第4课时 因式分解法
因式分解课程设计方案
因式分解课程设计方案一、教学目标本章节的教学目标旨在让学生掌握因式分解的基本概念、方法和技巧，培养学生运用因式分解解决问题的能力。
具体目标如下：1.知识目标：（1）了解因式分解的定义、目的和意义。
（2）掌握提公因式、公式法、分组分解等常用的因式分解方法。
（3）掌握因式分解在解决实际问题中的应用。
2.技能目标：（1）能够运用提公因式、公式法、分组分解等方法对多项式进行因式分解。
（2）能够运用因式分解解决简单的实际问题。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
（2）培养学生合作交流、归纳总结的能力，提高学生的团队协作精神。
二、教学内容本章节的教学内容主要包括因式分解的基本概念、方法和技巧。
具体安排如下：1.第一课时：因式分解的基本概念和提公因式法。
2.第二课时：公式法及应用。
3.第三课时：分组分解法及综合应用。
4.第四课时：因式分解在实际问题中的应用。
三、教学方法为了提高教学效果，本章节将采用以下教学方法：1.讲授法：讲解因式分解的基本概念、方法和技巧。
2.案例分析法：分析典型例题，引导学生运用因式分解解决问题。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作精神和归纳总结能力。
4.实践操作法：让学生亲自动手进行因式分解，提高学生的实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将准备以下教学资源：1.教材：《数学课程标准》规定的人教版或其他版本初中数学教材。
2.参考书：教师自编或选购的与因式分解相关的辅导书籍。
3.多媒体资料：制作精美的PPT课件，用于辅助讲解和展示例题。
4.实验设备：提供给学生进行实践操作的实验设备，如计算器、白板等。
五、教学评估本章节的教学评估主要包括以下几个方面：1.平时表现：评估学生在课堂上的参与程度、提问回答、小组讨论等方面的表现。
2.作业：评估学生完成作业的质量和速度，重点关注学生对因式分解方法和技巧的掌握情况。
第4课 因式分解
第4课因式分解〖知识点〗因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。
〖大纲要求〗理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。
〖考查重点与常见题型〗考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。
重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。
习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。
因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．(2)运用公式法，即用写出结果．(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.(5)求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么考查题型：1．下列因式分解中，正确的是（）(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2(3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2 从左到是因式分解的个数为（）(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（）(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±104．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ;7．把下列因式因式分解：(1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y28．在实数范围内因式分解：(1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2考点训练：1. 分解下列因式：(1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1(3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1(5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2(9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2(11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1(13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2解题指导：1．下列运算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)(3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且运算正确的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．不论a为何值，代数式－a2＋4a－5值（）（A）大于或等于0 （B）0 （C）大于0 （D）小于03．若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（）（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－14．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,则x2＋y2的值是；5．分解下列因式：(1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6(3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12(5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4＊4。
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(4)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
用因式分解法求解一元二次方程说课稿
用因式分解法求解一元二次方程说课稿尊敬的各位领导、老师，大家好！我是…… 中学的数学教师……，今天我说课的内容是北师大版初中数学九年级上册第二章第4节《用因式分解法求解一元二次方程》。
对于本节课我将从教材与学情分析、教法学法分析、教学过程设计、教学设计说明这四个方面加以阐述。
一、教材与学情分析1.教材的地位和作用：本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的，学习一元二次方程的第三种解法-----因式分解法。
任何一个一元二次方程都可以用配方法和公式法这两种方法中的一种来解，为什么还要学习因式分解法解一元二次方程呢？因为对于某些特殊的一元二次方程，用因式分解法解起来更简便。
培养学生观察思考，避繁就简和一题多解的能力等都具有重要的作用。
因式分解法解一元二次方程既可以复习八年级学过的因式分解的方法，又可以为后续处理有关一元二次方程的问题时提供多一些思路和方法。
2.学情分析：学生在八年级已经学习了因式分解，掌握了用提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。
3.教学目标基于以上对教材的理解和学情的分析，根据新课标对方程的具体要求，并结合我校九年级学生的实际情况，我确定了如下教学目标：知识与技能：了解因式分解法的概念，会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
过程与方法：经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情推理的能力，体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法。
情感态度与价值观：积极探索不同的解法，并和同伴交流，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的兴趣和信心。
4.教学重点难点：重点：应用因式分解法解一元二次方程。
难点：将方程化为一般式后，对方程左侧进行因式分解。
二、教法学法分析1.教法分析根据本节课的教学目标、教学内容以及学生的认知特点，教学上采用以自主探究为主，通过实际问题加深数学与生活的联系，从而使用因式分解法解方程成为一种需要。
8年级(下)培优课程【4】因式分解
【4】因式分解考点一：应用因式分解恒等变形求值例1.若多项式x2﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），则a的值为．例2.已知二次三项式x2+ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为．变式1：若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝，b＝．变式2：若x2+2（m﹣3）x+16＝（x+n）2，则m＝．考点二：待定系数法、赋值法在因式分解中的运用例1.若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为．变式1：已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n＝17，试求m、n 的值．变式2：因为（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2，这说明x2+x﹣2能被x﹣1整除，同时也说明多项式x2+x﹣2有一个因式为x﹣1，另外当x＝1时，多项式x2+x﹣2的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）已知x﹣2能整除x2+kx﹣16，求k的值；（2）已知（x+2）（x﹣1）能整除2x4﹣4x3+ax2+7x+b，试求a、b的值．考点三：根据完全平方公式求值(配方法)例1.已知x2﹣2（m﹣3）x+25是完全平方式，则m＝；若关于x、y的多项式9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则常数k的值为．变式：若多项式x2+（m﹣1）x+25是一个完全平方式，那么m＝．考点四：根据完全平方公式求值(知二求二)例1.已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．变式：（1）已知a﹣b＝6，a2+b2＝10，求ab，（a+b）2的值；（2）x+＝3，求x2+．（3）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2与ab的值；（4）若a+b＝﹣3，ab＝2，求a2+b2与（a﹣b）2的值．考点五：运用配方法求最值例1.阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）求代数式x2+4x+2020最小值．（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．（3）设a＞0，求a2+的最小值，并求出此时a的值．（4）仿照上述方法求代数式﹣x2﹣14x+10的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．考点五：几何图形面积中运用因式分解例1.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解．变式：我们知道，对于一个图形通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请解答下列问题：（1）写出图2所表示的数学等式：；（2）已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝40，利用（1）中所得结论．求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片、若干个长为b宽为a 的长方形纸片，选用这些纸片拼出一个图形，使得它的面积是2a2+7ab+3b2．画出该图形，并利用该图形把多项式2a2+7ab+3b2分解因式．DM AP课堂练习1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．m2﹣2m﹣1 D．2．x2﹣5x+k中，有一个因式为（x﹣2），则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣63．不等式组：的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A．m≥4 B．m≤4 C．m＜4 D．m=44．如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．605．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＜1 D．a﹣b＜06．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图9所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定7．如图10，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA,点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B． C． D．8．若x2+mx﹣n能分解成（x﹣1）（x+4），则m= ，n= ．9．若x同时满足不等式2x+3＞0与x﹣2＜0，则x的取值范围是．10．已知：x2﹣y2=8，x ﹣y=4，则x+y= ．11．已知21012a b-=，20232024ab=，则2224a b ab-的值为．12. 已知12-=m , 则2023202220212m m m +-的值是 ．13．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为52°，则底角B 的大小为 ．14．如图，已知一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）的图象与x 轴相交于点A （3，0）．若正比例函数y mx =（m为常数，且0m ≠）的图象与一次函数的图象相交于点P ，且点P 的横坐标为1，则关于x 的不等式()0k m x b -+>的解集为 ，关于x 的不等式组0,0mx kx b <⎧⎨-<⎩的解集为 ．15．若关于x 的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m 的取值范围是 ．16．已知关于x 的不等式组只有4个整数解，则a 的取值范围是 ．17．解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．253(2)(1)123x x x x 523(1)(2)131522x x x x18. 分解因式.（1）4x 2（y ﹣2）+9（2﹣y ） （2）4﹣m 2+2mn ﹣n 2(3) 321025x x x -+； （4）()()224292m n m n ---．19．我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．物资种类 A B C每辆汽车运载量（吨）12 10 8每吨所需运费（元/吨）240 320 20020．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，已知AC=10，OA=8．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．21．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P 与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°（2）如图2、3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．22．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC ＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB ＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．。
八年级因式分解的四种方法
一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：年月日(星期 )3.因式分解(公式法):(1) 4x2-9；解：原式二(2) 16x2 + 24x + 9 ； 解：原式二(3) -4x2 + 4xy -y2 ；解：原式二 (4) 9(m + n)2 - (m - n)2 ； 解：原式二1.下列由左到右的变形，是因式分解的是 ________________ .①-3x2y2 --3-X2 - y2 ； (2)((2 + 3)(〃 - 3) = "2 一9 ； ④ 2mR + 2mr = 2m(R + r)；③ “2 — Z?2 +1 = (〃 + b)(a -Z?) + l ； (S)x2 -xy + x = x(x - y);⑦尸4y + 4 = (y-2)2.2.因式分解(提公因式法)：(1) 12a2b - 24ab2 + 6ab ；解：原式二- 4 = (m + 2)(m - 2)； (2)一“3 — a2 + Cl ； 解：原式二 (3) (a-Z?)(m + l)-(Z?-a)(M-l);解：原式二⑷ x(x-y)2-y(y-x)2 ；解：原式二(5 ) Xm + Xm-1 . 解：原式二(5)(x + 3y)2 -2(x + 3y)(4x-3y) + (4x-3y)2 ；解：原式二(6) x2(2x-5) + 4(5 -2x)；解：原式二(7) -8ax2 +16axy - 8ay2 ；(8) x4 - y4 ；解：原式二解：原式二(9) a4 -2a2 +1 ；(10) (a2 + b2)2 -4a2b2.解：原式二解：原式二4.因式分解（分组分解法）：(1) 2ax -10ay + 5by - bx；(2) m2 —5m一mn +5n；解：原式二解：原式二(3) 1 -4a2 -4ab-b2 ；(4) a2 + 6a + 9-9b2 ；解：原式二解：原式二♦【典型例题】因式分解(十字相乘法)：(1) x 2 + 4 x + 3 ；解：原式二(2) x2 + x一6 ；解：原式二(3) -x2 + 2x + 3 ；解：原式二(4) 2x2 + x-1 ；解：原式二(5) 3x2 + xy -2y2 ；解：原式二(6) 2x2 +13xy +15y2 ；解：原式二【巩固练习】1.因式分解(分组分解法)：(1)9 ax 2 + 9 bx 2 - a一b；解：原式二(2) a2 -2a + 4b-4b2. 解：原式二2.因式分解(十字相乘法):(1)x 3 - 2 x 2 - 8 x；解：原式二33) x4 -6x2 -27 . 解：原式二(2) x4 一7x2 +12 ；解：原式二三、随堂检测用适当的方法因式分解:(1) (2a一b)2 + 8ab；解：原式二(2) x2 - 2xy + y2 - 2x + 2y +1.解：原式二四、课堂小结五、课后作业用适当的方法因式分解：(1) a 2 - 8 ab +16b 2一c2 ；解：原式二(2) 4xy2 -4x2y- y3 ；解：原式二(3) 2(a -1)2 -12(a-1) +16 ；(4) (x +1)(x + 2) -12 ；解：原式二解：原式二因式分解拓展提高板块一：因式分解知识回顾1、列式子从左边到右边的变形中是分解因式的是( )A. x2 - x + 2 = x(x -1)+ 2 C. x2 -1 =(x + 1)Q -1)B. (a +b)aD. x -1 = x-b)=(.(1 \1 -72-b 2提公因式法一形如ma+mb+mc=m(a+b+c)分解因式：(1) 2a2bc2 + 8ac2 -4abc(2) m(m + n)3 + m(m + n)2 一m(m + n)(m 一n)运用公式法一平方差：a2 - b2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a2 土2ab+b2 = (a土b)2(1) a8 -1 (2) 4a2 +12ab + 9b2(3) 16(2m + n)2 一8n(2m + n) + n2 (4)(x2 + 4y2)2-16x2y2十字相乘法：x 2 + (p + q) x + pq = (x + p)(x + q)(1) x2 + 3x + 2 (2) 6a4 + 11a2b2 + 3b2 (3) x2 -(2m + 1)x + m2 + m - 2分组分解法：分组后能提取公因式，分组后能直接运用公式分解因式(1)3ax+4by+4ay+3bx (2)4x2 -4x- y2 + 4y-3板块二：综合应用例 1 ① x (x -1) + y (y +1) - 2 xy②(xy -1)2 + (x + y - 2)( x + y - 2 xy)③(x+y)(x+y+2xy)+(xy+1) (xy-1)例 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x 3+6 x 2 +11 x + 6板块三：实际应用例3求证：一个三位数的百位数字与个位数字交换后，得到的数与原数之差能被99整除。
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课复习(第4课时整式的除法)
(3) 原式=9x2·4x2 =(9×4)(x2·x2)=36x4；
(4)原式=-8a3·9a2 =[(-8)×9](a3·a2)=-72a5
小试牛刀
2、下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）3a3 ·2a2=6a6 (
×)
(2) 2x2 ·3x2=6x4 (
)
(3)3x2 ·4x2=12x2 ( × )
m8 m8
2.计算：
=
m0
= 1______
≠2
3.若（a-2）0=1,则a ________
单项式与单项式相除的法则
∵
4a 2 x 3 3ab 2 12a 3 b 2 x 3
∴ 12a b x 3ab
3
2
3
2
这相当于
12a b x 3ab
＝
12a 3 b 2 x 3 3ab 2
=abc5+2
(同底数幂的乘法）
=abc7.
根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？
合作探究
单项式与单项式的乘法法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
温馨提示：（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
除
以这个单项式，再 把所得的商 相加 .
温馨提示：把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单
项式问题来解决.
例8 计算：
2
（3）12a 6a 3a 3a
3
3a
12a
6a 2
解：原式=
17.2一元二次方程求根公式(第4课时)(2种题型基础练+提升练)(解析版)
17.2一元二次方程求根公式（第4课时）（2种题型基础练+提升练）考查题型一 公式法解一元二次方程1.24x -【答案】1x =2x =【详解】解：∵4a =，b =-1c =．∴(()22444148b ac D =-=--´´-=，∴x =，∴1x =2x =．2.解方程：220x --=【答案】122, 2.x x =-【详解】解：由题意得：1,2,a b c ==-=-(()22441216b ac \=-=--´´-=V ＞0,2,x \==122, 2.x x \=+=3．解方程：21-【答案】12x x ==【详解】解：23410x x --=a=3, b=-4, c=-1,∴()()2244431280b ac D =-=--´´-=>方程有两个不相等的实数根=即12x x =4．解方程： 2430x x +-=【答案】1222x x =-=-【详解】解：其中143a b c ===-，，，22428b -=得2x ====-即2x =-2x =-所以原方程的根是1222x x =-=-5.解方程：23【答案】12x x ==【详解】原方程可化为：23620x x --=x =12x x ==6.解方程：21=(用公式法)【答案】x 1x 2．【详解】解：23410x x --=，24b ac -=()()24431--´´- =28，x 1x 2．7.解方程：x 2﹣12x ＝4【答案】x 1＝26x =-【详解】解：2124x x -=，21240x x --=，1a =Q ，12b =-，4c =-，\△2(12)41(4)1600=--´´-=>，则6x ===±16x \=+26x =-．8.解方程：（x +2）（x ﹣3）＝4x +8；【答案】x 1=7，x 2=-2【详解】解：方程整理得：x 2-5x -14=0，则a =1，b =-5，c =-14，∵b 2-4ac =25+56=81＞0，∴x =592±，解得：x 1=7，x 2=-2．9．解方程：()()2131x x -+=【答案】1x =，2x =【详解】解：方程整理得：22540x x +-=，这里2a =，5b =，4c =-，Q 224542(4)570b ac D =-=-´´-=>，x \=即1x 2x =．10．用公式法解方程：x 2﹣﹣3＝0．【答案】x 1x 2【详解】解：∵x 2x -3=0，∴13a b c ==-=-，，∴()22Δ=4=-41-3=8+12=20b ac -´´，∴x ==，∴x 1x 211.解方程：230x --=．【答案】1x =，2x =-【详解】解：1a =Q ，b =-3c =-，224(41(3)81220b ac \-=--´´-=+=，x \===即1x =2x =考查题型二 公式法解一元二次方程的应用12.已知等腰三角形的周长为20,腰长是方程212310x x -+=的一个根,则这个等腰三角形的腰长为_______.【答案】6+【详解】212310x x -+=公式法解得：1266x x ==（1）当腰长为6时，由周长可得，底边为202(68-´+=-（686->；（2）当腰长为6202(68-´=+系（668<+.13.阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．【答案】1233,x x x ===【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===．14.解方程：()()2210290x x --++=【答案】1277x x =+=-【详解】解：()()2210290x x --++=整理，得：21470x x --=1,14,7a b c ==-=-224(14)41-7b ac =-=--´´V （）=224>0∴7x ===±1277x x =+=-15.用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为536a b c ==-=，，，则011142<-=-ac b ，所以原方程无解；（2）整理可得：0145142=++x x ，则042<-ac b ，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．16.用公式法解下列方程：（120x --=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【答案】（1）221-=x ，22=x ；（2）4531+=x ，4532-=x ；（3）41751+=x ，41752-=x ．【解析】（1）∵1a b c ==-=，942=-ac b ，∴2231±=x ，∴原方程的解为：221-=x ，22=x ；（2）整理可得：01642=+-x x ，461a b c ==-=，，，则2042=-ac b ，8526±=x ，∴原方程的解为：4531+=x ，4532-=x ；（3）整理可得：01522=+-x x ，251a b c ==-=，，，则1742=-ac b ，4175±=x ，∴原方程的解为：41751+=x ，41752-=x ．17.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．【解析】（1）∵c b 42+=D ，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：22100x a --=，∵2222400a b a D =+≥，∴原方程的解为：1x ，2x =．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．18.设m 是满足不等式1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程（x ﹣2）2+（a ﹣m ）2＝2mx +a 2﹣2am 的两根都是正整数，求m 的值．【答案】1、4、9、16、25、36、49【详解】将方程整理得：x 2﹣（2m +4）x +m 2+4＝0，∴x 2+m ，∵x ，m 均是整数且1≤m ≤50，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1、4、9、16、25、36、49．19．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？ ()()310=1x x +-解：()31x +=或()10=1x -．解得2x =-或11x =．所以12x =-，211x =．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：取()3x +与()10x -的平均值72x æö-ç÷èø，即将()3x +与()10x -相加再除以2．那么原方程可化为713713=12222x x æöæö-+--ç÷ç÷èøèø左边用平方差公式可化为22713=122x æöæö--ç÷ç÷èøèø．再移项，开平方可得x =请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：关于x 的方程()200++=¹ax bx c a 的求根公式（此时240b ac -≥）．【答案】)240x b ac =-≥【详解】∵()200++=¹ax bx c a ∴2b c x x a a+=-∴b c x x a a æö+=-ç÷èø 取x 与b x a æö+ç÷èø的平均值2b x a æö+ç÷èø，即将x 与b x a æö+ç÷èø相加再除以2，即b 2x b a x 22a+=+ 那么原方程可化为：2222b b b b c x x a a a a a æöæö+-++=-ç÷ç÷èøèø 左边用平方差公式可化为：2222b b c x a a a æöæö+-=-ç÷ç÷èøèø 再移项可得：222224244b c b ac b x a a a a -+æö+=-+=ç÷èø240b ac -≥Q开平方可得：b x 2a =-±2b a -=．。
12-5 (选学)第4课时 十字相乘法(课件)华东师大版八年级数学上册
9．把下列多项式分解因式：
(1)y2－20y＋99； 解：原式＝(x－9)(x－11)． (2)x2y2－7xy－44； 解：原式＝(xy－11)(xy＋4)． (3)(x＋y)2－5(x＋y) －36； 解：原式＝(x＋y－9)(x＋y＋4)． (4)(a＋b)2－2(a＋b)y －8y2. 解：原式＝(a＋b－4y)(a＋b＋2y)．
第12章 整式的乘除
12．5 因式分解 (*选学)第4课时 十字相乘法
知识点 十字相乘法分解因式 1．十字相乘法：对于二次三项式 x2＋px＋ab，如果 p＝a＋b，用十字表示
为
得到因式分解：x2＋px＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
2．对于二次三项式 mnx2＋px＋ab，如果 p＝mb＋na，用十字表示为 得到因式分解：mnx2＋px＋ab＝(mx＋a)(nx＋b)．
考点 1 二次项系数为 1 的二次三项式因式分解 例 1 把下列多项式分解因式： (1)x2＋3x＋2； (2)x2－5x＋6； (3)x2＋x－2； (4)x2－2xy－15y2. 【答案】解：(1)原式＝(x＋1)(x＋2)． (2)原式＝(x－2)(x－3)． (3)原式＝(x＋2)(x－1)． (4)原式＝(x－5y)(x＋3y)．
思维拓展 13．分解因式：3xy＋y2＋3x－4y－5. (提示：将式子中的 x 看作常数) 解：原式＝y2＋(3x－4)y＋(3x－5) ＝(y＋3x－5)(y＋1)．
11．若 x2＋px＋6 可以分解因式，那么整数 p 的取值是7、－7、5、－5 ．
12．分解因式： (1)(x－7)(x－8)－6； 解：原式＝x2－15x＋56－6 ＝x2－15x＋50 ＝(x－5)(x－10)．
(2)x2(x2＋5)－6； 解：原式＝x4＋5x2－6 ＝(x2＋6)(x2－1) ＝(x2＋6)(x＋1)(x－1)． (3)(a2－2a)(a2－2a－2)－3. 解：原式＝(a2－2a)2－2(a2－2a) －3 ＝(a2－2a－3)(a2－2a＋1) ＝(a－3)(a＋1)(a－1)2.
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
《第4课时解一元二次方程—配方法优秀获奖教案
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
第4课时解一元二次方程—配方法预设目标1、会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能教学重难点重点：掌握配方法解一元二次方程。
难点：把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。
教具准备教法学法合作，探究，讨论教学过程一、自主学习感受新知【问题1】填空（1）x2-8x+___=（x-__）2；（2）9x2+12x+___=（3x+__）2；（3）x2+px+ _ __ =（x+__ _）2．【问题2】若4x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值是。
【问题3】要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为m，根据矩形面积为16 m2，得到方程，整理得到。
二、自主交流探究新知【探究】怎样解方程x2+6x-16=0？对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？【归纳】通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程三、自主应用巩固新知【例1】用配方法解下列方程：⑴x2+10x+9=0 ⑵x2-12x-13=0⑶9x2+6x-3=0【分析】设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．四、当堂练习教材P33练习题第1、2题五、自主总结拓展新知左边不是含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．板书设计解一元二次方程——配方法（2）配方法例1例2 例3学生练习作业教材第41页：习题A组第2题[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
第四章-因式分解(复习课)教学设计精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版
第四章因式分解（复习课）教学设计
【教学目标】
1.进一步理解因式分解的概念和意义，了解因式分解和整式乘法的关系——方向相反的恒等变形；
2.复习提公因式法、公式法因式分解的过程，会综合运用提公因式法、公式法分解因式；
【教学重点】综合运用提公因式法、公式法分解因式.
【教学难点】根据题目的结构特点，选择合理的方法进行因式分解.
【教学思路】情境导入→知识回顾→例题讲解→练习巩固→中考链接→小结→作业布置
【教学过程】
环节一：情境导入
环节三：例题讲解
1.本单元复习题。
初中数学一元二次方程的解法(三)因式分解法(学生版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第04课 一元二次方程的解法（三）--因式分解法课程标准课标解读1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。
掌握一元二次方程的简便算法；知识点01 因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理为：如果0a b ，那么0a或0b；推广到一元二次方程中：若一元二次方程()()0ax b mx n ，那么或，解得两个实数根。
1.c 特殊因式分解法解一元二次方程： 我们已知20(0)axbx c a 中，c=0时，方程必有一根为0：因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。
2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 提公因式法 2()()0ax b ax b 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式； 完全平方公式法2222()a abb ab使用场景：等号一侧为完全平方式（即计算△=0） 平方差公式法22()()a b a b a b使用场景：平方减平方形式：例如22()-()0axb mx n十字相乘法2121212()=()()x x x x x x x x x x使用场景：前两种方法都不能用时；【知识拓展】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的知识精讲目标导航积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程20axbx c有两个实数根12,x x ，那么可以将一元二次方程写成：12()()0xx x x ，化简得21212()0x x x xx x ；有对应相等得：22221212121200()0()0b c x x ax bx c a axx x xx x x x x x x x可得：当二次项系数为1时，一次项系数b 为两实数根和的相反数；常数项c 为两实数根的积； 对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。
第4课时 因式分解
一、选择题(每题5分，共15分)1．[2012·济宁]下列式子变形是因式分解的是( B ) A ．x 2－5x ＋6＝x ()x －5＋6B ．x 2－5x ＋6＝()x －2()x －3C.()x －2()x －3＝x 2－5x ＋6D ．x 2－5x ＋6＝()x ＋2()x ＋32．[2012·凉山州]下列多项式能分解因式的是( C ) A ．x 2＋y 2B ．－x 2－y 2C ．－x 2＋2xy －y 2D ．x 2－xy ＋y 23．[2013·佛山]分解因式a 3－a 的结果是( C ) A ．a (a 2－1)B ．a (a －1)2C ．a (a ＋1)(a －1)D ．(a 2＋a )(a ＋1)【解析】 首先提取公因式a ，再利用平方差公式进行二次分解a 3－a ＝a (a 2－1)＝a (a ＋1)(a －1)，故选C.二、填空题(每题5分，共25分)4．[2013·广东]分解因式：x 2－9＝__(x ＋3)(x －3)__．5．[2013·黄冈]分解因式：ab 2－4a ＝__a (b －2)(b ＋2)__．6．[2013·南充]分解因式：x 2－4(x －1)＝__(x －2)2__．7．[2013·北京]分解因式：ab 2－4ab ＋4a ＝__a (b －2)2__．8．[2013·潍坊]分解因式：(a ＋2)(a －2)＋3a ＝__(a ＋4)(a －1)__．三、解答题(共14分)9．(6分)[2011·广州]分解因式：8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy .解：8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy＝x 2－16y 2＝(x ＋4y )(x －4y )．10．(8分)[2011·三明]给出三个多项式：2a 2＋3ab ＋b 2，3a 2＋3ab ，a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．解：本题答案不唯一；选择加法运算有以下三种情况：(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(3a 2＋3ab )＝5a 2＋6ab ＋b 2＝(a ＋b )(5a ＋b )；(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )＝3a 2＋4ab ＋b 2＝(a ＋b )(3a ＋b )；(3a 2＋3ab )＋(a 2＋ab )＝4a 2＋4ab ＝4a (a ＋b )．选择减法运算有六种情况，选三种供参考．(2a 2＋3ab ＋b 2)－(3a 2＋3ab )＝b 2－a 2＝(b ＋a )(b －a )；(2a 2＋3ab ＋b 2)－(a 2＋ab )＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2；(3a 2＋3ab )－(a 2＋ab )＝2a 2＋2ab ＝2a (a ＋b )．11．(4分)[2013·衡阳]已知a ＋b ＝2，ab ＝1，则a 2b ＋ab 2的值为__2__．12．(4分)[2013·枣庄]若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为__12__．13．(4分)[2013·徐州]当m ＋n ＝3时，式子m 2＋2mn ＋n 2的值为__9__．14．(15分)[2014·预测题]分解因式：(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36.【解析】 将a ＋b 看作一个整体，应用完全平方公式进行因式分解． 解：(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36＝[(a ＋b )－6]2＝(a ＋b －6)2.15．(9分)已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足等式a 2－c 2＋2ab －2bc ＝0，试说明△ABC 是等腰三角形．解：∵a 2－c 2＋2ab －2bc ＝0，∴(a ＋c )(a －c )＋2b (a －c )＝0，∴(a －c )(a ＋c ＋2b )＝0.∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a＋c＋2b>0，∴a－c＝0，∴a＝c，∴△ABC是等腰三角形．16．(10分)已知x2－x－1＝0，求－x3＋2x2＋2 014的值．解：∵－x3＋2x2＋2 014＝－x3＋x2＋x2＋2 014＝x(－x2＋x)＋x2＋2 014；①又∵x2－x－1＝0，∴－x2＋x＝－1，②将②代入①，得原式＝x(－1)＋x2＋2 014＝－x＋x2＋2014＝－(－x2＋x)＋2 014；③将②代入③，得原式＝－(－1)＋2 014＝2 015.。
一元二次方程的应用-第4课时-数字+营销+动态几何问题
实际问题与一元二次方程 (第4课时)数字问题+营销问题+动态几何问题导学探究：典例探究：一元二次方程的应用——营销问题（“每每型”问题）每每型问题指“每降低多少单价，每次就增加多少销量”或“每增加多少单价，每次就减少多少销量”的问题，关键是找出两个“每次”代表的数量，并用未知数表达出来，然后根据等量关系列出方程求解．1．一元二次方程的应用——数字问题【例1】（2014秋•冠县校级期末）一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数．【解析】设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），则这个两位数为[10（x﹣3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程求解．解：设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据题意得10（x﹣3）+x=x2原方程可化为：x2﹣11x+30=0，∴x1=5，x2=6，当x=5时，x﹣3=2，两位数为25；当x=6时，x﹣3=3，两位数为36.答：这个两位数是25或36．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．练1．练1 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.【解析】设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2），则这个两位数为10（x-2）+x，然后根据这个两位数等于其数字之积的3倍列方程，并解方程即可.解：设这个两位数字的个位数字为x，则十位数字为（x-2）.根据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），原方程可化为：3x2-17x+20=0,因式分解，得（3x-5）（x-4）=0，解得x1=53，x2=4.因为x为整数，所以x=53不符合题意，x=4.10（x-2）+x=24，所以这个两位数是24.点评：本题考查了一元二次方程的应用中的数字问题.注意：在求得解后，要进行实际意义的检验，舍去不符合题意的解.练2．练2（2015•河北模拟）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【解析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的一元二次方程的结果为2，列式求值即可．解：由题意得：m2+（﹣2m）﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0，（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1．故选：D．点评：考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键．2．一元二次方程的应用——营销问题【例2】（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意，得（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，定价为：60-4=56（元），答：应将销售单价定为56元．点评：本题考查了一元二次方程应用，从题中找到关键描述语，并找出等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．练3．（2015•淮安）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【解析】（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．点评：本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．3．一元二次方程的应用——动态几何问题【例3】（2015春•寿县校级月考）如图△ABC，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．【解析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可求出时间；（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据△=b2﹣4ac进行判断．解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．∵AP=1•x=x，BQ=2x，∴BP=AB﹣AP=6﹣x，∴S△PBQ =×BP×BQ=×（6﹣x）×2x=8，∴x2﹣6x+8=0，解得：x=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2.（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，则S△PBQ =×（6﹣y）×2y=10，即y2﹣6y+10=0，因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，所以△PBQ的面积不会等于10cm2．点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解并作出判断．练4（2015春•慈溪市校级月考）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：【解析】（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，B1C=x+0.7，根据勾股定理求出A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．在Rt△A1B1C中，由勾股定理得到B1C2+A1C2=A1B12，依此列出方程方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程即可；（2）设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，根据勾股定理可得（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，再解即可．解：（1）设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=﹣0.4=2．而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程（x+0.7）2+22=2.52，解方程得x1=0.8，x2=﹣2.2（不合题意舍去），∴点B将向外移动0.8m．故答案为（x+0.7）2+22=2.52，0.8，﹣2.2（不合题意舍去），0.8；（2）有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有（x+0.7）2+（2.4﹣x）2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0（不合题意舍去）．故当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．点评：本题主要考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．夯实基础一、选择题1．已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A．5和9 B．﹣9和﹣5 C．5和﹣5或﹣9和9 D．5和9或﹣9和﹣52．（2014•鄂城区校级模拟）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低（）元．A．0.2或0.3 B．0.4 C．0.3 D．0.23. 如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，那么组成第12个黑色形的正方形个数是（）A．44 B．45 C．46 D．47．二、填空题4．（2014秋•娄底校级期末）若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是______．5．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价_____元时，商场日盈利可达到2100元．三、解答题6．（2015•谷城县模拟）怎样用一条长40cm的绳子围成一个面积为96cm2的矩形？能围成一个面积为102cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由．7．（2015春•江阴市期末）某大学生利用暑假社会实践参与了一家网店经营，该网店以每个20元的价格购进900个某新型商品．第一周以每个35元的价格售出300个，第二周若按每个35元的价格销售仍可售出300个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个）．（1）若第二周降低价格1元售出，则第一周，第二周分别获利多少元？（2）若第二周单价降低x元销售一周后，商店对剩余商品清仓处理，以每个15元的价格全部售出，如果这批商品计划获利9500元，问第二周每个商品的单价应降低多少元？8．（2014•江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P 点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．9.（2015春•汕头校级期中）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）夯实基础答案：一、选择题1．【解析】设其中一个数是x，另一个数是（x+4），依题意列出方程．解：设其中一个数是x，另一个数是（x+4），则x（x+4）=45，整理，得（x+2）2=49，x+2=±7，解得 x1=5，x2=﹣9．则x+4=9或x+4=﹣5．故这两个数是5、9或﹣9、﹣5．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．2．【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得（3﹣2﹣x）（200+）﹣24=200．解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．∵200+＞200+，∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．故选：C．点评：本题考查了一元二次方程的应用，通过生活实际较好地考查学生“用数学”的意识．注意题目的要求为了减少库存，舍去不合题意的结果．3.【解析】看后面每个图形中正方形的个数是在3的基础上增加几个4即可．解：第1个黑色“”形由3个正方形组成，第2个黑色“”形由3+4=7个正方形组成，第3个黑色“”形由3+2×4=11个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“”形的正方形个数是3+（n﹣1）×4=4n﹣1．故组成第12个“”的正方形个数是：4×12﹣1=47．故选：D．点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形与第1个图形中正方形个数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题4．【解析】设这两个连续偶数为x、x+2，根据“两个连续偶数的积是224”作为相等关系列方程x（x+2）=224，解方程即可求得这两个数，再求它们的和即可．解：设这两个连续偶数为x、x+2，则x（x+2）=224解之得x=14或x=﹣16则x+2=16或x+2=﹣14即这两个数为14，16或﹣14，﹣16所以这两个数的和是30或﹣30．点评：找到关键描述语，用代数式表示两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．【解析】根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．三、解答题6．【解析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20﹣x）=96或x（20﹣x）=102，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．解：设所围矩形的长为xcm，则所围矩形的宽为（20﹣x）cm，（1）依题意，得 x（20﹣x）=96，化简，得x2﹣20x+96=0．解，得x1=8，x2=12．当x=8时，20﹣x=12；当x=12时，20﹣x=8．所以，当所围矩形的长为12cm，宽为8cm时，它的面积为96cm2．（2）依题意，得 x（20﹣x）=102化简，得x2﹣20x+102=0．∵△=b2﹣4ac=（﹣20）2﹣4×102=400﹣408=﹣8＜0，∴方程无实数根．所以用一条长40cm的绳子不能围成一个面积为102cm2的矩形．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，熟练应用根的判别式是解题关键．7．【解析】（1）根据利润=每个的利润×销售量列式计算即可求解；（2）设第二周每个商品的单价应降低x元，根据这批商品计划获利9500元建立方程，解方程即可．解：（1）第一周获利：300×（35﹣20）=4500（元）；第二周获利：（300+50）×（35﹣1﹣20）=4900（元）；（2）根据题意，得：4500+（15﹣x）（300+50x）﹣5（900﹣300﹣300﹣50x）=9500，即：x2﹣14x+40=0，解得：x1=4，x2=10（不符合题意，舍去）．答：第二周每个商品的销售价格应降价4元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．8．【解析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．9.【解析】（1）如图1，当t=1时，就可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6﹣2=4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．。
12.2因式分解的方法(第4课时 十字相乘法)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
解法：
am＋an＋bm＋bn
＝(am＋an)＋(bm＋bn)
＝a(m＋n)＋b(m＋n)
＝(m＋n)(a＋b)．
观察上述因式分解的过程，解答下列问题：
(1)分解因式：mb－2mc＋b2－2bc；
解：原式＝(mb－2mc)＋(b2－2bc)
＝m(b－2c)＋b(b－2c)
＝(b－2c)(m＋b)；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－4bc＋4ac－ab＝0，判
−2
4 2 − 11 − 12.
1
1
−2
6
4 2 − 11 + 12
= + 1 − 12 .
1
1
1
−12
新知探究
如何将 2 + 7 + 12 2 因式分解？
类比二次三项式 2 + 7 + 12的因式分解，同样考虑十字相乘法.
将 2 + 7�� + 12 2 看作关于的二次三项式，它的二次项系数是1，
.
一次项的系数
课本例题
例7
1 2 + 7 + 12;
解 1 2 + 7 + 12
= +3 +4 .
2 2 − 8 + 12;
1
1
3
4
3 2 + 4 − 12；
3 2 + 4 − 12
= −2 +6 .
2 2 − 8 + 12
= −6 −2 .
1
1
−6
如果关于x的二次三项式 2 + + 的常数项q能分解成两个因
数与的积，且一次项系数p又恰好等于a + b,那么 2 + + 就可
一元二次方程的解法(4)因式分解法课件全面版
两因式 各求解
布置作业 1、家庭作业：练习册17.2（5） 2、课堂作业:课本习题17.2第4题； 3、预学下一课时内容。
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
一元二次方程的解法(4)--因式分解法课堂实录
1 22.
2 一元二次方程的解法（
4）——因式分解法
课堂实录师：前面我们学习了几种一元二次方程的解法？直接开平方法配方法公式法。
那么我们掌握
得怎样，还有其他方法解一元二次方程吗？今天，我们就一起来学习
一元二次方程的解法（4）——因式分解法。
首先我们来复习配方法公式法解一元二次方程
师：看下面的问题：（投影）
【活动1】
解下列方程：（配方法）
(1) X 2－8x+15＝0
(2)3X 2
-5x+2＝0
学生解方程，教师巡视，适当辅导。
一位学生上台书写详细过程，有示范作用，注意学生解题准确率。
【活动2】
解下列方程：（公式法法）
(1) 2X 2－x-3＝0
(2) X 2+6x-7＝0
老师：1. 复习求根公式
2.学生解方程，教师巡视，适当辅导。
学生：一位学生上台板演,其他学生学出详细过程。
【活动3】
问题：要使两个数的乘积为零要满足什么条件？--------------
师：问题中选择以提问作为本课的开端，有益于培养学生的思维。
通过猜想，发现问题，可以激发学生的探究欲。
如果 a b=0,那么11例:解方程 x(x-5)=0，x 2=
x 1例2:方程( x+3)(2x-8)=0的解是x 2=
x。
乐课力七年级数学秋季班第4讲因式分解(二)
例题1
6、 x5 x 1
知识要点：
⑴定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需 要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式， 这种方法叫做配方法．
⑵方法：配方主要是配中项2ab，或配一个平方项 b（2 或 a2）．如 何配方依赖于对题目特点的观察和分析．应用配方法进行因式分 解时，常将多项式配成平方差公式的形式 A2 B2，使多项式可分
例题7
（1）已知n是正整数，且 n4 16n2 100 是质数，求n.
例题7
（2）若a为自然数，则 a4 3a2 9 为质数还是合数？并 证明你的结论.
例题8
分解因式（1） a3 b3 c3 3abc
例题8
（2） (x 1)3 (x 2)3 (3 2x)3
例题8
（3） ax by3 by cz3 ax cz3
练习3
（6） x6 y6 2x3 1
练习3
（7） x2 y2 9 2 4x2 y2
练习4
（1）求方程 x2 xy 5x 5y 1 0 的整数解
练习4
（2）求方程 xy x y 4 的整数解
练习5
求证：对任意自然数n，3n2 2n2 3n 2n 能被10整除
例题6
（1）已知 a2 b2 2c2 2ac 2bc 0 ，求 a b 的值.
例题6
（2）已知 a 1 m 1,b 1 m 2,c m 1 ，求
2
2
a2 2ab b2 2ac 2bc c2 的值.
例题6
（3）已知a，b，c均为实数，且满足 b c 7 4a 3a2， c b 5 4a a2 ，试比较a，b，c的大小.
练习1
（7） 4mx2 8m2x 4m3
2-4《因式分解法》课件(共35张PPT)
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（3）十字相乘法:
1 a
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). 1 b
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度竖 直上抛，那么经过 x s 物体离地 面的高度（单位：m）为
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
AB = 0
A=0或B=0
（ A、B 表示两个因式）
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为_零_____。
2. 将方程左边分解成两个__一__次___因__式__的乘积。 3. 至少_有___一__个__因式为零，得到两个一元一次
⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0
（运用直接开平方法）
⑶ x2-4x=6
（运用配方法）
⑷ 2x2-x-3=0
（运用公式法）
⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
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第4课时 因式分解法
教学目标
【知识与技能】
1.正确理解因式分解法的实质.
2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程.
【过程与方法】
通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神.
【情感态度】
通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想.
【教学重点】
用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】
正确理解AB ＝0←→A ＝0或B ＝0.
教学过程
一、复习提问，导入新课
1.把下列各式因式分解
(1)2x 2－x ； (2)x 2－16y 2；
(3)9a 2－24ab ＋16b 2.
2.解下列方程.
(1)2x 2＋x ＝0(用配方法)；
(2)3x 2＋6x ＝0(用公式法).
【教学说明】
(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半
应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.
(2)直接用公式求解.
复习因式分解的基本方法和前面学过的一元二次方程的几种解法，为进入新课的学习做准备.
二、合作探究，探索新知
1.提问：怎样解方程x 2－x ＝0更简单？
2.在解方程x 2－x ＝0时，将方程的左边因式分解，得到x (x －1)＝0，
而因式x 和x －1中必有一个为0，即x ＝0或x －1＝0
解得x 1＝0，x 2＝1.
3.小结：这样，解x 2－x ＝0就转化为解x ＝0或x －1＝0，从而达到降次的目的，同时也体现了数学中的转化思想.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
4.能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件：
(1)方程的一边为0；
(2)另一边能分解成两个一次因式的积.
【教学说明】
教师引导学生将方程左边的式子进行因式分解，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求得方程的解，然后总结方法，形成相应的知识点.
三、示例讲解，掌握新知
【例1】解方程：x 2－5x ＋6＝0
解：把方程左边分解因式，得
(x －2)(x －3)＝0.
因此，有x －2＝0或x －3＝0
解方程，得x 1＝2，x 2＝3.
【教学说明】
可以让学生尝试完成，体会用因式分解法解一元二次方程的一般步骤.
【例2】解方程：(x ＋4)(x －1)＝6
解：将原方程化为标准形式，得
x 2＋3x －10＝0
把方程左边分解因式，得
(x ＋5)(x －2)＝0
∴x ＋5＝0或x －2＝0.解方程，得x 1＝－5，x 2＝2.
【教学说明】
提醒学生先化为一般形式，再考虑使用因式分解法解方程.
四、练习反馈，巩固提高
1.(1)方程x (x ＋2)＝2(x ＋2)的根是__x 1＝2，x 2＝－2__.
(2)方程x 2－2x －3＝0的根是__x 1＝3，x 2＝－1__.
2.如果a 2－5ab －14b 2＝0，求2a ＋3b 5b 的值.
解：∵a 2－5ab －14b 2＝0，
∴(a －7b )(a ＋2b )＝0，
∴a ＝7b 或a ＝－2b .
∴2a ＋3b 5b ＝175或2a ＋3b 5b ＝－15
3.用因式分解法解下列方程：
(1)y2＋7y＋6＝0；
(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；
(3)(2x－1)(x－1)＝1.
解：(1)方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0，y＋1＝0或y＋6＝0，∴y1＝－1，y2＝－6.
(2)方程可变形为t(2t－1)－3(2t－1)＝0，(2t－1)(t－3)＝0，2t－1
＝0或t－3＝0，∴t1＝1
2，t2＝3.
(3)方程可变形为2x2－3x＝0，x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0，
∴x1＝0，x2＝3
2.
五、师生互动，课堂小结
1.能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件：
(1)方程的一边为0.
(2)另一边能分解成两个一次因式的积.
2.因式分解法解一元二次方程的步骤是：(1)使方程的右边为0；
(2)方程的左边进行因式分解；(3)化为两个一元一次方程；(4)求解.
3.因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
课后作业
完成同步练习册中本课时的练习.。