高一抽象函数专题

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高一抽象函数专题课件精编版

2. 已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且满足： f ( x 2) f ( x) .
(1)求证： f ( x 4) f ( x) ;
(2)若 f (1) 2014 ，求 f (2001) 的值。
3．已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0 恒成立，求 x 的取值范围．
中 g( x) D ,从中求出 x 的范围即为 f g( x) 的定义域。
(注意：定义域一定是指单位 x (自变量)的取值范围)
问题二：.抽象函数求值问题
例 2. 已知 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x y) f (x) f (y) 对一切正实
数 x，y 都成立，若 f (8) 4 ，则 f (2) _______。
5.函数 f(x)对任意的 m、n∈R，都有 f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且 x>0 数； (2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a2＋a－5)<2.
x 0时 1 f (x) 0 , 且对任意 a,b R , 满足
f (a b)
f (a) f (b)
.
1 f (a) f (b)
(1)求 f (0)的值;
(2)求证 f ( x)是奇函数；
(3)判断 f ( x)在R上的单调性
练习
1.若 f (x 2) 的定义域是 1,0 ，求 f ( 2x 1) 的定义域。
f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x >0 时，f(x)<0
(1)判断f ( x)的奇偶性；
(2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)若 f(1)=-2，求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析

高一数学之抽象函数专题集锦一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是( )A.B. C. D.2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =−2对称，若f(−2)=1，则f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. [−2,2]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[4,+∞)D. [0,4]3. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]4. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. B. C. [0,4] D. [1,3]5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={x 2+4x x ≥0 , 4x −x 2 , x <0若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−2 , 1)B. (−1 , 2)C. (−∞ , −1)⋃(2 , +∞)D. (−∞ , −2)⋃(1 , +∞)7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是A. f(−1)<f(0)=f(2)B. f(0)<f(−1)<f(2)C. f(0)=f(2)<f(−1)D. f(−1)<f(0)<f(2)8. 设函数f(x)={x 2−6x +6,x ⩾03x +4,x <0，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是( )A. (113,6]B. (203,263)C. (203,263]D. (113,6) 9. f(x)是定义域在(−2,2)上单调递减的奇函数，当f(2−a)+f(2a −3)<0时，a 的取值范围是( )A. (0,4)B. (0,52)C. (12,52)D. (1,52) 10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1+ x 2>0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( )A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负11. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，则f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是( ) A. (13,23). B. [13,23) C. (12,23) D. (12,23] 12. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5] 13. 若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)+f(x +13)的定义域为( )A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13] 14. 已知函数f(x)={x 2+4x(x ⩾0)4x −x 2(x <0)，若f (2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 15. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)≤f(1)的x 的取值范围是_____．16. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是．17. 奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________．18. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +4)=f(x −2).若当x ∈[−3,0]时，f(x)=6−x ，则f(919)=______．三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）19. 设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)．(1)求f(0)；(2)证明f(x)奇函数；(3)解不等式．20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1∈D,x2∈D，有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)．(Ⅰ)求f(1 )的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；(Ⅲ)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x−6)≤3，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+bx ，且f(1)=2，f(2)=52．(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式，并判断奇偶性；(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增；(Ⅲ)求满足f(1+2t2)−f(3+t2)<0的实数t的取值范围．22.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，(1)求f(0)，f(1)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(3)若对于任意x∈[12,3]都有f(kx2)+f(2x−1)<0成立，求实数k的取值范围．23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x．(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．24.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，证明：(Ⅰ)函数y=f(x)是R上的减函数；(Ⅱ)函数y=f(x)是奇函数.25.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[−1,1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(1)用定义证明函数f(x)在[−1,1]上是增函数;)<f(1−x);(2)解不等式：f(x+12(3)若f(x)≤m2−2m+1对所有x∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．26.定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，有0<f(x)<1，f(4)=1．16(1)求f(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；f(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(3)若x>0时，不等式f(x)f(ax)>14)=1，如果对于0<x<y，都有f(x)> 27.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(−x)+f(3−x)≥−2。

高一抽象函数五大模型总结学生版

高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y=kx
x+y=f x+f y,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
当x>0时，f x<0
1证明：f 0=0;
2证明：函数f x为奇函数；
3证明：函数f x在R上为减函数.
模型二：一次函数模型y=kx-c
x+y=f x+f y+c,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
且当x>0时，f x>-c
1证明：f 0=-c;
2证明：函数g x=f x+c为奇函数；
3证明：函数f x在R上为增函数.
模型三：指数函数模型y=a x
已知定义域为R的函数f x对任意的实数x,y∈R均有x+y=f x f y,且当x<0时，f x>1
f
1证明：f 0=1;
2证明：当x>0时，有0<f x<1;
3证明：函数f x在R上单调递减
模型四：对数函数模型y=log a x
0,+∞均有0,+∞上的函数f x对任意的x,y∈
已知定义在
xy=f x+f y,且当x>1时，f x>0
f
1证明：f 1=0;
2证明：当0<x<1时，f x<0;
0,+∞上为增函数.
3证明：函数f x在
模型五：幂函数模型y=xα
0,+∞上的函数f x对任意x,y∈R均有已知定义在
xy=f x f y,且当x>1时，f x>1
f
1证明：f 0=0;
0,+∞上单调递增.
2证明：函数f x在。

高中数学抽象函数经典综合题33例

抽象函数经典综合题抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查能力的较好途径；抽象函数问题既是难点，又是近几年来高考的热点；1．定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈、，有)()()(b f a f b a f ⋅=+；I ．求证1)0(=f ； Ⅱ．求证：R x ∈∀，0)(>∃x f ；Ⅲ．证明：)(x f 是R 上的增函数；Ⅳ．若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围；2．已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=-且0)1(≠f ；I ．求证：()f x 为奇函数；II ．若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值；3．已知函数)(x f 对任意实数x ，y 恒有)()()(y f x f y x f +=+且当0>x ，0)(<x f ，又2)1(-=f .I ．判断)(x f 的奇偶性；Ⅱ．求)(x f 在区间]3,3[-上的最大值；4．已知)(x f 在)1,1(-上有定义，1)21(-=f ，且满足x ，)1,1(-∈y 有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； I ．证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；II ．对数列211=x ，2112nn n x x x +=+，求)(n x f ；III ．求证+)(11x f +)(12x f +)(13x f 252)(1++->+n n x f n ；5．已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；I ．试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；II ．n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；Ⅲ．若(0)1f =，对任意,m n N ∈，有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12．6．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =；(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-．I ．求(0)f 的值；II ．求()f x 的最大值；III ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈．求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-．7．对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． I ．若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；Ⅱ．判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； Ⅲ．若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．8．已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立；I ．求0x 的值；Ⅱ．若0()1f x =，且对任意正整数n ，有1()12n n a f =+，求数列{}n a 的通项公式；Ⅲ．若数列{}n b 满足1221n n b log a =+，将数列{}n b 的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则如下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：12311112924n c c c c ++++<； 9．设函数)(x f 是定义域在),0(+∞上的单调函数，且对于任意正数y x ,有)()()(y f x f y x f +=⋅，已知1)2(=f ．I ．求)21(f 的值；II ．一个各项均为正数的数列}{n a 满足：)(1)1()()(*∈-++=N n a f a f S f n n n ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求数列}{n a 的通项公式； Ⅲ．在II的条件下，是否存在正数M，使)12()12()12(12221321--⋅-+≥n n na a a n M a a a a ，对一切*∈Nn 成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由．10．定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=1120，，且x >12时，0)(<x f ； I ．设a fnn N n=∈()()*，求数列的前n 项和S n ； II ．判断)(x f 的单调性，并证明；11．设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数m ，n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当0>x 时，1)(0<<x f ； I ．求证：1)0(=f ，且当0<x 时，1)(>x f ；II ．求证：)(x f 在R 上单调递减； Ⅲ．设集合{}A x y f xf y f =>(,)|()()()221·，{}B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=∅，求a 的取值范围；12．定义在R 上的函数)(x f 对任意实数a ．b 都有)()(2)()(b f a f b a f b a f ⋅=-++成立，且f ()00≠； I ．求)0(f 的值；II ．试判断)(x f 的奇偶性；Ⅲ．若存在常数0>c 使f c()20=，试问)(x f 是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由；13．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：①f x x f x f x f x f x ()()()()()1212211-=+-·②存在正常数a ，使1)(=a f ，求证：I ．)(x f 是奇函数；II ．)(x f 是周期函数，并且有一个周期为a 4；14．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：I ．x >0时，01<<f x ()；II ．f x ()在R 上为减函数；即f x ()为减函数； 15．已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x (s i n )(s i n)-≥-22恒成立，求k 的值；16．设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <； I ．判断)(x f 的奇偶性，并加以证明；II ．试问：当20032003≤≤-x 时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； III ．解关于x 的不等式2211()()()()22f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥． 17．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：)()(1)()()(n f m f n f m f n m f ++=+，试回答下列问题：I ．试求)0(f 的值；Ⅱ．判断并证明函数)(x f 的单调性；Ⅲ．若函数)(x f 存在反函数)(x g ，求证：+)51(g +)111(g )21()131(2g n n g >+++．18．已知函数)(x f 对任意实数x ．y 都有)()()(y f x f xy f ⋅=，且1)1(-=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，)1,0[)(∈x f ；I ．判断)(x f 的奇偶性；II ．判断)(x f 在),0[+∞上的单调性，并给出证明；Ⅲ．若0≥a 且39)1(≤+a f ，求a 的取值范围；19．设函数)(x f y =的定义域为全体R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+成立，数列}{n a 满足)0(1f a =，且)12(1)(1+-=+n n n a a f a f （*∈N n ）I ．求证：)(x f y =是R 上的减函数； Ⅱ．求数列}{n a 的通项公式；Ⅲ．若不等式0121)1()1)(1(21≤+-+++n a a a k n 对一切*∈N n 均成立，求k 的最大值．20．函数)(x f 的定义域为D {}0x x =>，满足：对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且1)2(=f ．I ．求)4(f 的值；II ．如果3)62(≤-x f ，且)(x f 在),0(+∞上是单调增函数，求x 的取值范围．21．函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x ．R y ∈，有yx f xy f )]([)(=；③1)31(>f ；I ．求)0(f 的值；II ．求证：)(x f 在R 上是单调增函数； Ⅲ．若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+22．定义在区间),0(∞上的函)(x f 满足：（1）．)(x f 不恒为零；（2）．对任何实数x ．q ，都有)()(x qf x f q =．I ．求证：方程0)(=x f 有且只有一个实根；II ．若1>>>c b a ，且a ．b ．c 成等差数列，求证：)()()(2b fc f a f <⋅； Ⅲ．若)(x f 单调递增，且0>>n m 时，有)2(2)()(nm f n f m f +==，求证：32m << 23．设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．I ．求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；Ⅱ．如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围；Ⅲ．证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域．24．已知函数1)(1)()(+-=x g x g x f ，且)(x f ，)(x g 定义域都是r ，且0)(>x g ，2)1(=g ，)(x g 是增函数，)()()(n m g n g m g +=⋅(m ．R n ∈) ；求证：)(x f 是R 上的增函数25．定义在+R 上的函数)(x f 满足： ①对任意实数m ，)()(x mf x f m =；②1)2(=f ．求证：I ．)()()(y f x f xy f +=对任意正数x ，y 都成立；II ．证明)(x f 是*R 上的单调增函数；Ⅲ．若2)3()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围．26．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈都有5)()5(+≥+x f x f ，1)()1(+≤+x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，求)2002(g ；27．设定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，1)(>x f ，且对任意x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+，2)1(=f ；I ．解不等式4)3(2>-x x f ；Ⅱ．解方程组1)2()3(21)]([2+=++f x f x f ；28、定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数x ，y 都有)()()(y f x f y x f +=+成立，且当0>x 时0)(<x f 恒成立． I ．判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅱ．证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在)3,3[-上总有6)(≤x f 成立，试确定)1(f 应满足的条件；Ⅲ．解关于x 的不等式)()(1)()(122a f x a f nx f ax f n ->-，n 是一个给定的自然数，0<a ； 29．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+I ．求()()0,1f f 的值；Ⅱ．判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅲ．若2)2(=f ，nf u n n )2(-=)(*∈N n ，求数列{}n u 的前n 项的和n S ．30．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间]7,0[上，只有(1)(3)0f f ==． I ．试判断函数()y f x =的奇偶性；Ⅱ．试求方程()0f x =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．31．设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期；32．设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称；对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅； I ．设f ()12=，求f f ()()1214，；II ．证明)(x f 是周期函数；33．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足： ①当1x ，2x 是定义域中的数时，有)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-；②1)(-=a f （0>a ，a 是定义域中的一个数）； ③当a x 20<<时，0)(<x f ；试问：I ．)(x f 的奇偶性如何？说明理由；II ．在)4,0(a 上，)(x f 的单调性如何？说明理由；。

抽象函数_题型大全(例题_含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。

高一抽象函数练习题

高一抽象函数练习题一、选择题1. 已知抽象函数f(x)满足f(1)=2，且对于所有x，都有f(x+2)=3f(x)，求f(3)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 122. 设抽象函数g(x)在实数域上单调递增，若g(3)=5，且g(a)=g(3)，则a的值为：A. 3B. 5C. 8D. 无法确定3. 函数h(x)定义为h(x)=kx+b，其中k和b为常数，若h(1)=3，h(2)=5，求h(3)的值。

A. 7B. 9C. 11D. 13二、填空题4. 若抽象函数f(x)满足f(x)=2x+3，求f(-1)的值。

______5. 设抽象函数g(x)满足g(x)=x^2-4x+4，求g(2)的值。

______6. 若抽象函数h(x)满足h(x)=x^3-6x^2+11x-6，求h(2)的值。

______三、解答题7. 已知抽象函数f(x)满足f(x)=x^2-4x+7，求f(x)的最小值。

8. 设抽象函数g(x)满足g(x)=-x^2+4x，当x在[0,4]区间内时，求g(x)的最大值。

9. 函数h(x)定义为h(x)=x^3-3x^2-9x+5，求h(x)的极值点。

四、证明题10. 已知抽象函数f(x)满足f(x)=x^3-6x^2+11x+6，证明f(x)在x=2处取得极小值。

11. 设抽象函数g(x)满足g(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1，证明g(x)在x=1处取得局部最大值。

五、综合题12. 已知抽象函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=x^2-2x+3和g(x)=2x-1，求f(g(x))的表达式，并求其值域。

13. 设抽象函数h(x)和k(x)分别满足h(x)=x^3-3x^2+2x+1和k(x)=x^2-2x+2，求h(k(x))的表达式，并讨论其单调性。

14. 已知抽象函数f(x)满足f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|，求f(x)的值域。

六、探索题15. 已知抽象函数f(x)满足f(x)=x^2-2ax+a^2-1，探索a的取值范围使得f(x)为单调函数。

(完整)高一数学抽象函数常见题型

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得58)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

高一数学抽象函数常见题型解法综述(下)

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1.已知函数f(x 2)的定义域是［1, 2］,求f (x)的定义域。

解：f (x 2)的定义域是［1, 2］,是指1M x M 2,所以f(x 2)中的x 2满足1 <x 2<4从而函数f (x)的定义域是［1,4］评析：一般地，已知函数 f (9(x))的定义域是 A,求f (x)的定义域问题，相当于已知 f(9(x))中x 的取值范围为A,据此求9(x)的值域问题。

例2.已知函数f(x)的定义域是［—1, 2］,求函数f ［log 1 (3 . x)］的定义域。

2解：f(x)的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f 作用的对象都在［-1, 2］中，由此可得 -1 m log 1(3 - x)三 2二(1)11. 所以函数f ［log 1 (3 —x)］的定义域是［1, 一］ 24评析：这类问题的一般形式是：已知函数 f (x)的定义域是 A,求函数f (中(x))的定义域。

正确理解函数符号这类问题实质上相当于已知邛(x)的值域B,且B J A,据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题1 一一一例3.已知定义域为R 的函数f(x),同时满足下列条件：①f (2)=1, f(6)=—；②f (x ))= f (x)+f(y),5求 f (3) , f (9)的值。

解：取 x = 2, y =3,得 f (6) = f (2) + f(3)1 4 8 因为 f (2) =1, f (6)=一,所以 f (3)= -一又取 x = y = 3 ,得 f(9) = f(3) + f (3)= -一55512<3-x < (-)J2及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

【包哥数学】高中数学--抽象函数专题

【包哥数学】抽象函数专题抽象函数简介抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

抽象函数一些模型根据抽象函数的一些性质，联想到所学的基本初等函数模型，将抽象具体化，有助于分析问题。

例1：f (x)在R +上是增函数，且f (x)=f (yx )+f (y),若f (3)=1,f (x)－f (51 x )≥2，求x 的范围。

例2：设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有f(m+n)=f(m)·f(n)，且x>0时，0<f(x)<1.（1）证明：f(0)=1；且x<0时，f(x)>1;（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（3）设A=｛(x,y)│f (x 2)·f(y 2)>f(1),B=｛(x,y)│f (ax -y+2)=1,a ∈R ｝，若A∩B=∅，确定a 的范围。

抽象函数的对称性（中心对称、轴对称）和周期性①先深刻理解奇函数，偶函数概念②方法：用哪个数代替x一、抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 对称。

推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)（或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。

推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)，又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。

定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点对称。

高一抽象函数练习题

高一抽象函数练习题一、选择题A. 若f(x)是奇函数，则f(x) = f(x)B. 若f(x)是偶函数，则f(x) = f(x)C. 若f(x)是周期函数，则f(x+T) = T，其中T为周期D. 若f(x)在R上单调递增，则f'(x) > 0A. f(x)在R上单调递增B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在（∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增D. f(x)在（∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减二、填空题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 3，f(1) = 5，则f(0) = ______。

2. 设函数f(x) = (1/2)^x，则f(x+1) = ______。

3. 已知函数f(x) = 2x + 3，g(x) = 3x 1，则f[g(x)] =______。

三、解答题1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的单调区间。

2. 已知函数f(x) = (1/2)^x，求f(x)在区间[0，2]上的最大值和最小值。

3. 设函数f(x) = |x1| + |x+1|，求f(x)的值域。

4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)在R上单调递增，求a、b的取值范围。

5. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求证：对于任意实数x，都有f(x) ≥ 2。

6. 已知函数f(x) = 2x + 3，g(x) = 3x 1，求f(x)与g(x)的交点坐标。

7. 设函数f(x) = (1/2)^x，求证：f(x)在R上单调递减。

8. 已知函数f(x) = |x2| |x+2|，求f(x)的零点。

9. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)的图像开口向上，且顶点坐标为（1，2），求f(x)的表达式。

10. 已知函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的极值。

抽象函数精选例题

1第04讲抽象函数一、知识纵横1.抽象函数是指一些没有给出明确解析式的函数，通常用函数性质或函数方程来描述．2.定义域：多为抽象函数()f x 和复合函数定义域互求．3.求值：由函数方程给出的抽象函数通常用赋特殊值法求值．4.单调性抽象函数通常需要用定义法来判断单调性，在比较()1f x 和()2f x 大小时常用作差或作商法．*单调性：设函数的定义域为D ，区间I D ⊆；任取12x x I <∈，（1）若恒满足()()12f x f x <，则称()f x 在I 上是增函数；（2）若恒满足()()12f x f x >，则称()f x 在I 上是减函数．5.奇偶性（1）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；（2）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数．6.对称性中心对称：（1）若()()f x a f x a +=---，则()f x 函数图象关于()0,0对称，()f x 为奇函数；（2）若()()f x a f x a +=--+，则()f x 函数图象关于(),0a 对称，()f x a +为奇函数；轴对称：（1）若()()f x a f x a +=--，则()f x 函数图象关于0x =轴对称，()f x 为偶函数；（2）若()()f x a f x a +=-+，则()f x 函数图象关于x a =轴对称，则有()f x a +为偶函数；7.周期性：对于任意的x D ∈有()()f x T f x +=，则T 为函数()f x 的周期．特别提醒4：抽象函数的要点是函数方程的形式，同号看周期，异号看对称．二、题型突破【题型1抽象函数定义域问题】例1.（1）若()f x 的定义域为[],m n ，且0mn <，0m n +>，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域为（）A ．[],n m -B ．[],n n -C ．[],m m -D ．[],m n -（2）已知函数()2y f x =-的定义域为(]2,4，则函数()y f x =的定义域为________；（3）若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()21f x x-的定义域为__________．答案：（1）由题可得0m <、0n >且m n -<，从而()g x 的定义域为[],m m -；（2）由题()f x 的定义域为[)2,0-；（3）由题()21f x -的定义域为[]0,1，从而()21f x x -的定义域为(]0,1．2【题型2抽象函数求值问题】例2.（1）设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，()112f =，且满足对任意的实数x ∈R ，有()()()22f x f x f +=+，则()5f =_________；（2）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________；（3）函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-，则()2010f =_________；（4）函数()f x 是定义在R 的函数，若对于任意x 恒有()()33f x f x +≤+和()()22f x f x +≥+，且()11f =，则()2005f =_________．答案：（1）()()()()()532221f f f f f =+=+，且()()()112f f f =-+，从而()21f =，代入可得()552f =．（2）由①③可得()11f =，令12x =可知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由②可得当1x =时有1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12x =有1164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当13x =时1194f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数非减可得1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而113384f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）令0x y ==，有()00f =或12，若()00f =，令0y =，则()f x 恒为0，与题目矛盾，从而()102f =，令1y =得()()()11f x f x f x =-++，将x 代为1x +可得()()()12f x f x f x +=++，两式叠加可得()()120f x f x -++=，将x 代为3x +可得()()250f x f x +++=，两式相减可得()()15f x f x -=+，从而可知()()1201002f f ==．（4）由()()33f x f x +≤+可知()()66f x f x +≤+，由()()22f x f x +≥+可知()()66f x f x +≥+，从而()()66f x f x +=+，()()200511f f ==．【题型3抽象函数求解析式】例3.（1）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()21f x y f x y x y -=--+，则()f x =__________________；（2）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =__________________．答案：（1）令0x =，可得()()11f y y y -=--+，从而()()2111f x x x x x =++=++；（2）令1y =，0x =，可得()12f =，令0y =，可得()()111f x x f x =+-=+．【题型4抽象函数单调性问题】3例4.（1）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ，当0a b +≠，都有()()0f a f b a b +>+；若a b >，试比较()f a 和()f b 的大小．（2）奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则()()110x f x -+>的解集为________．答案：（1）将b 代为b -可得()()0f a f b a b ->-，从而函数为奇函数，有()()f a f b >；（2）当10x ->时，()10f x +>可以解得()(),31,1x ∈-∞-- ，此时无解；当10x -<时，()10f x +<可以解得()()3,11,x ∈--+∞ ，此时()3,1x ∈--．【题型5抽象函数奇偶性问题】例5.（1）()f x 的定义域为{}|11D x x =-<<，对于任意的,x y D ∈，均有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，证明：()f x 为奇函数；（2）()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y ∈R ，均有()()()()11f x y f x y f x f y ++=-+-，()12f =，判断()f x 的奇偶性．答案：（1）令0x y ==，可得()00f =，令y x =-，可得()()0f x f x +-=，从而为奇函数；（2）令1x y ==，可得()32f =-，令1x =，1y =-，可得()()()()1311f f f f =--，从而()12f -=-，令1x =-，可得()()f y f y -=-，从而()f x 为奇函数．【题型6抽象函数综合性问题】例6.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：（1）对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=+；当0a >时()0f a >；()21f =．求:（1）证明：()f x 是奇函数；（2）证明：()f x 在R 上单调递增；（3）若()()232f x f x +-<，求x 的取值范围．答案：以下四个题皆为函数方程入门问题，注意函数的特殊值和函数的性质．（1）可以解得()00f =，令b a =-可得函数为奇；（2）易证；（3）()42f =，从而()()234f x x f -<，由单调性可得234x x -<，解得()1,4x ∈-．例7.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=⋅，当0a >时，()1f a >，求：（1）求证：()01f =（2）判断()f x 的单调性，并证明；4（3）若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围．答案：（1）令0a b ==可得()01f =或0，若()00f =，令0b =有()0f a =，与题目不符，从而()01f =；（2）易证函数为增函数；（3）由题可得()()230f x x f ->，从而230x x ->，解得()0,3x ∈．例8.设()f x 的定义域为{}0D x x =≠，满足以下条件：对任意a ，b D ∈有()()()f a b f a f b ⋅=+，当1x >时，()0f x >；（3）()21f =；求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并证明；（3）解不等式：()()23f x f x -->．答案：（1）由题可知()()110f f =-=，从而令1a =-，函数为偶函数；（2）易证函数在()0,+∞单调递增，在(),0-∞上单调递减；（3）可得()83f =，从而不等式可化为()()816f x f x >-，解得1616,22,97x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意a 、b ∈R 都有()()()f ab f a f b =；当01x ≤<时，()01f x ≤<．③()11f -=，()279f =，求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤，求a 的取值范围．答案：（1）令1a =-可得函数为偶；（2）易证函数在()0,+∞上为增；（3）由题可得()2333f =，从而13a +≤解得[]0,2a ∈．【题型7对称性与周期性综合】例10.（1）函数()f x 的定义域为R ，若()()213f x f x ⋅+=，且()12f =，则()99f =___________；（2）函数()201138f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f =______________；（3）函数()1f x +是R 上的偶函数，当01x ≤≤时，()1f x x =+，则()1.4f =___________；（4）函数()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，且()02f =，则()4f =_______；答案：（1）将x 代为2x +，可得()()2413f x f x ++=，从而()()4f x f x =+，则()()139932f f ==；5（2）由题()8f x +为奇函数，从而()()()2828f f +=--+，解得()226f =-；（3）由题可得()()11f x f x +=-+，令0.4x =可得()()1.40.6 1.6f f ==；（4）由()1f x +为奇函数可得()()11f x f x +=--+，由()1f x -为偶函数可得()()11f x f x -=--，将x 代为2x +可得()()13f x f x +=--，从而有()()31f x f x --=-+，从而函数的周期为4，()()402f f ==．三、直通高考例11.（2016上海）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A ．和均为真命题B ．和均为假命题C ．为真命题，为假命题D ．为假命题，为真命题答案：D ．若()0.1f x x =-，()g x x =，则相加为增函数，用类似的方法可以将f ，g ，h 分为三段，每个函数在其中一段上单调递减，从而①为假命题；由题中三个函数相加可得()2f g h ++为周期为T 的函数，从而f g h ++周期为T ，令f g +周期为T ，从而f g --周期为T ，与f g h ++相加可得h 的周期为T ，同理可得②为真．。

抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)

抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。

在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。

注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。

5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。

高一上学期抽象函数知识点

高一上学期抽象函数知识点在高一上学期的学习中，我们接触到了一种非常重要的数学概念——抽象函数。

抽象函数是函数的一种推广形式，它不仅仅可以用来描述数学问题，还可以应用于其他许多领域。

本文将为大家介绍抽象函数的基本概念、性质以及应用。

一、抽象函数的定义和基本概念抽象函数是指一种将一个集合中的元素映射为另一个集合中的元素的规则。

与常见的一一对应函数不同，抽象函数可以将多个元素映射为一个元素，或者一个元素映射为多个元素。

它的定义形式为：f：A→B，其中A为定义域，B为值域。

在抽象函数的定义中，我们需要了解几个基本概念。

首先是定义域，它表示函数能够接受的输入。

其次是值域，它表示函数的输出范围。

还有一个重要的概念是像，它是通过抽象函数映射得到的值。

像可以用来描述函数的实际应用中的结果。

二、抽象函数的性质抽象函数具有一些重要的性质，我们在学习中需要重点掌握。

1. 单值性：抽象函数的像只有唯一的值。

也就是说，对于定义域中的每一个元素，在抽象函数中只能映射为一个值。

2. 多值性：抽象函数的像可以有多个值。

与单值性相反，抽象函数可以将一个输入映射为多个输出。

3. 一对一性：抽象函数中的每一个值只能由一个输入得到。

也就是说，不会有两个或多个不同的元素映射为相同的值。

4. 映射性：每一个定义域中的元素都要在抽象函数中有对应的像。

也就是说，抽象函数中不能有未被映射的元素。

三、抽象函数的应用抽象函数的应用非常广泛，在不同领域都有着重要作用。

1. 数学领域：在数学中，抽象函数可以用来描述有限集合与无限集合之间的关系。

通过抽象函数，我们可以对集合中的元素进行分类和描述，从而深入理解它们的性质。

2. 计算机科学：在计算机科学中，抽象函数被广泛应用于编程语言和算法设计中。

通过抽象函数，我们可以将复杂的问题进行抽象和简化，从而提高程序的运行效率和可读性。

3. 物理学：在物理学中，抽象函数可以用来描述系统的状态和性质。

通过抽象函数，我们可以建立物理现象与数学模型之间的关系，从而推导出一些重要的定理和规律。

高一新课标必修一抽象函数重点题型

一、定义域问题例已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ，从而函数f （x ）的定义域是［1，4］题型一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．题型二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤．所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

高一数学期末复习：抽象函数问题-人教A版(2019)高中数学必修第一册

专题四抽象函数问题【题型1】赋值法求抽象函数的解析式1、设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1f =，并且对,x y R ∀∈都有()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式.2、已知对,x y R ∀∈都有22()2()233f x y f y x xy y x y +-=+-+-，求()f x 的解析式.【题型2】求抽象函数的定义域3、函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是 .4、若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则()sin f x 的定义域为（） A ．R B ．[]1,1- C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．[]sin1,sin1- 5、（1）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，求()21f x +的定义域；（2）已知函数()23f x -的定义域为[)1,3，求()13f x -的定义域．【题型3】求抽象函数的函数值6、函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f 7、定义在实数集上的函数()f x ，对一切实数x 都有(1)(2)f x f x +=-成立，若()0f x =仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )【题型4】判断抽象函数的奇偶性8、已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(2)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意1x ，2[2x ∈，12)()x x +∞≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，若f （a ）(31)f a +，则实数a 的取值范围是( )A ．13[,]24-B ．[2-，1]-C ．1(,]2-∞-D ．3(,)4+∞ 9、若偶函数()()y f x x R =∈满足()(2)f x f x =-，且[1x ∈-，0]时，2()1f x x =-，函数(0)()1(0)lnx x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5-，5]内的零点的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．810、已知函数()f x 对任意实数x ，y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且(1)2f =-．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值；【题型5】抽象函数的单调性与不等式综合问题11、已知函数()f x 在()1,1-上有定义，1()12f =-,当且仅当01x <<时()0f x <,且对任意(),1,1x y ∈-都有()()()1x y f x f y f xy++=+,试证明：（1） ()f x 为奇函数；（2） ()f x 在()1,1-上单调递减.12、已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()f x 在定义域上是单调增函数，()()()f xy f x f y =+．（1）求证：()()()x f f x f y y=-. （2）已知(3)1f =，且()(1)2f a f a >-+，求实数a 的取值范围．答案解析1、解析：由题意，令x y =得，(0)()(21)f f x x x x =--+，则2()(1)11f x x x x x =++=++ 2、解析：因为22()2()233f x y f y x xy y x y +-=+-+-对任意的x,y 都成立，所以令0x y ==，得(0)0f = 再令0y =，得2()2(0)3f x f x x -=+，所以2()3f x x x =+.3、【答案】(2,2][2,2)⋃-【解析】因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x .4、【解析】∵()f x 的定义域是[]1,1-,∴()sin f x 满足1sin 1x -≤≤,∴x R ∈,∴()sin f x 的定义域为R ．故选A ．5、【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为[]0,1，即01x ≤≤，令2011x ≤+≤，即210x -≤≤，解答0x =，故函数()21f x +的定义域为{}0x x =．（2）由题意，函数()23f x -的定义域为[)1,3，即13x ≤<，可得1233x -≤-<，令1133x -≤-<，解得2233x -<≤，所以函数()f x 的定义域为22(,]33-． 6、【答案】1008 【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，再令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ，故()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f 7、【答案】2303 【解析】由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝23对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于23×100＝150 所有101个根的和为23×101＝2303. 8、【解答】解：根据题意，函数(2)y f x =+为偶函数，则函数()f x 的图象关于2x =对称，()f x 对任意1x ，2[2x ∈，12)()x x +∞≠，都有2121()()0f x f x x x -<-，则函数()f x 在[2，)+∞上为减函数，则f （a ）(31)|2||312|f a a a +⇔-+-，即|2||31|a a --，解可得：13 24a-，即a的取值范围为1[2-，3]4．故选：A．9、【解答】解：因为()(2)f x f x=-以及函数为偶函数，所以函数()f x是周期为2的函数．因为[1x∈-，0]时，2()1f x x=-，所以作出它的图象，利用函数()f x是周期为2的函数，如图，可作出()f x在区间[5-，5]上的图象，再作出函数(0)()1(0)lnx xg xxx>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图象，可得函数()()()h x f x g x=-在区间[5-，5]内的零点的个数为6个，故选：B．10、【解答】解：（1）取0x y==，则(00)2(0)f f+=，(0)0f∴=，取y x=-，则()()()f x x f x f x-=+-，()()f x f x∴-=-对任意x R∈恒成立，()f x∴为奇函数；（2）任取12,x x R∈，且12x x<，则21x x->，2121()()()0f x f x f x x∴+-=-<，21()()f x f x∴<--，又()f x为奇函数，∴12()()f x f x>，()f x∴在R上是减函数．∴对任意[3,3]x∈-，恒有()(3)f x f≤-，而(3)(21)(2)(1)3(1)236f f f f f=+=+==-⨯=-，(3)(3)6f f∴-=-=，()f x∴在[3,3]x∈-上的最大值为6；11、证明：(1)由()()()1x yf x f y fxy++=+,令0x y==,得(0)0f=,令y x=-,得()()(0)0f x f x f+-==.∴()f x为奇函数.(2)先证()f x在(0,1)上单调递减.令1201x x<<<,则212112()()()1x xf x f x fx x--=-∵2112011x xx x-<<-∴2112()01x xfx x-<-即21()()f x f x<∴()f x 在(0，1)上为减函数，又()f x 为奇函数且(0)0f =. ∴()f x 在(－1，1)上为减函数.12、【解答】解：（1）因为()()()()xx f x f y f f y y y=⋅=+，所以()()()xf f x f y y=-．（2）因为(3)1(9)(33)(3)(3)2f f f f f =⇒=⨯=+=，又()(1)2f a f a >-+，则()(1)(9)[9(1)]f a f a f f a >-+=-，而函数在定义域上为增函数，则：0910189(1)a a a a a >⎧⎪->⇒<<⎨⎪>-⎩．。

高一抽象函数专题