空间向量其运算测试题
高二数学空间向量测试题.doc
高二数学空间向量测试题班级___________ 姓名___________ 学号___________ 分数___________一、选择题（共 10 小题）1、已知直线a平行于平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（）。
（A）空集（B）二条平行直线（C）一条直线（D）一个平面2、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定3、下列命题中正确的是（）。
（A）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线（B）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交（C）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行（D）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直4、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定5、三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心6、从平面α外一点P引直线与α相交，使P点与交点的距离等于1，这样的直线（）。
（A）仅可作两条（B）可作无数条（C）可作一条或无数条和不能作（D）仅可作1条7、若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（）。
（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°8、直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是（）。
（A）平行（B）lα（C）垂直（D）不能确定9、三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心10、棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得该棱台的棱锥的高之比为( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶4二、填空题（共 5 小题）1、已知△ABC ，点P 是平面ABC 外的一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么点O 一定是△ABC的 。
空间向量好题及答案
高三数学·单元测试卷(十)第十单元 空间向量及运算(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设1123AC xAB yBC zCC =++，则x ＋y ＋z 等于A ．1B ．23C ．56D ．1162．设a ＝(x ，4，3)，b ＝(3，2，z )，且a ∥b ，则xz 的值为 A ．9B ．－9C ．4D ．6493．已知A （1，2，－1）关于面xoy 的对称点为B ，而B 关于x 轴对称的点为C ，则BC =A ．（0，4，2）B ．（0，－4，－2）C ．（0，4，0）D ．（2，0，－2）4．如图，在四面体O —ABC 中，是M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN =A ．121232OA OB OC -+B ．112223OA OB OC +-C ．211322OA OB OC -++D ．221332OA OB OC +-5．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于A ．－1B ．－3C ．－5D ．－156．设空间四点O ，A ，B ，P ，满足,OP OA t AB =+其中0<t <1，则有A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上 7．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 等于 A ．1B ．15C ．35D ．758．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0,AB AC AC AD AB AD ⋅=⋅=⋅=则B 、C 、D 三点构成 A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．形状不能确定9．若向量,,MA MB MC的起点与终点M 、A 、B 、C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O 为空间任一点），则能使向量,,MA MB MC 成为空间一组基底的关系是 A ．111333OM OA OB OC =++B ．MA MB MC ≠+C ．1233OM OA OB OC =++D ．2MA MB MC =-10．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，且sin α≠cos α，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上． 11．已知a ＝（2，－1，2），b ＝（2，2，1），则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．与向量a ＝（2，－1，2）共线，且满足方程a ·x ＝ －18的向量x ＝ ．13．若点A 、B 的坐标为A （3cos α，3sin α，1）、B （2cos θ，2sin θ，1）则 ||AB取值范围 ． 14．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA OB OC OG λ++= ，则λ＝ ．15．已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝30，则123123a a ab b b ++=++ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分l2分)已知a ＝（1，1，0），b ＝（1，1，1），若b ＝b 1＋b 2，且b 1∥a ，b 2⊥a ，试求b 1，b 2． 17．（本题满分12分）如图，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为31(,,0)22，点D 在平面yoz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°．⑴求向量CD的坐标；⑵求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．18．（本题满分14分）已知a ，b 是非零的空间向量，t 是实数，设u ＝a ＋t b ． ⑴当|u |取得最小值时，求实数t 的值；⑵当|u |取得最小值时，求证：b ⊥(a ＋t b )．19．（本题满分14分）如图，已知四面体O —ABC 中，E 、F 分别为AB ，OC 上的点，且AE ＝13AB ，F 为中点，若AB ＝3，BC ＝1，BO ＝2，且∠ABC ＝90°，∠OBA ＝∠OBC ＝60°，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．20．(本题满分14分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ|＝2，建立如图所示的直角坐标系．⑴确定P，Q的位置，使得B1Q⊥D1P；⑵当B1Q⊥D1P时，求二面角C1—PQ—C的正切值．21．(本题满分14分)如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB1上一点，且A1P⊥B1M．⑴试求A1P与平面APC所成角的正弦；⑵求点A1到平面APC的距离．第十单元 空间向量及运算参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D ABCDADBCD二、填空题11．65 12．（－4，2，－4） 13．[1，5] 14．3 15．56三、解答题16．解：∵b 1∥a ，∴令b 1＝(λ，λ，0)，b 2＝b －b 1＝(1－λ，1－λ，1)，又∵b 2⊥a ，∴a ·b 2＝(1，1，0)·(1－λ，1－λ，1)＝1－λ＋1－λ＝2－2λ＝0， ∴λ＝1，即b 1＝(1，1，0)，b 2＝(0，0，1)． 17．解：⑴过D 作DE ⊥BC 于E ，则DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD cos60°＝1－12＝12， ∴D 的坐标为（0，－12，32），又∵C （0，1，0），∴33(0,,)22CD =-⑵依题设有A 点坐标为A 31(,,0)22，∴33(,1,),(0,2,0)22AD BC =--=则10cos ,5||||AD BC AD BC AD BC ⋅<>==-⋅．故异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为105． 18．解：⑴∵22222222222()||||||2()||||()||||||a b a b u a tb a a b t t b b t a b b ⋅⋅=+=+⋅+=++-， ∴当t ＝2||a bb ⋅-时，|u |＝|a ＋t b |最小． ⑵∵222()||||()0()||a bb a tb a b t b a b b b a tb b ⋅⋅+=⋅+=⋅+-=∴⊥+． 19．解：∵12(),23BF BO BC OE BA BO =+=-，∴222117||(||||2)(412||||cos60),444BF BO BC BO BC BO BC =++⋅=++︒=222744||;||||||4444,|| 2.293BF OE BA BO BA BO OE ==+-⋅=+-==又212213(||)(241)23322BF OE BA BO BO BC BA BC BO ⋅=⋅-+⋅-⋅=--=- ，∴337cos ,14||||27BF OE BF OE BF OE ⋅-<>===-， 故异面直线OE 与BF 所成的角的余弦值为3714． 20．解：⑴设BP ＝t ，则222(2),22(2),CQ t DQ t =--=---∴B 1（2，0，2），D 1（0，2，2），P （2，t ，0），Q 2211(22(2),2,0).(2(2),2,2),(2,2,2)t QB t PD t ---=---=--又∵11110BQ D P QB PD ⊥⇔⋅=， ∴2222(2)2(2)220,2(2)t t t t -----+⨯=--=即解得t ＝1，即P 、Q 分别为中点时，B 1Q ⊥D 1P ．⑵由⑴知PQ ∥BD ，且AC ⊥PQ ，设AC ∩PQ ＝E ，连C 1E ，∵CC 1⊥底面BD ，CE ⊥PQ ， ∴C 1E ⊥PQ ，即∠CEC 1为所求二面角O —PQ —C 1的平面角，易得1tan 22CEC ∠=． 21．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A 1（2，0，0），B 1(1,3,0),(1,3,)P z ，13(,,2),(0,0,2),(2,0,2)22M C A由A 1P ⊥B 1M 知110A PB M ⋅=∴13131(1,3,)(,,2)20,,22222z z z -⋅--=-+=∴= 即点P 的坐标为P 1(1,3,)2． ⑴设平面APC的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由20,0,3(0,,).3230,0,2x n CA n z z x y z n CP =⎧⎧⋅=⎪⎪∴=⎨⎨+-=⋅=⎪⎪⎩⎩ 即 取z ＝ －1，则有n ＝3(0,,1)2--，方向指向平面APC 的左下方，又11(1,3,)2PA =-- ，11188119cos ,119||177PA n PA n PA n ⋅<>===⋅⋅．设直线A 1P 与平面APC 所成角为α，则8119sin 119α=． ⑵1117||1342A P =++= ，设A 1到平面P AC 的距离为d ，则1178447||sin 271777d A P α==⋅==⨯ ．。
1.1空间向量及其运算-高二数学上学期习题测试(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
高二数学上学期同步课堂习题测试 （人教A 版2019选择性必修第一册）1.1空间向量及其运算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++ B ．1122++a b c C ．1122--+a b c D ．1122-+a b c 【答案】A 【分析】利用向量运算的三角形法则､平行四边形法则表示出BM 即可. 【详解】11BM BB B M =+， 12c BD =+，()12c BA BC =++， 1122a b c =-++，()12c a b =+-+ 故选：A.2．与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是( )A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭ D ．-3,-)【答案】C 【分析】根据向量共线定理判定即可． 【详解】对于A ，由于()11,1,11,3,333⎛⎫=⎪⎝⎭，所以与向量a 不共线，故A 不正确． 对于B ，由题意得向量()1,3,2--与向量a 不共线，故B 不正确．对于C ，由于()131,,11,3,2222⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，所以与向量a 共线，故C 正确．对于D ，由题意得向量,-3,-与向量a 不共线，故D 不正确． 故选C ．3．如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c -- B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +- D ．111442a b c -++ 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减运算以及数乘运算求解即可. 【详解】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点， 且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++.故选：D.4．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，， ，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ；2p ：若0a l ⋅= ，0b l ⋅= ，则a b ；3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底；4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则121212120n n x x y y z z ⊥⇔++= .其中真命题为A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p【答案】A 【详解】由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的；2:p 若0,0a l b l ⋅=⋅=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确；3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所以是正确的；4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥⇔1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．5．如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ==＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN （ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c -+- 【答案】B 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B6．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．38B ．14C ．34D ．18【答案】B 【分析】由向量的加法运算结合数量积运算得出11AB BC ⋅，进而由数量积公式得出AB1与BC1所成角的余弦值. 【详解】令底面边长为1，则高也为1，1111,AB AB BB BC BC CC =+=+()()1111112111cos12012AB BC AB BB BC CC AB BC BB CC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅=⨯⨯︒+=又112AB BC ==1111cos ,4AB BC ∴==故选：B ．7．已知向量AB ，AC ，BC 满足=AB AC BC +，则（ ）A ．AB ＝AC ＋BCB ．AB ＝－AC －BCC ．AC 与BC 同向D ．AC 与CB 同向【答案】D 【分析】利用向量加法的意义，判断AC 与CB 同向.【详解】由向量加法的定义AB ＝AC ＋CB ，故A 、B 错误由=AB AC BC AC CB +=+，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC 与CB 同向．故D 正确，C 错误. 故选：D.8．若a b ，均为非零向量，则“··a b a b =”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量数量积和向量共线的定义可得选项． 【详解】解：··cos 1a b a b a b ⇒=＝〈，〉，所以a 与b 的夹角为0， 所以a 与b 共线，反之不成立，因为当a 与b 共线反向时，··a b a b =-． 所以“··a b a b =”是“a 与b 共线”的充分不必要条件， 故选：A ．9．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ）A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能 【答案】A 【分析】作a b +与a b -的数量积即可. 【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直． 故选: A10．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量(),,0n a b R λμλμλμ=+∈≠，则（ ）A ． //m nB ．m n ⊥C ．,m n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能 【答案】B 【分析】由条件可以得到0m n ⋅=，即可选出答案. 【详解】因为()0m n m a b m a m b λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅=，所以m n ⊥ 故选：B 二、多选题11．(多选)下列命题中，真命题是（ ） A ．向量AB 与BA 的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【分析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】共线的单位向量方向相同或相反，只有D 错误． 故选：ABC12．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -=B ．AC AB B C CC ''''=++C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=【答案】ABC 【分析】利用空间向量的加法和减法法则运算即可．【详解】作出平行六面体ABCD A B C D ''''-的图像如图，可得AB CB AB BC AC -=+=，则A 正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=，则B 正确；C 显然正确；AB BB BC C C AB BC AC ''+++=+=，则D 不正确.综上，正确的有ABC故选：ABC13．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（ ） A ．()()2211111113A A A D A B A B ++=B ．()11110AC A B A A ⋅-=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是120° D ．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD ⋅⋅【答案】ABC 【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ． 【详解】由向量的加法得到：111111A A D A AC A B ++=，221113AC A B =，∴()()2211111113A A A D A B A B ++=，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110AC AB ⋅=，即()11110AC A B A A ⋅-=，故B 正确； 1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA ⋅=，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．14．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（ ）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【答案】ACD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义即可求解. 【详解】∵O 为正方体的中心，∵1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+， 同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∵A 、C 正确；∵OB OC CB -=，1111OA O A D D =-，∵OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∵B 不正确； ∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-， ∵()11OA OA OC OC -=--，∵D 正确. 故选：ACD 三、填空题15．已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__． 【答案】1 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值． 【详解】由题意，点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ）， 所以(1,1,1),(1,1,2)AB BC λ=---=---,若A ，B ，C 三点共线，则//AB BC ，即112111λ---==---，解得1λ=. 故答案为：1． 16．给出下列命题：∵若||||a b =，则a b =或a ＝－b ；∵若向量a 是向量b 的相反向量，则||||a b =；∵在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，11AC AC =； ∵若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =．其中正确命题的序号是________． 【答案】∵∵∵ 【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可. 【详解】对于∵，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故∵错；对于∵，根据相反向量的定义知||||a b =，故∵正确；对于∵，根据相等向量的定义知，11AC AC =，故∵正确； 对于∵，根据相等向量的定义知∵正确． 故答案为：∵∵∵17．设1e →，2e →是空间两个不共线的向量，已知122AB e k e →→→=+，123CB e e →→→=+，122CD e e →→→=-，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【答案】－8 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】121212(3)(2)4BD BC CD e e e e e e →→→→→→→→→=+=--+-=-又A ，B ，D 三点共线，所以AB BD λ→→=，即121224e k e e e λ→→→→⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以：24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得8k =-. 故答案为：－818．已知2360a b a b ===︒，，， ，则|23|a b -=____________．【分析】根据2222||()23234129a b a b a a b b -=-=-⋅+和向量数量积运算可得答案． 【详解】解：222222232341294912cos ||1(606)a b a b a a b b a b a b -=-=-⋅+=⨯+⨯-⨯⋅⋅︒= ，所以|23|a b -=．19．如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA '相等的向量有______；与向量A B ''相反的向量有______.(要求写出所有适合条件的向量)【答案】BB '，CC '，DD ' B A ''，BA ，CD ，C D '' 【分析】根据平行六面体的定义和向量的概念进行求解【详解】解：因为多面体ABCDA′B′C′D′为平行六面体，所以与向量AA'相等的向量有BB'，CC'，DD'，与向量A B''相反的向量有B A''，BA，CD，C D''故答案为：BB'，CC'，DD'；B A''，BA，CD，C D''20．在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC、AB的中点，设AB a=，AC b=，AD c=，用a，b，c表示向量DM=______，异面直线DM与CN所成角的余弦值为______.【答案】1(2)2a b c+-16【分析】画出对应的正四面体，设棱长均为1,由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;(2) 设异面直线DM与CN所成角为θ,将,DM CN用基底a，b，c表示,代入公式计算得出答案.【详解】画出对应的正四面体，设棱长均为1,则(1) 11()(2)22DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-. (2)由(1) 1(2)2DM a b c =+-，又11(2)22CN AN AC a b a b =-=-=-. 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=.设异面直线DM 与CN 所成角为θ,则|22|cos |2||2|DM CN DM CN θ⋅==⋅2111212222412336a ab a b b ac b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅===. 故答案为:1(2)2a b c +-;1621．如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=．若BD AN ⊥，则λ的值为__；若M 为棱1DD 的中点，//BM平面1AB N ，则λ的值为__．1 23【分析】∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，利用111()()0BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλ=-+=+--=，即可得出λ．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，可得//BM EF ．根据E 点为1A B 的中点，可得F 点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．利用平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵BD AN ⊥，不妨取11AB AA AD ===，∴11111()()cos60cos30cos60022BD AN AD AB AA AD AD AA AD AD AB AA AD AB λλλλλλ=-+=+--=︒+-︒-︒==．1λ∴=．∵连接1A B ，与1AB 交于点E ．连接1A M ，交AN 于点F ，连接EF ．//BM 平面1AB N ，//BM EF ∴．E 点为1A B 的中点，F ∴点为1A M 的中点．延长AN 交线段1DD 的延长线于点P ．11//AA DD ，1A F FM =．112AA MP D P ∴==．∴11112A N AA ND D P==， ∴11123A N A D =．则23λ=．1，23．22．已知直线l 的一个方向向量(2,3,5)d =，平面α的一个法向量(4,,)u m n =-，若l α⊥，则m =______ ，n =______．【答案】-6 -10【分析】根据直线与平面垂直的条件为直线的方向向量与平面的法向量平行，再结合两个向量平行的条件，求得结果. 【详解】l α⊥，//d u ，且(2,3,5)d =，(4,,)u m n =-，4235m n-∴==，解得6m =-，10n =-. 故答案为：∵6-；∵10-. 四、解答题23．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AC =90ACD ∠=︒，沿着它的对角线AC 将ACD△折起，使AB 与CD 成60︒角，求此时B ，D 之间的距离．【分析】根据AB 与CD 成60︒角，得到,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>，然后由BD BA AC CD =++，两边平方求解. 【详解】因为90ACD ∠=︒，所以0AC CD ⋅=，0AC BA ⋅=． 因为AB 与CD 成60︒角，所以,60BA CD =︒<>或,120BA CD =︒<>．因为BD BA AC CD =++，所以2222||||||||222BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD =+++⋅+⋅+⋅，所以2222||2(2)20222cos ,0108cos ,BD BA CD BA CD =++++⨯⨯⨯+=+<><>．当,60BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos 6014BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||14BD =；当,120BA CD =︒<>时，2||108cos ,108cos1206BD BA CD =+=+⨯︒=<>，即||6BD =综上，可知B ，D ．24．已知正四棱锥P ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值． （1）OQ PQ yPC zPA =++；（2）PA xPO yPQ PD =++【答案】（1）12y z ==-；（2）x ＝2，y ＝－2． 【分析】（1）由平行四边形法则以及三角形法则得出1122OQ PQ PC PA =--，从而得出,y z ； （2）由平行四边形法则得出2,2PA PO PC PC PQ PD =-=-，进而得出22PA PO PQ PD =-+，从而得出,x y 的值. 【详解】（1）如图，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PC PA =-=-+=⋅--12y z ∴==-（2）∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点2,2PA PC PO PC PD PQ ∴+=+=2,2PA PO PC PC PQ PD ∴=-=-22PA PO PQ PD ∴=-+2,2x y ∴==-25．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用共面向量定理证明四点共面；（2）利用向量加减及数运算找到AC EG 、的关系，证明AC EG ∥；（3）利用向量加减及数运算可得.【详解】证明：（1）,0AC AD mAB m =+≠，∵A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∵E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.26．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法证明：（1）E ，F ，G ，H 四点共面;（2）BD //平面EFGH ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由共面向量定理得证.（2）用线面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图所示，连接BG，则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．（2）因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD，且E，H，B，D四点不共线，所以EH∵BD．又EH∵平面EFGH，BD∵平面EFGH，所以BD∵平面EFGH．。
空间的法向量测试题
空间的法向量测试题1. 已知平面α，β的法向量分别为a ⃗ =(2,3,λ),b ⃗ =(4,μ,−2)(其中λ，μ∈R)，若α//β，则λ+μ的值为( )A. −52B. −5C. 52D. 52. 平面α的法向量u ⃗ =(2,−2,2)，平面β的法向量v ⃗ =(1,2,1)，则下列命题正确的是( )A. α，β平行B. α，β垂直C. α，β重合D. α，β不垂直3. 若两个向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,1)，则平面ABC 的一个法向量为( ) A. (−1,2,−1) B. (1,2,1) C. (1,2,−1) D. (−1,2,1)4. 若直线l 的方向向量a ⃗ =(1,2，−1)，平面α的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(−2,−4,k)，若l ⊥α，则实数k =( )A. 2B. −10C. −2D. 10 5. 若直线l 的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为(1,12,2)，且l ⊥α，则m =( )A. 2B. 3C. 4D. 5 6. 已知v 1⃗⃗⃗⃗ ，v 2⃗⃗⃗⃗ 分别为直线l 1，l 2的方向向量(l 1,l 2不重合)，n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ 分别为平面α，β的法向量(α,β不重合)，则下列说法中，正确的是( )A. v 1⃗⃗⃗⃗ //v 2⃗⃗⃗⃗ ⇔l 1//l 2 B. v 1⃗⃗⃗⃗ ⊥v 2⃗⃗⃗⃗ ⇔l 1⊥l 2 C. n 1⃗⃗⃗⃗ //n 2⃗⃗⃗⃗ ⇔α//βD. n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ⇔α⊥β7. 以下命题正确的是( )A. 直线l 的方向向量为a⃗ =(1,−1,2)，直线m 的方向向量b ⃗ =(2,1,−12)，则l 与m 垂直；B. 直线l 的方向向量a⃗ =(0,1,−1)，平面α的法向量n ⃗ =(1,−1,−1)，则l ⊥α； C. 平面α,β的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,1,3)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)，则α//β；D. 平面α经过三点A (1,0,−1)，B (0,1,0)，C (−1,2,0)，向量n⃗ =(1,u,t)是平面α的法向量，则u +t =1．8. 已知直线l 的一个方向向量d⃗ =(2,3,5)，平面α的一个法向量u ⃗ =(−4,m,n)，若l ⊥α，则m +n =______．9. 设u⃗ =(−2,2，t)，v ⃗ =(6,−4,5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t 的值是______．10. 设μ⃗ =(−1,2,t),v ⃗ =(1,−4,3)分别是平面α,β的法向量，若α⊥β，则实数t 的值为 ．答案和解析1. 解：∵平面α，β的法向量分别为a ⃗ =(2,3,λ),b ⃗ =(4,μ,−2)(其中λ，μ∈R)，α//β， ∴a ⃗ //b ⃗ ，即有24=3μ=λ−2，解得μ=6，λ=−1，∴λ+μ=−1+6=5．故选：D ．2.解：平面α的法向量u ⃗ =(2,−2,2)，平面β的法向量v ⃗ =(1,2,1)，因为u ⃗ ⋅v ⃗ =2−4+2=0，所以两个平面垂直．故选：B ．3.解：两个向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,1)，设平面ABC 的一个法向量n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y +3z =0n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +2y +z =0,取x =−1，得平面ABC 的一个法向量为(−1,2，−1)． 故选：A ．4.解：∵直线l 的方向向量a⃗ =(1,2,−1)，平面α的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(−2,−4,k)，l ⊥α， ∴α⃗ //m ⃗⃗⃗ ，∴1−2=2−4=−1k ，解得k =2．故选A ．5.解：因为直线l 的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为(1,12,2)，且l ⊥α，所以存在实数λ，使得(2,1，m)=λ(1,12,2)，所以{2=λ1=12λm =2λ,解得λ=2，m =4．故选C ．6.解：∵v 1⃗⃗⃗⃗ ，v 2⃗⃗⃗⃗ 分别为直线l 1，l 2的方向向量(l 1,l 2不重合)，∴v 1⃗⃗⃗⃗ //v 2⃗⃗⃗⃗ ⇔l 1//l 2，v 1⃗⃗⃗⃗ ⊥v 2⃗⃗⃗⃗ ⇔l 1⊥l 2；∵n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ 分别为平面α，β的法向量(α,β不重合)，∴n 1⃗⃗⃗⃗ //n 2⃗⃗⃗⃗ ⇔α//β，n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ⇔α⊥β，故答案为ABCD ．7.解：选项A ∵a⃗ =(1,−1,2)，b ⃗ =(2,1,−12)，∴a ⃗ ·b ⃗ =1×2−1×1+2×(−12)=0， ∴a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴直线l 与m 垂直，A 正确；选项B :a⃗ =(0,1,−1)，n ⃗ =(1,−1,−1)，∴a ⃗ ·n ⃗ =0×1+1×(−1)+(−1)×(−1)=0， ∴a ⃗ ⊥n ⃗ ，∴l//α或l ⊂α，B 错误；选项C :∵n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,1,3)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)，∴n 1⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗ =0×1+1×0+3×2=6≠0， ∴α⊥β不成立，C 错误；选项D :∵点A(1,0，−1)，B(0,1，0)，C(−1,2，0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，向量n⃗ =(1,u,t)是平面α的法向量， ∴{n ⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−1+μ+t =0−1+μ=0，则μ+t =1，D 正确．故选AD ． 8.解：因为直线l 的一个方向向量d⃗ =(2,3,5)，平面α的一个法向量u ⃗ =(−4,m,n)，l ⊥α，则有d ⃗ =(2,3,5)和u ⃗ =(−4,m,n)平行，故有−42=m 3=n 5，解之得m =−6，n =−10，则m +n =−16.故答案为−16．9.解：∵u⃗=(−2,2，t)，v⃗=(6,−4,5)分别是平面α，β的法向量，α⊥β，∴μ⃗⋅v⃗=−12−8+5t=0，解得t=4．故答案为：4．10.解：因为μ⃗=(−1,2,t),v⃗=(1,−4,3)分别是平面α,β的法向量，α⊥β，所以μ⃗⊥v⃗，所以μ⃗·ν⃗=0，得：(−1)×1+2×(−4)+t×3=0，解得t=3．故答案为3．。
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形 C ．可构成钝角三角形 D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．（1，5）D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x+-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，A∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)2SD a =-，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量002OS =（，，），设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-（.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.（完）。
空间向量与立体几何测试试卷
空间向量与立体几何测试试卷空间向量与立体几何测试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a·b的结果为：A. 4B. 14C. 32D. 562.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则a×b的结果为：A. (1,-2,1)B. (-1,2,-1)C. (1,2,1)D. (-1,-2,-1)3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a+b的结果为：A. (5,7,9)B. (5,6,7)C. (4,7,9)D. (4,6,8)4.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a-b的结果为：A. (3,3,3)B. (-3,-3,-3)C. (-3,-1,1)D. (3,1,-1)5.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·(a+b)的结果为：A. 42B. 56C. 70D. 846.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×(a+b)的结果为：A. (14,-28,14)B. (-14,28,-14)C. (14,28,14)D. (-14,-28,-14)7.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|a|的结果为：A. √6B. √14C. √26D. √468.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量|b|的结果为：A. √14B. √26C. √38D. √509.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a×b的模长为：A. √6B. √14C. √26D. √3810.设向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，则向量a·b的模长为：A. 14B. 26C. 38D. 50二、填空题（每题3分，共30分）1.向量(2,3,4)与向量(-1,2,-3)的夹角为______度。
空间向量及其运算测试题答案
新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）A ．c b a ++-2121B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（ ）A ．85B ．85C ．52D ．504．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1）B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．cb a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=•=•=•AD AB ，AD AC ，AC AB ，则BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定图8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，AOB=AOC=600，则cos BC ，OA = （ ）A ．21B ．22 C ．21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．2610． 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（ ）A ．55 B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ． 13．已知点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是 ．14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长． 16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是 )0,21,23(，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值O'N MD'C'B'A'C BADzy x 图17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直． 18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}. （1）求证：PA ⊥底面ABCD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积； 19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0． 5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ； 二、11．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++； 解析：OC OB OA OA OC OB OA OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=．14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=． 16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17． 证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得： 223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0， ∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ． 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18． （1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . （3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 图评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD -==b －a ， ∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c∴CO ·211=O C （a +b ）·［21（a +b ）－c ］=41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2， 则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6， 令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。
第一章 空间向量与立体几何专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第一章 空间向量与立体几何专题测试注意事项1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( )A ．1-B ．1CD ．732．（2020·宜昌高二期末）已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（ ）A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．33．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等4．（2020·全国高二课时练习）若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A ．l α⊂ B ．//l α C ．l α⊥ D ．l 与α相交 5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16 B ．14 C ．16- D ．14- 6．（2020·吉化第一高级中学校）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23BCD ．137．（2020·延安市第一中学高二月考）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A B ．2 C D 8．（2019·黑龙江大庆四中高二月考）已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 10．（2020·福建厦门。
空间向量单元测试卷
空间向量单元测试卷第一部分：选择题1. 下列哪个不是空间向量的表示方法？A. 箭头表示法B. 行向量表示法C. 列向量表示法D. 数量表示法2. 空间向量的模长是指什么？A. 向量的长度B. 向量的方向C. 向量的大小D. 向量的起点和终点的距离3. 空间向量的方向角是指什么？A. 向量与$x$轴正向的夹角B. 向量的长度C. 向量与$y$轴正向的夹角D. 向量与$z$轴正向的夹角4. 下列哪个不是向量的线性运算？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 数乘5. 向量$\vec{a}(1, 2, 3)$和向量$\vec{b}(4, 5, 6)$的点积是多少？A. $32$B. $35$C. $38$D. $41$6. 两个向量的叉积为零，则它们的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 重合D. 倾斜7. 两个向量平行，则它们的叉积是什么？A. 零向量B. 原向量C. 单位向量D. 无法确定8. 空间中三个相互垂直的向量长度分别为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$，则它们的信部角余弦分别为多少？A. $\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{\sqrt{2}}$C. $\frac{1}{\sqrt{6}}$，$\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{1}{\sqrt{2}}$D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$第二部分：填空题1. 空间向量的数量表示法是用______个实数表示。
2. 向量$\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$和向量$\vec{b}=(x_2, y_2,z_2)$的点积为$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$，也可以表示为$\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cos\theta$，其中$\theta$为向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的______角。
高二数学空间向量试题
高二数学单元试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一．选择题（本大题共12小题 ：每小题5分 ：共60分）1．已知向量a ＝（1 ：1 ：0） ：b ＝（－1 ：0 ：2） ：且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直 ：则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线 ：对平面ABC 外的任一点O ：下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0 ：2 ：1） ：b ＝（－1 ：1 ：－2） ：则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°5．已知△ABC 的三个顶点为A （3 ：3 ：2） ：B （4 ：－3 ：7） ：C （0 ：5 ：1） ：则BC 边上的中线长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线 ：则a 、b 所在的直线平行 ：②若a 、b 所在的直线是异面直线 ：则a 、b 一定不共面 ：③若a 、b 、c 三向量两两共面 ：则a 、b 、c 三向量一定也共面 ：④已知三向量a 、b 、c ：则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知空间四边形ABCD ：M 、G 分别是BC 、CD 的中点 ：连结AM 、AG 、MG ：则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中 ：若CA =a ：CB =b ：1CC =c ： 则1A B = （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c 9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 ：向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量10．已知点A （4 ：1 ：3） ：B （2 ：－5 ：1） ：C 为线段AB 上一点 ：且3||||AC AB = ：则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点 ：且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ：则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 ：M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点 ：那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010（理科）已知正方形ABCD 的边长为4 ：E 、F 分别是AB 、AD 的中点 ：GC ⊥平面ABCD ：且GC ＝2 ：则点B 到平面EFG 的距离为（ ） A ．1010 B ． 11112 C ． 53 D ． 1二．填空题（本大题4小题 ：每小题4分 ：共16分）13．已知向量a =(λ+1 ：0 ：2λ) ：b =(6 ：2μ-1 ：2) ：若a ∥b ：则λ与μ的值分别是 ．14．已知a ：b ：c 是空间两两垂直且长度相等的基底 ：m=a+b ：n=b -c ：则m ：n 的夹角为 ．15．已知向量a 和c 不共线 ：向量b ≠0 ：且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ：d ＝a ＋c ：则,〈〉d b ＝ ．16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体 ：其中 ：以顶点A 为端点的三条棱长都等于1 ：且它们彼此的夹角都是︒60 ：那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。
高二数学空间向量测试题
高二数学空间向量测试题班级___________ 姓名___________ 学号___________ 分数___________一、选择题（共 10 小题）1、已知直线a平行于平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（）。
（A）空集（B）二条平行直线（C）一条直线（D）一个平面2、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定3、下列命题中正确的是（）。
（A）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线（B）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交（C）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行（D）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直4、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定5、三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心6、从平面α外一点P引直线与α相交，使P点与交点的距离等于1，这样的直线（）。
（A）仅可作两条（B）可作无数条（C）可作一条或无数条和不能作（D）仅可作1条7、若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（）。
（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°8、直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是（）。
（A）平行（B）lα（C）垂直（D）不能确定9、三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心10、棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得该棱台的棱锥的高之比为( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3 D.3∶4二、填空题（共 5 小题）1、已知△ABC，点P是平面ABC外的一点，点O是点P在平面ABC上的射影，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，那么点O一定是△ABC的。
空间向量与立体几何
第三章 空间向量与立体几何 测试十一 空间向量及其运算AⅠ 学习目标1．会进行空间向量的加法、减法、数乘运算．2．会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解． 3．会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD BC BA ++＝( )(A )11B D (B )B D 1 (C )1DB(D )1BD2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若c b a ===1,,AA AD AB ，则下列式子中与M B 1相等的是( )(A )c b a ++-2121 (B )c b a -+2121 (C )c b a -+-2121(D )c b a +--21213．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BD AD AB 、、11是( ) (A )有相同起点的向量 (B )等长的向量(C )共面向量 (D )不共面向量4．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋m j －n k ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1 (C )7 (D )－7 5．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC ⋅ ( )(A )1 (B )0 (C )3 (D )－3二、填空题6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简=-+1AA AD AB ______.7．已知向量i ，j ，k 不共面，且向量a ＝m i ＋5j －k ，b ＝3i ＋j ＋r k ，若a ∥b ，则实数m ＝______，r ＝______. 8．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有的棱长均为2，且2-=⋅CC AB ，则AB <,1CC ＞＝_______；异面直线AB 与CC 1所成的角的大小为______.9．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，且a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b ＝______． 10．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______. 三、解答题11．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，c b a ===1,,AA AD AB ，E 为A 1D 1中点，用基底{a ，b ，c }表示下列向量(1)AF BE DB ,,1；(2)在图中画出CD DB DD ++1化简后的向量．12．已知向量a ＝2i ＋j ＋3k ,b ＝－i －j ＋2k ，c ＝5i ＋3j ＋4k ，求证向量a ，b ，c 共面．13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，E 为CC 1中点，(1)求BC AB ⋅1；(2)求><⋅BE AB BE AB ,cos ,11．Ⅲ 拓展性训练14．如图，点A 是△BCD 所在平面外一点，G 是△BCD 的重心，求证：)(31AD AC AB AG ++=． (注：重心是三角形三条中线的交点，且CG ∶GE ＝2∶1)第三章 空间向量与立体几何测试十一 空间向量及其运算A1．D2．C c b a c c -+-=-+-=+-=+=2121)(212111B B ． 3．C ∵D B AB 111111,∴==-共面． 4．B c ＝a ＋b ＝－i ＋3j ＋4k ＝－i ＋m j －n k ，m ＝3，n ＝－4，m ＋n ＝－1．5．C 12211)()()(AB AD AC ⋅⋅⋅-+-=++-=30||||22=+-=．6．A 111=-=-+． 7．15=m ，51-=r ． 8．120°；60°． 9．－2．10．212)(||;5AA AD AB AC ++=112122222AA AD AB ⋅⋅⋅+++++=＝1＋1＋1＋0＋2cos60°＋2cos60°＝5．11．(1)c b a c a c b a ++-=++-=++=+-=2121;11111B A A DB ； c b a c a 2121)(21111++=-++=++=+=BB B BB ．(2)1111111)(D DD DD DD =+=+=++=++． 12．解：设c ＝m a ＋n b ，则5i ＋3j ＋4k ＝m (2i ＋j ＋3k )＋n (－i －j ＋2k ) ＝(2m －n )i ＋(m －n )j ＋(3m ＋2n )k ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-423352n m n m n m ，解得⎩⎨⎧-==12n m ，所以c ＝2a －b ，所以向量a ，b ，c 共面． 13．)()(1111CC BB BC +⋅+=⋅1100011111=+++=⋅+⋅+⋅+⋅CC BB BC BB CC AB BC AB )()(11+⋅+=⋅ ⋅=⋅+⋅+⋅=11 2121000=+++=． 1010||||,cos ,25||,2||1111=>=<==BE AB AB AB ． 14．证明∵+=)(31)(31)](21[3232+++=+=+==∴)(31)2(31++=+++=．测试十二 空间向量及其运算BⅠ 学习目标1．会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算．2．掌握用直角坐标表示向量垂直，平行的条件．3．会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，0，2)，则a ＋6b －8c ＝( ) (A )(14，－3，3) (B )(14，－3，35) (C )(14，－3，－12) (D )(－14，3，－3)2．下列各组向量中不平行的是( )(A )a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4) (B )c ＝(1，0，0)，d ＝(－3，0，0) (C )e ＝(2，3，0)，f ＝(0，0，0) (D )g ＝(－2，3，5)，h ＝(16，24，40) 3．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝( ) (A )2(B )－2(C )310 (D )310-4．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A ))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B ))32,32,31(- (C ))32,32,31(和)32,32,31(---(D ))32,32,31(--5．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于( ) (A )2 (B )－2(C )－2或552 (D )2或552-二、填空题6．已知点A (3，2，1)，向量＝(2，－1，5)，则点B 的坐标为______，｜｜＝______． 7．已知3(2，－3，1)－3x ＝(－1，2，3)，则向量x ＝______．8．若向量a ＝(2，1，－2)，b ＝(6，－3，2)，则cos<a ，b>＝______． 9．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是______． 10．若空间三点A (1，5，－2)，B (2，4，1)，C (p ，3，q ＋2)共线，则p ＝______，q ＝______． 三、解答题11．已知向量a ＝(1，－1，2)，b ＝(－2，1，－1)，c ＝(2，－2，1)，求(1)(a ＋c )·a ； (2)｜a －2b ＋c ｜； (3)cos 〈a ＋b ，c 〉．12．已知向量a ＝(2，－1，0)，b ＝(1，2，－1)，(1)求满足m ⊥a 且m ⊥b 的所有向量m ．(2)若302||=m ，求向量m ．13．已知向量a ＝(－2，1，－2)，b ＝(1，2，－1)，c ＝(x ，5，2)，若c 与向量a ，b 共面，求实数x 的值．14．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。
空间向量测试题
空间向量测试题班级 姓名 成绩一．选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．平行六面体 1111D C B A ABCD -中，E,F,G ,H,P,Q 是111111,,,,,A D D C CC BC AB A A 的中点，则A（ ）A ．0=++PQ GH EFB ．0=--PQ GH EFC ．0=-+PQ GH EFD ．0=+-PQ GH EF2．已知空间三点O(0，0, 0), A(-1, 1, 0), B(0, 1, 1), 在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为（ ）A ．(-2, 2, 0)B ．(2, -2, 0)C ．)0,,(2121- D ．)0,,(2121- 3．若()(),,,,,,321321b b b b a a a a == 则332211b a b a b a ==是b a //的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E, F 分别是 BC, AD 的中点，则=⋅CF AE （ ）A ． 0B ．21C ．43-D ．21-5．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 (),[0,).|||AB ACOP OA AB ACλλ=++∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0≠⋅AC BD ； ② 60=∠BAC ；③三棱锥D —ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确的是 （ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④CCCNMB A 1B 1C 1 A 7． 若()1,3,2-=a , (),3,0,2=b ()2,2,0=c , 则()cb a +⋅=（ ）A ． 4B ． 15C ． 7D ． 38． 三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设a AB =，b AC =，c AA =1，则NM 等于 （ ）A ．)(21c b a ++B ．)(21c b a -+ C ．)(21c a + D ．)(21b c a -+9．设a ={1,2,0}, b ={1,0,1}，则：“c ={32，－31，－32}”是“c ⊥a ,c ⊥b 且c 为单位向量”的（ ）A ． 充要条件B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既非充分条件也非必要条件 10．下列结论恒成立的是（ ）①若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β②过直线外一点能作一条直线与已知直线平行③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么，这两个角相等 AC BC AB =+，则A,B,C 三点共线。
高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ） A. ⋅ B. BD AB ⋅ C.DA AB ⋅ D.⋅ 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)． 设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°， 即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满 足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。
高二第三章空间向量单元测试
选修2-1第三章空间向量与立体几何检测题一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量00b a、是与非零向量b a 、同方向的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）A 、00b a =B 、00b a =或00b a -=C 、10=aD 、||||00b a=2.在空间直角坐标系中，已知点p (x,y,z )，那么下列说法正确．．的是（ ） A ．点p 关于x 轴对称的坐标是(),,x y z - B ．点p 关于yoz 平面对称的坐标是(),,x y z -- C ．点p 关于y 轴对称点的坐标是(),,x y z - D ．点p 关于原点对称点的坐标是(),,x y z --- 3．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4． 三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设=，=，=1，则等于（ ）A ．)(21++ B ．)(21-+ C ．)(21+ D ．)(21-+5．在空间直角坐标系中，),3,1,4(),4,0,3(),5,0,1(),3,2,1(D C B A -则直线CD AB 与的位置关系是 （ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定6．已知正方体ABCD －A`B`C`D`，E 是底面A`B`C`D`的中心，c z b y a x c b AA a++====312121，则（ ）A 、2312===z y x ，，B 、21211===z y x ，，C 、12121===z y x ，，D 、322121===z y x ，，7．下面可以作为空间向量的一组基底是 （ ）A ．)5,2,4(),2,0,3(),3,2,1(===B ．)2,1,0(),4,2,0(),1,2,1(-=-=-=C ．)1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(-===c b aD ．)5,2,4(),6,4,2(),3,2,1(===c b a 8．在下列命题中：①若共线，则所在的直线平行；②若所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三向量两两共面，则三向量一定也共面；④已知三向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为z y x ++=．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．39．在平行六面体ABCD －A`B`C`D`中，AB ＝1，AD ＝2，AA`＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA`＝∠DAA`＝60°，则AC`的长为（ ）A 、13B 、23C 、33D 、4310．已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（ ） A ．1010 B ． 11112 C ． 53 D ． 1二．填空题：（3×6＝21分）11．已知点M C B A ),10,3,4(),5,6,2(),7,3,5(是AB 的中点，则=MC12．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则同方向的单位向量是_________________.13．已知,是空间二向量，若与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 14．=(x ,2,1), =(-3,x 2,-5),且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为 。
向量的线性运算基础测试题及答案解析
向量的线性运算基础测试题及答案解析一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）A ．BDB ．AC C ．DBD ．CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =，∴BC b =，∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ．故选B ．2．已知向量，若与共线，则( ) A ． B ． C ．D ．或【答案】D【解析】【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.【点睛】 本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.3．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =，DC b =，则（ ） A ．()12BO a b =+； B ．()12BO a b =-；C ．()12BO b a =-+；D ．()12BO b a =-． 【答案】D【解析】 1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BC BO D ∆==+=-=在中，所以故选4．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.5．以下等式正确的是（ ）．A ．0a a -=B ．00a ⋅=C ．()a b b a -=--D ．km k m =【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的运算法则进行判断．【详解】解：A. 0a a -=，故本选项错误；B. 00a ⋅=，故本选项错误；C. ()a b b a -=--，故本选项正确； D. km k m =⋅，故本选项错误.故选：C.【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．6．已知5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，则（ ）．A ．A 、B 、D 三点共线B ．A 、B 、C 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线D ．A 、C 、D 三点共线 【答案】A【解析】【分析】根据共线向量定理逐一判断即可.【详解】解：∵28BC a b =-+，()3CD a b =-，5AB a b =+∴()2835BD BC CD a b a b a b =+=-++-=+，∴AB 、BD 是共线向量∴A 、B 、D 三点共线，故A 正确； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+ ∴不存在实数λ，使AB BC λ=，即AB 、BC 不是共线向量∴A 、B 、C 三点共线，故B 错误；∵28BC a b =-+，()3CD a b =- ∴不存在实数λ，使BC CD λ=，即BC 、CD 不是共线向量∴B 、C 、D 三点共线，故C 错误； ∵5AB a b =+，28BC a b =-+，()3CD a b =-，∴()52813AC AB BC a b a b a b =+=++-+=-+ ∴不存在实数λ，使AC CD λ=，即AC 、CD 不是共线向量∴A 、C 、D 三点共线，故D 错误；故选A.【点睛】此题考查的是共线向量的判定，掌握共线向量的定理是解决此题的关键.7．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =，26BC m =，则2132m m -等于（ ）． A ．AOB ．BOC ．COD ．DO 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可.【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =，26BC m =，∴1246B m C AC AB m =+=+,1246BD BA BC AC m m =+==-+,M 分别为AC 、BD 的中点, ∴122312AO AC m m =+=，故A 不符合题意； 211322BO BD m m ==-，故B 符合题意； 122312CO AC m m ==---，故C 不符合题意； 121232DO BD m m =-=-，故D 不符合题意. 故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.8．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的定义解答即可．【详解】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反，∴3a e =-．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=， =，=，则（ ）A ．+++=B ．-+-=C ．+--=D ．--+= 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；； 而； ∴B 正确.故选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）．A ． //a c ,//b cB ．||3||a b =C ． 5a b =-D ．2a b =【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可．【详解】解：A 、由//a c ,//b c 推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =只能判定向量a 、b 的模之间的关系，不能判定向量a 、b 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-可以判定向量a 、b 的方向相反，则//a b ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =可以判定向量a 、b 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量．11．已知e →为单位向量，a =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a ∥e →B ．3a =C ．a 与e →方向相同D ．a 与e →方向相反 【答案】C【解析】【分析】由向量的方向直接判断即可.【详解】 解：e 为单位向量，a =3e -，所以a 与e 方向相反，所以C 错误，故选C.【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．12a b =-（b 为非零向量），那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.13．在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =，AD b =，那么OD 等于（ ）A．1122a b+B．1122a b--C．1122a b-D．1122a b-+【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得12OD BD=，，又由BD BA AD=+，即可求得OD的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12 BD，∴12OD BD=，∵BD BA AD a b=+=-+，∴12OD BD==111()222a b a b-+=-+故选：D．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．14．在下列关于向量的等式中，正确的是（）A．AB BC CA=+B．AB BC AC=-C．AB CA BC=-D．0AB BC CA++=【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可.【详解】AB AC CB=+，故A选项错误；AB AC BC=-，故B、C选项错误；AB BC CA++=，故D选正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.15．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】 根据向量的运算法则可得: n =()222OA OB +=,故选B.16．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】解：根据题意得＝,＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a （）＝（）B ． m n a ma na ++（）＝C ．m a b ma mb +（+）＝D ．若0ma =，那么0a =【答案】D【解析】【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a =0，则m=0或a =0．∴错误．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．已知向量a和b都是单位向量，那么下列等式成立的是（）=A．a b-=D．a ba b+=C．0a b=B．2【答案】D【解析】【分析】根据向量a和b都是单位向量，，可知|a|＝|b|＝1，由此即可判断．【详解】解：A、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则a b=不一定成立，故本选项错误．B、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则2+=不一定成立，故本选项错a b误．C、向量a和b都是单位向量，但方向不一定相同，则0-=不一定成立，故本选项错a b误．D、向量a和b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量C．2-＝D．∥【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答．【详解】A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．。
空间向量基本定理及运算 第一章学业水平测试(B卷)
第一章学业水平测试卷(B卷)(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．1．下列向量中，与向量(2，－3，1)平行的是( )．A．(1，1，1)B．(－2，3，1)C．21133⎛⎫⎪⎝⎭－，，－D．(－2，－1，1)2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，3，－4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC＝( )．A．(－2，0，0)B．(－2，3，0)C．(－2，0，－4)D．(1，0，－4)3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点．若BE＝x1AA＋y AB ＋z AD，则( )．A．x＝1，12y＝－，12z＝B．x＝1，12y＝，12z＝－C．12x＝，y＝1，12z=-D．12x＝－，y＝1，12z＝4．如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，点D，E，N分别为P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝2AB＝4，则直线MN到平面BDE的距离为( )．A 3B ．47C ．57D 215．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BD 1上，且11D P D B λ＝(0＜λ＜1)．当∠APC 为锐角时，则实数λ的取值范围为( )．A ．10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1 12⎛⎫⎪⎝⎭，C ．10 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 13⎛⎫⎪⎝⎭， 6．已知空间向量11 02OA ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝ ，，，1 2 0OB ＝ ，，()，10 1 2OC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ＝ ，OP xOA yOB zOC ＝＋＋，且x ＋2y ＋z ＝2，则||OP 的最小值为( )．A 2B 3C ．2D ．4二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．7．下列说法不．正确的是( )． A ．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底B ．若向量a ，b ，c 不全为零向量，则{a ，b ，c }可构成空间的一个基底C ．若{a ，b ，c }和{d ，e ，f }都为空间的基底，则a ＝d ，b ＝e ，c ＝fD ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底8．已知平面α＝{P |n ·0P P ＝0}，其中点P 0(1，2，3)，α的法向量n ＝(1，1，1)，则下列各点中不．在平面α内的是( )． A ．(3，2，1)B ．(－2，5，4)C ．(－3，4，5)D ．(2，－3，6)三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上． 9．已知空间向量a ＝(1，2，3)，b ＝(3，－1，2)，c ＝(－1，0，1)，则a －b ＋2c ＝________． 10．已知空间向量a ＝(1，1，2)，b ＝(2，3，2)，则向量a 在向量b 上投影向量的坐标是________．11．直线l1，l2的方向向量分别为a＝(3，2，1)，b＝(2，x，1)．若l1⊥l2，则x＝________．12．已知球O的半径为1，AB是球O的直径，点D在球O的球面上．若空间中一点C 与点D间的距离为3，则CA CB的最小值为________．13．如图，在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在B1C1上，点Q在平面ABB1A1内，设直线AA1与直线PQ所成角为θ．若直线PQ到平面ACD1的距离为32，则sin θ的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14．(8分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点E是DC的中点．(1)求点B1到直线AD1距离；(2)求证：平面AD1E⊥平面BB1E．15．(10分)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC ＝AA1＝2A1B1＝2，D，E，F，G分别为AC，AB，BB1，CC1的中点．(1)求直线AB1与直线DG所成的角的余弦值；(2)求证：平面AB1C1∥平面DEFG．16．(10分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为棱AA1的中点，点P在侧面C C1D1D内，且DP⊥CP，D1E∥平面P AB．(1)求AP的长度；(2)求点E到平面P AB的距离．17．(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠C＝60°，点D在AC上，AD＝2DC＝4，点F在BC上，CF＝2BF＝3，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到点P，且PF＝3．(1)求证：PF⊥平面BCDE；(2)求直线EF与平面PED所成角的正弦值．18．(10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝2BC＝2，点E为AC1的中点，点F在线段AB1上，且B1F＝2AF．(1)求平面CEF与平面A1B1C1的夹角的余弦值；(2)点G在AB上，若直线CG在平面CEF内，求线段AG的长．参考答案一、单项选择题． 1．C ． 2．A ． 3．A ． 4．D ． 5．C ． 6．B ．二、多项选择题． 7．ABC ． 8．BD ． 三、填空题． 9．(－4，3，3)． 10．182718 171717⎛⎫⎪⎝⎭，，． 11．72－．12．323－． 13．33． 四、解答题．14．(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，D 1(0，0，1)，B 1(1，2，1)，E (0，1，0)，所以1AD ＝(－1，0，1)，1AB ＝(0，2，1)，AE ＝(－1，1，0)，1BB ＝(0，0，1)，EB ＝(1，1，0)．取a ＝1AB ＝(0，2，1)，1122 0 22||AD AD ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝＝－，，u ，则a 2＝5，a ·u ＝22．所以点B 1到直线AD 1距离为22132522－()＝－＝a a u ．(2)设平面AD 1E 的法向量是n 1＝(x ，y ，z )，则11100AD AE ⎧⎪⎨⎪⎩，＝．＝n n 所以00x z x y ⎧⎨⎩－＋＝，－＋＝.取x ＝1，则y ＝z ＝1．所以n 1＝(1，1，1)是平面AD 1E 的一个法向量．同理，平面BB 1E 的一个法向量为n 2＝(1，－1，0)．因为n 1·n 2＝1－1＝0，所以平面AD 1E ⊥平面BB 1E ．15．(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B 1(1，0，2)，D (0，1，0)，E (1，0，0)，C 1(0，1，2)，30 12G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，3 0 12F ⎛⎫⎪⎝⎭，，，所以11 0 2AB ＝(，，)，10 12DG ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，，，1 0 12EF ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，，， 1 1 0DE ＝(，－，)，10 1 2AC ＝(，，)． 设向量1AB 与DG 的夹角为θ，则直线AB 1和DG 所成角的余弦值等于|cos θ|． 1AB ·DG ＝(1，0，2)·10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，，＝2，|1AB |＝5，|DG |＝52． 所以1124cos 5||||552AB DG AB DG θ×＝＝＝．所以直线AB 1与直线DG 所成的角的余弦值45． (2)设平面DEFG 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则1100EF DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝．n n 所以1020x z x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋＝，－＝．取x ＝2，则y ＝2，z ＝－1．所以，n 1＝(2，2，－1)为平面DFG 的一个法向量．同理可得，n 2＝(2，2，－1)为平面AB 1C 1的一个法向量． 所以n 1＝n 2，即平面AB 1C 1∥平面DFG ．16．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB ＝2，P (0，m ，n )，则0 2 0AB ＝(，，)，12 0 1D E ＝(，，－)，2 AP m n ＝(－，，)， 0 DP m n ＝(，，)，0 2 CP m n ＝(，－，)．所以 DP CP ＝m (m －2)＋n 2＝0，即(m －1)2＋n 2＝1．设n ＝(x ，y ，z )是平面P AB 的法向量，则00AB AP ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝．，n n 所以2020y x my nz ⎧⎨⎩＝，－＋＋＝．取z ＝2，则x ＝n ． 所以n ＝(n ，0，2)是平面P AB 的一个法向量．又因为D 1E ∥平面P AB ，所以1 220D E n ＝－＝n ，即n ＝1，m ＝1． (1)因为2 1 1AP ＝(－，，)．所以||6AP ＝．(2)因为0 0 1AE ＝(，，)，由(1)可知，n ＝(1，0，2)是平面P AB 的一个法向量． 所以点E 到平面P AB 的距离为0 0 11 0 22555AE |||(，，)(，，)|＝＝||n n ． 即点E 到平面P AB 的距离为255． 17．(1)因为AC ＝6，CF ＝3，∠C ＝60°，所以AF ⊥BC ．因为DE ∥BC ，所以AF ⊥DE ．连接AF ，设直线DE 与直线AF 相交于点G ．建立如图所示的直角坐标系．设∠PGF ＝θ，则0 23cos 23sin P θθ(，，)，D (－2，0，0)，E (1，0，0)，F (0，3，0)．所以0 23cos 3 23sin PF θθ||＝|(，－＋，－)| 2223cos 323sin 3θθ＝(－)＋()＝．所以cos θ＝12．所以0 0 3PF ＝(，，－)． 因为m ＝(0，0，1)是平面BCDE 的一个法向量，且3PF ＝－m ，所以PF ⊥平面BCDE ． (2)由(1)得1 3 0EF ＝(－，，)，3 0 0DE ＝(，，)，1 3 3EP ＝(－，，)，设平面PED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则00DE EP ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝．n n 所以30330x x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝，－＋＋＝． 取y ＝3，则z ＝－1．所以n ＝(0，3，－1)是平面PED 的一个法向量． 设直线EF 与平面PED 所成角为β，则 sin β＝0 3 1 1 3 03224 EF EF (，，－)(－，，)＝＝×||||n n ．所以直线EF 与平面PED 所成角的正弦值34． 18．取AC 中点为H ，建立如图所示的直角坐标系，则13 022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭－，，，13 022A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，－，，A 1(0，0，3)， 13 022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，n ＝(0，0，1)为平面A 1B 1C 1的一个法向量．(1)设C 1(x 1，y 1，z 1)，因为11CC AA ＝，所以1111313 3 2222x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－，，＋，－，＝． 所以x 1＝－1，y 1＝3，z 1＝3，即C 1(－1，3，3)，因此133 442E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭－，，． 设B 1(x 2，y 2，z 2)，因为11BB AA ＝，所以22213133 2222x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－，，＝－，－，． 所以x 2＝0，y 2＝3， z 2＝3，即B 1(0，3，3)． 因为111133133 3 3322623AF AB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝－，，＝－，，． 所以533 623CF ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝，－，，133 442CE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，－，． 设平面CEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，所以2200CE CF ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝．n n 即13304425330623x y z x y z ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＋＝，－＋＝． 取3y ＝，则32x ＝，34z ＝．所以233 3 24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝，，n 是平面CEF 的一个法向量． 设平面CEF 与平面A 1B 1C 1的夹角为θ，则cos θ＝1212330 0 1 3 24 29 298714⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(，，)，，＝＝||||×n n n n ，即平面CEF 与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值为2929． (2)设1 02G m ⎛⎫⎪⎝⎭，，，则31 02CG m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝，－，．因为直线CG在平面CEF内，所以CG xCG yCF＝＋，即2330 22CG＝＋－＝n，所以m＝0，即AG．。
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高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题1 抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ）A ．221169x y += B ．2211612x y += C ．22143x y += D ．22134x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝06．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形 为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ΔABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为A ．5B ．2C ．3D ．2M 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=o ，则12F MF ∆ 的面积等于 ．已知双曲线过点()4,3,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________． 16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________. 19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．（本小题満分12分） 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2,0），右顶点为)0,3(。
（1） 求双曲线C 的方程；（2） 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围。
1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有AC AB ＝12.4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面． 5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209.8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9. 解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形． 10. 解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)，∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11\ A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c .12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共 面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC →共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面．14.433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0， 所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满 足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14.18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225.19. 解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3， 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1， ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21. 解析 ∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0， 则k ＝－52或k ＝2.解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b-= ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得2222130,)36(13)36(1)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B BA A y xB y x A ，则 229,,22,1313A B A B A B A B x x x x OA OB x x y y k k -+==⋅>+>--uu u r u u ur 由得而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++22222937(1)2.131331k k k k k -+=++=---于是222237392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312<<k ②。