微积分上期末考试试题A卷附答案

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)

1．1

lim 2x

x -

→=_________。 （A ） - （B ） + （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x x

f x x

+=

的极限为 _________。 （A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。

0()()()

lim ()x f a x f a A f a x -

∆→+∆-'=∆0()(0)

()lim (0)

x f tx f B tf x

→-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()()

()lim ()x f x f a D f a a x →-'=-

４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0

()

(0)0,lim

1,0()_______x f x f f f x x

→'''==则是的。 （A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。

()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=

()

()()C d f x d x φ=⎰⎰

()

()()d d

D f x dx x dx dx dx

φ=⎰⎰ 二、 填空题（每小题3分，共18分）

1. 设0

(2)

()0(0)0,lim

1sin x f x f x x f x

→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。

２．函数()3f x x x =-在区间[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的= 。 3．设1

(),()ln f x f x dx x

'=⎰的一个原函数是

那么 。 4．设(),x

f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。 5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q P =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格 下降1％，需求量将 。 6．若,1

1),(+-=

=x x u u f y 且,1)('u u f =dy

dx = 。

三、计算题（每小题6分，共42分）：

1、 求

11ln (ln )

lim x

x e

x -→

2、

1[(1)]lim x

x x e

x →∞

+-

3、设2

11

~,21x ax x c bx

→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c. 4

、

5、ln(2)

x x

e dx e +⎰ 6、

3cos sin x x dx x ⎰

7、设函数f(x)具有二阶导数，且f （0）=0, 又(0)0()()0f x g x f x x x

'=⎧⎪

=⎨≠⎪⎩ ，求()g x '。

四、（8分）假设某种商品的需求量Q 是单价P （单位元）的函数：Q=1200-8P ；商品的总成本C 是

需求量Q 的函数：C=2500+5Q 。

（1） 求边际收益函数和边际成本函数； （2） 求使销售利润最大的商品单价。 五、（12分）作函数2

21

(1)

x y x -=

-的图形 六、证明题（每题5分，共计10分）

1、 设函数)(x f 在[,]a b 上连续，且()f x '在(,)a b 内是常数，证明)(x f 在[,]a b 上的表达式为 (),f x Ax B A B =+其中、为常数。

2、设函数)(x f 在[0,)+∞上可导，且()0,(0)0.f x k f '>><证明)(x f 在(0,)+∞内仅有一个零点。

《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)

1．C ； 2． D ； 3.B C; 4.A; 5.B C.

二、 填空题（每小题3分，共18分）

1. 12y x =-

２． 2 3．21

ln C x x

-+ 4．X=2,极小值 5．上升2% 6．

2

2

1

dy dx x =- 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、求

1

1ln (ln )

lim x

x e

x -→

解：令11ln (ln )

x

y x -=，则1

ln ln(ln )______21ln y x x

=

-分

0001

1

ln limln lim ln(ln lim 1

1ln x x x x x y x x x →→→==--）=-1-----3分 10

lim x y e -→=-----1分

3、

1[(1)]lim x

x x e

x →∞

+-

解：原式= 1

1[(1)1]2lim x x x e x →∞

+------分

11

1

1

1lim(1)241lim x

x x x x e e x e x

→∞→∞

-+==+=-----分 3、设211

~,21x ax x c bx

→∞-++时，无穷小量求常数a 、b 、c.

解：由

2211

ax x c

bx -+=+ 3分 得a=0，b=-2，c 取任意实数。 3分 4

解：

1

2

==分

1

arc 2

C = 3分