[计算机软件及应用]数据结构zmz_5二叉树
二叉树算法的应用
二叉树算法的应用二叉树算法在计算机科学中有着广泛的应用，它是一种非常有效的数据结构，可以用于解决许多问题。
下面将介绍二叉树算法的一些应用。
搜索二叉树搜索二叉树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的所有节点的值，且小于其右子树中的所有节点的值。
搜索二叉树的应用非常广泛，例如搜索引擎、数据库索引、哈希表等。
在这些应用中，搜索二叉树可以有效地对数据进行排序和查找，提高数据处理的效率。
二叉堆二叉堆是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其子节点的值。
二叉堆可以用于实现优先队列、堆排序等算法。
在优先队列中，可以使用二叉堆来维护一组元素，并按照元素的优先级进行排序。
在堆排序中，可以使用二叉堆来对一组元素进行排序，其时间复杂度为O(nlogn)。
二叉搜索树二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中的所有节点的值，且小于其右子树中的所有节点的值。
二叉搜索树可以用于实现插入排序、查找、删除等算法。
在插入排序中，可以使用二叉搜索树来对一组元素进行排序，其时间复杂度为O(nlogn)。
在查找算法中，可以使用二叉搜索树来快速查找元素。
在删除算法中，可以使用二叉搜索树来删除指定的元素。
平衡二叉树平衡二叉树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左右子树的深度差不超过1。
平衡二叉树可以用于实现AVL树、红黑树等算法。
这些算法可以保证在最坏情况下，插入、删除等操作的时间复杂度为O(logn)。
二叉决策树二叉决策树是一种特殊的二叉树，其中每个节点表示一个决策。
在机器学习中，可以使用二叉决策树来构建分类器或回归器。
例如，决策树算法可以用于构建分类器，根据输入的特征来预测输出类别。
Trie树Trie树是一种特殊的二叉树，其中每个节点表示一个字符。
Trie树可以用于实现字符串匹配、文本压缩等算法。
在字符串匹配中，可以使用Trie树来快速查找字符串中的子串。
在文本压缩中，可以使用Trie树来存储一个字符串的所有前缀，从而减少存储空间的使用。
二叉树用途
二叉树用途二叉树是一种常用的数据结构，由节点和连接节点的边组成，其中每个节点最多有两个子节点，被称为左子节点和右子节点。
二叉树具有以下特点：1. 有层次结构：节点按照层次排列，每层从左到右。
2. 可以拥有零个、一个或两个子节点。
3. 二叉树的子树也是二叉树。
4. 深度为d的二叉树最多含有2^d-1个节点，其中d为二叉树的深度。
二叉树的用途非常广泛，下面将详细讨论几个主要的应用场景。
1. 搜索、排序和查找：二叉树可以用于快速搜索、排序和查找数据。
二叉搜索树是一种常用的二叉树类型，其中每个节点的值大于左子树的所有节点的值，小于右子树的所有节点的值。
通过二分查找算法，在二叉搜索树中可以快速定位目标值。
2. 堆：二叉堆是一种用于实现优先队列的数据结构。
它具有以下特点：任意节点的关键字值都小于（或大于）或等于其子节点的关键字值，根节点的关键字值最小（或最大）；并且堆是一颗完全二叉树。
二叉堆的插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，适用于一些需要高效的优先级操作的场景，例如任务调度。
3. 表达式树：二叉树可以用于存储和计算数学表达式。
表达式树是一种二叉树，其叶节点是操作数，内部节点是操作符。
通过遍历表达式树，我们可以通过递归的方式计算整个表达式的值。
4. 文件系统：二叉树可以用于组织和管理文件系统中的文件和文件夹。
每个节点代表一个文件或文件夹，左子节点代表文件夹下的子文件夹，右子节点代表同一层级下的其他文件或文件夹。
通过遍历二叉树，可以实现文件的查找、创建、删除等操作。
5. 数据压缩：哈夫曼树是一种常用的数据压缩算法，通过构建二叉树来实现。
在哈夫曼树中，出现频率较高的字符对应的节点位于树的较低层，而出现频率较低的字符对应的节点位于树的较高层。
通过对字符进行编码，并使用相对较短的编码表示高频字符，可以实现对数据的高效压缩和解压缩。
6. 平衡树：平衡树是一种特殊类型的二叉树，其左子树和右子树的高度差不超过1。
二叉树基础及应用
二叉树基础及应用二叉树是数据结构中的一种常见形式，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
每个节点中包含了一个值以及指向其子节点的指针。
二叉树可以用于解决各种问题，具有广泛的应用。
下面将详细介绍二叉树的基础知识以及其应用。
首先，我们来了解一下二叉树的基本概念。
二叉树可以为空树，也可以由一个根节点及其子树组成。
根节点是二叉树的唯一入口，通过它可以找到其他节点。
每个节点的子树也是一个二叉树，即可以有左子树和右子树。
左子树中的节点小于根节点，右子树中的节点大于根节点。
这种有序性使得二叉树在搜索问题中非常高效。
在二叉树中，节点可以有不同的排列方式。
我们常见的有完全二叉树、满二叉树和平衡二叉树等。
完全二叉树是指除最后一层外，其他层的节点都是满的，并且最后一层的节点依次从左到右排列。
满二叉树是指每个节点都有两个子节点，除了叶子节点外，其他节点都没有子节点。
平衡二叉树是指左右子树的高度差不超过1的二叉树，它可以使得搜索、插入和删除的时间复杂度保持在O(log n)级别。
二叉树可以用于解决许多常见的问题。
其中一个常见的应用是二叉查找树。
二叉查找树是一种特殊的二叉树，它满足左子树中的所有节点的值小于根节点的值，右子树中的所有节点的值大于根节点的值。
通过这种排列方式，我们可以很快地找到某个值在二叉查找树中的位置。
在二叉查找树中进行搜索、插入和删除等操作的平均时间复杂度为O(log n)，非常高效。
除了二叉查找树，二叉树还可以用于实现堆。
堆是一种特殊的二叉树，它满足父节点的值大于或小于子节点的值。
堆常常用于解决一些需要快速找到最大或最小元素的问题，特别是在优先队列中的应用。
通过使用堆，我们可以在常数时间内找到当前最大或最小的元素，并在对堆进行插入或删除操作时保持堆结构的性质。
此外，二叉树还可以用于构建哈夫曼树。
哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它通过将出现频率较高的字符放在离根节点较近的位置，从而实现对字符进行编码的目的。
二叉树的原理和应用
二叉树的原理和应用1. 什么是二叉树二叉树是一种常见的树状数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
每个节点分为左子节点和右子节点，它们分别表示节点的左子树和右子树。
2. 二叉树的基本特点•每个节点最多有两个子节点。
•左子节点比父节点小，右子节点比父节点大，这个条件称为二叉搜索树的性质。
3. 二叉树的基本操作对于二叉树，我们可以进行一些基本的操作，包括插入节点、删除节点、查找节点等。
3.1 插入节点在二叉树中插入新节点的方法如下： - 如果树为空，则新节点为根节点。
- 如果新节点的值小于当前节点的值，将新节点插入到当前节点的左子树。
- 如果新节点的值大于当前节点的值，将新节点插入到当前节点的右子树。
3.2 删除节点在二叉树中删除节点的方法如下： - 如果待删除的节点是叶子节点，直接删除即可。
- 如果待删除的节点只有一个子节点，将其子节点移到待删除节点的位置。
- 如果待删除的节点有两个子节点，找到右子树的最小节点（或左子树的最大节点），将其值复制到待删除节点，然后删除这个最小节点（或最大节点）。
3.3 查找节点在二叉树中查找节点的方法如下： - 从根节点开始，若待查找的节点等于当前节点的值，则返回当前节点。
- 若待查找的节点小于当前节点的值，则继续在当前节点的左子树中查找。
- 若待查找的节点大于当前节点的值，则继续在当前节点的右子树中查找。
4. 二叉树的应用二叉树作为一种重要的数据结构，被广泛应用于多个领域。
4.1 网络路由在计算机网络中，二叉树用于确定数据包的路由。
每个节点表示网络节点，每个子节点表示网络连接的下一个节点，通过不断判断数据包的目标地址来选择合适的子节点进行转发。
4.2 数据库索引在数据库中，二叉树被用于加速数据的检索。
通过将数据存储在二叉树中，可以快速地检索特定值。
4.3 二叉排序树二叉排序树也称为二叉搜索树，它具有以下特点： - 对于任意节点，左子树中的值都小于它的值，右子树中的值都大于它的值。
数据结构——二叉树
数据结构——二叉树在计算机科学的广袤世界里，数据结构就像是一个个精巧的工具，帮助我们高效地组织和处理数据。
而在众多的数据结构中，二叉树是一个非常重要且实用的存在。
那么，什么是二叉树呢？想象一下一棵倒立的树，它的每个节点最多有两个分支，就像一个“Y”字形。
这就是二叉树的基本形态。
二叉树有很多种类，比如满二叉树、完全二叉树等等。
满二叉树就像是一个完美的对称结构，每一层的节点都填满了，没有空缺。
而完全二叉树则稍微宽松一些，除了最后一层，其他层的节点都是填满的，并且最后一层的节点都靠左排列。
为什么我们要使用二叉树呢？这是因为它在很多方面都有着出色的表现。
首先，二叉树可以让我们快速地查找数据。
比如在一个有序的二叉树中，通过比较节点的值，我们可以很快地确定目标数据所在的位置，这种查找的效率比简单的线性查找要高得多。
其次，二叉树在插入和删除数据时也有优势。
当我们需要插入一个新的数据时，通过比较节点的值，能够快速找到合适的位置进行插入。
删除操作也是类似，通过一定的规则和调整，可以保持二叉树的结构特性。
再来说说二叉树的遍历。
这就像是按照一定的顺序去访问二叉树的每个节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是先访问根节点，然后再遍历左子树，最后遍历右子树。
比如说，对于一棵二叉树，根节点是 5，左子树的根节点是 3，右子树的根节点是 7。
那么前序遍历的顺序就是 5、3、7。
中序遍历则是先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。
对于刚才的例子，中序遍历的顺序就是 3、5、7。
后序遍历是先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根节点。
相应的顺序就是 3、7、5。
二叉树在实际应用中也非常广泛。
比如在文件系统中，目录和文件的组织就可以用二叉树来实现，方便快速地查找和管理文件。
在数据库中，索引结构也常常基于二叉树，提高数据的查询和操作效率。
在编程实现二叉树时，我们通常会定义一个节点类来表示每个节点。
这个节点类包含数据域和指向左子节点和右子节点的指针。
二叉树应用场景
二叉树应用场景二叉树是计算机科学中最基本的数据结构之一。
它是一种树状结构，每个节点最多有两个子节点。
在计算机科学中，二叉树被广泛应用于各种算法和数据结构中。
本文将介绍二叉树在不同领域的应用场景。
1. 数据库数据库系统的设计和实现是计算机科学中的一个重要领域。
在数据库中，二叉树被广泛应用于实现索引。
索引是一种用于加速数据库查询的数据结构。
通常情况下，索引是基于二叉树的。
在二叉树索引中，每个节点都包含一个键值和指向左、右子树的指针。
通过不断比较键值，查询可以快速定位所需的数据。
2. 编程语言编程语言是计算机科学中的另一个重要领域。
在编程语言中，二叉树被广泛应用于解析和生成语法树。
语法树是一种表示程序语法结构的树状结构。
在语法树中，每个节点表示一个语法元素，例如变量、运算符或函数调用。
通过构建语法树，编译器可以将源代码转换为可执行代码。
3. 图形学图形学是计算机科学中的一个重要领域，它涉及到计算机图形的生成、处理和显示。
在图形学中，二叉树被广泛应用于构建几何图形的数据结构。
例如，二叉树可以用于实现三角网格的分割和细分。
在这种情况下，每个节点表示一个三角形，而左、右子树分别表示三角形的左、右子三角形。
通过递归地细分三角形，可以生成复杂的几何形状。
4. 人工智能人工智能是计算机科学中的一个快速发展的领域。
在人工智能中，二叉树被广泛应用于实现决策树和搜索树。
决策树是一种用于分类和预测的数据结构。
在决策树中，每个节点表示一个属性，例如年龄、性别或收入水平。
通过比较属性值，可以将数据集分成更小的子集。
搜索树是一种用于搜索最优解的数据结构。
在搜索树中，每个节点表示一个状态，例如一个棋盘上的局面。
通过不断扩展搜索树，可以找到最优的解决方案。
5. 系统设计系统设计是计算机科学中的一个重要领域，它涉及到软件和硬件的设计和实现。
在系统设计中，二叉树被广泛应用于实现数据结构和算法。
例如，二叉搜索树是一种用于快速查找和插入数据的数据结构。
C语言数据结构系列篇二叉树的概念及满二叉树与完全二叉树
C语⾔数据结构系列篇⼆叉树的概念及满⼆叉树与完全⼆叉树链接：0x00 概念定义：⼆叉树既然叫⼆叉树，顾名思义即度最⼤为2的树称为⼆叉树。
它的度可以为 1 也可以为 0，但是度最⼤为 2 。
⼀颗⼆叉树是节点的⼀个有限集合，该集合：①由⼀个根节点加上两颗被称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成②或者为空观察上图我们可以得出如下结论：①⼆叉树不存在度⼤于 2 的节点，换⾔之⼆叉树最多也只能有两个孩⼦。
②⼆叉树的⼦树有左右之分，分别为左孩⼦和右孩⼦。
次序不可颠倒，因此⼆叉树是有序树。
注意：对于任意的⼆叉树都是由以下⼏种情况复合⽽成的：0x01 满⼆叉树定义：⼀个⼆叉树，如果每⼀层的节点数都达到了最⼤值（均为2），则这个⼆叉树就可以被称作为 "满⼆叉树" 。
换⾔之，如果⼀个⼆叉树的层数为，且节点总数是，则他就是⼀个满⼆叉树。
计算公式：①已知层数求总数：②已知总数求层数：⼗亿个节点，满⼆叉树是多少层？≈ 10亿多0x02 完全⼆叉树定义：对于深度为的，有个结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为的满⼆叉树中编号从 1 ⾄的结点⼀⼀对应时称之为完全⼆叉树。
前层是满的，最后⼀层不满，但是最后⼀层从左到右是连续的。
完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。
所以，满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树（每⼀层节点均为2）。
常识：①完全⼆叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。
②⾼度为的完全⼆叉树节点范围是0x03 ⼆叉树的性质①若规定根节点的层数为 1 ，则⼀颗⾮空⼆叉树的第层上最多有个节点。
②若规定根节点的层数为 1 ，则深度为的⼆叉树最⼤节点数是 .③对任何⼀颗⼆叉树，如果度为 0 其叶⼦结点个数为，度为 2 的分⽀节点个数为，则有。
换⾔之，度为 0 的永远⽐度为 2 的多⼀个叶⼦结点。
④若规定根节点的层数为 1 ，具有个节点的满⼆叉树的深度（log是以2为底，n+1的对数）。
对于有个节点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为的节点有：（⾮完全⼆叉树，也可以⽤数组存放，但会浪费很多空间）假设是⽗节点在数组中的下标，此公式仅适⽤于完全⼆叉树：①求左孩⼦：②求右孩⼦：③求⽗亲（假设不关注是左孩⼦还是右孩⼦）：④判断是否有左孩⼦：⑤判断是否由右孩⼦：PS：⼆叉树不⼀定要标准，⽐如这个其实也是⼆叉树：课后练习：1. 某⼆叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该⼆叉树中的叶⼦结点数为（）A. 不存在这样的⼆叉树B. 200C. 1982. 在具有 2n 个结点的完全⼆叉树中，叶⼦结点个数为（）A. nB. n+1C. n-1D. n/23. ⼀棵完全⼆叉树的节点数位为531个，那么这棵树的⾼度为（）A. 11B. 10C. 8D. 125. ⼀个具有767个节点的完全⼆叉树，其叶⼦节点个数为（）A. 383B. 384C. 385D. 386参考资料：Microsoft. MSDN(Microsoft Developer Network)[EB/OL]. []. .笔者：王亦优更新： 2021.11.24勘误：⽆声明：由于作者⽔平有限，本⽂有错误和不准确之处在所难免，本⼈也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！本篇完。
计算机数据结构知识点梳理 二叉树的定义及其主要特征
当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树，其高度为
。
当 n = 2k 但是非满二叉树，其高度为
。
②有n个结点的完全k叉树的高度为
。
性质5推广：一棵满k叉树，如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，
①编号为p=1的结点无父结点，否则编号为p结点的父结点的编号是
（k≥2）；
[题1]若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（ ）个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析：根据二叉树的性质，第7层至多有64（27-1）个结点，但是题目中给出了二叉树的结点 总数126，由此来判断第7层是否可以有64个结点？
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数，其上面6层必须是一个满二叉树，深度为6的满 二叉树有63（26－1）个结点，由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点，最 多是126-63=63个结点。
（2）完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到 右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树 中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是：叶子结点只能出现在最下 层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点，有：
（1）如果i＞1，则序号i的结点的双亲结点的序号为 ；如果i＝1，则序号为i的结点是根 结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i＞n，则序号为i的结 点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则 序号为i的结点无右孩子。
树的应用算法与数据结构
树的应用算法与数据结构
二叉树（Binary Tree）是一种树形数据结构，其具有以下特性：
1.每个节点最多只能有两个子节点，即左右子树；
2.每个节点只有一个父节点，根节点除外；
3.每个节点的左右子树也都是二叉树。
二叉树广泛应用在各种算法和数据结构中，由于其结构简单，操作方便，空间复杂度低，故被称为“天然数据结构”。
本文将介绍常见的二叉树应用算法和数据结构，针对其应用算法和数据结构的优点也一并进行介绍。
一、二叉树应用算法
1.二叉树：
二叉树（Binary Search Tree，BST）是指一棵空树或者具有以下性质的二叉树：若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。
二叉树的特性可以大大提高查找操作的效率，它是一种用于实现排序操作的非常有效的方法。
2.平衡二叉树：
平衡二叉树（AVL Tree）是指一棵空树或者具有以下性质的二叉树：任意节点的两棵子树的深度相差不能超过1，即本质上每个节点的左右子树深度相差不能超过1、它使得二叉树性能得到优化，改进了二叉树在插入或删除操作时可能出现的不平衡问题。
3.红黑树：。
二叉树操作及应用的原理
二叉树操作及应用的原理1. 什么是二叉树二叉树是一种特殊的树状数据结构，它的每个节点最多有两个子节点。
每个节点应至多有一个父节点，除了根节点，其他节点均有且只有一个父节点。
二叉树可以为空，也可以只有一个节点。
2. 二叉树的基本操作2.1 插入节点在二叉树中插入节点可以有多种方式，以下是在二叉搜索树中插入节点的过程：1. 首先比较要插入的节点值与当前节点值大小关系。
2. 如果要插入的节点值小于当前节点值，则将其插入当前节点的左子树中。
3. 如果要插入的节点值大于当前节点值，则将其插入当前节点的右子树中。
4. 重复以上步骤直到找到一个合适的位置插入节点。
2.2 删除节点在二叉树中删除节点也可以有多种方式，以下是在二叉搜索树中删除节点的过程： 1. 首先判断要删除的节点是否存在于二叉树中。
2. 如果该节点没有子节点，则直接删除该节点。
3. 如果该节点有一个子节点，则将其子节点替换为该节点。
4. 如果该节点有两个子节点，则找到该节点右子树的最小节点，将其值赋给要删除的节点，然后删除右子树的最小节点。
2.3 查找节点在二叉树中查找节点的方式与插入节点的方式相似： 1. 首先比较要查找的节点值与当前节点值大小关系。
2. 如果要查找的节点值小于当前节点值，则继续在当前节点的左子树中查找。
3. 如果要查找的节点值大于当前节点值，则继续在当前节点的右子树中查找。
4. 如果要查找的节点值等于当前节点的值，则找到了要查找的节点。
5. 如果在遍历完整个二叉树后仍然没有找到要查找的节点，则该节点不存在于二叉树中。
3. 二叉树的应用二叉树广泛应用于计算机科学领域，以下是几个常见的应用场景：3.1 搜索算法二叉树可以用于实现各种搜索算法，如二分查找法和哈夫曼编码算法。
3.2 数据库索引二叉树可以用于实现数据库索引结构，以提高数据的查找效率。
3.3 表达式树二叉树可以用于构建和求解数学表达式树，可以方便地进行计算。
数据结构+二叉树及遍历课件
A
B
C
D
E F GH I J
K
L
M
node
Ver. 1.0
4
课程13
数据结构和算法
定义树结构（续）
中的每一个 点在其 下可能有子 。
root A
B
C
D
E F GH I J
K
L
M
node
Ver. 1.0
5
课程13
数据结构和算法
树结构术语 我 来 构常用的一些 。 叶子 点：指没有子 点的 点。
C 点的度 1
D节点的度为2
D
A节点的度为3
B节点的度为4
J
K
L
M
Ver. 1.0
8
课程13
数据结构和算法
树结构术语（续）
兄弟：它指同一个 点的子 点。
A
B、C和D 点互 兄弟
点。
B
C
D
E、F、G和H互为兄弟节点。
E F GH I J
K
L
M
Ver. 1.0
9
课程13
数据结构和算法
树结构术语（续）
使用 接列表来 一个二叉 。 接表示中的每个 点都具有以下信息：
数据 左子 点的引用 右子 点的引用
如果一个 点不含有左子 点或右子 点，或一个子 点都没 有，相 的左（右）子 点字段就指向NULL。
Ver. 1.0
Data
Node
18
课程13
数据结构和算法
表示一个二叉树（续）
内部 点：它指根 点与叶子 点之 的中 点 。
点的 ：它指一个 点与根 点之 的距离（按 点数 目 算）。根 点永 位于0 。
数据结构之树和二叉树的应用
{
KeyTypekey;//关键字域
ElemTypedata;//其他数据域
structtnode*lchild,*rchild;//指针
}BSTNode;
中序遍历二叉排序树可以得到有序序列。
6.1
二叉排序树的基本运算如下：
1.BSTSearch(bt,k)在二叉排序树bt中，查找值为k的结点。
{BSTNode*p=bt;
while(p!=NULL&&p->key!=k)
{if(k<p->key)
p=p->lchild;/*沿左子树查找*/
else
p=p->rchild;/*沿右子树查找*/
}
If(p!=NULL)
return(p);
elseprintf(“找不到”);
}
2.二叉排序树的插入BSTInsert(bt,k)
显然，所有结点的平衡因子只能取-1，0，1三个值之一。若二叉排序树中存在平衡因子的绝对值大于1的结点，这棵二叉排序树就不是平衡二叉树。如图6.5所示。
a.非平衡二叉树b.平衡二叉树
图6.5非平衡和平衡二叉树举例
2.平衡化调整
在平衡二叉树上插入或删除结点后，可能使树失去平衡，因此，需要对失去平衡的树进行平衡化调整。
}
从图6.2生成的二叉排序树中删除10，83，70，55的过程如图6.4所示：
二叉排序树是一种动态结构，它的运算大都是基于查找运算，查找的次数与树的深度（层数）有关。这样，有n个结点的二叉排序树的平均查找长度就和树的形态有关。如果形态为或接近完全二叉树，则其平均查找次数的数量级为log2n，如果给出的n个关键字的值是有序的，则顺序插入的二叉排序树就蜕变为单支树，深度为n，平均查找长度为 。
数据结构与算法 二叉树
数据结构与算法二叉树一、什么是二叉树1.1 二叉树的定义二叉树是一种重要的数据结构，在计算机科学中被广泛应用。
它由节点组成，每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
每个节点都包含一个值和指向左右子节点的指针。
1.2 二叉树的特点•每个节点最多有两个子节点；•左子节点的值小于或等于父节点的值；•右子节点的值大于或等于父节点的值；•子树也是二叉树。
二、二叉树的基本操作2.1 插入节点二叉树的插入操作可以分为两种情况：插入根节点和插入子节点。
#### 2.1.1 插入根节点如果二叉树为空，则插入的节点为根节点。
否则，比较插入值与根节点的大小关系，将节点插入左或右子树中。
2.1.2 插入子节点在二叉树中插入子节点需要遵循以下步骤： 1. 从根节点开始，比较插入值和当前节点的大小关系； 2. 如果插入值小于当前节点的值，则继续在左子树中查找； 3. 如果插入值大于当前节点的值，则继续在右子树中查找； 4. 重复前面两步，直到找到合适的位置插入节点。
2.2 删除节点删除二叉树中的节点也有两种情况：删除叶节点和删除非叶节点。
#### 2.2.1 删除叶节点删除叶节点非常简单，只需要将其父节点的指针指向空即可。
2.2.2 删除非叶节点要删除非叶节点，需要进行以下操作： 1. 找到要删除的节点； 2. 如果该节点有子节点，需要将其子节点继承到删除节点的位置； 3. 如果该节点有两个子节点，可以选择将左子树或右子树继承到删除节点的位置，也可以寻找删除节点的前驱或后继节点代替删除。
2.3 查找节点节点的查找操作有两种：递归查找和非递归查找。
#### 2.3.1 递归查找递归查找是通过比较节点值与目标值的大小关系来在二叉树中查找节点的方法。
如果目标值小于当前节点的值，则在左子树中递归查找；如果目标值大于当前节点的值，则在右子树中递归查找。
2.3.2 非递归查找非递归查找使用迭代的方式，通过比较节点值与目标值的大小关系来在二叉树中查找节点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点 子孙（后裔）——一个节点所有子树上的节
点 节点的层次(level)——从根结点算起，根为
第一层，它的孩子为第二层…… 堂兄弟——同一层的结点 深度(depth)——树中结点的最大层次数,
又称高度
插入类：
InitTree(&T) 操作结果：构造空树T
CreateTree(&T, definition) 初始条件： definition给出树的定义 操作结果：按definition构造树T
Assign(T, cur_e, value) 初始条件：树T已存在,cur_e是T中结点 操作结果：结点cur_e赋值为value
RightChild(T, cur_e) 初始条件：树T已存在,cur_e是T中结点 操作结果：若cur_e是T中非叶子结点,返回其最右孩子;否则,返回空
TraverseTree(T, visit()) 初始条件：树T已存在 操作结果：按某种次序对T 的每个元素调用函数visit()
树的抽象数据类型定义 基本操作：
结点的度(degree)——结点拥有的子树数 树的度——一棵树中最大的结点度数 叶子(leaf)——度为0的结点，终端结点 分支结点——度不为0的结点，非终端结点 孩子(child)——结点子树的根称为该结点的
孩子 双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该
结点的双亲
树的基本术语
InsertChild(&T, &p,i,c) 初始条件：树T存在,p指向T中结点,1≤i ≤ p指结点度+1,非空树c与T不相交 操作结果：将以c为根的树插入为T中p指结点的第i棵子树
树的抽象数据类型定义
删除类：
DestroyTree(&T) 初始条件：树T 已存在 操作结果：销毁树T
基本操作：
F 被称为子树森林
树的表示
• 图形表示法
B
EF
K
L
• 嵌套集合表示法
• 广义表表示法
• 凹入表示法
A
C
D
G HI J
M
树的表示
B
EF
K
L
A
C
D
G HI J
M
图型表示法
A
EB
KL F
D
HI
MJ
C
G
嵌套集合表示法
树的表示
A
B
C
D
E F G型表示法
(A(B(E(k,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
基本操作： 查找类操作 插入类操作 删除类操作
} ADT Tree
树的抽象数据类型定义 基本操作：
查找类： TreeEmpty(T)
初始条件：树T已存在 操作结果：空树，返回 TRUE;否则 FALSE
TreeDepth(T) 初始条件：树T已存在 操作结果：返回 T 的深度
Root(T) 初始条件：树T已存在 操作结果：返回T的根
括号(广义表)表示法
特点： 树中至少有一个结点——根 树的定义是递归定义的，各子树也满足上面定义。
线性结构
第一个数据元素 (无前驱)
最后一个数据元素 (无后继)
其它数据元素 (一个前驱、
一个后继)
树型结构 根结点
(无前驱)
多个叶子结点 (无后继)
其它数据元素 (一个前驱、
多个后继)
只有根结点的树
A
子树
有子树的树
问
题
3、对数据的操作：检索、排序、插入、删除、修改
树的实例
五子棋游戏
……..
……..
…... …... …... …...
树的实例
UNIX文件系统结构
bin
math ds sw
/ (root)
人类的族谱
各种社会关系
lib
user
etc
各类分类编码
编译程序的语法树
yIinnternteato中的xDieNS（域名系统）
Queue.cpp Stack.cpp Tree.cpp
树的定义
树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关 系定义的层次结构
定义：树(tree)是n(n≥0)个结点的有限集，其中： n=0，称为空树 有且仅有一个特殊的结点，称为树的根(root) 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的子集 T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的 子树(subtree)
A
根
B
C
D
E
F GH I J
K
L
M
叶叶子子
树的抽象数据类型定义
ADT Tree
{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合 数据关系R: 若D为空集，则称为空树
否则: (1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root； (2) 当n>1时，其余结点可分为m (m>0)个互不相交的
有限集T1, T2, …, Tm，其中每一棵子集本身又是 一棵符合本定义的树，称为根root的子树
树的基本术语
森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的 集合
无序树——子树之间不存在确定的次序关系 有序树——各子树从左至右有严格的次序，
不能互换，最左边的节点称为第一个孩子， 最右边的节点称为最后一个孩子
任何一棵非空树是一个二元组
Tree = （root，F） 其中：root 被称为根结点
ClearTree(&T) 初始条件：树T 已存在 操作结果：将树T 清为空树
DeleteChild(&T, &p,i) 初始条件：树T存在,p指向T中结点,1≤i ≤ p指结点度 操作结果：删除T中p指结点的第i棵子树
树的基本术语
结点(node)——表示树中的元素，以及构造 元素之间关系的指针
第六章 树和二叉树（上）
主讲：郑梦泽
请安静
信息工程学院
§6.1
树的定义和基本术语
请安静
Data Structure
A．线性结构
线性表 栈
数 据 结 构 的
1．数据的逻辑
队列
结构 一对多（B．1非：线性n结）树构的逻树辑形结结构构?? 图形结构
三
个 主 要
2、数据的存储结构 A 顺序存储 B 链式存储
Value(T, cur_e) 初始条件：树T已存在,cur_e是T中结点 操作结果：返回cur_e 的值
Parent(T, cur_e) 初始条件：树T已存在,cur_e是T中结点 操作结果：若cur_e是T中非根结点,返回其双亲;否则,返回空
树的抽象数据类型定义 基本操作：
查找类：
LeftChild(T, cur_e) 初始条件：树T已存在,cur_e是T中结点 操作结果：若cur_e是T中非叶子结点,返回其最左孩子;否则,返回空