散、耗散误差特性； 3） 调整自由参数，使得色散、耗散特性最优
B) 并行方法2： 数据重分布 计算x方向导数时： 数据按行分割
52 Fij 3 dij 3 Fi1 j
计算y方向导数时： 数据按列分割
Fij
5 3
dij
Leabharlann Baidu
2 3
Fij 1
CPU 0 CPU 1 CPU 2
CPU 0 CPU 1 CPU 2
优点： 子步内部没有并行效率损失 不足： 需要数据重新分布， 数据交换量较大
后面的数据必须等待前一步计算完成，难以直接并行
B) 并行方法1： 流水线法
流水线示意图 步骤：
1) 计算 d(:,:) 2) for k=1,M
{ 如果 myid=0, 计算 F(k,0), 否则 从myid-1接收 F(k,0); for i=1,N1 (N1=N/P) 计算 F(k,i); 如果myid ≠P-1 向 myid+1 发送 F(k,N1) } 优点： 无需数据重分布； 不足： 有并行效率损失， 并行数难以放大
对于复杂方程处理 多用于固体力学
困难
等
计算量大；
复杂外形的高精
捕捉激波（限制器）度计算
难度大
外形、边界条件简 简单外形的高精
单
度计算
精度不易提高
复杂外形的工程 计算
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➢ 差分法 vs 有限体积法
… j-2 j-1 j j+1 …
差分法： 离散微分方程（一维离散）
ln(x)
2) 差分格式的分辨率
精度： 充分小网格 情况下的误差特性 分辨率： 有限尺度网格 情况下的误差特性
x 0
例：
格式1 格式2
u x
j
a1u j3
a2u j2
.......10
5u x5
x4
u x
j
b1u j3
b2u j2
....... 0.1
4u x4
x3
五个基架点被分成三个组
2) WENO格式的原理描述
注： 为了简便，以非守恒型形式为例讲授其思路，实际使用时，请采 用下一节介绍的守恒形式
考虑线性单波方程：
u a u 0 (1) x x
a0
计算 u
x j
（1） 确定网格基架点： 6个点 {j-3 , j-2,j-1,j,j+1,j+2} 构造出该基架点上的目标差分格式
误差
4阶精度 3阶精度
显然： x 足够小的情况下， 格式1误差更小 x 并非足够小的情况下，格式2 有可能误差更小
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精度特性
分辨率特性
15
➢网格分辨率： 有效波数 x 本身不能描述网格分辨率
无量纲化： x 2 kx
有效波数
kx
u u
u sin kx
优点： 对网格光滑性要求不高，可处理复杂外形 不足： 推广到高阶精度难度大
0
1
x0 , y0
➢高精度差分法： 复杂流动的精细模拟 典型应用： 湍流精细模拟 （直接数值模拟、 大涡模拟）
湍射流的涡量分布：DNS
RANS
➢ 湍流精细模拟 与 高精度格式
➢ 激波给可压湍流DNS的数值方法带来巨大挑战 矛盾： 低耗散 vs. 抑制振荡（需要耗散）
➢ 紧致格式的并行化
A) 紧致格式并行化的难点
紧致格式计算： 递推型
3 5
Fj
2 5
F j 1
d
j
d
j
1 120x
(3u j2
44u j1
36u j
12u j1
u j2)
Fj 5 / 3d j 2 / 3Fj1
Step 1 计算出 F1 （由边界条件或边界格式给出）
Step 2 由 Fj 5 / 3d j 2 / 3Fj1 递推计算 出全部导数
2） 高阶保单调格式
f x j
f j1/2 f j1/2 x
高阶方法：光滑区 精度高 但鲁棒性差
低阶方法： 精度低 但鲁棒性好
保单调限制器示意图
基本思路： 低阶方法形成一个“保单调区间”，对高阶方法进行限制
Suresh A & Huynh HT (1997)
3 阶格式构建保单调区间 （极值点3阶精度）
● 航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用 实验难点：复现高空高速流动条件
波音777
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波音787
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CFD 面临的挑战及主要任务：
➢复杂流动的数学模型
湍流的计算模型； 转捩的预测模型； 燃烧及化学反应模型； 噪声模型……
➢ 高精度高效算法
高精度激波捕捉法；
ki
3 2.5
2
1st order upwind 2nd order center 3rd order upwind 5th order upwind 5th order upwind compact 6th order central 6th order central compact exact