微积分上期末考试试题A卷附答案

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(完整word版)微积分期末试卷A及答案

共 4 页，第 1 页学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。

共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续；（C)。

lim ()x af x →不存在； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。

、设lnsin y x =,则dy =（）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。

6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（）（A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（）(A ） 2；（B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。

8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（）(A ）收敛; （B ）发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。

9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。

共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。

《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。

二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。

北京理工大学微积分a期末试题及答案

北京理工大学微积分a期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(2)=0，则c的值为多少？A. 0B. 2C. 4D. 6答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 设函数f(x)=3x^3-2x^2+5x-7，其导数f'(x)为：A. 9x^2-4x+5B. 3x^2-4x+5C. 9x^2-4xD. 3x^2+5x-7答案：A4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程为：A. y=3x-2B. y=3xC. y=xD. y=3x+2答案：B5. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B6. 微分方程dy/dx+y=0的通解为：A. y=e^(-x)B. y=e^xC. y=e^(-2x)D. y=e^(2x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x，其在x=1处的导数为______。

答案：02. 设函数f(x)=x^2+3x+2，其在x=-1处的定积分值为______。

答案：13. 函数y=ln(x)的导数为______。

答案：1/x4. 微分方程dy/dx-2y=0的通解为______。

答案：y=e^(2x)三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

通过二阶导数测试或分析f'(x)的符号变化，可得x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(1到2) (x^3-2x+1) dx。

答案：首先求出被积函数的原函数F(x)=1/4x^4-x^2+x，然后计算F(2)-F(1)=5/4-2+2-1/4+1=1。

微积分期末考试试题及答案

微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。

《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案

3、若函数
f (x, y)
x y ，则
x y
f
(
1 x
,
y)

（
）
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成，则 dxdy （）
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、（）是一阶微分方程

3x 2
3y2
（6
分）。
2、
z y

xy
ln
x （3
分）；
2z y 2

xy
ln 2
x
（6
分）。
3、
f
1 x
(
x,
y)

1
x x2
y2
（5
分）；
f
1 x
(3,4)

2 （6
5
分）。
4、
z x

y

1 y
,
z y

x

x y2
（4
分）；
dz

(y

1 )dx y

(x

x y2
六、求方程 yy' x 的通解。（6 分）

七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。（6
分）
《微积分》课程期末考试试卷（A）参考答案
一、填空题（每题 3 分，共 36 分）。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1

微积分A第一学期期末试卷A及答案

《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级学号姓名成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1）求图形D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。

现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。

微积分上期末试卷A答案

北京师范大学珠海分校2014-2015学年第一学期期末考试试卷A 参考答案开课单位：_ 应用数学学院___课程名称：_微积分上3学分_ 任课教师：__ __考试类型：_闭卷_ 考试时间：_120 分钟学院_________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：本试卷共4页;满分100分------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题：共5小题;每空 3分;共 30分1函数y=arctanx 的定义域是__(,)-∞+∞__;其微分 2函数fx 在点0x 处连续;必须同时满足的条件是：1、fx 在点0x 有定义;2、_0lim ()x x f x →存在__;3、_00lim ()()x x f x f x →=__..3 曲线y=1+xlnx _y=2x-2____________;4若函数fx 在a;b_内可导__;则至少有一点(,)a b ξ∈使得：()()'()()f b f a f b a ξ-=-.. 5已知fu 可导；y=2x flnx;则y '=_2(ln )(ln )x f x x f x '⋅+⋅__;2(ln )x f x dx =⎰u 若f(u)的一个原函数是e ,则二、单选题：共5小题;每题 3分;共 15分1下列正确的是 B A sin lim1x x x →∞= ; B 1lim sin 1x x x →∞= ; C 01lim sin 1x x x →= ; D 1lim sin 0x x x→∞=..2()f x 在0x 点可微与()f x 在0x 点可导是 C 的A 相等 ;B 相关 ;C 等价 ;D 无关 ..3若00()0()0f x f x '''=<，;则下列结论正确的是 AA 0x 是()f x 的极大值点 ;B 00(,())x f x 是()f x 的拐点 ;C 0x 是()f x 的间断点 ;D 0x 是()f x 的极小值点 .. 4若在区间I 上;()0()0f x f x '''><， ;则曲线y=fx 在I 上是 DA 单调减的凹弧 ;B 单调增的凹弧 ;C 单调减的凸弧 ;D 单调增的凸弧 ..5设(),()(0,1)ln xxa f x a g x a a a==>≠则 C A ()()g x f x 是的不定积分 ; B ()()g x f x 是的导函数 ;C ()()g x f x 是的一个原函数 ;D ()()f x x 是g 的一个原函数 .. 三、计算题：共9小题;每题5分;共45分要求写出计算过程 1已知arccos ,y x x =求：0'x y ='；2已知)0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y ;求：dy 解：12y a '=22212a x dy a -=-3 设(sin )(cos )x y xx = ;求：dydx4求极限：30(cos sin )(1)lim sin x x x x x e x x →--5计算：26计算：12xedx x⎰7计算：求214dx x -⎰．解：8计算：cos x e xdx -⎰解：cos cos cos (sin )x x x x e xdx xde e x e x dx ----=-=-+-⎰⎰⎰cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx -----=-+=-+-⎰⎰---2’ 12cos (sin cos )x x x x x x C --∴=-+⎰e d e -------------------2’9计算：dx x⎰所以;当3x >时;当3x <-时;同理可得：四、应用题：10分要求写出计算过程设大型超市通过测算;已知某种手巾的销量Q 条与其成本C 的关系为23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q 元;现每条手巾的定价为6元; 求使利润最大的销量.解：利润函数为()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q -----2’;求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ------------2’;令()0L '=Q ;因0>Q ;故得唯一驻点为2000=Q --------2’;因此使利润最大的销量为2000条..------------------2’。

经济数学--微积分期末测试及答案(A)

经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1.函数()f x =Ａ）； ()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-3.函数214y x=-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-=5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（Ｂ）()sin ()sin ()tan ()ln(1)A xB x xC xD x ++6.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点7.当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1sin 11()()sin()()tan 1xxA B x C D x xxe +8.极限0limln x →＝（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.设函数()f x 在区间（１，２）内有二阶导数，且()()0xf x f x '''+>，若在（１，２）内()0f x '<,则函数()f x '在区间（１，２）内（C ）()A 单调不增 ()B 单调不减 ()C 单调增加 ()D 单调减少10.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（D ）；2221()()()(3)()2A x B C x D x x +-11.若函数()f x 在点0x 处可导，则极限000(3)()lim2x xf x x f x x x→+∆--∆∆＝（D ）；00001()4()()3()()()()2()2A f xB f xC f xD f x ''''12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln xy x =，则dy ＝（Ｄ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x xx xA B C dx D dx x x xx----14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1. arccos y x x =，求y '解：122(arccos )[(1)]arccos arccos y x x x x x '''=--=+=2. 求2(cos sin 32)xx x x e dx -+++⎰６分７分解：原式＝3sin cos 2xx x x e x c +++++（其中c 是任意常数）3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得4100599151000y x y x y y ''-++=，将01x y ==与代入，得011x y y =='=，故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 求极限011lim()1x x x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12xxx x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++5. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==6. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x xx -'''''====±++令得７分５分２分５分７分３分６分７分３分６分７分0000列表讨论如下：7.求dx⎰1131222231221122112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)] 4431(21)(21)2dx dxx d x x d x x x c x x c-==+=+++++++++ ++++⎰⎰⎰⎰⎰解：＝２１＝６8.已知2xxe是(2)f x的一个原函数，求()2xxf e dx-⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x xxux x xx xx x x xx xf x xe e xe e xx xf u e u f ex x x xf e dx e e dx e dx dex x xe e d e e cxe c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+ =-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x吨的总成本为2()4100000C x x=+百元，该产品的需求函数为2100050.001x x p+=+（其中x是需求量，单位：吨；p是价格，单位：百元）；(1)该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？解：(1)2100050.001p x x=+-２分７分4分6分7分６分32()()0.0011000100000L x x p c x x x x =-=-++-令 2()0.003210000L x x x '=-++=得驻点1000x =(1000)40L ''=-< 且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000L x x x x =-++-== （百元）故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C '= （百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．四.证明题（本题4分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）证明：0a =时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分４分3分８分10分6分。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分试卷及规范标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。

2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。

3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。

4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是。

6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. ='⎰))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是。

二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（）。

(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（）。

(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。

当价格=p （）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

2018级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案

2018—2019学年度第一学期《微积分（上）》期末考试试卷（A 卷）考试时间：2小时考试方式：闭卷复查总分总复查人一、求下列极限（每小题8分，共56分）1．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→x x x x x x x 2sin 211sin 1arctan lim 32. 【解】原式x x x x arctan 1lim 2+=∞→212101cos 11sin lim 3=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x x x . 其中0arctan 1lim2=+∞→x x x x （因01lim 2=+∞→x x x ，且2arctan π≤x ）； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1cos 11sin lim 3【等价】21121.1.lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→x x x x .2.()322021sin limx x x dt t ex tx ⎰+---→.【解】原式220031sin lim x x x e xx +--=-→200031lim x x e x x +-=-→6131613sin lim 220-=-=-→x x x . 其中2031limx x e xx +--→x e xx 61lim 00+-=-→616lim 000==-→x x e . 3.设()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,1,0,sin 2x x x x xx f 讨论()x f 在0=x 点的连续性与可导性.【解】因()()11lim lim 20=+=--→→x x f x x ；()1sin lim lim 0==++→→xxx f x x ，故 ()=-→x f x 0lim ()()01lim 0f x f x ==+→，所以()x f 在0=x 点处连续.又()()()0lim 00lim 000==--='--→→-x x f x f f x x ； ()()()xx x x f x f f x x 1sin lim 00lim 000-=--='++→→+20sin lim x x x x -=+→021cos lim 000=-=→x x x ，故()x f 在0=x 点处不可导. 4.设()xx x y sin 2tan 22++=，求|=x dy .【解】因()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++='22sin 22tan 22.sin 2ln cos 2sec .2ln 2x x x x x x x y xx ，故 ()dx dx y dy x 2ln 20|='==.5. 求dx xx⎰24cos sin . 【解法一】()dx xx ⎰-222cos cos 1dx x x )cos 2(sec 22+-=⎰dx x x )2cos 2123(sec 2+-=⎰ C x x x ++-=2sin 4123tan .【解法二】dx x x ⎰24cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰x xd cos 1sin 3【分部】()⎰-=x d x x x 33sin cos 1cos sin ⎰-=xdx x x 23sin 3cos sin ()⎰--=dx x x x 2cos 123cos sin 3 C x x x x ++-=2sin 4323cos sin 3. x x x 2sin 42cos sin 3+x x x x cos sin cos sin 3+=()x xxx x tan cos cos sin sin 22=+=，故x x x x 2sin 4323cos sin 3+-x x x x x 2sin 41232sin 42cos sin 3+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x 2sin 4123tan +-=. 【解法三】dx xx⎰24cos sin ()xdx x xdx x ⎰⎰-==2222sin 1sec sin tan ()xdx x d x ⎰⎰-=22sin tan sin ⎰-=xdx x x 22sin 3tan .sin()⎰--=dx x x x 2cos 123tan .sin 2C x x x x ++-=2sin 4323tan .sin 2. 【注意】因x x x x 2sin 4323tan .sin 2+-x x x x 2sin 4323cos sin 3+-=、=x x x 2sin 4123tan +-=.表明三解法的原函数是一样的.【解法四】dx x x ⎰24cos sin dx xxdx x x x ⎰⎰-+=24244cos cos cos cos sin ()dx x dx xx x x x ⎰⎰--+=2222222cos cos cos sin 2cos sin()dx x dx x x ⎰⎰--=222cos sin 2sec ()⎰⎰--=dx dx x x 22sin sec x dx x x ---=⎰22cos 1tan C x x x x +-+-=2sin 412tan C x x x ++-=2sin 4123tan .【解法五】dx x x ⎰24cos sin ()dx x x ⎰+-=24cos 11sin ()()⎰⎰+-+-=dx x dx xx x 2222cos 1sin 11sin 1sin ()⎰⎰++-=xdx dx x 22sec 1sin x dx x tan 122cos 1+⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎰ C x x x +++-=tan 2sin 4123.6.求()xdx x x arctan 11⎰-+.【解】原式xdx x arctan 11⎰-=xdx x arctan 11⎰-+【对称性】0arctan 21+=⎰xdx x()210tan x xd rc a ⎰=dx x x x x ⎰+-=10221021arctan |12arctan 14|10-=+-=ππx . 7.将函数()3212---=x x x x f 展开为x 的幂级数.【解】()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=113121x x x f ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=x x 11311.3121 ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=∑∑∞=∞=003312111311.3121n n n n x x x x ()11,3112101<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∞=+x x n n n n. 二、（共12分）全面讨论函数xey x=的性态，并作出它的图形. 【解】（一）函数的定义域为()()+∞⋃∞-=,00,D ；（二）因0lim=-∞→x e x x ，+∞==+∞→+∞→1lim lim x x x x e x e ，故0=y 是曲线x e y x=的一条水平渐近线；因∞=→x e x x 0lim ，故0=y 是曲线x e y x=的一条铅直渐近线；又因 =+→x x e xx 0lim ∞=→20lim x e x x ,故曲线x e y x =无斜渐近线.（三）令()21x x e y x -='，()3222x x x e y x +-=''.（四）令()012=-='x x e y x ，得1=x ；令()02232=+-=''xx x e y x ，无解；（五）列表如下：三、求下列积分（共12分）设D 由上半圆22x x y -=与直线x y =所围成.（1）求D的面积；（2）求D 绕x 轴旋转所生成旋转体的体积. 【解法一】()()()21411211212-=---=--=⎰⎰⎰πxdx dx x dx x x x D S ；()()3332212212πππππ=-=--=⎰⎰dx x dx x x D V .【解法二】显见D 的面积为四分之一圆的面积减去一个直角三角形的面积，即()21411211412-=⨯⨯-⨯⨯=ππD S ；显见D 绕x 轴旋转所生成旋转体的体积为四分之一球体的体积减去一个圆锥体的体积，即()333211311342123πππππ=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=D V . 四、（共10分）证明：（1）方程01=-+nx x n 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内有唯一实根(),...3,2=n x n ；（2）级数()12>∑∞=ααn nx 收敛；（3）级数()n n nx ∑∞=-21收敛.【证明】（1）令()1-+=nx x x f n .则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n 1,11上连续.又因 0111111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n f n ；011>⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n f ，故由根值定理知方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内至少有一实根；又因()()+∞∈>+='-,0,01x n nx x f n ，故方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内至多有一实根. 综上所述，方程()0=x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11内有且仅有唯一实根n x .（2）因n x n 10<<，故ααn x n 1<，又已知∑∞=21n n α收敛，所以级数∑∞=2n n x α收敛；（3）因{}n x 单减，且0lim =∞→n n x ，故由莱布尼兹判别法知()n n nx ∑∞=-21收敛.五、（共10分）已知函数()x f 在[)+∞,a 上有二阶导数，()()()0,0,0>''>'=x f x f a f ，设a b >，曲线()x f y =在()()b f b ,处的切线与x 轴的交点是()0,0x .证明：b x a <<0.【证明】（一）曲线()x f y =在()()b f b ,处的切线方程为：()()()b x b f b f y -'=-. 令0=y ，可得()()b f b f b x '-=0.因()()0,0=>'a f x f ，故()()0=>a f b f ，所以()()b b f b f b x <'-=0；（二）又()()()()()b f ab a b a f b f b b f b f b x '----='-=.0【由拉格朗日定理】 ()()()a b b f f b -''-=ξ,()b a ,∈ξ. 注意到已知()0>''x f ，故()(),b f f '<'ξ所以()()()a a b b f b f b x =-''->0. 综合（一）、（二）知b x a <<0.。

微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)

一、选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．10lim 2xx -→=_________。

（A ） -∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ）不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。

（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ）不存在３．下列极限存在，则成立的是_________。

0()()()lim ()x f a x f a A f a x-∆→+∆-'=∆0()(0)()lim(0)x f tx f B tf x→-'=0000()()()lim2()t f x t f x t C f x t→+--'=0()()()lim()x f x f a D f a a x→-'=-４．设f （x ）有二阶连续导数，且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。

（A ）极小值（B ）极大值（ C ）拐点（D ）不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式成立。

()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dx φ=⎰⎰二、填空题（每小题3分，共18分）1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。

２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ=。

3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么。

4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。

2014-2015第一学期微积分I期末试卷(A卷)参考答案

一、计算下列各题：（每小题4分，共36分）1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p n n p pp p n 。

答案：11p +。

2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰的导数。

答案：2cos ()2sin x x f x xe e x '=+⋅。

3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。

答案：图形面积154。

4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰。

答案：2。

5．计算定积分120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢+ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。

答案：12π+。

6．求方程2x y dy dx +=的通解。

答案：220y x C -++=，其中1,C C 为任意常数。

7．求不定积分2(1)(1)x dx x x ++⎰。

答案：2111ln(1)arctan ln 1422x x x C ++-++。

8．求方程1y y x x'-=的通解。

答案：2y x Cx =+。

9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。

答案：2112123112()()1y y C y y C y y C x C x =+-+-=++，其中12,C C 为任意常数。

二、计算下列各题：（每小题5分，共30分）1．求极限20)(02sin lim x dt e x x t x x ⎰-→⋅。

答案：1。

2.计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦⎰。

答案：43。

3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dxdy 。

答案：4263cos()2y dy x x dx ye=。

4. 求微分方程3''2y y =满足初始条件00|1,'|1x x y y ====的特解。

大学微积分考试试题(A卷)

微积分考试试题一、填空题（每题2分⨯10=20分）1、函数245)(x x f --=的定义域是 .2、设3)(-=x x f ，则=)]1([f f .3、 =---∞→13926lim 22n n n n .4、 x xx 5sin 3sin lim 0→ .5、 =-∞→x x x )431(lim .6、 =')(arccos x .7、函数y x =，则=dy .8、函数x e y tan =的导数为 .9、 0sin lim x xx →= .10、微积分的创始人是： .二选择题（每题2分⨯5=10分）1、 x x f arcsin 1)(=是（）.A 偶函数B 奇函数C 单调函数D 有界函数2、若,21)(lim 0=→x ax f x 则 ,)(lim 0=→x bx f x ( ). （ab 0≠）A a b2 B ab 21C 2abD b a23、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x a x xxx f ,)(x f 在x=0处连续, 则a=（）.A 0B 1C 2D 不存在4、设曲线)(x f y =在0x x =处切线是水平的，则当0→x 时，)()(0x f x f -较之0x x -为（）无穷小。

A 同阶B 等价C 低阶D 高阶5、设函数(),()u x v x 在x 可导，则（）A []u v u v '''+=+B []u v u v '''-=+C []u v u v '''⨯=+D []u v u v '''÷=+三、计算题（每小题6分，共24分）1、已知x x f 2sec 8)(tan -=，求)(x f2、求极限12253lim 323+-+∞→x x x x x 3、求极限xx x x 3sin tan lim 0-→ 4、求极限x x x 1)41(lim -→ 四、计算题（每小题8分，共24分）1、求x e x y 12-=的导数2、设)(x y y =由隐函数e xy e y +=确定，求y '3、求211dx x +⎰五、应用题（每小题8分，共16分）1、某厂生产某种产品所需要成本为()5200()C Q Q =+元，销售后得到总收入为2()100.01()R Q Q Q =-元，问该厂每批生产多少件产品才能使利润最大？2、某工厂需要修建一个容积为4立方米的正方柱体（即池底为正方形）无盖水池，池底与池壁的材料相同，问池底边长和池高分别为多少时，用料最省？六、证明题（6分）证明方程e x x =+2332至少有一个正根。

四川大学《微积分(I)-1》2020-2021学年第一学期期末试卷A卷及解答

四川大学期末考试试题（闭卷）（2020——2021学年第 1 学期）A卷课程号：201137050 课序号：课程名称：微积分（Ⅰ）-1 任课教师：成绩：试卷编号：(1)n+-与轴所围成区域的面积x试卷编号：20202021(I)-1-四川大学学年微积分期末试题参考答案(315)一、填空题每小题分，共分3221111.3 2.1 3.3 4.arctan ln(1)3665.131x x x x C y x y x --+++=+=-；；；；；.(832)二、计算题每小题分，共分222021(121.lim.cos x x x x x e→-+--求极限 2224422421111cos 1()1()()2!4!2!2!2x x x x x o x e x o x -=-++=-+-+解因为，，12244211(1)1()28x x x o x =+=+-+ ……………….. 3分2244211101~cos ~2812xx x x x e x -→+---所以当时，，……………….. 6分404138lim .1212x xx →==--因此，原式 ……………….. 8分23332.()(1)sin ()sin d ().x f x x e x f x x x f x ππ-=++⎰设，求33()sin d sin ]A f x x x x ππππ-=-⎰解设，两边同乘并在区间，上积分，得23363()sind (1)sin d sin d x f x x x xe x x A x x ππππππ---=++⎰⎰⎰ ……….. 4分由奇偶性得662605315sin d 4sin d 4I 4.64228A x x x x πππππ-====⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2335()(1)sin .8x f x x e x π=++所以 …………….. 8分3.()(0)()1[()()]sin d .f x f f f x f x x x ππ''''==+⎰已知连续，且，求积分的值()sin d ()sin d ()sin d sin d ()f x x x f x x x f x x x x f x ππππ'''=+=+⎰⎰⎰⎰解由分部积分公式原式00()sin d [()sin |()cos d ]f x x x f x x f x x x πππ''=+-⎰⎰()sin d ()cos d f x x x f x x x ππ'=-⎰⎰ …………….. 4分()sin d cos d ()f x x x x f x ππ=-⎰⎰00()sin d [cos ()|()sin d ]f x x x x f x f x x x πππ=-+⎰⎰…………….. 6分2= …………….. 8分22(12)4.()cos (0).f x x x f =设，求222211()cos cos 222f x x x x x x ==+解首先， …………….. 2分由莱布尼茨公式(12)22(12)2(12)111()(cos 2)(cos 2)222f x x x x x x =+=⋅(12)21(11)2(10)12121[(cos 2)(cos 2)2(cos 2)20]2x x C x x C x =⋅+⋅+⋅+……….. 6分 (12)2(10)1201(0)(cos 2)2|2x f C x ==⋅⋅所以10100662cos(210)|662.2x x π==⋅⋅+⋅=-⋅ …………….. 8分(1020)三、解答题每小题分，共分220()()1.()0lim1lim(0)x ax x t f x t d tf x f x x b b xxa b →→-===≠⎰设函数在处可导，且，若，求，的值.()lim1 0()~.x f x x f x x x→=→解知，当时，因此 22222220011()()()()22x x x t f x t d t f x t d x t f u du -=---=⎰⎰⎰ ……….. 4分224001110()~224x x x f u du udu x →=⎰⎰所以，当时，，从而2204()1lim4x x t f x t d tx →-=⎰14.4a b ∴==， …………….. 10分 232.()1(1)0().23nnx x x f x x n n=-+-++-=讨论方程为正整数有几个实根0()0.0x f x x ≤>>解易知当时，，无实根故就讨论即可. 212221(1) 21()10.1k k x n k f x x x xx--+'=-=-+-+-=-<+当时，()(0)1()f x f f =+∞=-∞严格单减，，，.由零点存在定理知原方程有唯一实根 …………….. 6分 22211(2) 2()10 1.1k k x n k f x x x xx x--'==-+-+=-==+当时，令，得01()0() 1()0()x f x f x x f x f x ''<<<>>当时，，严格单减；当时，，严格单增.11111(1)(11)()()02322212f k k k=-+-++-+>--而，2.n k =因此当时原方程无实根 …………….. 10分(1020)四、应用题每小题分，共分sin 1.(02).1cos x t t t x y tπ=-⎧≤≤⎨=-⎩求由曲线与轴所围成区域的面积解区域的面积20d A y x π=⎰…………….. 2分20(1cos )d(sin )t t t π=--⎰22244200(1cos )d 4sin d 16sin d 2tt t t u u πππ=-==⎰⎰⎰ ………….. 8分31163422ππ=⋅⋅⋅= …………….. 10分2.(110)(021).(1)0(2)(3)02.A B AB z AB AB z z z ===设空间有两点，，，，，求经过且与坐标面垂直的平面方程；求经过的直线方程；将直线绕轴旋转一周，求介于面与之间的旋转体体积(1)(001).()n M x y z =解平面的法矢量，，设所求平面上任意一点为，，，则1111101[]020.x y z AM AB n x y ---==+-=，，，即平面方程为…………….. 3分11(2).111x y zAB --==-由两点式知经过的直线方程为…………….. 6分 22222(3)11.[02]()()((1)(1))2(1).AB x z y z z z A z x y z z z πππ=-=+=+=-++=+由直线的方程知:，故在区间，上任取一点，做垂直于轴的截面，面积为222028()d 2(1)d .3V A z z z z ππ==+=⎰⎰因此旋转体的体积为…………….. 10分(162713)五、证明题第小题分，第小题分，共分120121.()[0]()d 0(1)(0)()0(2)()cos d 0(0)()()0.f x C f x x f f x x x f f πππξπξηηπηη∈=∈==∈==⎰⎰设函数，，满足，证明：存在，，使得；若同时还满足，则存在不同的，，，使得0(1)()()(0)0()0(0)xF x f t d t F F ππξ===⎰证明令，则，，由罗尔定理知，在，内至少存在，()0()0.F f ξξ'==使得，即 …………….. 3分 00(2)0()cos cos ()[cos ()]sin ()sin ()f x xd x xd F x xF x xF x d x xF x d xπππππ===+=⎰⎰⎰⎰同时(1)(0)()sin 0()0.F F ξπξξξ∈==由知存在，，使得，即12[0][](0)ξξππηη在区间，，，上分别由罗尔定理即得：在，内存在两个不同的点，， 12()()0.f f ηη==使得 …………….. 6分11112.{}1 2.lim !.(1)n n n n n n a a a a n n a n a e-→∞-==≥=+设数列满足：，，证明111211111111!(1)!(1)!(1)!(1)!(2)!(2)!n n n n n a n a n a n n a n n n a ----+==+=++------证明111+1(1)!(2)!1!n n ==+++-- …………….. 3分 111+1()(1)!(2)!1!!e e e n n n n ξ+++=-→→∞--由泰勒公式知， …………….. 5分 11lim !lim.111+1(1)!(2)!1!n n n n a en n →∞→∞∴==+++-- …………….. 7分。

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一、选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．1lim 2xx -→=_________。

（A ） - （B ） + （C ） 0 （D ）不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。

（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ）不存在３．下列极限存在，则成立的是_________。

（A ）极小值（B ）极大值（ C ）拐点（D ）不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式成立。

２．函数()3f x x x =-在区间[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的= 。

3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么。

4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。

5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q P =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格下降1％，需求量将。

6．若,11),(+-==x x u u f y 且,1)('u u f =dydx = 。

三、计算题（每小题6分，共42分）：1、求11ln (ln )lim xx ex -→2、1[(1)]lim xx x ex →∞+-3、设211~,21x ax x c bx→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c. 4、5、ln(2)x xe dx e +⎰ 6、3cos sin x x dx x ⎰7、设函数f(x)具有二阶导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x'=⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '。

四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C 是需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（1）求边际收益函数和边际成本函数；（2）求使销售利润最大的商品单价。

五、（12分）作函数221(1)x y x -=-的图形六、证明题（每题5分，共计10分）1、设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。

2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)一、选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．C ； 2． D ； 3.B C; 4.A; 5.B C.二、填空题（每小题3分，共18分）1. 12y x =-２． 2 3．21ln C x x-+ 4．X=2,极小值 5．上升2% 6．221dy dx x =- 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、求11ln (ln )lim xx ex -→解：令11ln (ln )xy x -=，则1ln ln(ln )______21ln y x x=-分00011ln limln lim ln(ln lim 11ln x x x x x y x x x →→→==--）=-1-----3分 10lim x y e -→=-----1分3、1[(1)]lim xx x ex →∞+-解：原式= 11[(1)1]2lim x x x e x →∞+------分11111lim(1)241lim xx x x x e e x e x→∞→∞-+==+=-----分 3、设211~,21x ax x c bx→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c.解：由2211ax x cbx -+=+ 3分得a=0，b=-2，c 取任意实数。

3分 4解：12==分1arc 2C = 3分5、解ln(2)1ln(2)ln(2)2x x x x xxx e dx e de e e dx e e --+=-+=-+++⎰⎰⎰ 2分 12ln(2)22x x xxx e e e e dx e -+-=-+++⎰ 2分11ln(2)ln(2)2211()ln(2)22x x x x x e e x e C e e x C--=-++-++=-++++ 2分6、解：32cos 11sin 2sin x x dx xd x x=-⎰⎰ 2分221[csc ]2sin xxdx x=--⎰ 2分2112sin 2x ctgx C x =--+ 2分 7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x'=⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '解：2()()0()xf x f x x x x '-'≠=当时，g ，这时()g x '连续 2分200()(0)()(0)10(0)lim lim (0)22x x f x xf f x f x f x x →→'''--'''====当时，g 3分所以2()(),0,()1(0),0.2xf x f x x x g x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩ 1分四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C 是需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（3）求边际收益函数MR 和边际成本函数MC ；（4）求使销售利润最大的商品单价。

解：（1）212008,5;MR PQ P P MC ==-= 3分（2）利润函数2()812408500,L P PQ C P P =-=-+- 1分155()1612400,2L P P '=-+=令得P=()160,L p ''=-<唯一驻点，又 2分P=155/2时利润最大。

2分五、（12分）作函数221(1)x y x -=-的图形答案：（1）定义域是()()1,,11,=+∞⋃∞-x 是间断点 1分（2）渐近线因,0)1(122lim =--∞→x x x 故y=0为水平渐近线因,)1(1221lim ∞=--→x x x 故x=1为垂直渐近线 2分 (3)单调性、极值、凹凸及拐点 ,)1(23'--=x x y 令,0'=y 得x=0 ,)1(244''-+=x x y 令,0''=y 得21-=x 再列表1)0(-=f 是极小值；拐点是)89,21(--. 6分(4)选点当21=x 时，y=0;当23=x 时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时，45=y 1分(5)描点作图略 2分六、证明题（每题5分，共计10分）1、设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。

证明：设(),f x k '=在（a ，b ）内任取一点x ，在区间[a ，x]上由拉格朗日中值定理有：()()()()()f x f a f a x k a x a x ξξ'-=-=-<< 2分则()()(,())f x kx ka f a Ax B A k B ka f a =-++=+=-=+其中 2分当x=a 时，上式也成立。

1分2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

证明：在0,)+∞（内任取一点x ，则()[0]f x x 在，上满足拉格朗日中值定理条件， 1()(0)(),f x f f x kx ξ'-=>()(0),f x kx f >+即 3分令11(0)0,()0f x f x k=->>且，由f （x ）的单调性和零值定理知原命题成立。

2分。