高三数学 22正、余弦定理与解斜三角形

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正余弦定理和解斜三角形专题(含答案)

正余弦定理和解斜三角形【基础梳理引导】1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bca cb 2222-+. 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S --- =Sr(S=2c b a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +…… 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC;(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列. 一、【题型研究】填空题1．在ABC Δ中，已知613πB ,b ,a ===，则=c ___________2或1 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是______5548 3．在ABC Δ中，()()211=++B cot A cot ，则=C sin log 2_______________21-4．在ABC Δ中，313===S ,b ,πA ，则++++C sin B sin A sin c b a 5．在ABC Δ中，若1222=-+C sin B sin A sin C sin B sin ，则=A ________________3π 6．在ABC Δ中，已知42πA ,a ==，若此三角形有两解，则b 的取值范围是_________()222, 7．在ABC Δ中，ac b ,B C A ==+22，则三角形的形状为________________等边三角形8．在ABC Δ中，若22A cos C sinB sin =，试判断三角形的形状___________等腰三角形由22A C B cos sin sin =，得()C B A C B +-=+=cos cos sin sin 112，化简得()1=-C B cos ，ππ<-<-C B ，C B =∴，即ABC ∆是等腰三角形。

(完整版)解斜三角形

解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素题型二：判断三角形的形状题型三：解决与面积有关问题题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。

分析：由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。

【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长（Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。

高三数学正余弦定理、解斜三角形知识精讲通用版

高三数学正余弦定理、解斜三角形知识精讲通用版【本讲主要内容】一. 本周教学内容：正余弦定理、解斜三角形【知识掌握】【知识点精析】1. 三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，三个内角分别为A 、B 、C ，高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r 。

（1）S △=12ah a =12bh b =12ch c（2）S △=12absinC=12acsinB=12cbsinA（3）S △=Pr （其中P 为周长之半，r 为内切圆半径）（4）S ABC =∆ 2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin （＝2R ）。

（其中R 为外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。

（1）已知两角和任一边，求其两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

（从而进一步求出其的边和角）3. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ；① b 2=c 2+a 2－2cacosB ；② c 2=a 2+b 2－2abcosC 。

③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2。

由此可知余弦定理是勾股定理的推广。

由①②③可得：cosA=bc a c b 2222-+；cosB=cab ac 2222-+；cosC=abc b a 2222-+。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

4. 强调几点：（１）利用余弦定理判定△ABC 的形状：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔A+B=2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔A+B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔A+B ＞2π（2）三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点。

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。

如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

正余弦定理及解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。

（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝ c 2。

（勾股定理） A （ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝ 90°； c（ 3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）bsin A ＝cos B ＝ a ，cos A ＝ sin B ＝ b ， tan A ＝ a。

CBcc b2.2．斜三角形中各元素间的关系：a如图 6-29 ，在△ ABC 中， A 、 B 、 C 为其内角， a 、 b 、c 分别表示 A 、 B 、C 的对边。

（ 1）三角形内角和： A ＋B ＋ C ＝ _____（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

ab c2R 。

（ R 为外接圆半径）sin A sin Bsin C3.正弦定理：a＝ b ＝ c ＝2R 的常见变形：sin A sin B sin C(1)sinA ∶ sinB ∶ sinC ＝ a ∶ b ∶ c ；(2)a＝ b c＝ a ＋ b ＋ csin＝sin A ＋ sin ＝ 2R ；A sinBC sinB ＋ sin C(3) a ＝2R sin_ A ， b ＝ 2R sin_ B ， c ＝ 2R sin_ C ；A ＝ aB ＝ bC ＝ c(4)sin2R ，sin 2R ， sin 2R .1114. 三角形面积公式： S ＝ 2ab sin C ＝ 2bc sin A ＝ 2ca sin B .5.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

cos A b2c 2 a 2a 22c 22bccos A2bcba2c 2b 2余弦定理的公式：b 2 a 2 c 22accosB 或cos B .c2b2a22ba cosC2accosCb2a2c22ab6. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （ 2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 .7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 .8. 解题中利用ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B) sin C, cos( A B) cosC, tan(A B)tan C,sin A BcosC,cosAB sinC, tanAB cotC. 2222229.解斜三角形的主要依据是：设△ ABC的三边为 a、 b、c，对应的三个角为A、 B、C。

高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理

基础诊断考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．解析由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝2π，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案等腰三角形或直角三角形

(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。

C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理的公式：或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

正弦定理余弦定理和解斜三角形学习精解

《正弦定理、余弦定理、解斜三角形学习精解》一、复习要求：1．掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。

2．用正弦、余弦定理判断三角形的形状。

二、知识点回顾（1）正弦定理：,22sin sin sin ∆====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径），（∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC(2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bca cb A 2cos 222-+= , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – bc 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b=a 2+b 2 - 2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)三、典型例题分析：例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求bc 的范围分析：角边比转化，可用正弦定理解：1cos 4cos 22cos sin )2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B BB B B B BC b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22<<B ∴ １<４cos 2B-1<3 故 31<<b c 练习1：在∆ABC 中，若sinA=2cosBsinC,则∆ABC 的形状是例2：在∆ABC 中，已知4sinBsinC=1, B>C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。

解：2122cosA 222==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11sin 22sin 31)sin 21cos 23(sin 42=+⇒=+⇒B B B B B B con B 22sin 3=⇒ ∴332tan =B ∴2B=300 或2100 B>C , ∴2B=2100 即 B=1050 ∴A=600 B=1050 C=150练习2：在∆ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小C A B a c b（2）若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c例３：如图，已知Ｐ为∆ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝θ求证cot θ=cotA+cotB+cotC解：在∆ABC 中，APB c PB ∠=sin sin θ [][]θθππ+--=∠-∠-=B c ABO BAP c sin sin ＝Bc sin 同理C a C PB sin )sin(=-θ ∴CC C a C C a B c sin )sin cos cos (sin sin )sin(sin sin θθθθ-=-= ∴sinAsinBsinCcos θ=sinAsinBcosCsin θ+sin 2C sin θ ∴C B A BA B A B A C B A C C cot cot cot sin sin sin cos sin sin cot sin sin sin cot cot ++=++=+=θ 四：作业１．在∆ABC 中，a+b=366+ 030=∠A 060=∠B 求边c 的长２．在∆ABC 中，Ｓ是它的面积，a,b 是它的两条边的长度，Ｓ＝)(4122b a + 求这个三角形的各内角．３．已知圆Ｏ的半径为Ｒ，它的内角三角形ＡＢＣ中，２Ｒ（sin 2A-sin 2C ）=B b a sin )2(- 成立，求三角形ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值． θ A B C P θθ。

第7讲正、余弦定理解斜三角形

正弦、余弦定理解斜三角形【知识网络】1、三角形基本公式（1）内角和定理：A+B+C=180°sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=−，tan()tan A B C +=−； sincos 22A B C +=，cossin 22A B C +=，tan cot 22A B C+=； sin sin A B A B >⇒>.（2）面积公式：S=21ab sinC=21bc sinA=21ca sinB=4abc R= pr =))()((c p b p a p p −−−，其中p =2cb a ++，r 为内切圆半径. （3）射影定理：a = b cos C +c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A . 2、三角形中的边角关系（1）三角形中的边之间的关系：①a b c +>，a b c −<；②勾股定理222a b c +=.（2）三角形中的边角关系：大边对大角，大角对大边. 3、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 4、余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA ，222cos 2b c a A bc+−=5、利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：b sin A <a <b 时有两解；a =b sin A 或a =b 时有解；a <b sin A 时无解. 6、利用余弦定理，可以解决以下三类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；（3）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.【典型例题】【例1】已知：△ABC 中，三边长分别是3，4，求：△ABC 中的最大角.【例2】如图，在△ABC 中，2AC =，1BC =，43cos =C . （1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.【例3】若m ，m +1，m +2是钝角三角形的三条边，求实数m 的取值范围.【例4】在△ABC 中，（1）已知a =3，b =2，B =45°，求A 、C 及边c ；（2）2a =，b =，4A π=，求B ；（3）2a =，4A π=，2sin 3B =，求c .【例5】在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.【例6】求证：（1）求证：平行四边形各边平方和等于对角线平方和. （2）已知：AD 是△ABC 中BAC ∠的平分线.求证：BD ABCD AC=.【同步练习】一、选择题1、在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果2b =a +c ，∠B =6π，△ABC 的面积为23，那么b 等于（）A.231+ B.1+3C.232+ D.2+3 3、下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（）A.sin A +cos A =51B.·＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°4、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b ac =，且2c a =，则cos B =（）A.14 B. 34C.4 D. 3二、填空题5、在△ABC 中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边.若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.6、在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.参考答案【例1】解：223437121cos 234242θ+−==−=−×× ()0,πθ∈∵ 2π3θ∴=【例2】解析：（1）由余弦定理， 2222..cos AB AC BC AC BC C =+−341221 2.4=+−×××=∴AB =（2）由3cos 4C =，且0,C π<<得sin 4C == 由正弦定理:,sin sin AB BC C A =解得sin sin 8BC C A AB ==.所以，cos 8A =.由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=，且29cos 212sin 16A A =−=，故 ()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+=. 【例3】解：()()222120012m m m m m m m ⎧++−+<⎪⎪>⎨⎪++>+⎪⎩∵ 21230m m m >⎧∴⎨−−<⎩ ()1,3m ∴∈ 【例4】（1）解：由正弦定理得：sinA=sin 2a B b ==，因为B =45°<90°且b<a ，所以有两解A =60°或A =120°（1）当A =60°时，C =180°-(A+B )=75°，c=sin sin 75sin sin 452b C B +==当A =120°时，C =180°-(A+B )=15°，c=sin sin15sin sin 452b C B ==（2）解：由题意2> π4B ∴<2πsin sin 4B ∴=1sin 2B ∴= π6B ∴= （3）2sin 3B =∵cos 3B ∴==ππ2sin sin πsin 442223236C B B B B ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∴=−+=+=+=±+×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎝⎠（舍负） 2sin sin 4cC ∴=c ∴==又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°.tan ∴A =tan （45°+60°）=－2sin ∴A =sin105°=sin （45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=4.∴S △ABC =12AC ·AB sin A =12=34）.法二：sin ∵A +cos A =2，① ∴（sin A +cos A ）2=12，2sin ∴A cos A =－12. 0°∵＜A ＜180°，sin ∴A ＞0，cos A ＜0.90°∴＜A ＜180°.∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =32，sin ∴A －cos A ②+①②得sin A .①－②得cos A =4.tan ∴A =sincos A A =4－2以下同解法一.【例6】（1）证明：设DAB α∠=△DAB 中 2222n a b ab =+−cos α ①△ABC 中 ()2222cos πm a b ab α=+−− ② ①+② 222222m n a b ∴+=+ ∴得证（2）△ABD 中sin sin BD ABαβ= ① △ACD 中()sin sin πCD ACαβ=− ② ∴①÷②得BD ABCD AC=同步练习：选择题1-4：BBCB1、B 解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°. 2、B 解析：2b =a +c 平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .由S=21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12，得cos B =ac b c a 2222−+=6212422×−−b b =442−b =23，解得b =1+3. 3、C 解析：由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 4、B 解析略. 填空题 5、26、1＜c ＜5 解析：若c 最大，由cos C ＞0，得c ＜5。

正余弦定理及解斜三角形

正余弦定理及解斜三角形一．正弦定理：在一个三角形中，各边和它的对边的正弦的比相等；且此比值为此三角形外接圆的直径。

即：2sin sin sin a b cR ABC===（R 为三角形ABC 外接圆半径）注：正弦定理变形：① 与外接圆关系 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===、、 ② 边角转换 sin sin sin a b c A B C =：：：：二．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b c a ca B c b a ab C =+-=+-=+-、、注：余弦定理变形（夹角公式）：222222222cos cos cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===、、三．解斜三角形：1．解斜三角形的四种类型：①已知两角及一边；②已知两边及夹角；③已知三边；④已知两边及一边的对角. 前三类的解唯一，第四类需讨论．．．．．．，若A 为锐角，当b sin A ＜a ＜b 时有两解，当a ≥b 时有一解；若A 为钝角，有一解. 2．解斜三角形中常用关系式：（1）三角形内角和定理（2）正弦定理（3）余弦定理（4）边角转换．．．．四．例题解析：例1．在△ABC 中，如果a ＝18，b ＝24，A ＝︒45，则此三角形解的情况为( ).A. 一解B. 两解C. 无解D. 不确定例2．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝︒30，则c 等于( ).A. 25B. 5C. 25或5D. 以上都不对例3．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是( ).A.︒150B.︒120C.︒90D.︒135例4．(1) 在△ABC 中，若B ＝︒30，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC的面积是_____.(2) △ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是_____.例5．在△ABC 中，求证：a 2sin2B+b 2sin2A ＝2absinC例6．在△ABC 中，如果lga-lgc ＝lgsinB ＝-lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状.例7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边.① 若△ABC 面积为23，c ＝2，A ＝ 60，求b ，a 的值.② 若acosA ＝bcosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论.DCABE例8．如图所示，已知在梯形ABCD 中AB ∥CD ，CD ＝2, AC ＝19，∠BAD ＝ 60，求梯形的高.例9．如图所示, 在△ABC 中，若c ＝4, b ＝7，BC 边上的中线AD ＝27, 求边长a.典型题训练：1．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为（）A ．3πB ．6πC ．3π或32πD ．6π或65π2．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值为（）A ．－41B ．41 C ．－32 D ．32 4． △ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC （）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定5．已知三角形的三边长分别为x 2+x +1,x 2－1和2x +1(x ＞1)，则最大角为（） A ．150°B ．120°C ．60°D ．75°6．关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形7．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（） A ．3400B ．33400米 C ．2003 D ．200米8．12．在ABC ∆中，已知三边a 、b 、c 满足()()3a b c a b c ab +++-=，则C ＝ ( )A ．15B ．30C ．45D ．609．在△ABC 中，若∠B =30°,AB =23,AC =2,则△ABC 的面积为___ ___. 10．a 、b 、c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC =123,bc=48,b －c=2,求a正余弦定理及解斜三角形一．正弦定理：在一个三角形中，各边和它的对边的正弦的比相等；且此比值为此三角形外接圆的直径。

高中数学正余弦定理和解三角形

正余弦定理和解三角形的实际应用要求层次重难点正余弦定理 C 使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题解三角形C(一) 知识内容1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a . (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2.(勾股定理) (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； (3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义) sin A ＝cos B ＝a c，cos A ＝sin B ＝b c，tan A ＝a b. 2.斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边. (1)三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π.(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.2sin sin sin a b cR A B C===.(R 为外接圆半径) (3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3.三角形的面积公式：(1)S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高)；例题精讲高考要求板块一：正弦定理和余弦定理正余弦定理和解三角形(2) S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3) S △＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A BA B +；(4) S △＝2R 2sin A sin B sin C .(R 为外接圆半径) (5) S △＝4abcR； (6) S △＝()()()s s a s b s c ---；1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式)(7) S △＝r ·s . 4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C . (1)角与角关系：A +B +C = π；(2)边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a -b < c ，b -c < a ，c -a > b ； (3)边与角关系：正余弦定理. 5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. 6.推论：正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b cA B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+-222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-7.三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-， sincos ,cos sin 2222B C A B C A++== (二)主要方法：1.通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换.2.利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系 .(三)典例分析：【例1】已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=， 3,5a b ==，则BAC ∠=（）A ．30B ．150-C ．150°D ． 30或150°【变式】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=．（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．【变式】 ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值.【变式】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2-c 2=ac -bc ，求∠A 的大小及sin b Bc的值.【变式】已知在ABC ∆中，a =45o B =，c =.【变式】已知：,3,5,7ABC a b c ∆===中求：ABC ∆中的最大角.【变式】已知△ABC 中，AB =1，BC =2，则求角C 的取值范围.【例2】在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【变式】在△ABC 中，若cos cos a A b B =，试判断此三角形的形状.【变式】在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则判断△ABC 的形状.【例3】若△ABC 的三条长分别是3，4，6，求它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比.【例4】已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.【例5】在△ABC 中，BC =a ,AC =b ,a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A +B )=1求：(1)角C 的度数；(2)AB 的长度； (3)△ABC 的面积.【变式】在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆【变式】C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【教师选做】证明海伦公式<教师备案>1.海伦公式的变形形式：①②③④⑤2.海伦公式的其他证明方法证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S △ABC =12aha 入手，运用勾股定理推导出海伦公式.证明：如图ha ⊥BC ，根据勾股定理，得: 222222a a x a y hb y hc x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩x =2222a c b a +-， y =2222a c b a-+∴ S △ABC =12aha=12a此时S △ABC 为变形④，故得证.证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha. 斯氏定理:△ABC 边BC 上任取一点D ，若BD=u ，DC=v,AD=t.则t 2 = 22b u cv uv a+-证明：由证一可知， u =2222a b c a -+，v =2222a b c a+-∴2ah = t 2 =224222222422b a b b c c a c b c a -+++--42222()4a b c a --∴ S △ABC =12aha =12a= 此时为S △ABC 的变形⑤，故得证.证三：余弦定理即本题所采用证法. 证四：恒等式分析：考虑运用S △ABC =r p ，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式.恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么tan 2A · tan 2B + tan 2A · tan 2C + tan 2B · tan 2C = 1证明：如图，tan 2A = r y ① tan 2B = rz ②tan 2C = rx ③根据恒等式，得：1111tan tan tan tan tan .tan222222A B C A B C ++=⋅ ①②③代入，得： 3x y z xyzr r++=∴r2(x+y+z) = xyz ④如图可知：a ＋b-c = (x+z)＋(x+y)-(z+y) = 2x∴x =2a b c +-,同理：y =2b c a +- z =2a cb +-zy BC代入④，得： r 2 ·2a b c ++=()()()8a b c b c a a c b +-+-+-两边同乘以2a b c++，得：r 2·2()4a b c ++=()()()()16a b c a b c b c a a c b +++-+-+-两边开方，得： r ·2a b c ++左边r ·2a b c++= r ·p= S △ABC 右边为海伦公式变形①，故得证.证五：半角定理半角定理：tan2Atan 2Btan 2C证明：根据tan 2A=r y ，∴y ①同理z ②× x ③①×②×③,得：xyz∵由证一，x =2b a c +-=2b a c++-c = p-c y =2b a c -+=2b a c ++-a = p-az =2a b c -+=2b ac ++-b = p-b∴∴∴S △ABC = r ·故得证. 3.海伦公式的推广由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广.由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设p=2a b c d+++,则S 四边形=现根据猜想进行证明.证明：如图，延长DA ，CB 交于点E. 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3,∴△EAB ～△ECDCzy B∴f a e +=e f c +=bdEAB ABCD S S ∆四边形=222b d b -解得： e =22()b ab cd d b +- ①f =22()b ad bcd b+- ②由于S 四边形ABCD =222d b b -S △EAB将①，②跟b =2222()b d b d b +-代入公式变形④，得：∴S 四边形ABCD =2224d b b -2222224()e b e b f -+-=2224d b b -42222222222222224222222222()()()()()4[()]()()()()b ab cd d b b ab cd b d b b ad bc d b d b d b d b +-+-+-+-----=2224d b b -{}422222222222244()()[()()()]()b ab cd d b ab cd d b ad bcd b +--++--+- =2214()d b -22222222224()()[{}{}{}]ab cd d b ab cd d b ad bc +--++--+=2214()d b -22222222442222224()()(2)ab cd d b a b c d d b d b a d b c +--+++--- =2214()d b -222222222222224()()[()()ab cd d b b a b d c d d b a c +--+--+--+ =2214()d b -222222222()[4()()]d b ab cd c d b a -+-+--=1422222222(22)(22)ab cd c d b a ab cd d b a c +++--+-++- =22221[()()][()()]4a c b d b d a c +--+-- =1()()()()4a b c d a b d c a d c b b d c a ++-++-++-++- =()()()()p a p b p c p d ----所以，海伦公式的推广得证.4.海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍.【例6】如图，四边形ABCD 内接于圆O 中，S ABCD =433,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形.(一) 知识内容解斜三角形和证明三角形全等或相似类似，已知条件必须能确定这个三角形，才能求出唯一的其他未知条件的解．如果板块二：正余弦定理的实际应用dcbaOCA已知条件不能确定一个三角形，则可能无解或有两解，如两边和一个非两边夹角．大致可以把解斜三角形用下面的表格来概括：(二)典例分析【例7】如图所示,已知在梯形ABCD 中(//AB CD )，CD =2,AC 60o BAD ∠=,求梯形的高DE .【变式】在△ABC 中，已知4=AB ，7=AC ，BC 边上的中线27=AD ，那么求BC 为多少.【变式】在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD =5，求sin A 的值.【变式】已知△ABC 中,a 、b 、c 为角A 、B 、C 的对边，且a +c =2b ,A –B =60o ,求sin B 的值.【例8】如图，A ,B ,C ,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC =0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01km≈1.414≈2.449)【变式】已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.D【变式】某观测站C 在A 城的南偏西20°方向，由A 城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C 处测得距C 为31km 的公路上B 处有1人沿公路向A 城以v =5km/h 的速度走了4h 后到达D 处，此时测得C 、D 间距离为21km.问这人以v 的速度至少还要走多少h 才能到达A 城.【教师选做】利用正余弦定理证明三角恒等式【例9】在△ABC 中，求证：22cos cos a b A B -+ +22cos cos b c B C -+ +22cos cos c a C A-+=0.【例10】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c , 证明：222sin()sin a b A B C c --=.【例11】在△ABC 中，记BC =a , CA =b , AB =c ，若22299190a b c +-=，则cot cot cot C A B +为多少.<教师备案>规律方法总结：1.要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解.2.两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式.3.记住一些结论：π,,,A B C A B C ++=均为正角，1sin 2S ab C =等.4.余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ⋅=.5.余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量.。

正、余弦定理、解斜三角形

正弦定理、余弦定理、解斜三角形知识归纳1、三角形中的边角关系在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；（2）边与角之间的关系：正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA ，b2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝ccosA＋acosCc＝acosB＋bcosA2、正弦定理的另三种表示形式：3、余弦定理的另一种表示形式：4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；(AAS) （2）已知两边和一边的对角解三角形．(SSA) 5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；(SSS) （2）已知两边和夹角解三角形．(SAS) 6、三角形面积公式：一．选择题1.正弦定理适应的范围是（）A.Rt △B .锐角△ C.钝角△ D.任意△2.在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为（） A.2R B.R C.4R D.R 21(R 为△ABC 外接圆半径)3.△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为（）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形4．△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC（）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确5．已知ABC ∆中，22,45,60=︒=︒=b B A ，则a 的值为（）A ．2B ． 62C ．32D ．22 6．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为（）A ．3πB ．6π C ．3π或32πD ．6π或65π7.(2009·广东高考)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c . 若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝ ( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2 8．ABC ∆中，下列各式中一定成立的是（）A ．B ac a c b cos 2222=-+ B ．A ac b c a cos 2222=-+ C ．B ac c a b cos 2222=-+ D ．C ab c b a cos 2222=-+9、在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a 等于( ) A ．2 B ．6 C ．2 或6 D ．2710、已知在△ABC 中:，sinA: sinB: sinC ＝3: 5 :7，那么这个三角形的最大角是 ( ) A ．135° B ．90° C ．120° D ．150°11．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°12.在△ABC 中，b Cos A =a cos B ，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形13．在ABC ∆中，bc c b a -+=222，则A 等于（）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°14．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形15.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6，则△ABC 的面积等于 ( )A.32 B.34 C.32或 3 D.32或3416．在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝ ( )A.817B.1517C.1315D.131717．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（） A ．3400米 B ．33400米 C ．2003米D ．200米18．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（） A ．3 B ．23C ．23或3D ．3二．填空题19.在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC为；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为 .20.若2,3,x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的范围为 .21．在△ABC 中，若∠B =30°,AB =23,AC =2,则△ABC 的面积为___ ___. 22、已知△ABC 中,A ＝60°,最大边和最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个正实数根,那么BC 边长______．23．在ABC ∆中，若b a >，则A sin B sin （填不等号） 24、在△ABC 中，cos A ＝135,sin B ＝53,则cos C 的值为______. 25．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸标记物C ，测得∠CAB =30°,∠CBA =75°,AB =120m ，则河的宽度为 .三、解答题1.已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和 B .2.已知△ABC 的三边长a =3，b =4，c =37，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC 中，∠A =45°，a =2，c =6，解此三角形.3.(2008全国Ⅱ卷文) 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =．（Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．4.（2007山东文）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若25CA CB =∙，且9a b +=，求c ．6.若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，求BC 边的长17．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sin A cos C＝3cos A sin C，求b.22．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(3-1)海里的B处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向距离A为2海里的C处有我方一艘辑私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间？。

正弦定理余弦定理应用举例要点梳理解斜三角形的常

正弦定理余弦定理
由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.
可有两解，一解或无解
2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
3.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角, 目标视线在水平视线下方叫俯角（如图①）.
2
4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔
P的南偏西75°距塔68海里的M处,下午2时到达这
座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为
3
探究提高解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,
逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.
知能迁移2 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得
B.5 3 海里
C.10海里
D.10 3 海里
解析如图所示，依题意有∠BAC=60°，
∠BAD=75°，
所以∠CAD=∠CDA=15°，
从而CD=CA=10，
在Rt△ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是 5 10（海里/小时）.
0.5
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋
观察站C的距离都等于a km,灯塔A在
的水平角. 3.坡度——坡面与水平面的二面角的度数. 4.仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内
的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角.

解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）。

2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++.3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABCabc S ah ab C ac B bc A R A B C R∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）二、余弦定理1、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bcac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2、余弦定理可以解决的问题：α北东h i l=θ（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.图1 图2 图3 图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A 【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B BC B B ≠∴===-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==75A ∠=，则b =α 北东南西 B目标lh( )A ．2B ．4＋ C ．4— D【答案】 A【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )A ．-12 B ．12C ． -1D ． 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===, 由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ；（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos 2B =，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 3b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()2+==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（I ）求cos B 的值;（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知12,,,cos 32B AC A B C B B ππ=+++=∴==（Ⅱ）解法一：2b ac =，由正弦定理得23sin sin sin 4A CB ==，解法二：2222221,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac+-+-====，由此得22a b ac ac +-=，得a c =所以3,sin sin 34A B C A C π====【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（）A ．B ．CD 2、（2011四川）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（）A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（）A B C ．12 D ．12- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（） A ．23B ．22 C ．21D ．21-5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )A ．3 B ．6 C ．3 D ．66、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（）A ．B ．CD 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是千米。

高中数学解三角形知识点总结

⾼中数学解三⾓形知识点总结三⾓形⼀直是数学中较难的知识点之⼀，⾝为⾼三的同学该如何学号三⾓形知识呢。

以下是由店铺编辑为⼤家整理的“⾼中数学解三⾓形知识点总结”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。

⾼中数学解三⾓形知识点总结解斜三⾓形 1、解斜三⾓形的主要定理：正弦定理和余弦定理和余弦的射影公式和各种形式的⾯积的公式。

2、能解决的四类型的问题：(1)已知两⾓和⼀条边(2)已知两边和夹⾓(3)已知三边(4) 已知两边和其中⼀边的对⾓。

解直⾓三⾓形 1、解直⾓三⾓形的主要定理：在直⾓三⾓形ABC中，直⾓为⾓C，⾓A和⾓B是它的两锐⾓，所对的边A、B、C，(1) ⾓A和⾓B的和是90度;(2) 勾股定理：A的平⽅加上+B的平⽅=C的平⽅;(3) ⾓A的正弦等于A⽐上C，⾓A的余弦等于B⽐上C，⾓B的正弦等于B⽐上C，⾓B的余弦等于A⽐上C;(4)⾯积的公式S=AB/2;此外还有射影定理，内外切接圆的半径。

2、解直⾓三⾓形的四种类型：(1)已知两直⾓边：根据勾股定理先求出斜边，⽤三⾓函数求出两锐⾓中的⼀⾓，再⽤互余关系求出另⼀⾓或⽤三⾓函数求出两锐⾓中的两⾓;(2)已知⼀直⾓边和斜边，根据勾股定理先求出另⼀直⾓边，问题转化为(1);(3)已知⼀直⾓边和⼀锐⾓，可求出另⼀锐⾓，运⽤正弦或余弦，算出斜边，⽤勾股定理算出另⼀直⾓边;(4)已知斜边和⼀锐⾓，先算出已知⾓的对边，根据勾股定理先求出另⼀直⾓边，问题转化为(1)。

拓展阅读：⾼中数学快速提分的学习⽅法⼀、回归基础查缺漏⾼中数学快速提分考⽣应当结合数学课本，把⾼中数学知识点从整体上再理⼀遍，要特别重视新课程新增的内容，看看有⽆知识缺漏，若有就应围绕该知识点再做⼩范围的⾼考复习，消灭知识死⾓。

⼆、重点知识再强化⾼中数学以三⾓、概率、⽴体⼏何、数列、函数与导数、解析⼏何、解三⾓形、选做题为主，也是数学⼤题必考内容，这些板块应在⽼师指导下做⼀次⼩专题的强化训练，熟悉不同题型的解法。

正弦定理余弦定理与解斜三角形

正弦定理、余弦定理和解斜三角形1、正弦定理推导在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==,A则sin sin sin abccABC===b c从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC ==C a B思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1.1-3，当∆ABC是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a Bb A =,则sin sin abA B =， C 同理可得sin sin c bCB =， b a 从而sin sin a b A B=sin cC =A DB (图1.1-3) 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =Abc B ac C ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc21即得：A a sin =B b sin =C c sin证明三：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD D aA a 2sin sin === (R 为外接圆的半径)同理 B b sin =2R ，C csin ＝2R由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC =(1) 理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；(2）sin sin abAB=sin c C =等价于sin sin ab AB =，sin sin cb CB =，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A Bb=。