高等数学第四节高阶导数

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25高阶导数-PPT精品文档

2 x y ( 0 ) 0 0; 22x ( 1 x)
2 2 ( 3 x 1 ) 2 . ( y 0 ) 0 23 x ( 1 x )
x 例4 求指数函数 y e 的 n 阶导数。
解：
x x x ( 4 ) x y' e , y" e , y''' e , y e ,
( n 1 )
即
( n 1 )! [ln( 1 x )] ( 1 ) . n ( 1 x )
( n )
返回
例7
( n ) 设 y x ( R ), 求 y .
1 x 解 y
1 2 y ( x ) ( 1 ) x
2 3 y ( ( 1 ) x ) ( 1 )( 2 ) x

( n ) n y ()
( n ) n( n ) ( n 1 ) 若为自然数 n ,则 0 n ! , y ( x) y ( n ! ) .
d y d f ( x ) f ( x ), y, n 或n . dx dx
( n ) ( n )
n
n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 返回
二、高阶导数求法举例
例1
解
y ax b . 求 y" .
y' a , y" 0 .
sin t , 求 s" 。例2 s
解
s' cos t , s" sin t .
• • • 一般地，函数 y f（ x ）的导数 y' f' (x)仍然

32.医用高等数学目录

第一章函数与极限
第一节函数
第二节极限
第三节函数的连续性
习题一
第二章导数与微分
第一节导数的概念
第二节函数的求导法则
第三节隐函数的导数
第四节高阶导数
第五节微分
习题二
第三章导数的应用
第一节微分中值定理
第二节洛必达法则
第三节函数的单调性与曲线的凹凸性第四节函数的极值与最值
第五节函数图形的描绘
习题三
第四章不定积分
第一节不定积分的概念与性质
第二节换元积分法
第三节分部积分法
第四节有理函数积分法
习题四
第五章定积分
第一节定积分的概念和性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元与分部积分法第四节定积分的应用
第五节广义积分
习题五
第六章常微分方程基础
第一节微分方程的基本概念
第二节一阶微分方程
第三节可降阶的微分方程
第四节二阶常系数齐次线性微分方程第五节微分方程在医学上的应用
习题六
第七章多元函数微积分
第一节极限与连续
第二节偏导数与全微分
第三节多元复合函数与隐函数的偏导数第四节多元函数的极值
第五节二重积分
习题七
第八章概率论基础
第一节随机事件与概率
第二节概率基本公式
第三节随机变量及其概率分布
第四节随机变量的数字特征
习题八
第九章线性代数初步
第一节行列式
第二节矩阵
第三节矩阵的初等变换
第四节矩阵的特征值与特征向量
习题九
参考答案
附录
附录1 不定积分表
附录2 泊松分布数值表。

高等数学：高阶导数的概念

高阶导数一、高阶导数的概念定义1 如果函数)(x f 的导数)(x f '在点x 处可导, 即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim))((0存在, 则称))((''x f 为函数)(x f 在点x 处的二阶导数, 记为2222)(,),(dxx f d dx yd y x f 或'''' 类似地，二阶导数的导数称为)(x f 的三阶导数, 三阶导数的导数称为)(x f 的四阶导数，…，一般地, )(x f 的（1-n ）阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数，分别记为)(x f '''，)()4(x f，…，)()(x f n ；或y '''，)4(y，…，)(n y；33dx y d ，44dx y d ，…，n n dx y d ；33)(dx x f d ，44)(dx x f d ，…，nn dx x f d )(。

注:函数)(x f 具有n 阶导数，也常说成函数)(x f n 阶可导。

若函数)(x f 在点x 处具有n 阶导数，那么函数)(x f 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，)(x f 称为零阶导数，)(x f '称为)(x f 的一阶导数。

二、求高阶导数的方法由高阶导数的定义可以知道，求高阶导数就是多次接连地求导数，故仍可应用前面求一阶导数的方法。

【例1】求下列函数的n 阶导数：（1）nx y =，（n 为正整数）；（2）xy 1=；（3）x a y =，（0>a 且1≠a ）；（4）x y sin =。

解：（1）1-='n nxy ，2)1(--=''n xn n y ，3)2)(1(---='''n xn n n y ，…，一般地，可得k n k x k n n n n y -+---=)1()2)(1()( （n k <<0）即 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<+---=-n k n k n n k x k n n n n x k n k n 0!0,)1()2)(1()()( （2）21)1()(---='='xx y ， 323!2)1()2)(1(---=--=''x xy ，434!3)1()3)(2)(1(---=---='''x x y ，545)4(!4)1()4)(3)(2)(1(---=----=x x y ，…，一般地，可得1)1()1()(!)1(!)1())](1([)3)(2)(1(++-+--=-=------=n nn n n n x n x n x n n y 即 1)(!)1()1(+-=n nn xn x（3）a a y xln ='，a a y x2ln =''，a a y x3ln ='''，a a yx 4)4(ln =…，一般地，可得a a yn x n ln )(=，即 a a a n x n x ln )()(=当e a =时，有xn x e e =)()(（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+==2sin cos d d πx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2cos d d 22ππx x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=23sin 22cos d d 33ππx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos d d 44ππx x x y ，…，一般地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin d d πn x x y n n ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin )(sin )(πn x x n类似地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos )(cos )(πn x x n上例各题我们得到了几个常见函数的高阶导数公式，此外高阶导数也有运算法则，这里我们来看几个常用的法则。

常用高阶导数公式

常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。

例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。

2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。

3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。

4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。

5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。

这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。

在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。

掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。

常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。

7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。

8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。

新高阶导数2-4讲解材料

1.直接法;
2.间接法.
思考题
设 g(x) 连续，且 f(x)(xa)2g(x)，求 f(a) .
思考题解答
g(x)可导 f ( x ) 2 ( x a ) g ( x ) ( x a ) 2 g ( x ) g(x)不一定存在故用定义求 f(a) f(a)lim f(x)f(a) f(a)0
3 3
, ,
x0 x0
f(0)xl im 02x3x00 f(0)xl i0m4x3x0 0
f (x) 162xx22,,
x0 x0
又
f(0)lim x 0
6
x x
2
0
f(0)lim x 0
12 x x
2
0
f
(x)
24x, 12x ,
x0 x0
但是 f (0)12 , f (0)24 ,f(0) 不存在 .
三. 高阶导数的运算法则
设函 u和 v具数n阶有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n) u(n)vn(u n1)vn(n1)u(n2)v 2!
n(n1) (nk1)u(nk)v(k) u(vn) k!
n
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
则y12x22xy 41y32y2(y)2, 代y得入 y'.
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
五、由参数方程确定的函数的二阶导数
若函数 xy ((tt))二阶可 , 且导(t)0, 求

高阶导数PPT

y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即二阶导数，记作函数二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖南对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择第二个模型. 第二个模型
湖南对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
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高教社2024高等数学第五版教学课件-2.4 高阶导数

=1−
1
2 2,
2
继续求导，可得
′ = −22 ∙ 2
= −4,
又( )()
= ( +

⋅ )，则
2
=
−4−1 sin[4
+

2
n − 1 ].
例5 计算y = 的阶导数
解在求该函数的阶导数时，先求该函数的一阶导数
且(1 + )′ = 1，从而有：
[( 1 + )]() = (−1)−1 ⋅
(−1)!
.
(1+)
例6 已知 + + = 0，求 ″ .
解
方程两端对求导，得 1 + ′ + ⋅ ′ = 0，
解得 ′ = −
1
.
1+
两端再对求导，得

((− ))

1
=
=

(
2

−2 2 2
(1− )
1
−
(
(1− )2
≠ 2, ∈ ).
几个常见函数的阶导数的通式：
① ( )() = ( ) ，特殊地( )() = ；
② ( )
()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
，特殊地( )()

= (−1)
−1
⋅
(−1)!
.

由于 = ( 1 + )是由 = ， = 1 + 复合而成的复合函数，
（为参数），求 ″ .
= (1 − )
= ()

′ ()

高阶导数的概念及常见高阶导数公式

〔3〕加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(''t s 或22dtsd2．高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。

记 y '', 或)(x f '', 22dx y d , dx x f d )(2根据导数的定义可知：''0()()()lim x f x x f x f x x→+-''=类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n )或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n n dxyd . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：〔1〕如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数.（2）二阶及二阶以上的导数y '' y '''y (4) ⋅⋅ y (n )统称高阶导数.例1 已知3y x = 求()n y 〔一级〕解: ()()423;6;6;0;,0.ny x y x y y y ''''''=====课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. 〔一级〕解:)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()22sin()2cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,( 2 2nn nαππ-+⎫+⋅⎪⎭⎫+⋅⎪⎭),2,,20()03,4,20k =得221833172020202020C v u C v u C v ++++1922182202222x x x e C e ⋅⋅+⋅⋅的隐函数。

《高阶导数》课件

高阶导数
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数，深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中的意义有一个总体的了解。

高阶导数公式范文

高阶导数公式范文高阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的曲线的弯曲程度。

在微积分中，一阶导数描述了函数的变化率，而高阶导数则描述了函数的变化率的变化率，也就是函数的弯曲程度。

高阶导数的定义相对简单，通过连续地对函数进行求导，可以得到各阶导数。

对于一个函数f(x)，我们可以通过不断地对其进行求导，得到它的一阶导数f'(x)，二阶导数f''(x)，三阶导数f'''(x)，以此类推。

一般地，n阶导数记为f^n(x)。

高阶导数的计算可以通过使用导数的定义公式和导数的运算规则来完成。

下面介绍一些常见的高阶导数公式。

1.一阶导数的定义公式：f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h2.二阶导数的计算公式：f''(x) = [d/dx] [f'(x)]3.高阶导数的计算公式：f^n(x) = [d/dx] [f^{n-1}(x)]其中，[d/dx]表示对函数进行求导运算。

4.常见函数的高阶导数公式：以下是一些常见函数的高阶导数公式：-恒等函数：f(x)=xf^n(x)=n!（这里n!表示n的阶乘）-幂函数：f(x)=x^nf^n(x)=n!(x^{n-i})（其中i是大于等于0且小于等于n的整数）-指数函数：f(x)=e^xf^n(x)=e^x- 对数函数： f(x) = ln(x)f^n(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!/x^n（其中^表示乘方运算）-三角函数：sin(x)的高阶导数具有周期性，并且根据导数的规律逐阶求导即可。

需要注意的是，高阶导数的计算过程可能会非常繁琐和复杂，需要使用导数的运算规则（如乘法法则、链式法则等）来简化计算过程。

高阶导数在实际问题中有广泛的应用。

例如，在物理学中，高阶导数可以用来描述系统的加速度和曲率；在工程学中，高阶导数可以用来描述信号的频率和变化趋势；在经济学中，高阶导数可以用来描述产量和利润的变化情况等等。

高阶导数

15
x = f ′(t ) 6.设例6.设 y = t f ′(t ) − f (t ) 且 f ′′(t ) ≠ 0, 则 dy dy dy dt d t =[ t f ′(t ) − f (t )]′ = dx = ⋅ [ f ′(t )]′ dx dt dx dt f ′(t ) + t f ′′(t ) − f ′(t ) = =t f ′′(t ) dy′ d2 y dy′ dt d t = ( t )′ = 1 ⋅ = dx = 2 dt dx dx [ f ′(t )]′ f ′′(t ) dt
x ( n)
=e
x
(e )
− x ( n)
= (−1) e−x
n
3
例2.设 2.设
y′′ =cos( x +
求
解: y′ = cos x= sin(x+ ) 2 π
2
π
) = sin(x +2⋅ 2
π
2
) )
y′′′ = cos( x + 2⋅
π
)= sin(x +3⋅
π
2
nπ 一般地 , ( sinx) = sin(x + ) 2 nπ ( n) 类似可证: 类似可证: ( cos x) = cos(x + ) 2 n = 2k 0 (n) π sin nπ = π π ( sinx) x + = )= sin xcos x+kcos =sin(π +π + π ) cos( + a) xsin x a cos x =sin( x = 0 2 (2 −1) 2 n = 2k +2 2 2 2 1
( n)

高阶导数的讲解

dx
f ′( x ) − f ′( x 0 ) lim = f ′′ ( x 0 ), x → x0 x − x0
dx
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n 为正整数）例１求幂函数 y = x（n为正整数）的各阶导数. 为正整数的各阶导数.
解由函数的求导公式得
y′ = nx n −1 ,
y′′ = n( n − 1) x n − 2 ,
x
x x
π
π
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问题解答（1）（2）
试总结函数的高阶导数的常用求法？试总结函数的高阶导数的常用求法？利用基本高阶导数公式表；利用基本高阶导数公式表；应用莱布尼兹公式；应用莱布尼兹公式；
应用数学归纳法求函数的n阶导数阶导数；（3）应用数学归纳法求函数的阶导数；（4）先简化分式，然后利用高阶导数求导公式；先简化分式，然后利用高阶导数求导公式；证明需求导数的函数满足一个微分方程，（5）证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用递推公式求高阶导数；递推公式求高阶导数；利用复数运算和欧拉公式，求函数的n阶导数阶导数. （6）利用复数运算和欧拉公式，求函数的阶导数.
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的各阶导数．例２求 y = sin x 和 y = cos x的各阶导数．解对于 y = sin x 由三角函数的求导公式得
), y′′ = − sin x = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2 π y ( 4 ) = sin x = sin( x + 4 ⋅ π ), y′′′ = − cos x = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，一般地，可推得 π ( n) sin x = sin( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 类似地有 π ( n) cos x = cos( x + n ⋅ ), n ∈ N + . 2 x 的各阶导数．例３求 y = e 的各阶导数． (e x )′ = e x ,所以解因为

高阶导数公式大全

高阶导数公式大全在高等数学中，导数是重要的知识点，它有多种表示形式，但最常用的形式是高阶导数公式。

本文就给出一系列常用高阶导数公式，以便大家理解和掌握高阶导数的重要性。

首先，我们从一阶导数开始。

一阶导数表示函数在某一点上的斜率，它可用来描述函数关于某一点的变化。

根据微积分定义，一阶导数的数学表达式为f(x) = lim→c (f(x) - f(c)) / (x - c)，其中f(x)表示函数，c表示变量的某一点。

接着，我们来看二阶导数。

二阶导数表示函数在某一点处的切线斜率的变化情况，它可用来表示函数关于某一点的变化的变化率。

根据微积分定义，二阶导数的数学表达式为f(x) = lim→c (f(x) - f(c)) / (x - c)，其中f(x)表示一阶导数，c表示变量的某一点。

再往后面，我们来看三阶导数。

三阶导数表示函数在某一点处的切线斜率的变化率，它可用来描述函数关于某一点的变化率的变化情况。

根据微积分定义，三阶导数的数学表达式为f(x) = lim→c (f(x) - f(c)) / (x - c)，其中f(x)表示二阶导数，c表示变量的某一点。

此外，还有高于三阶的导数，比如四阶导数和五阶导数等等。

四阶导数表示函数在某一点处的切线斜率的变化率的变化率，它可用来描述函数关于某一点的变化率的变化率的变化情况。

根据微积分定义，四阶导数的数学表达式为f(x) = lim→c (f(x) - f(c)) / (x - c)，其中f(x)表示三阶导数，c表示变量的某一点。

由此可见，高阶导数具有重要的数学意义，它可用来描述函数关于某一点的局部变化，也可用来分析函数的极值和拐点等等。

此外，高阶导数也常用于计算不定积分，从而可以用来计算空间积分，如体积和表面积等。

因此，我们可以看到，高阶导数是数学领域重要的知识点，它可以帮助我们更好地理解函数，更好地计算不定积分，从而可以帮助我们完成各类数学应用研究。

虽然高阶导数看起来似乎比较抽象，但理解和掌握它们的重要性可以帮助我们更好地掌握数学知识。

高阶导数

x xydx x 2 dy ydx xdy 0 （其中 y 用xy 来代） e y
x y
∴
y( x y) dy dx x( x y )
24
三、微分近似计算应用近似公式,当 x 很小时,有
sin x x
e 1 x
x
tan x x
arc sin x x
（x为弧度）
ln 2 0.998 ln(1 0.002) 0.002
例10根据近似公式，计算下列各式的近似值：
1.05 1
2 4.01
n
1 1 x 1 x n
26
1 解： 1.05 1 0.05 1 (0.05) 1.025 2
解： 2 4.01 4(1 1 ) 2 1 1 ＝ 400 400
12
A ( x0 x) x 2 x0 x (x)
2 2 0
2
（1）
（2)
从上式可以看出,A可分成两部分: (1)—— x 的线性函数 , 是x 0 时，与x 同阶的无穷小；（2）——是 x 0 时，与x高阶的无穷小；这表明，当x很小时，(2)的绝对值要比 (1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为 A 的近似值： A 2 x0 x
导数——一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限. 微分——函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值.
那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？
15
函数 f (x)在(a, b) 内任意一点 x 处的微分记为 d y，即
d y f (x) d x
物体运动的加速度为
a=s=-A co s t+

一、高阶导数及其运算法则(精)

d 2 y d (dy) d ( f (x)dx) d ( f (x))dx f (x)dx2 ,
d 3 y d (d 2 y) d ( f (x)dx2 ) f (x)dx3.
一般地，d n y d (d n1 y) d ( f (n1) (x)dxn1) f (n) (x)dxn ,
一、高阶导数及其运算法则
物体运动规律 s s(t)，其速度 v s(t) lim s . t0 t
一阶导数
在t时间内 a v v(t t) v(t) s(t t) s(t) ,
t
t
t
于是
a(t) lim v v(t) (s(t)) s(t). t0 t
2x cos(x

49
2
)

C520

2 cos(x

48
2
)
x2 cos x 100x sin x 2450 cos x.
•
例6. y a x ln x，求 y(n). (a 0，a 1).
解： (a x )(n) a x (ln a)n , (ln x)(n) (1)n1(n 1)!,
(xn )(k) n(n 1)(n k 1)xnk , (k n).
n
( xn e x )(n) Cnk (e x )(nk ) ( xn )(k ) k 0
n
Cnk n(n 1)(n k 1)xnkex. k 0
n
d n y (xn ex )(n) dxn Cnk n(n 1)(n k 1)xnkexdxn. k 0
例1. n次多项式P(x) a0 xn a1xn1 an.

求高阶导数关系定理公式

求高阶导数关系定理公式求高阶导数关系定理公式呀，这可真是个挺有趣又有点小复杂的事儿呢。

咱先来说说啥是导数吧。

导数就好比是速度对于路程的那种关系。

你想啊，一个物体运动，它的路程随着时间在变，那这个路程变化的快慢就是速度，这速度呢就相当于路程函数的导数。

那高阶导数呢，就像是加速度，是速度的变化快慢，也就是路程函数的二阶导数。

这就像一层一层剥开洋葱似的，每多求一次导数，就像是更深入地了解这个函数变化的一种特性。

比如说一个简单的函数y = x²。

它的一阶导数y' = 2x。

这2x就表示了这个函数y = x²在每一个点上的变化率。

那再求二阶导数呢，y'' = 2。

这个2就表示这个变化率的变化情况是个常数。

这就好像是你开车，一阶导数就是你当前的速度，二阶导数就是你速度的变化情况，要是二阶导数是个常数，就好比你是在以恒定的加速度在加速或者减速。

那求高阶导数有没有啥定理公式呢？当然有啦。

对于一些基本函数，像是幂函数y = xⁿ，它的n阶导数就有个很好玩的规律。

一阶导数是nxⁿ⁻¹，二阶导数就是n(n - 1)xⁿ⁻²，三阶导数就是n(n - 1)(n - 2)xⁿ⁻³，一直到n阶导数就是n!（n的阶乘），当x的次数变成0的时候就不再变了。

这多像搭积木呀，每求一次导数就拿掉一块积木，最后就剩下个常数了。

还有指数函数呢，像y = eˣ就特别神奇。

不管求多少次导数，它的结果都是eˣ。

这就像一个永远不会变老的神仙一样，不管经历多少岁月（求多少次导数），还是原来的样子。

那要是y = aˣ呢，它的一阶导数是aˣlna，二阶导数就是aˣ(lna)²，n阶导数就是aˣ(lna)ⁿ。

这就好像是在原来的基础上不断地给它加上一个小标签（lna），求几次导数就加几个小标签。

三角函数的高阶导数也很有趣。

比如说y = sinx，它的一阶导数是cosx，二阶导数是 - sinx，三阶导数是 - cosx，四阶导数又回到sinx了。

高阶导数十个常用公式推导

高阶导数十个常用公式推导高阶导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数变化的变化率。

在这篇文章中，我将介绍十个常用的高阶导数公式，并通过生动的语言和情感来解释它们的含义。

第一个公式是一阶导数的定义：函数f(x)在点x处的导数等于函数在该点的斜率。

这个定义可以用来计算函数在任意点的导数。

接下来是二阶导数的定义：函数f(x)的二阶导数是它的一阶导数的导数。

二阶导数描述了函数的曲率，可以用来判断函数的凹凸性。

第三个公式是高阶导数的线性性质：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的和、差和常数倍的导数也存在，并且等于对应的和、差和常数倍的导数。

四阶导数是函数的曲率的一种度量，它描述了函数的曲线相对于平均曲线的曲率的变化。

四阶导数可以用来判断函数的拐点。

第五个公式是高阶导数的乘积法则：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的乘积的高阶导数等于对应的乘积的高阶导数。

六阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。

六阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。

第七个公式是高阶导数的链式法则：如果函数f(x)和g(x)在某点的高阶导数都存在，那么它们的复合函数的高阶导数等于对应的复合函数的高阶导数。

七阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。

七阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。

第九个公式是高阶导数的逆运算：如果函数f(x)的高阶导数存在且连续，那么它的原函数也存在，并且可以通过高阶导数的逆运算求得。

八阶导数是函数曲线的弯曲程度的一种度量，它描述了函数曲线相对于平均曲线的弯曲程度的变化。

八阶导数可以用来判断函数的拐点和曲线的形状。

最后一个公式是高阶导数的微分方程：如果函数f(x)的高阶导数满足某个微分方程，那么函数f(x)就是这个微分方程的解。

通过以上十个常用的高阶导数公式，我们可以更深入地理解函数的变化规律和曲线的性质。

高等数学上册教材答案详解

高等数学上册教材答案详解在高等数学这门学科中，上册教材的学习内容涵盖了多个重要的数学知识点和概念。

为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识，以下将对上册教材中的部分题目进行详细的答案解析。

第一章：函数与极限第一节：函数与映射1.（1）解：函数 f(x) = 2x - 3 是一个一次函数，其图象是一条直线。

2.（2）解：函数 f(x) = x² + 1 是一个二次函数，其图象是一个开口向上的抛物线。

第二节：极限的概念1.（1）解：当 x 趋近于 1 时，函数 f(x) = (x - 1) / (x² - 1) 的极限是1/2。

2.（2）解：当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) = sinx / x 的极限是 1。

第三节：极限的性质1.（1）解：若两个函数 f(x) 和 g(x) 在点 x = a 处的极限存在，那么它们的和函数 f(x) + g(x) 在同一点的极限也存在，并且等于两个函数极限的和。

2.（2）解：若函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且不为零，那么对于任意的常数 c，函数 c·f(x) 在该点的极限也存在，并且等于 c 乘以原函数在该点的极限值。

第四节：无穷小与无穷大1.（1）解：当 x 趋近于正无穷时，函数 f(x) = sin(1/x) 是一个无界函数。

2.（2）解：当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) = 1/x 是一个无穷大函数。

第五节：极限存在准则1.（1）解：若函数 f(x) 在点 x = a 的某个去心邻域内有定义，并且有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，其中 f(x) 和 h(x) 在点 x = a 处的极限都存在且相等于 L，那么函数 g(x) 的极限也存在且等于 L。

2.（2）解：若函数 f(x) 在点 x = a 的某个去心邻域内有定义，并且有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，其中 f(x) 在点 x = a 处的极限为 L，h(x) 在点 x = a 处的极限为 M，并且对于任意的 x，有f(x) ≥ g(x) ≥ h(x)，那么函数 g(x) 的极限也存在且等于 L。