阿基米德折弦定理的四种常规证法
阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理，也称为阿基米德定理，是数学中的一个重要定理，与圆和三角函数有关。
该定理最早记载于公元前250年的古希腊数学家阿基米德的著作《圆的测量》中。
阿基米德折弦定理陈述如下：对于任意一条弧，该弧两端的弦的长度之积等于从弦中点引垂线得到的两条线段的长度之积。
即，在一个圆的内部任取一条弧，该弧的两个端点连成一条弦，然后在这条弦的中点处竖直一条线段，将弦分成两条线段，两条线段的长度之积等于从中点引垂线得到的两条线段的长度之积。
具体公式为：AB×CD=BC×DE其中，AB表示弦的长度，BC为弦的中点到圆的距离，CD和DE分别为弦的两边到圆的距离。
该定理可以用来推导出三角函数之间的关系，因此在三角函数的求解中也有着广泛的应用。
证明：如图，以弧AB所对的圆心为O，过弦AB中点C引一条竖直线段DE交弦AB于点F。
因为OF=CD=DE，所以FC=EF。
在ΔBOF中，根据勾股定理有：(BO)²=(OF)²+(BF)²由于OF=CD=DE，可以写成：(BO)²=(CD)²+(BF)²在ΔCFC'中，根据勾股定理有：(CF)²=(CC')²+(FC')²但是，因为CF=EF，且CC'为BC的中垂线，即CC'=BC/2，所以可写成：(CF)²=(BC/2)²+(FC')²又因为BC=2CF，所以可以简化成：(CF)²=(CF)²+(FC')²即，(FC')²=CF²-FC²在ΔDEF中，根据勾股定理有：(DF)²=(DE)²+(EF)²由于EF=FC，可以写成：(DF)²=(DE)²+(FC)²同理，在ΔCEF中，根据勾股定理有：(FC)²=(CE)²+(EF)²因为EF=FC，所以：(FC)²=(CE)²+(FC)²即，(CE)²=0这说明点E恰好位于圆的直径上。
数学文化之阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德.他甚至被人尊称为“数学之神”.阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M 是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.阿基米德折弦定理3种证明方法【方法1】补短法如图，延长DB至F，使BF=BA,∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，∵M、B、A、C、四点共圆，∴∠MCA+∠MBA=180°.∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,∵MD⊥CF,∴CD=DF=DB+BF=AB+BD.【方法2】截长法如图，在CD上截取DG=DB，∵MD⊥BG，∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.∵M是弧ABC的中点,∴∠MAC=∠MCA=∠MGB,即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA. 又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,∴∠BMA=∠GMC.∵MA=MC,∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,∴CD=CG+GD=AB+BD【方法3】垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC，∵MD⊥BC，∴∠MDC=90°=∠H.∵∠MAB=∠MCB，∴△MHA≌△MDC，∴AH=CD，MH=MD.又∵MB=MB，∴Rt△MHB≌Rt△MDB，∴HB=BD，∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.【推论1】设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC·AB.【推论2】设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外.连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB·BC.。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！这个名字听起来就很酷炫，是不是？那你知道阿基米德三角形有哪些常用结论和证明吗？别着急，让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！我们来了解一下什么是阿基米德三角形。
阿基米德三角形是一个古老的几何图形，它的每个顶点都是一个等边三角形的内切圆与外接圆的交点。
这个图形看起来有点像一个金字塔，但是它有很多神奇的性质和结论哦！1. 阿基米德三角形的内角之和是180度。
这个结论很简单，因为每个小三角形的内角都是60度，而一个大三角形的内角之和就是3个小三角形的内角之和，也就是180度。
2. 阿基米德三角形的边长比是一个恒定的值。
具体来说，如果一个大三角形的边长分别是a、b、c,那么它的内切圆半径r、外接圆半径R和边长比之间的关系就是：(a+b+c)/2 = R + r = (a+b+c)/2R。
这个关系式告诉我们，无论阿基米德三角形的大小如何变化，它的边长比总是保持不变。
3. 阿基米德三角形的面积可以通过海伦公式计算。
海伦公式是一个关于三角形面积和三边长之间关系的公式，它的形式是：S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三边长。
阿基米德三角形的面积可以通过将大三角形的面积除以9得到，即：S = (a+b+c)/2 * R^2 / 9。
4. 阿基米德三角形可以用来计算任意多边形的面积。
这个结论可能有点难以理解，但是它可以帮助我们解决很多实际问题。
比如说，我们知道一个正方形的面积是边长的平方，那么我们可以通过阿基米德三角形的方法计算出任意多边形的面积。
具体做法是先将多边形划分成若干个小三角形，然后根据阿基米德三角形的性质计算出每个小三角形的面积，最后将这些小三角形的面积相加就可以得到整个多边形的面积了。
5. 阿基米德三角形可以用来求解复杂的数学问题。
比如说，我们知道一个圆的周长是πd,其中d是直径。
阿基米德折弦定理
定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折 弦。如图折弦 ACB。分两种情况
定理:圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 解读:条件(①弧的中点；②射影),结论(弦的中点)
证明:至少 2 种方法，开始表演吧
变式：P 为劣弧 AB 中点，PH⊥AC,线段 AH、HC、CB 有怎样的数量关系？
推论 1:设 P 是优弧 AB 的中点，连接 PB、PC，那么 PB²-PC²=AC·CB
推论 2:设 P 是劣弧 AB 的中点，连接 PB、PC，那么 PC²-PB²=AC·CB
逆定理设 H 是△AC 的外接圆，有如下逆定理:
①若 P 为弧 ACB 中点，连 PH，则 PH⊥AC。 ②若 PH⊥AC 交圆于点 P，则 P 为弧 ACB 中点。
数学文化之阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德.他甚至被人尊称为“数学之神”.阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M 是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.阿基米德折弦定理3种证明方法【方法1】补短法如图，延长DB至F，使BF=BA,∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，∵M、B、A、C、四点共圆，∴∠MCA+∠MBA=180°.∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,∵MD⊥CF,∴CD=DF=DB+BF=AB+BD.【方法2】截长法如图，在CD上截取DG=DB，∵MD⊥BG，∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.∵M是弧ABC的中点,∴∠MAC=∠MCA=∠MGB,即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA. 又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,∴∠BMA=∠GMC.∵MA=MC,∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,∴CD=CG+GD=AB+BD【方法3】垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC，∵MD⊥BC，∴∠MDC=90°=∠H.∵∠MAB=∠MCB，∴△MHA≌△MDC，∴AH=CD，MH=MD.又∵MB=MB，∴Rt△MHB≌Rt△MDB，∴HB=BD，∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.【推论1】设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC2-MB2=BC·AB.【推论2】设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外.连接AB、AC、MB、MC，那么MB2-MC2=AB·BC.。
阿基米德折弦定理的证明及其应用
数学 实践 表 明， 注 意 对 著 名 几何定 理 的研 究 ， 对 于 帮助 学 生
． ． 。 ． 。 ． ． ． 。 ． ． ． ． ． 。． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．． ． ． ． ． ．． ．． ． ． ． ．
理解课 ． 本 ． ． 内容 ． ． ， 提 高 分 析 问 题 和
＿、
、
阿基米德折弦定理的证 明
如图 １ ， 点 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ顺 次 在 圆 ０上 ， Ａ Ｂ：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理
．、
ＤＥ ． ＡＭ ＝ ＤＣ ＋ＣＭ ．
Ｂ Ｄ， Ｂ Ｍ垂 直于 Ａ Ｃ ， 垂足为 ＾ ｆ 。 证明 ： Ａ Ｍ＝ Ｄ Ｃ＋Ｃ Ｍ． 证法 一 如图 １ ， 在Ａ Ｃ上
证法六
二、 阿 基 米 德 折 弦 定 理 的 应 用
【 例】 在 Ａ Ａ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｂ＞ Ａ Ｃ ，
Ｆ， 求证 ２ Ａ Ｆ＝ Ａ Ｂ— Ａ Ｃ
’
的一个外角平 分
线 交ＡＡ Ｂ Ｃ的外 接 圆 于点 ， 过 Ｅ作 Ｅ Ｆ上Ａ Ｂ， 垂 足 为
证明
如 图 ４， 连结 Ｅ Ｂ， Ｅ Ｃ， 则 ｌ＝Ｌ２：／ ＿ ３＝
体现数学研究 的潜能是 十分重要 的．
ＡＢ Ｃ Ｄ 坌ＡＢ Ｃ Ｅ（ Ｓ Ａ Ｓ ） 。 ． ．ＬＢ Ｄ Ｃ＝ ＬＢ Ｅ Ｃ ． ’ ． ’ＬＢ Ａ Ｃ
＝ＬＢ ＤＣ， ． ＬＢ ＡＣ＝ Ｌ Ｂ ＥＣ， Ａ Ｂ ＝Ｂ Ｅ． 。 ． ’ Ｂ Ｍ 上肛 ， ． ‘ ． Ａ Ｍ
＝ＡＥ． ． 。 ． ＡＭ ＝ ＤＣ ＋ＣＭ ．
Ｂ Ｃ Ａ＝ ＬＢ ＤＡ ＝ Ｌ Ｂ Ａ Ｄ．Ｌ ＢＣ Ｅ ＋ ＬＢＣ Ａ ＝ ＬＢＣ Ｄ ＋ ＬＢＡ Ｄ＝１ ８ ０。 ， ． ‘ ．ＬＢＣ Ｅ ＝ ＬＢＣ Ｄ， ． ‘ ＢＣ ＝ＢＣ， Ｃ Ｄ ＝ＤＥ，
阿基米德折弦定理的证明及其应用
（ 下转 ３ ６页 ）
一
一
一
一
…
一
…
一
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一
二
ＰＤ （ Ｐ Ｆ 广 ＋ Ｄ Ｅ ） ： ｙ ＝—
—
．
一
。．
。．
．
１ ５ ＋１ ２ ０
熊 数掌大世界 。 ． １
（ ４ ） ＝ ２ Ｏ， ： ＝ ２ 西 Ｏ
，
Ａ ． ． 。 ． 。 ＋ 。 ＋ 。 ． 。 ． 。 ． 。 ． ． ． 。 ．
‘
．
ＢＥ ＝ＢＣ，
‘ ‘ ．
．
ＢＣ ＝ ＢＭ ． ＣＥ ： Ｃ Ｍ． ’ ． ‘Ｒｔ△ＡＢ Ｍ
Ｒ ｔ Ａ ＤＢ Ｅ
ＢＭ 上 ＡＣ， ＥＭ ： Ｍ Ｃ．
（ Ａ Ａ Ｓ ） ， ． ‘ ． Ａ Ｍ ＝Ｄ Ｅ， Ａ Ｍ ＝Ｄ Ｃ＋Ｃ Ｍ．
图１
‘ ． ．
证法六
如图 ３ ， 延 长
如下 ， 供 初 中师 生 教 与 学 时 参考 ．
一
’ ．
’
ＢＣ Ｄ＋ 且 Ｈ Ｄ ＝１ ８ ０ 。 ． ． ‘ ．
’
．
（ ＝ Ｂ（ ．
、
阿 基 米 德 折 弦 定 理 的证 明
。
曰 Ｃ ＝ＢＣ． （ Ｄ ＝Ｃ Ｅ．
‘
定理 如 图 １ ， 点 Ａ、 曰、 Ｃ 、 Ｄ顺 次 在 圆 ０上 ， Ａ Ｂ＝ Ｂ Ｄ， Ｂ Ｍ 垂直于 Ａ Ｃ ， 垂 足 为 ， 证明 ： Ａ Ｍ ＝Ｄ Ｃ＋Ｃ Ｍ． 证法一
是 折 弦弧 Ｂ Ａ Ｃ的 Ｂ Ａ Ｃ的中点 ， 由折 弦 定 理 ， 可得 Ｂ Ｆ＝
ＦＡ ＋ＡＣ， ＡＢ — Ｆ Ａ ＝ ＦＡ ＋ ＡＣ ， ． ‘ ． ２ＦＡ ＝ＡＢ —ＡＣ．
阿基米德折定理
阿基米德折定理阿基米德折定理，是古希腊数学家阿基米德的著名定理，简称“阿基米德三角形定理”。
它概括了三角形的形状规律，说明条件下，三角形三边长之和总大于另外两边长，更精确地说，一个三角形任意两边之和大于第三边，即a+b>c, b+c>a, c+a>b，其中，a、b、c分别是三角形三边的长度。
阿基米德三角形定理被认为是古希腊几何学中最杰出的定理之一，是古希腊数学的精华和珍贵遗产。
阿基米德三角形定理的发现和证明为古希腊几何学的发展做出了巨大的贡献，也是阿基米德变迁和发展的标志性事件。
阿基米德在研究三角形的属性与解决日常生活中的几何问题方面做出了杰出的贡献，是古希腊几何学的创始人。
他认为，三角形三边相等，三角形的内角全都相等，所以三角形三边等腰。
但是，他不能证明三角形三边之和大于另外两边之和，直到他用逻辑推论的方式证明了三角形最大顶点与最大边的关系，也就是所谓的“阿基米德三角形定理”才有了。
阿基米德三角形定理的发现和证明，开创了古希腊几何学的先河，也是古希腊几何学研究的基础。
它不仅被广泛应用于工程学和技术学专业，而且还被应用到日常生活中。
教学中，多以不同媒介形式讲解阿基米德三角形定理，如利用图形、动画、投影等形式更好地演示和理解阿基米德三角形定理的含义，更好地使学生理解其普遍性和实用性，激发学生学习数学的兴趣和动力。
经过长期的发展和研究，在此基础上产生了更深入的三角论。
今天，在不同的数学领域，“阿基米德三角形定理”仍然是学习数学的重要课题。
毫无疑问，阿基米德三角形定理是阿基米德为人类数学文明作出的伟大贡献，它使古老的数学知识得以开花结果，这是现代数学的基础。
阿基米德折弦定理及其推论的应用
（ Ｃ Ｆ＋Ｆ Ｂ） （ Ｃ Ｆ —Ｆ Ｂ） ＝Ｂ Ｃ・ Ａ Ｂ ．
例３ Ｐ是正 △Ａ Ｂ Ｃ劣Ｉ Ｉ ￣ Ｂ Ｃ
推论 ２ 当Ｍ 是折 弦Ａ Ｂ Ｃ的Ａ Ｃ的中点时 ， 有Ａ Ｂ
．
上一点 ， 如图 ５ ， 求证 （ １ ） Ｐ Ａ＝Ｐ Ｂ
＋Ｐ Ｃ ， （ ２ ） Ａ Ｐ ＋Ｂ Ｃ ＋Ｂ Ｐ・ ＰＣ ．
阿基米德折弦定理及其推论硇应用
江 苏省泰 州 中学 附属初 级 中学 本 文现 将 阿 基 米 德 折 弦 定 理 及其 推 论 的应 用 介绍 如下 ， 供初 中师生 教与 学时参 考．
１ 折 弦定 理
２ ２ ５ ３ ０ ０
吕承 宗
ＭＣ ＝ Ｎ Ｍ ， Ｎ Ｂ ＋ ＭＢ ＝ Ｎ Ｍ ， 所 以 ＮＣ 一Ｎ Ｂ ＝ ＭＢ
所 以 ① 一② ， 得 尸（ 朋 一Ｐ ｃ ）＝Ｊ Ｐ 一Ｐｃ ＝
（ Ｐ Ｂ ＋ＰＣ ） （ Ｐ Ｂ—Ｐ Ｃ） ，所 以 Ａ Ｐ＝Ｐ Ｂ ＋Ｐ Ｃ ．
（ ２ ）因为 Ａ是Ｂ Ｃ的 中点 ， 对折 弦 Ｂ Ｐ Ｃ， 由推论 （ ２ ）知 ， Ａ Ｐ 一／ ｌ Ｂ ＝Ｂ Ｐ・ Ｐ Ｃ， 所以 ４ Ｐ ＝Ａ Ｂ ＋曰 Ｐ
于帮助学生理解课本 内容 ， 提高分析问题和解决问
知Ａ Ｄ・ Ｄ Ｃ ＝Ｂ Ｄ 一Ａ Ｂ ． （ １ ）
折 弦定 理 是 由著 名 的数 学物 理学 家 阿基 米德 发
现并 命名 的 ， 因此 ， 人 们 亦 称 之 为 阿基 米 德 折 弦 定
理．
根 据折 弦定理 ， 还 可得 到 如 下两 个推论 ：
又 Ｃ是８ Ｄ 的中点 ， 对 折弦 Ｂ Ｄ Ａ， 由推 论知 Ｂ ・
⑦
又 因为 是Ａ Ｐｅ中点 ， 由推论 （ １ ） 知：
阿基米德折弦定理及其推论
维新天地iwww.zhongshucon com2021年第3期中学数学教学参考（中旬>m 阿基米德折弦定理及其推论程银生（江苏省南京市南京外国语学校河西初级中学) 杨巧玲（江苏省南京市南师附中新城初中黄山路分校)摘要：将阿基米德折弦定理通过条件弱化、中点迁移、图形重组等，得出四个推论，迁移应用所得推论，能 提高解题效率。
关键词：折弦定理；条件弱化；中点迁移；图形重组；推论应用 文章编号：1002-2171 (2021)3-0019-02文献[1]给出了阿基米德折弦定理的证明及圆内 线段相等的推论，文献[2]给出了该定理的两弦之积 相关推论，文献[3]从折弦定理出发，对一道中考压轴 题进行剖析。
下面笔者从折弦定理的证明过程出发， 通过条件弱化、图形中点迁移、图形分解与组合，将其 结论推广到圆外，给出一般性的文字语言结论，并尝 试应用所得的结论解决相关问题。
1弱化条件阿基米德折弦定理：一个圆中含折弦的弧的中点在较长弦上的射影就是折弦的中点如图1，如果和B C 组成 ©2$—条折弦（A B >B C )，点 M 为^:的中点，则过点M 向 作垂线，垂足D 是折弦A B C 的 中点。
证明：联结M A ，M B ，iVfC ，过点M 作M E 丄B C ，垂足为£。
因为M D 丄 ZiVfDA = Z M D B = = 90°。
由点 iV f 为乂的中点知 MA = M C ，Z M J 3A = Z ：_BMC + ZBCJW = Z 細E 。
所以 A M B D 2A M B £：,M D = M f：，BD = B E 。
所以 A M D A 2 A M E C ，从而有 AD = £C = £B +B C =D B +B C 。
故点D 是折弦A B C 的中点。
将图1简化后发现，弧的中点在两弦上的射影均有如下一致的结论：如图2，DA = |(A B + B C )，=B C );如图 3，E C =香(A B + B C )，£B = y (A B -B C )0EM\\图2图3补充说明：为了描述方便，不妨称点A ，c 为折弦 A B C 的端点，点B 为折弦A B C 的折点。
归纳演绎拓思路,怎样解题求自然——由阿基米德折弦定理说开去
归纳演绎拓思路袁怎样解题求自然———由阿基米德折弦定理说开去◉浙江省台州市三门初级中学李如军让学生学会解题，更要让学生追寻试题的源头，学会自己编题才能提升解题境界.笔者有幸得知2018年台州市中考第24题源自阿基米德折弦定理，遂对该定理和中考题做了一番研究与整理，以飨读者.一、定理呈现1.阿基米德折弦定理如图1，在☉O 中，若M 是ABC ⌢的中点，且MD ⊥BC 于D ，则有AB+BD=CD.图1图22.解法欣赏（1）补短法.解法1:如图2，延长DB 至F ，使BF=BA ，连接AC.由M 是ABC ⌢的中点，得∠1=∠2=∠3.由M 、B 、A 、C 、四点共圆，得∠1+∠MBA=180°.又∠3+∠MBF=180°，则∠MBA=∠MBF.又MB=MB ，BF=BA ，则△MBF MBA.则∠F=∠MAB=∠MCB ，则MF=MC.又MD ⊥CF ，则CD=DF=DB+BF=AB+BD.解法2:如图3，延长CD 至F ，使FD=CD.由M 是ABC ⌢的中点，得FM=MA=MC ，∠1=∠2.由BM 为圆O 的弦，得∠3=∠4=∠5.则∠1-∠5=∠2-∠4.则BF=AB.则CD=AB+BD.解法3:如图4，作MH ⊥射线AB ，垂足为H.由M 是弧ABC 的中点，得MA=MC.由MD ⊥BC ，得∠MDC=90°=∠H.又∠MAB=∠MCB ，则△MDC.则AH=CD ，MH=MD.又MB=MB ，则Rt △△MDB.则HB=BD.则CD=AH=AB+BH=AB+BD.图4C图5C（2）截长法.解法4:如图5，在CD 上截取DG=DB.由MD ⊥BG ，得MB=MG ，∠MGB=∠MBC=∠MAC.由M 是ABC ⌢的中点，得∠MAC=∠MCA=∠MGB.即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA.又∠MGB=∠MCB+∠GMC ，则∠BMA=∠GMC.又MA=MC ，则△MGC ，则AB=GC.则CD=CG+GD=AB+BD.点评:归纳是演绎的源泉!（3）对称法.解法5:如图6，连接AO 、BO 、OM.作OW ⊥CB 交BC 于点F ，交圆于点W ，作点M 关于OW图3图6的对称点P ，作PH ⊥BC 交BC 于点H ，连接OP ，OM 分别交AC 、BC 于点E 、G.由∠OFG=∠CEM=90°，∠OGC=∠OGC ，得∠ACB=∠FOG.则∠AOB=∠MOP.则△BOA.则PM=AB.由PH ⊥BC ，MD ⊥BC ，得PM=HD.则AB=PM=HD.则CD=BH.则BD+AB=CD.点评:旋转变换使线段和差问题变得直观、体现对称美.（4）托勒密定理证法.解法6:如图7，由“托勒密定理”知AB ·MC+BM ·AC=AM ·BC.假设AM=MC=m.AB ·m+BM ·2m cos α=BC ·m.AB+2BM ·cos α=BC.AB+2BD=CD+BD.AB+BD=CD.反思一种解法，归纳这种解法的原理以求类比演绎出同类解法，如补短法.及时归纳补短法自然就会产生另外一类解法———截长法.无论补短还是截长，无非是构造一对全等三角形，除了位置没有特殊要求的构造法，还有位置有特殊要求的对称法.在圆中还有很多定理，如托勒密定理，笔者发现借助托勒密定理可以证得阿基米德折弦定理.此种证法把公元前后不同国度的两位大师紧紧联系在一起！图7图8二、中考题的诞生如图8，△ABC 是☉O 的内接三角形，点D 在弧BC 上，点E 在弦AB 上（点E 不与A 重合），且四边形BDCE 是菱形.（1）求证：AC=CE.（2）求证：BC 2-AC 2=AB ·AC.（3）已知☉O的半径为3.①若AB AC =53，求BC 的长；②当ABAC为何值时，AB ·AC 的值最大？1.解法欣赏第（1）问，这里不再赘述.下面解决第（2）问.证法1:如图9，过点C 作CF ⊥AE 于F.点拨:①观察“BC 2-AC 2”的形式,联想到“勾股定理”,需要构造直角三角形;②由“AC=CE ”联想到“等腰三角形三线合一”.图9G图10证法2:如图10，延长BA 到G ，使AG =AC.由∠ACG=∠G=∠ABC ，构造△GCA △GBC.如图11，延长CA 到H ，使AH =AB ，构造△CAB△CBH.图11图12如图12，作∠BAC 的角平分线交BC 于K ，则∠BAK=∠CAK =12∠BAC =12∠AEC =∠ABC ，构造△CAK△CBA.三种构造相似三角形的方法均可证得结论.对于第（3）问的①，这里不再赘述.下面解决第（3）问的②.解法1:如图13，设ABAC=m，AC=b，则AB=mb，AF=m-12 b.故cos∠COH=cos A=m-1 2.则OH=3×m-12=32（m-1）①.由∠COD=∠A=∠ECD，得△COD△ECD.所以CD2=OD·DE，即b2=3DE.则DE=13b2，DH=16b2②.由①和②得32（m-1）+16b2=3.则b2=-9m+27，故AB·AC=mb2=-9m2+27m.则当m=32时，AB·AC max=814.解法2:设OH=x，则AB·AC=BC2-AC2=4CH2-CD2= 4（9-x2）-［（9-x2）+（3-x）2］=-4x2+6x+18，则当x=34时，AB·AC取得最大值.此时AFAC=OHOC=14，则AB AC=4+2×14=32.解法3:设cos∠COH=cos∠A=AFAC=k，则OH=3k，则AB·AC=BC2-AC2=4CH2-CD2=4（9-9k2）-［（9-9k2）+（3-3k）2］=-36k2+18k+18.则当k=14时，AB·AC取得最大值，此时AF AC=14，则ABAC=4+2×14=32.2.试题评析第（1）问主要考查对等腰三角形的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质及菱形的性质的掌握情况，知识内涵丰富，难度不大，在解决阿基米德折弦定理的过程中，构造了一个特殊的四边形———菱形，使本题结论丰富，为中考题的诞生创造条件.以圆为背景，使得弧、弦、角三者相互转化，为问题解决方法的多样性（一题多解）铺设了道路.在第（2）问要证明的结论中，出现两条线段的平方差形式，学生可以根据学习勾股定理时积累的数学活动经验，把问题表征成：直角三角形中有关边之间关系的问题.这样如何构造直角三角形就成了第（2）问的突破口，这时第（1）问中证得的△ACE是等腰三角形可提供有益的启示，即通过添加等腰三角形中的常见辅助线（底边上的高）构造出所需的直角三角形.另外，学生也可以把所要证明的结论变形成“a2=bc”的形式，这样问题就可表征成：两个相似三角形中有关边的关系问题.如何构造相似三角形成为问题解决的突破口.因此，第（2）问能有效地测出学生能否自觉、合理地运用转化思想及相关的数学活动经验进行数学思考.问题：根据考生反馈，学生对于式子BC2-AC2=AB·AC的变形能力、认知能力、联想能力较弱.由BC2-AC2能联想到构造直角三角形，但是很难构造，将BC2-AC2=AB·AC变形为BC2=AB·AC+AC2=AC·（AB+AC）是比较困难的数感、符号感不强是导致此处思路出现障碍的重要原因.如果能够变形成式子“a2=bc”，受阿基米德原理折弦定理“截长补短法”启发构造相似三角形就是顺理成章的事了.第（3）问主要考查学生能否自觉、合理地运用函数思想进行数学思考.函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系，因此，第（3）问给出“ABAC=53”与“当ABAC为何值时”等信息，目的是提示学生“ABAC”是一个变化过程中的变量，再加上“求AB·AC的值最大”这一重要信息，引导学生把第（3）问表征成：“当自变量取何值时，求因变量的最大值”的函数问题，再利用第（2）问的结论建立函数关系，并利用函数的性质求出AB·AC的最大值.从提问方式看，线段的比值问题比线段和差问题难度更大，加上隐含着比值变化对应积的变化，此题从结论上看很抽象，从而很难与函数这一抽象的概念联系在一起.本题各小问层次分明，梯度合理，内在逻辑明显，有利于学生在各小问的相关启发下拾级而上，也有利于不同层次学生的发挥，具有较好的信度和区分度.另外，本题合理地兼顾了对基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本数学活动经验的考查，能有效地检测出数学抽象、数学推理、数学运算等关键能力的水平.若该题第（3）问将AC改为常量1，难度将下降不少，从而可以更好地考查学生利用函数模型分析问题的能力.图13(上接第66页)（2）当k=10√时，求x-2x的值.预设:这两问对应着原考题，在学生完成之后继续跟进追问.教学组织:请学生分组再设计一个问题，在小组内交流，由组长挑选一个问题在全班展示交流，由本小组一个学生提出问题，另一个学生讲解思路和注意事项.预设:若有学生提出类似x+2x=6√的问题，则投影到黑板上，引导学生参与辨析这个问题是否错误，并安排全班讨论，最后各组汇报不同的方法，教师跟进评析.如果有学生的思路类似高中学习的基本不等式，也可给出“公式a+b≥2ab√，并运用配方法进行推理证明.四、写在后面教学即研究.一次考试之后得到的不只是冰冷的分数，也不只是区分了不同学生，其实还有很多值得我们去关注和研究，如挑选一些“好的题目”深入分析学生答题情况，解读并思考试题对我们教学有怎样的导向作用，并构思如何开展讲评教学，或者由一道题如何训练一类问题，提升解题教学效果，还可以由一道题出发，思考该题与后续哪些知识点关联、呼应，也就是求深、想透、学活的追求.参考文献:[1]刘东升.一次期中考试阅卷随笔[J].中学数学教学参考(中),2016(1/2).[2]华应龙.华应龙与化错教学[M].北京:北京师范大学出版社,2015.[3]刘东升.让开放题引领开放的数学教学[J].中学数学(下),2017(2).[4]郑毓信.“开放的数学教学”新探[J].中学数学月刊, 2007(7).W三、教学建议1.用好教材,构建知识体系教材是教学的蓝本，是课程标准的具体体现，是呈现数学知识的主要载体.在日常教学中，教师要认真研究教材，充分理解教材编写意图及教学要求，同时要加强与其他知识的横向联系，有意识地引导学生构建知识体系，辅助学生进行知识的高效内化，便于学生审题时站在宏观的角度分析问题、解决问题.要用好教材、用活教材，特别是对教材例题、习题，教师一定要进行充分挖掘，最好能进行多维变式，开阔学生的思路，培养学生的应用意识与创新意识.2.注重过程,体现主体地位数学的教学要指向核心素养，而数学学科核心素养的落实不能依赖“短平快”的记忆与模仿，要放慢教学节奏，让学生有充分的、真实的过程性体验.要真正体现学生的主体地位，让学生在经历知识生成的过程中巩固“四基”，在合作交流的过程中积累活动经验，在探究归纳的过程中领悟思想方法，并逐渐内化为自己的经验，形成问题解决的自觉意识.3.深度教学,发展理性思维理性思维是数学的核心思维能力，同时是人格素养的重要部分.发展理性思维、培养理性能力是数学学习的核心任务.教师要通过深度教学来发展学生思维的深度和广度，引导学生深入问题本质，提高学生的横向综合能力和纵向突破能力.教师要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上发挥好主导作用，将数学知识、技能和数学思想方法有机结合在一起，给学生提供展示数学思维能力的平台，彰显数学教学对学生数学思维能力发展的价值.4.注重归纳,探索自然解法追溯中考题的来源，剖析归纳其解法可知：归纳是演绎的源泉.只有做好题后总结归纳，才能演绎出新的解题思路，做好演绎，才能锻炼我们的数学思维.可见归纳与演绎是相辅相成的，只有做到追根溯源，才能达到道法自然的解题境界.参考文献:[1]G·波利亚.怎样解题[M].上海:上海科技教育出版社,2007.[2]任华中.初中数学基本活动经验获得的课堂实践研究[D].济南:山东师范大学,2015.[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012.W。
阿基米德折弦定理的四种常规证法
阿基米德折弦定理的四种常见证法问题：已知M 为 的中点，B 为上任意一点，且BC MD ⊥于D .求证：DC BD AB =+证法一：(补短法)如图：延长DB 至F ，使BF=BA ∵M 为 的中点 ∴AM=MC, ∴∠MAC=∠MC A---① 又∵, ∴MC=MA ∴∠MBC=∠MA C---② 又∵∠MBC+∠MBF=180---③ 由M,B,A,C 四点共圆 ∴∠MCA+∠MBA=180---④ 由①②③④可得：∠MBA=∠MBF在△MBF 与△MBA 中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=MB MB MBF MBA BA BF ∴△MBF ≅△MBA(SAS) ∴MF=MA, 又∵MC=MA ∴MF=MC 又∵MD ⊥CF ∴DF=DC ∴FB+BD=DC 又∵BF=BA∴AB+BD=DC （证毕）证法二：（截长法）如图：在CD 上截取DB=DG ∵MD ⊥BG ∴MB=MG ∴∠MBG=∠MG B---① 又∵，∴∠MBG=∠MAC 又∵∠MAC=∠MCA (已证)，∴∠MBG=∠MC A---② 由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG而∠MGB=∠GMC+∠MCG ∴∠GMC=∠BCA 又∵,∴∠BMA=∠BCA∴∠BMA=∠GMC, 在△MBA 与△MGC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=MC MA GMC BMA MG MB ∴△BMA ≅△GMC (SAS)∴AB=GC, ∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)证法三：（翻折）如图：连接MB,MC,MA,AC, 将△BAM 沿BM 翻折，使点A 落至点E ，连接ME,BE∵△MBA 与△MBE 关于BM 对称，所以△MBE ≌MBA ∴MA=ME, ∠MBA=∠MBE-① 又∵MA=MC, ∴ME=MC , 又∵M, B, A, C 四点共圆，∴∠MBA+∠MCA=180---② 又∵MA=MC(已证) ∴∠MAC=∠MCA 又∵，∴∠MBC=∠MAC ∴∠MBC=∠MCA- --③由①②③得:∠MBC+∠MBE=180 ∴E,B,C 三点共线。
有关折弦定理的几个推论
课程篇有关折弦定理的几个推论吴文龙（甘肃省临潭县回民中学）在同一圆上有公共点的两条弦组成一条折弦。
折弦时常应用于初中数学竞赛试题中，对数学竞赛的辅导与学习具有良好的作用，值得研究和探讨。
下面讨论几个有关折弦的命题。
命题1：如图，若弦AB 、BC 组成☉O 的一条折弦，BC >AB ，D 是弧ABC 的中点，DE ⊥BC ，垂足为E ，则E 是折弦ABC 的中点，即CE=BE+AB .此命题即著名的“阿基米德折弦定理”。
此命题的证明是不难理解的，有此定理的11种证法。
图1该定理常规的证明方法有以下几种：阿基米德折弦定理证法1：补短法如图，延长DB ∵M 是弧ABC 的中点∴∠MCA=∠MAC=∠MBC ∵MBAC 四点共圆∴∠MCA+∠MBA =180°∵∠MBC+∠MBF =180°∴∠MBA=∠MBF ∵MB=MB ，BF=BA ∴△MBF ≌△MBA ∴∠F=∠MAB=∠MCB ∴MF=MC ∵MD ⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD 阿基米德折弦定理证法2：截长法如图，在CD 上截∵MD ⊥BG ∴MB=MG ，∠MGB=∠MBC=∠MAC ∵M 是弧ABC 的中点∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA 又∠MGB=∠MCB+∠GMC ∴∠BMA=∠GMC ∵MA =MC∴△MBA ≌△MGC ∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD阿基米德折弦定理证法3：垂线法如图垂足为H∵M 是弧ABC 的中点∴MA=MC ∵MD ⊥BC∴∠MDC =90°=∠H ∵∠MAB=∠MCB ∴△MHA ≌△MDC ∴AH=CD ，MH=MD 又∵MB=MB∴Rt △MHB ≌Rt △MDB ∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD 命题2：如图，若弦AB 、BC 组成☉O 的一条折弦，BC >AB ，D 是折弦ABC 的中点，DE ⊥BC ，垂足为E ，则E 是弧ABC 的中点，即CE=AB+BE .此命题是命题1的逆命题，就称“阿基米德折弦逆定理”。
阿基米德折弦定理
阿基⽶德折弦定理阿基⽶德折弦定理⼀、取劣弧中点时已知：M点是弧AB的中点，AC+CB是圆中折弦，过M点作MN⊥AC交AC于N点．结论：AN=NC+CB．法⼀：截长取ND=NC，连接DM，则DM=CM，∠MAD+∠AMD=∠MDC=∠MCD=∠MAB=∠MAD+∠BAC，∴∠AMD=∠BAC=∠BMC，易证：△MDA≌△MCB（SAS）∴AD=BC，∴AN=AD+DN=NC+CB．法⼆：补短延长AC⾄D点使得CD=CB，∠MCB+∠MAB=180°，∠MCD+∠MCA=180°，且∠MAB=∠MCA，∴∠MCB=∠MCD易证：△MCB≌△MCD（SAS）∴MD=MB=MA，∴NC+CB=NC+CD=ND=NA，即NA=NC+CB．法三：作垂线连接MA、MB，则MA=MB，考虑∠MAN=∠MBC，过M作MH⊥BC交BC延长线于H点，易证：△MAN≌△MBH（AAS）可得：AN=BH；易证：△MCN≌△MCH（AAS）可得：CN=CH．∴AN=BH=BC+CH=BC+CN．法四：作对称作MP∥AC交圆O于点P，作PQ⊥AC交AC于Q点，连接AP、PM、MC．易证：AQ=CN，QN=OM=CB，∴AN=AQ+QN=CN+CB法五：作平⾏作BD∥AC交圆O于点D，连接AD，连接MD交AC于点E，可证：∠AED=∠MDB=∠ADE，∴AD=AE，⼜BC=AD，∴BC=AE．可证：∠MEC=∠MCE，∴EN=NC，∴AN=AE+EN=BC+BC．⼆、取优弧中点时已知：若M点在劣弧AB上，作MN⊥AC交AC于N点．结论：NC=AN+BC．法⼀：取点C使得CD=CB，易证：△CDM≌△CBM，易证：△DNM≌△ANM可得：NC=AN+BC．法⼆：延长CA⾄C'使得AC'=BC，易证：△MBC≌△MAC'易证：△MNC≌△MNC'可得：NC=NC'=AN+BC．法三：过点M作MN'⊥CB交CB延长线于N'点，易证：△MNA≌△MN'B，易证：△MCN≌△MCN'，可得：NC=N'C=AN+BC．法四：作MP∥AC交圆O于点P，过点P作PQ⊥AC交AC于Q点，连接AM、CP、BM，易证：AM=CP，易证：AM=BM，∴BM=CP，∴MP=BC，∴NC=NQ+QC=PM+AN=BC+AN．。
阿基米德折弦定理逆定理的证明
阿基米德折弦定理逆定理的证明
阿基米德折弦定理是指在一个圆中，连接两点的弦的长度之和大于直径的长度。
而阿基米德折弦定理的逆定理是指，如果在一个圆中，连接两点的弦的长度之和大于直径的长度，那么这两点必定在圆的内部。
证明如下：
假设有一个圆，圆心为O，半径为r。
假设有两个点A和B，连接这两个点的弦AB的长度为d，直径CD的长度为2r。
根据阿基米德折弦定理，d>2r成立。
现在我们来证明阿基米德折弦定理的逆定理，即如果d>2r，那么点A和点B必定在圆的内部。
我们可以假设点A在圆上，点B在圆外。
这种情况下，连接点A和点B的弦AB必定经过圆的外部。
我们可以找到圆上的另外一个点E，使得弦AE和弦BE分别与弦AB相交于点F和点G。
根据圆上的性质，弦AE和弦BE的长度之和小于等于弦AB的长度，即EF+FG≤d。
由于EF和FG小于等于圆的半径r，所以EF+FG≤2r。
另一方面，由于点B在圆外，点F和点G必定在弦AB的同一侧。
那么我们可以构造一个新的弦FH，使得弦FH与弦AB相交于点I，且FI和GI的长度分别等于EF和FG。
根据圆上的性质，弦FH的长度小于等于弦AB的长度，即HI≤d。
由于FI和GI的长度分别等于EF和FG，所以HI=EF+FG≤2r。
我们得到HI≤2r，且HI≤d。
这与假设d>2r相矛盾。
所以假设不成立，即如果d>2r，那么点A和点B必定在圆的内部。
阿基米德折弦定理的逆定理得证。
如果在一个圆中，连接两点的弦的长度之和大于直径的长度，那么这两点必定在圆的内部。
阿基米德折弦定理详解
阿基米德折弦定理详解
《阿基米德折弦定理详解》
阿基米德折弦定理是一种有关三角形的重要定理，它由古希腊数学家阿基米德提出。
它指出：在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方之和减去两倍这两边之间的夹角的余弦。
具体来说，设ABC是一个三角形，a、b、c分别是三边的长度，α、β、γ分别是三个内角的角度，那么阿基米德折弦定理可以表述为：a²=b²+c²-2bc·cosα，b²=a²+c²-2ac·cosβ，
c²=a²+b²-2ab·cosγ。
阿基米德折弦定理由三角形的三条边和三个内角共同构成，它没有任何关于三角形的形状的要求，可以用于任何形状的三角形，即直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
阿基米德折弦定理不仅可以用来求解三角形的面积，而且还可以用来求解三角形的边长，以及求解一些复杂的三角形几何问题。
因此，它在几何学中十分重要，也是许多数学问题的重要理论基础。
阿基米德折弦定理证明
阿基米德折弦定理证明
阿基米德折弦定理是一个关于圆上两点之间弦长和该弦对应的圆周角的正切值之间关系的定理。
其表述为：在同一圆上，连接两点并且不经过该圆心的所有弦中，最长的那条所对应的角比最短那条所对应的角大。
下面是证明：
假设在以O为圆心、半径为r的圆内任意取AB,CD两点，并作AC,BD相交于E，则
∠AOE=∠COE(公共边)
∠DOB=∠BOE(公共边)
由余角性质得：
∠BOD>∠COD
即AB>CD
因此，在同一圆上，连接两点并且不经过该圆心的所有弦中，最长的那条所对应的角比最短那条所对应的角大。
同时通过三次方程变形可得到阿基米德折线公式，
BC^2=AB*CD-AD*BD
以上就是阿基米德折线定理及其证明过程。
阿基米德折弦定理详解及详解
阿基米德折弦定理详解及详解
阿基米德折弦定理(Thales Theorem)又称塔尔特定理，它的定义如下：
如果有三角形ABC，在它的外接圆上有三个点A′,B′,C′，则这三个点满足AA′:BB′:CC′=1:1:1。
阿基米德折弦定理使申明了一个三角形最外面包含了一个外接圆，而这个外接圆分别在三角形每一条边对应的延长线上，但是满足一定的比例关系，也就是说，无论多大的三角形，其外接圆上所确定的三点连接后都存在一个等腰三角形。
在数学上，阿基米德折弦定理的意义在于，它的一个充分必要条件是圆的半径r （OA•OB）与三角形的边长之比等于常数C，即：
OA•OB=C*AB
从而可以推得：
AB²= 2*r*C* AB
此式两边同时乘以AB，可以得出：
AB³= 2*r*C*AB³
即：
AB³:AC³:BC³= 2*r*C:AC³:BC³
将以上式子改形，可以得出：
AB: AC: BC= √(2*r*C):AC:BC
即：
AB:AC:BC = √(2*r*C):√(2*r*C):√(2*r*C)
也就是说，只要知道外接圆的半径，就可以知道三角形ABC折弦定理的等比例。
初中数学：阿基米德折弦定理
初中数学：阿基米德折弦定理
ııllı不去做，就只能停留在现在ııllı
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作者：究竟数学
我只能带你到这扇门了，
后面你必须得自己走过去。
讲义
•阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。
•AB和BC组成圆的折弦，BC>AB，M是弧ABC的中点，MD⊥BC，垂点为D。
则CD=AB+BD。
例题
典例1. 如图，已知等边三角形ABC内接于圆0,AB=2,点D为弧AC上一点，ABD=45°,AE BD于E，求BDC的周长。
典例2. 已知：如图1，在圆o中，C是劣弧AB的中点，直线CD AB于E，易证得：AE=BE，从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。
如图2，PA、PB组成圆o的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD PA于E,
（1)求证：AE=PE+PB
典例3. 如图，ABC内接于圆0，AC>BC，点D为弧ACB的中点，求证：=AC·BC+.
已知圆O是等边ABC的外接圆，P是圆O上一点，求证PA+PB AC+BC.。
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阿基米德折弦定理的四种常见证法
Justin ● 深圳
平面几何内容在整个初中数学知识中占有很重要第位，无论是中考还是平时阶段检测，往往会在几何题目的设置上体现选拔性。
更有人说：“初中数学学得好不好，关键看几何好不好”。
这些虽然仅仅是一些说法而已，但也不无它的道理。
平面几何的确是考察学生的一个很重要的方面，几何学习的关键主要是掌握作辅助线的技巧。
而这些技巧也并非一朝一夕就能掌握的，需要长时间的积累，总结，并应用才能较好掌握。
在整个初中范围内，圆作为一个独立的章节更显现它的重要，并以综合难度大，辅助线的作法较多著称。
下面就以“阿基米德折弦定理”的证明为例来浅谈本人对圆的学习心得。
问题：已知M 为 的中点，B 为
上任意一点，且BC MD ⊥于D .
求证：DC BD AB =+
证法一：(补短法)
如图：延长DB 至F ，使BF=BA ∵M 为 的中点 ∴AM=MC, ∴∠MAC=∠MC A---① 又∵, ∴MC=MA ∴∠MBC=∠MA C---② 又∵∠MBC+∠MBF=180---③ 由M,B,A,C 四点共圆 ∴∠MCA+∠MBA=180---④ 由①②③④可得：∠MBA=∠MBF
在△MBF 与△MBA 中：
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=MB MB MBF MBA BA BF ∴△MBF ≅△MBA(SAS) ∴MF=MA, 又∵MC=MA ∴MF=MC 又∵MD ⊥CF ∴DF=DC ∴FB+BD=DC 又∵BF=BA
∴AB+BD=DC （证毕）
证法二：（截长法）
如图：在CD 上截取DB=DG ∵MD ⊥BG ∴MB=MG ∴∠MBG=∠MG B---① 又∵，∴∠MBG=∠MAC 又∵∠MAC=∠MCA (已证)，
∴∠MBG=∠MC A---② 由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG
而∠MGB=∠GMC+∠MCG ∴∠GMC=∠BCA 又∵,∴∠BMA=∠BCA
∴∠BMA=∠GMC, 在△MBA 与△MGC 中⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=MC MA GMC BMA MG MB ∴△BMA ≅△GMC (SAS)
∴AB=GC, ∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)
证法三：（翻折）
如图：连接MB,MC,MA,AC, 将△BAM 沿BM 翻折，使点A 落至点E ，连接ME,BE
∵△MBA 与△MBE 关于BM 对称，所以△MBE ≌MBA ∴MA=ME, ∠MBA=∠MBE-① 又∵MA=MC, ∴ME=MC , 又∵M, B, A, C 四点共圆，
∴∠MBA+∠MCA=180---② 又∵MA=MC(已证) ∴∠MAC=∠MCA 又∵，∴∠MBC=∠MAC ∴∠MBC=∠MCA- --③
由①②③得:∠MBC+∠MBE=180 ∴E,B,C 三点共线。
又∵ME=MC,MD ⊥CE
∴DE=DC ,∴EB+BD=DC ,又∵△MBE ≌MBA ∴AB=EB
∴ AB+BD=DC(证毕)
证法四：如图，连接MB,MA,MC,AC, 延长AB,过点M 作MH ⊥AB 于点H,
∵M 为的中点 ∴AM=MC, 又∵,∴∠HAM=∠DCM
又∵∠MHA=∠MDC=90 ∴在△MHA 与△MDC 中⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠MA MC DCM HAM MDC MHA
∴△MHA ≌△MDC (AAS) ∴CD=A H---① MD=MH 在RT △MHB 与RT △MDB 中 ⎩
⎨⎧==MB MB MD MH ∴△MDB ≌△MHB (HL) ∴BD=BH 又∵AH=AB+BH, ∴AH=AB+B D-② 由①②可得DC=AB+BD (证毕)
反思：在平时数学教学活动中，尤其是几何学的教学，它可以让觉得数学课枯燥无味的学生顿时感兴趣，更是师生互动的一个很好的媒体。
老师与学生一起想办法，也是一种数学情感的体现。
在圆这一章节，很多学生反映难学，难在辅助线多，方法多，同一个问题灵活多变，不同的出发点会得到不同的解题方法。
本题就是一个很好的例子。
对于一个著名的平面几何定理，我们的证明也仅仅是使用了非常常见的“截长补短”，“对称变换”等方法。
在以后的几何教学过程中多总结出一些通用，常见的解题方法这会让学生受益匪浅的，万变不离其宗，才是数学的特点。