(新课标全国I卷)2010高考数学真题分类汇编专题16函数与导数(2)文(含解析)

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2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合{||2}A x R x =∈≤},{|4}B x Z x =∈≤,则A B ⋂=(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2} (2)已知复数23(13)iz i +=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= (A)14 (B)12(C) 1 (D)2 (3)曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为(A)21y x =+ (B)21y x =- (C) 23y x =-- (D)22y x =-- (4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为tdπ42OA B C D(5)已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（A ）1q ，3q （B ）2q ，3q （C ）1q ，4q （D ）2q ，4q(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 (A)100 （B ）200 (C)300 （D ）400(7)如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于(A)54 （B ）45(C)65 （D ）56(8)设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或(9)若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- (A) 12- (B) 12(C) 2 (D) 2-(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) 2a π(B)273a π (C)2113a π (D) 25a π (11)已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6)(C) (10,12)(D) (20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为(A)22136x y -= (B) 22145x y -= (C) 22163x y -= (D) 22154x y -=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2010年高考新课标全国卷_文科数学(含答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．{0,2}D ．{0,1,2}2．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )A.14B.12C ．1D ．23．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 为增函数．p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 46．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4007．如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )A.54B.45C.65D.568．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}9．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－210．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分1⎰f (x )d x .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分1⎰f (x )d x 的近似值为________．14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形．15．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________．16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD . 23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|2x －4|＋1. (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．2010年高校招生考试文数（新课标）试题及答案一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

2010年高考试题文科数学(全国卷I)及答案解析

A
1 1 + x2
=
，
O
P
�� PA • PB =| PA| ⋅ | PB| cos 2α
2 2 4 2
x 2 (1 − 2 sin2 α )
= B
�� x ( x − 1) x − x x4 − x2 = ，令 PA • PB = y ，则 y = ， x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1
| PF1 |i| PF2 | =
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos ∠ F1 P F2 =
| PF1 |2 + | PF2 |2 − | F1 F2 |2 2 | PF1 || PF2 |
D1 A1 D A O B1
C1
C B
面 AC D1 所成角相等 , 设 DO ⊥ 平面 AC D1 ，由等体积法得 VD − ACD1 = VD1− ACD , 即
1 1 S ∆ACD1 ⋅ DO = S∆ACD ⋅ DD1 .设 DD1=a, 3 3
则 S∆ ACD1 =
7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= a + 题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b), 所以|lga|=|lgb|, 所以 a=b(舍去) ，或 b =
1 ≥ 2 , 从而错选 D,这也是命 a

2010年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)

2010年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.(2010全国Ⅱ卷文)若曲线b ax x y ++=2在点（0，b ）处的切线方程是10x y -+=则()（A ）a=1，b=1（B ）a=-1，b=1（C ）a=1，b =－1（D ）a=-1，b=-1【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵2x y x aa='=+=，∴1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴1b =2.(2010全国Ⅱ卷理)若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（）（A）64（B）32（C）16（D）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.3.(2010全国新课标卷文)曲线3y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（）（A）1y x =-（B）1y x =-+（C）22y x =-（D）22y x =-+解析：'2y 32,1,1x k y x =-∴==-切线方程为，选A命题意图：本题考查导数的几何意义4.(2010全国新课标卷理)曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A 【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义5.(2010江西理)等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =--- ，则()'0f =（）A．62 B.92 C.122 D.152【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)解析版

2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||2A x x =…，}x R ∈，{|4B x =，}x Z ∈，则(A B = )A ．(0,2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}【考点】1E ：交集及其运算【专题】11：计算题【分析】由题意可得{|22}A x x =-剟，{0B =，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解答】解：{|||2}{|22}A x x x x ==-剟?{|4B x =，}{0x Z ∈=，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则{0A B =，1，2}故选：D ．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A ，B ，属于基础试题2．（5分）平面向量,a b ，已知(4,3)a =，2(3,18)a b +=，则,a b 夹角的余弦值等于( ) A ．865B ．865-C ．1665D ．1665-【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角【分析】先设出b 的坐标，根据(4,3)a =，2(3,18)a b +=，求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设(,)b x y =， (4,3)a =，2(3,18)a b +=，∴(5,12)b =-2036cos 513θ-+∴=⨯1665=，【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知复数Z =，则||(z = )A ．14B ．12C ．1D ．2【考点】5A ：复数的运算【专题】11：计算题【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得4iZ =+，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得13213iZ i+===-+1(3)(13)12323224(13)(13)i i i ii i +--=-=-=-++-，故1||2z =，故选：B ．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】1：常规题型；11：计算题【分析】欲求在点(1,0)处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点(1,0)在曲线上321y x x =-+，232y x '=-，所以1|1x k y -='=，得切线的斜率为1，所以1k =；所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为： 01(1)y x -=⨯-，即1y x =-．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )A BC D 【考点】KC ：双曲线的性质【专题】11：计算题【分析】先求渐近线斜率，再用222c a b =+求离心率．【解答】解：渐近线的方程是by x a =±，24ba∴=，12b a =，2a b =，c =，c e a ==．故选：D ．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离d ，于是可以排除答案A ，D ，再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B ，故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题． 7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．23a πB ．26a πC ．212a πD ．224a π【考点】LG ：球的体积和表面积【专题】11：计算题【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R 满足22(2)6R a =，代入球的表面积公式，24S R π=球，即可得到答案．【解答】解：根据题意球的半径R 满足22(2)6R a =，所以2246S R a ππ==球．故选：B ．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入5N =，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．56【考点】EF ：程序框图【专题】28：操作型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值． 11111151122334455666S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：D ．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，则{|(2)0}(x f x ->= ) A ．{|2x x <-或4}x > B ．{|0x x <或4}x > C ．{|0x x <或6}x >D ．{|2x x <-或2}x >【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断【专题】11：计算题【分析】由偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，可得||()(||)24x f x f x ==-，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，可得||()(||)24x f x f x ==-，则|2|(2)(|2|)24x f x f x --=-=-，要使(|2|)0f x ->，只需|2|240x -->，|2|2x -> 解得4x >，或0x <．应选：B ．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算． 10．（5分）若cos 45α=-，α是第三象限的角，则sin()(4πα+= )A ．BC ．D 【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；GP ：两角和与差的三角函数【专题】11：计算题【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sin α的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案．【解答】解：α是第三象限的角3sin 5α∴==-，所以324s i()445ππααα+=+=故选：A ．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）已知ABCD 的三个顶点为(1,2)A -，(3,4)B ，(4,2)C -，点(,)x y 在ABCD 的内部，则25z x y =-的取值范围是( ) A ．(14,16)-B ．(14,20)-C ．(12,18)-D ．(12,20)-【考点】7C ：简单线性规划【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D 的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围．【解答】解：由已知条件得(0,4)AB DC D =⇒-，由25z x y =-得255z y x =-，平移直线当直线经过点(3,4)B 时，5z-最大，即z 取最小为14-；当直线经过点(0,4)D -时，5z-最小，即z 取最大为20，又由于点(,)x y 在四边形的内部，故(14,20)z ∈-．如图：故选B ．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数||,010()16,102lgx x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩…，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；3B ：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H ：对数的运算性质；4N ：对数函数的图象与性质【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合【分析】画出函数的图象，根据f （a ）f =（b ）f =（c ），不妨a b c <<，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数()f x 的图象如图，不妨设a b c <<，则16(0,1)2lga lgb c -==-+∈1ab =，10612c <-+<则(10,12)abc c =∈．故选：C ．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 222x y += ．【考点】1J ：圆的标准方程；9J ：直线与圆的位置关系【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r =，所求圆的方程为222x y +=．故答案为：222x y +=【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数()y f x =为区间(0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0()1f x 剟，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个），区间(0，1]上的均匀随机数1x ，2x ，⋯，n x 和1y ，2y ，⋯，n y ，由此得到N 个点(x ，)(1y i -，2⋯，)N ．再数出其中满足1()(1y f x i =…，2⋯，)N 的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为1N N．【考点】CE ：模拟方法估计概率；CF ：几何概型【分析】由题意知本题是求10()f x dx ⎰，而它的几何意义是函数()f x （其中0()1)f x 剟的图象与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，积分得到结果．【解答】解：1()f x dx ⎰的几何意义是函数()f x （其中0()1)f x 剟的图象与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，∴根据几何概型易知110()N f x dx N≈⎰．故答案为：1N N．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】7L ：简单空间图形的三视图【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ∠=︒．若AC ，则BD = 2【考点】HR ：余弦定理【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB ，AC ，把已知条件代入整理，根据3BC BD =推断出2C D B D =，进而整理2222AC CD CD =+- 得22424AC BD BD =+-把AC ，代入整理，最后联立方程消去AB 求得BD 的方程求得BD ．【解答】用余弦定理求得2222cos135AB BD AD AD BD =+-︒ 2222cos45AC CD AD AD CD =+-︒即2222AB BD BD =++①2222AC CD CD =+-② 又3BC BD = 所以2CD BD =所以由（2）得22424AC BD BD =+-（3）因为 A C A B所以由（3）得222424AB BD BD =+- （4）（4）2-（1） 2410BD BD --=求得2BD =故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值．【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和【分析】（1）设出首项和公差，根据35a =，109a =-，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{}n a 的前n 项和，整理成关于n 的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由1(1)n a a n d =+-及35a =，109a =-得 199a d +=-，125a d +=解得2d =-，19a =，数列{}n a 的通项公式为112n a n =- （2）由（1）知21(1)102n n n S na d n n -=+=-．因为2(5)25n S n =--+．所以5n =时，n S 取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若AB 60APB ADB ∠=∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY ：平面与平面垂直【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想【分析】（Ⅰ）要证平面PAC ⊥平面PBD ，只需证明平面PAC 内的直线AC ，垂直平面PBD 内的两条相交直线PH ，BD 即可．（Ⅱ）AB 60APB ADB ∠=∠=︒，计算等腰梯形ABCD 的面积，PH 是棱锥的高，然后求四棱锥P ABCD -的体积．【解答】解：（1）因为PH 是四棱锥P ABCD -的高．所以AC PH ⊥，又AC BD ⊥，PH ，BD 都在平PHD 内，且PH BD H =．所以AC ⊥平面PBD ．故平面PAC ⊥平面PBD （6分）（2）因为ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，AB =所以HA HB = 因为60APB ADB ∠=∠=︒所以PA PB ==1HD HC ==．可得PH =．等腰梯形ABCD 的面积为122S ACxBD ==+9分）所以四棱锥的体积为1(23V=⨯+．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【考点】BL：独立性检验【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求2K的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500=（2）2K的观测值2500(4027030160)9.96720030070430k⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为9.967 6.635>，且2( 6.635)0.01P K=…，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设1F ，2F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E相交于A 、B 两点，且2||AF ，||AB ，2||BF 成等差数列．（Ⅰ）求||AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】15：综合题【分析】（1）由椭圆定义知22||||||4AF AB BF ++=，再由2||AF ，||AB ，2||BF 成等差数列，能够求出||AB 的值．（2）L 的方程式为y x c =+，其中c ，设1(A x ，1)y ，1(B x ，1)y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x cy x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222(1)2120b x cx b +++-=．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b 的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知22||||||4AF AB BF ++= 又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =（2）L 的方程式为y x c =+，其中c =设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩．，化简得222(1)2120b x cx b +++-=．则2121222212,11c b x x x x b b --+==++．因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-即214|3x x =-．则224212122222284(1)4(12)8()49(1)1(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++．解得b ．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数2()(1)x f x x e ax =-- （Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x …时()0f x …，求a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性【专题】15：综合题；53：导数的综合应用【分析】()I 求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；()()(1)x II f x x e ax =--，令()1x g x e ax =--，分类讨论，确定()g x 的正负，即可求得a 的取值范围．【解答】解：1()2I a =时，21()(1)2x f x x e x =--，()1(1)(1)x x x f x e xe x e x '=-+-=-+ 令()0f x '>，可得1x <-或0x >；令()0f x '<，可得10x -<<；∴函数的单调增区间是(,1)-∞-，(0,)+∞；单调减区间为(1,0)-；()()(1)x II f x x e ax =--．令()1x g x e ax =--，则()x g x e a '=-．若1a …，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数，而(0)0g =，从而当0x …时()0g x …，即()0f x …．若1a >，则当(0,)x lna ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当(0,)x lna ∈时，()0g x <，即()0f x <．综合得a 的取值范围为(-∞，1]．另解：当0x =时，()0f x =成立；当0x >，可得10xe ax --…，即有1x e a x-…的最小值，由1x y e x =--的导数为1x y e '=-，当0x >时，函数y 递增；0x <时，函数递减，可得函数y 取得最小值0，即10x e x --…，0x >时，可得11x e x-…，则1a …．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE BCD ∠=∠．（Ⅱ）2BC BE CD =．【考点】9N ：圆的切线的判定定理的证明；NB ：弦切角【专题】14：证明题【分析】()I 先根据题中条件：“AC BD =”，得BCD ABC ∠=∠．再根据EC 是圆的切线，得到ACE ABC ∠=∠，从而即可得出结论． ()II 欲证2BC BE = x CD ．即证BC CDBE BC=．故只须证明~BDC ECB ∆∆即可．【解答】解：（Ⅰ）因为AC BD =，所以BCD ABC ∠=∠．又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠所以ACE BCD ∠=∠．（5分）（Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠，所以~BDC ECB ∆∆，故BC CDBE BC=．即2BC BE CD =⨯．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线11cos (sin x t C t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），2cos (sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），（Ⅰ）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】3J ：轨迹方程；JE ：直线和圆的方程的应用；4Q ：简单曲线的极坐标方程；QJ ：直线的参数方程；QK ：圆的参数方程【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 先消去参数将曲线1C 与2C 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，()II 设(,)P x y ，利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得1C 与2C 的交点为(1，10)(,2．（Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=①．则OA 的方程为cos sin 0x y αα+=②，联立①②可得2sin x α=，cos sin y αα=-；A 点坐标为2(sin α，cos sin )αα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：()21212x sin y sin cos αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程2211()416x y -+=．故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数()|24|1f x x =-+．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象：（Ⅱ）若不等式()f x ax …的解集非空，求a 的取值范围．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；7E ：其他不等式的解法；5R ：绝对值不等式的解法【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题【分析】()I 先讨论x 的范围，将函数()f x 写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；()II 根据函数()y f x =与函数y ax =的图象可知先寻找满足()f x ax …的零界情况，从而求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于25,2()23,2x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩…，函数()y f x =的图象如图所示．（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，极小值在点(2,1) 当且仅当2a <-或12a …时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点．故不等式()f x ax …的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[2-∞-，)+∞．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

2010年全国卷(1)(文科数学)

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）（适用：宁夏、河南、山西、广西、河北）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.cos300=oA.2-12- C.12D.2 2.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M =IA.{}1,3B.{}1,5C.{}3,5D.{}4,53.若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．14.已知各项均为正数比数列{}n a 中，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =A.7 C.6D.5.23(1)(1x -的展开式中2x 的系数是A.6-B.3-C.0D.36.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=o ，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于A.30oB.45oC.60oD.90o7.已知函数()lg f x x =.若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是A.(1,)+∞B.[1)+∞，C.(2,)+∞D.[2,)+∞ 8.已知1F ，2F 为双曲线C ：221x y -=的左，右焦点，点P 在C 上，12F PF ∠60=o ，则1PF ⋅2PF =A.2B.4C.6D.89.正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为2310.设3log 2a =，ln 2a =，125c -=,则A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<11.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值为A.4-B.3-+C.4-+3-+12.已知在半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，若2AB CD ==,则四面体ABCD 的体积的最大值A B C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.不等式22032x x x ->++的解集是 . 14.已知α为第一象限的角，3sin 5α=，则tan 2α= . 15.某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程种各至少选一门.则不同的选法共有种.（用数字作答）16.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =u u u r u u u r ，则C 的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且12a ，2a ，31a +成等比数列，求n S .18.（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角A ，B 所对的边分别为a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C .19.（本小题满分12分）投到某杂志的稿件，先由两位专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率.20.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD DC ⊥， 1AB AD ==，2CD SD ==，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：2SE EB =；（Ⅱ）求二面角A DE C --的大小.21.（本小题满分12分）已知函数42()32(32)4f x ax a x x =-++. （Ⅰ）当16a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在(1,1)-上是增函数，求a 的取值范围.22.(本小题满分12分)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设FA FB ⋅u u u v u u u v =89，求BDK ∆的内切圆M 的方程. A E S D C B。

2010年高考数学试题(新课程卷)分类解析(二)——函数与导数

的全过程，是历年高考考查力度最大的主线之一，笔者针对的函数）的导数” 了解定积分与微积分基本定理 ” 、“ ，体会导
２１００年高考教学的 “ 函数与导数”的试题进行分析，对本专题数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．因此，理科要被考查的知识点的分类统计分析，对常规典型题和新颖题给出求高于文科．文、理科对这部分考查涉及所有题型——选择解法示例与点评，希望能给备战高考的读者一些有益的启示．习建议题、填空题、解答题都有题目涉及函数问题，除了单独考查关键词：高考数学；试题解析；函数导数；示例评析；复函数的题目，还有多个题目涉及函数与其他内容综合考查．在解答题中，函数题往往是作为压轴题出现的，由于新课程高考凭借 “ 数 ”这一重要而强有力的工具，对函数的考查导
被联合考查的其他逻辑数列不等式不等式专题的主要知识点用语解法证明曲线的切线方程图形的平移与对称合情推理三角函数与向量几何概型与随机模拟试验
考查频数
６
３
１０
１５
８
６
２
３
１
收稿日期：２１— ７００００— ｌ
其中重点是不等式，尤其是不等式恒成立问题时的参数取值范
本题的解题方法思路是：运用导数公式求导，解方程求导
作者简介：蔡芙蓉（９２）１６一，女，海南海口人，中学高级教师，海口市教育研究培训院高中数学教研员．主要从事中学数学课堂教学研究和高

2010全国各地高考数学文科试题分类汇编函数与导数

2010全国各地高考数学文科试题分类汇编函数与导数2010安徽文（20）（本小题满分12分）设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。

2010北京文(18) （本小题共14分）设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++ ，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

2010湖南文21．（本小题满分13分）已知函数()(1)ln 15,af x x a x a x=++-+其中a<0,且a ≠-1. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数332(23646),1(),1(){x x ax ax a a e x e f x x g x -++--≤⋅>=（e 是自然数的底数）。

是否存在a ，使()g x 在[a,-a]上为减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

2010辽宁文（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-。

（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ （I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（II ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性. 2010陕西文21、(本小题满分14分)已知函数f （x ）g （x ）=alnx ，a ∈R 。

（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；（2）设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值ϕ（a ）的解析式；（3）对（2）中的ϕ（a ），证明：当a ∈（0，+∞）时， ϕ（a ）≤1.2010天津文（20）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.2010新课标全国卷文（21）本小题满分12分）设函数()()21x x f x e ax =-- （Ⅰ）若a=12，求()x f 的单调区间；（Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围（19）（本小题满分12分。

2010年全国1卷高考数学(含答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 3．第I 卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=球 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()( 一、选择题（1）复数=-+i i 3223 （A ）i （B ）i - （C ）i 1312-（D ）i 1312+ （2）记k =︒-)80cos(，那么=︒100tan（A ）k k 21- （B ）-k k 21- （C ）21k k- （D ）-21k k -（3）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤.02,0,1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（4）已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，634987321,10,5a a a a a a a a a 则===（A ）25 （B ）7 （C ）6 （D ）24（5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（A ）-4 （B ）-2 （C ）2 （D ）4（6）某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（A ）30种（B ）35种（C ）42种（D ）48种（7）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）设2135,2ln ,2log -===c b a ，则（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）a b c <<（9）已知F 1、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则P 到x 轴的距离为（A ）23 （B ）26 （C ）3 （D ）6（10）已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是（A ）),22(+∞ （B ）[)+∞,22 （C ）),3(+∞ （D ）[)+∞,3（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ⋅的最小值为（A ）24+- （B ）23+- （C ）224+- （D ）223+-（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）332 （B ）334 （C ）32 （D ）338 绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

(1)已知集合A{xR|x |2}},B{xZ|x4},则AB(A)(0,2)(B)[0,2](C){0,2](D){0,1,2} (2)已知复数 z3i2 (13i) ，z 是z 的共轭复数，则zz=(A)1 4(B)1 2(C)1(D)2x在点(1,1)处的切线方程为 (3)曲线yx2(A)y2x1(B)y2x1(C)y2x3(D)y2x2(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2,2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为d 2 tOπ 4ABCD(5)已知命题xxp ：函数y22在R 为增函数， 1xxp ：函数y22在R 为减函数， 2则在命题 q ：p 1p 2，q 2：p 1p 2，q 3：p 1p 2和q 4：p 1p 2中，真命1 题是（A ） q ，1 q （B ） 3 q ， 2 q （C ） 3 q ， 1 q （D ） 4q ， 2 q4(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为开始 (A)100（B ）200 输入N (C)300（D ）400k=1,S=0 (7)如果执行右面的框图，输入N5，则输出的数等于(A) 5 4 （B ）4 5(C) 6 5 （D ）5 61S=S+k(k+1) k<N 否输出Sk=k+1 是(8)设偶函数f(x)满足 3 f(x)x8(x0)，结束则{x|f(x 2)0}(A){x |x2或x4}(B){x |x0或x4} (C){x |x0或x6}(D){x |x2或x2}(9)若cos 45 ，是第三象限的角，则 1tan 1tan2 2(A)1 2(B)1 2(C)2(D)2(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2 a(B)7 3 2 a(C)11 3 2 a(D)2 5a|lgx|,0x10,(11)已知函数 f x ()12x6,x10.若a,b,c 互不相等，且f(a)f(b)f(c),则abc 的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)(12)已知双曲线E 的中心为原点，P(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15),则E 的方程式为(A) 22 xy 36 1 (B) 22 xy 45 1 (C) 22 xy 63 1 (D) 22 xy 541第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试求做答。

十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题16坐标系与参数方程(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题16坐标系与参数方程历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科22】在直角坐标系Oy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【解答】解：（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（≠﹣1），∴C的直角坐标方程为（≠﹣1），由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为，联立，得162+4m+m2﹣12＝0．由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．2．【2018年新课标1理科22】在直角坐标系Oy中，曲线C1的方程为y＝||+2．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：2+y2+2﹣3＝0，转换为标准式为：（+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝||+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝+2的距离等于半径2．故：，或解得：或0，当＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：或0经检验，直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．3．【2017年新课标1理科22】在直角坐标系Oy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t为参数）．（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：y2＝1；a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：+4y﹣3＝0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．4．【2016年新课标1理科23】在直角坐标系Oy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，2+（y﹣1）2＝a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．①由2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；（Ⅱ）C2：ρ＝4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ，∴2+y2＝4，②即（﹣2）2+y2＝4．由C3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y＝2，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y＝2为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4﹣2y+1﹣a2＝0，即为C3 ，∴1﹣a2＝0，∴a＝1（a＞0）．5．【2015年新课标1理科23】在直角坐标系Oy中，直线C1：＝﹣2，圆C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：＝﹣2 的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，故C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ（ρ∈R）代入圆C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，求得ρ1＝2，ρ2，∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2|，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N•1•1．6．【2014年新课标1理科23】已知曲线C：1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：1，可令＝2cosθ、y＝3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t＝﹣2，代入②并整理得：2+y﹣6＝0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）＝﹣1时，|P A|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）＝1时，|P A|取得最小值，最小值为．7．【2013年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（﹣4）2+（y﹣5）2＝25，即C1：2+y2﹣8﹣10y+16＝0，将代入2+y2﹣8﹣10y+16＝0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为2+y2﹣2y＝0，联立，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（）和（2，）．8．【2012年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（0，y0），则为参数）t＝|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝42+4y2+16＝32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]9．【2011年新课标1理科23】在直角坐标系Oy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（I）设P（，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|．10．【2010年新课标1理科23】已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α时，C1的普通方程为，C2的普通方程为2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为cosα+y sinα＝0②，联立①②可得＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：极坐标方程与直角坐标方程的转化，极坐标几何意义的应用，参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用。

(完整word)2010高考全国一卷文科数学

2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他考试标号，在试题卷上作答无．．．．．．．．效．。

3.第I卷12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一、选择题（1）cos300°＝（A）32-（B）12-（C）12（D）32（2）设全集U＝（1,2,3,4,5），集合M＝（1,4），N＝（1,3,5），则 =（A）（1，3）（B）（1，5）（C）（3，5）（D）（4，5）（3）若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x-2y 的最大值为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4)已知各项均为正数的等比数列｛a n ｝中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（A ）(B)7 (C)6(D)4(5)(1－x )2(1)3的展开式中x 2的系数是(A)－6 (B ）－3 (C)0 (D)3(6)直三棱柱ABC －A １B 1C 1中，若∠BAC =90°,AB =AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（A ）30° (B)45° (C)60° (D)90°(7)已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ，且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是（A ）（1，+∞）（B ）[1,+∞] (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)(8)已知F 1、F 2为双曲线C :x 2－y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则1PF ·2PF ＝（A ）2 (B)4 (C)6 (D)8(9)正方体ABCD －A 1BCD 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为(A)(B) (C) 23(D) (10)设a =log 3，2，b =ln2，c =125-,则（A ）a ＜b ＜c (B)b ＜c ＜a(C)c ＜a ＜b (D)c ＜b ＜a (11)已知圆O 的半径为１，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA u u u r ·PB u u u r 的最小值为（A ）－（B ）－（C ）－（D ）－（12）已知在半径为２的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB =CD =2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（A(B)(C)(D)2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修＋选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

2010年高考题导数部分汇编含答案(全国及各地全)范文

安徽文（20）（本小题满分12分）设函数f （x ）=sinx-cosx+x+1, 0﹤x ﹤2 π,求函数f(x)的单调区间与极值. （本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解：由f(x)=sinx-cosx+x+1，0﹤x ﹤2π, 知'()f x =cosx+sinx+1，于是'()f x =1+2sin(x+4π). 令'()f x =0，从而sin(x+4π)=-22，得x= π，或x=32 π.当x 变化时，'()f x ，f(x)变化情况如下表：因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0, π）与（32π，2 π），单调递减区间是（π，32 π），极小值为f （32 π）=32 π，极大值为f （π）= π+2. 重庆文(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[1,2]上的最大值和最小值.（19）解：（Ⅰ）由题意得.23)(2b x ax x f ++='因此)(.)2()13()()()(22x g b x b x a ax x f x f x g 因为函数+++++='+=是奇函数，所以,),()(x x g x g 即对任意实数-=-有 ],)2()13([))(2())(13()(2223b x b x a ax b x b x a x a +++++-=+-++-++-从而的解析表达式为因此解得)(,0,31,0,013x f b a b a =-===+.31)(23x x x f +-=（Ⅱ）由（Ⅰ）知2,0)(,2)(,231)(122-=='+-='+-=x x g x x g x x x g 解得令所以，),2[],2,()(,0)(,22,22+∞--∞<'>-<=在区间从而时或则当x g x g x x x 上是减函数；当,22时<<-x ,0)(>'x g 从而)(x g 在区间]2,2[-上是增函数.由前面讨论知，,2,2,1]2,1[)(时取得能在上的最大值与最小值只在区间=x x g 而.34)2(,324)2(,35)1(===g g g 因此上的最大值为在区间]2,1[)(x g324)2(=g ，最小值为.34)2(=g江西文 17．（本小题满分12分）设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识解： 2()186(2)2f x x a x a '=+++（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118ax x ==，所以9a =；（2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>，3 / 19所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数. 北京文(18) （本小题共14分）设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4.（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围. (18)(共14分) 解：由32()3a f x x bx cx d =+++ 得 2()2f x ax bx c '=++ 因为2()9290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1,4，所以290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩（*）（Ⅰ）当3a =时，又由（*）式得2608120b c b c +-=⎧⎨++=⎩解得3,12b c =-=又因为曲线()y f x =过原点，所以0d = 故32()312f x x x x =-+ （Ⅱ）由于a>0,所以“32()3a f x x bx cx d =+++在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“2()20f x ax bx c '=++≥在（-∞，+∞）内恒成立”. 由（*）式得295,4b a c a =-=. 又2(2)49(1)(9)b ac a a ∆=-=--解09(1)(9)0a a a >⎧⎨∆=--≤⎩得[]1,9a ∈即a 的取值范围[]1,9 天津文（20）（本小题满分12分）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.(20)本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=323x x 12-+，f （2）=3；f ’(x)=233x x -, f ’(2)=6.所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f ’(x)=2333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0，解得x=0或x=1a. 以下分两种情况讨论：（1）若110a 2<≤≥，则，当x 变化时，f ’(x)，f （x ）的变化情况如下表：当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即解不等式组得-5<a<5.因此0a 2<≤.（2）若a>2，则11<<.当x 变化时，f ’(x),f （x ）的变化情况如下表：5 / 19当11x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即25811->0.2a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,解不等式组得52a <<或2a <-因此2<a<5. 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5.新课改（文）（21）本小题满分12分）设函数()()21x x f x e ax =--（Ⅰ）若a=12，求()x f 的单调区间；（Ⅱ）若当x ≥0时()x f ≥0，求a 的取值范围（21）解：（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--，'()1(1)(1)x x xf x e xe x e x =-+-=-+.当(),1x ∈-∞-时'()f x >0;当()1,0x ∈-时，'()0f x <;当()0,x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调减少.（Ⅱ）()(1)af x x x ax =--.令()1ag x x ax =--，则'()xg x e a =-.若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0.若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0. 综合得a 的取值范围为(],1-∞湖北文21.（本小题满分14分）设函数321a x x bx c 32f -++（x ）=，其中a ＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））处的切线方程为y=1（Ⅰ）确定b 、c 的值（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）证明：当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围.辽宁文（21）（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-7 / 19山东文（21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；，在点（时，求曲线))2(2)(1f x f y a =-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．（21）本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.满分12分.解：（Ⅰ）当=-=)(1x f a 时，),,0(,12ln +∞∈-++x xx x 所以 )('x f 222,(0,)x x x x +-=∈+∞ 因此，，）（12=f 即曲线.1))2(2)(，处的切线斜率为，在点（f x f y = 又 ,22ln )2(+=f所以曲线.02ln ,2)22(ln ))2(2)(=+--=+-=y x x y f x f y 即处的切线方程为，在点（（Ⅱ）因为 11ln )(--+-=xaax x x f ，所以 211)('x a a x x f -+-=221xa x ax -+--= ),0(+∞∈x ，令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时所以，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递（2）当0a '≠时,由f (x)=0 即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a==- ①当12a =时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减；9 / 19②当110,1102a a<<->>时 (0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减；1(1,1)x a∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增； 1(1,),()0x h x a∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；③当0a <时，由于110a -<(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（０，１）上单调递减；函数()f x 在（１，＋∞）上单调递增；当12a =时，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增；函数1()(1,)f x a-+∞在上单调递减，陕西yzt 文 A21、(本小题满分14分)已知函数()f x =()ln g x a x =，a R ∈（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-,当()h x 存在最小值时，求其最小值()a ϕ的解析式；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的()a ϕ，证明：当(0,)a ∈+∞时， ()1a ϕ≤.21解：（Ⅰ）()f x '=()g x '=ax(x>0),由已知得ln ,,a x ax== 解得a=2e ，x=e 2, ∴两条曲线交点的坐标为(e 2,e) 切线的斜率为k =f ’(e 2)=12e∴切线的方程为 y －e=12e (x －e 2)(II)由条件知h(x)= x –aln x (x ＞0), （i ）当a>0时，令()0,h x '=解得24x a =，∴ 当0 <x < 24a 时，()0,h x '<，()h x 在（0，24a ）上递减；当x >24a 时，()0,h x '>，()h x 在2(4,)a +∞上递增.∴ 24x a =是()h x 在(0,)+∞上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()h x 的最小值点.∴ 最小值22()(4)2ln 42(1ln 2).a h a a a a a a ϕ==-=- （ii ）当0a ≤时，()0,h x '=>()h x 在（0，+∞）上递增，无最小值. 故()h x 的最小值 ()a ϕ的解析式为 ()2(1ln 2)(0).a a a a ϕ=-> （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ()2(1ln 2ln ).a a a ϕ=--则 ()2ln 2a a ϕ'=-，令 ()0a ϕ'=解得12a =. 当102a <<时， ()0a ϕ'>，∴ ()a ϕ在1(0,)2上递增；当12a >时， ()0a ϕ'<，∴()a ϕ在1(,)2+∞上递减. ∴ ()a ϕ在12a =处取得最大值1()1,2ϕ= ∵ ()a ϕ在(0,)+∞上有且只有一个极值点，所以1()12ϕ=也是 ()a ϕ的最大值. ∴当(0,)a ∈+∞时，总有 () 1.a ϕ≤11 / 19四川文yzt22、(本小题满分14分)设1()(0,1),()1xxa f x a a g x a+=>≠-且是()f x 的反函数，（Ⅰ）求()g x（Ⅱ）当[2,6]x ∈时，恒有2()log (1)(7)a tg x x x >--成立，求t 的取值范围. （Ⅲ）当102a <≤时，试比较(1)(2)()f f f n +++与4n +的大小，并说明理由.22、解析：（Ⅰ）由题意得101xy a y -=>+，故1()log ,(,1)(1,)1ax g x x x -=∈-∞-+∞+， …………………… （3分）（Ⅱ）由1()log 1ax g x x -=+2log (1)(7)a t x x >-- 得 ① 当1a >时，11x x -+20(1)(7)t x x >>-- ，又因为[2,6]x ∈，所以 20(1)(7)t x x <<--.令232()(1)(7)9157,[2,6]h x x x x x x x =--=-+-+∈则2()'318153(1)(5)h x x x x x =-+-=---，列表如下：所以 ()5h x =最小值，∴05t <<， ② 当01a <<时，，101x x -<+2(1)(7)t x x <--，又因为[2,6]x ∈，所以由①知()32h x =最大值，∴32t >，综上，当1a >时，05t <<；当01a <<时，32t >. …………………（9分）（Ⅲ）设11a p=+，则1P ≥，当1n =时，12(1)1351a f a p+==+≤<-，当2n ≥时，设2,k k N *≥∈时，则122122()111(1)1...k k k k kK K K a f k a p C p C p C p+==+=+-+-+++ 所以1224441()111(1)1k k f k C C k k k k <≤+=+=+-+++，从而44(2)(3)()1121f f f n n n n +++≤-+-<++. 所以，(1)(2)(3)()(1)14f f f f n f n n ++++<+++≤+综上，总有(1)(2)(3)()4f f f f n n ++++<+ .………………（14分）浙江文（21）（本题满分15分）已知函数f （x ）＝（x －a ）（x －b ）（a ，b ∈R ，a<b ）. （Ⅰ）当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程; （Ⅱ）设x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，x 3是f （x ）的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2. 证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4. (21)本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识.满分15分. (Ⅰ)解：当a =1,b =2时，因为f ′(x )=(x -1)(3x -5). 故f ′(2)=1.又f （2）＝0，所以f （x ）在点（2，0）处的切线方程为y ＝x －2. （Ⅱ）证明：因为f ′（x ）＝3（x －a ）（x －23a b+），由于a <b .13 / 19故a <23a b+. 所以f （x ）的两个极值点为x ＝a ，x ＝23a b+. 不妨设x 1＝a ，x 2＝23a b+，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点，故x 3＝b .又因为23a b +－a ＝2（b －23a b+），x 4＝12（a ＋23a b +）＝23a b +，所以a ，23a b +，23a b+，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝23a b+.湖南文yzt21.（本小题满分13分）已知函数a x a x xax f 151+-++=ln )()(, 其中,0<a 且1-≠a （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）设函数⎩⎨⎧>⋅≤--++-=)()()()()(1164632223x x f e x e a a ax ax x x g x （e 是自然对数的底数），是否存在a ，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.21. （Ⅰ）)(x f 的定义域为),(+∞0，22111xx a x x a x a x f ))(()(-+=-++-=' （1）若-1<a<0,则当0<x<-a 时，0>')(x f ；当-a <x<1时，0<')(x f ；当x>1时，0>')(x f .故)(x f 分别在),(),,(+∞-10a 上单调递增，在),(1a -上单调递减. （2）若a<-1,仿（1）可得)(x f 分别在),(),,(+∞-a 10上单调递增，在),(a -1上单调递减.（Ⅱ）存在a ，使g(x)在[a,-a]上是减函数.事实上，设)()()(R x e a a ax ax x x h x∈--++-=64632223，则x e a ax x a x x h ])([)(223412232-+-+-='，再设)()()(R x a ax x a x x m ∈-+-+-=223412232，则当g(x)在[a,-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递,所以0≤')(a h ，由于0>x e ，因此0≤)(a m ，而)()(22+=a a a m ，所以2-≤a ，此时，显然有g(x)在[a,-a]上为减函数，当且仅当)(x f 在[1,-a]上为减函数，h(x)在[a,1上为减函数,且)()(11f e h ⋅≥，由（Ⅰ）知，当a<-2时，)(x f 在),(a -1上为减函数 ①又41303134112-≤≤-⇔≤++⇔⋅≥a a a f e h )()( ② 不难知道，0101≤∈∀⇔≤'∈∀)(],,[)(],,[x m a x x h a x因))(()()(a x x a x a x x m -+-=+-+-='26122662，令0=')(x m ，则x=a或x=-2,而2-≤a于是（1）当a<-2时，若a <x<-2,则0>')(x m ，若-2 <x<1,则0<')(x m ,因而)(x m 分别在),(2-a 上单调递增，在),(12-上单调递减；（2）当a ＝-2时， 0≤')(x m ,)(x m 在),(12-上单调递减.综合（1）（2）知，当2-≤a 时，)(x m 在],[1a 上的最大值为812422---=-a a m )(，所以，20812402012-≤⇔≤---⇔≤-⇔≤∈∀a a a m x m a x )()(],,[ ③又对01=∈)(],,[x m a x ，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即0=')(x h 只有当a=-2时在x=-2取得.因此，当2-≤a 时，h(x)在[a,1上为减函数，从而由①，②，③知 23-≤≤-a综上所述，存在a ，使g(x)在[a,-a]上是减函数，且a 的取值范围为],[23--.广东文15 / 19（2）当32≤≤x 时，120≤-≤x)32()4)(2()2()(≤≤--=-=x kx x k x f x f 当02≤≤-x 时，220≤+≤x )02)(2()2()(≤≤-+=+=x x kx x kf x f当23-≤≤-x 时，021≤+≤-x)23)(4)(2()4)(2()2()(2-≤≤-++=++⋅=+=x x x k x x k k x kf x f)23(),4)(2(-≤≤-++x x x)02)(2(≤≤-+x x )20)(2≤≤-x x)32()4)(2(≤≤--x kx xc. 当1-<k 时12-<-k ，kk 1->- 此时：2min max )3()(,)1()(k f x f k f x f -=-=-=-= 福建文yzt 22．（本小题满分14分）已知函数f(x)=的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为32y x =-.（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）设224(2)22,1y x p x =-==-()()1mg x f x x =+-是[2,)+∞上的增函数. （ⅰ）求实数m 的最大值；（ⅱ）当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线能与曲线()y g x =围成17 / 19两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.22. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想.满分14分. 解法一：（Ⅰ）由2'()2f x x x a =-+及题设得'(0)3(0)2f f =⎧⎨=-⎩即32a b =⎧⎨=-⎩.（Ⅱ）（ⅰ）由321()3231m g x x x x x =-+-+- 得22'()23(1)mg x x x x =-+--. ()g x 是[2,)+∞上的增函数， '()g x ∴0≥在[2,)+∞上恒成立，即22230(1)mx x x -+-≥-在[2,)+∞上恒成立. 设2(1)x t -=.[2,),[1,)x t ∈+∞∴∈+∞，即不等式20mt t+-≥在[1,)+∞上恒成立当0m ≤时，不等式20mt t +-≥在[1,)+∞上恒成立.当0m >时，设2my t t=+-，[1,)t ∈+∞因为2'10m y t =+>，所以函数2my t t=+-在[1,)+∞上单调递增，因此min 3y m =-.min 0,30y m ≥∴-≥，即3m ≤.又0m >，故03m <≤. 综上，m 的最大值为3. （ⅱ）由（ⅰ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-，其图像关于点1(1,)3Q 成中心对称.证明如下：3213()3231g x x x x x =-+-+- 3213(2)(2)(2)3(2)2321g x x x x x ∴-=---+--+--321833331x x x x=-+-++-因此，2()(2)3g x g x +-=.上式表明，若点(,)A x y 为函数()g x 在图像上的任意一点，则点2(2,)3B x y --也一定在函数()g x 的图像上.而线段AB 中点恒为点1(1,)3Q ，由此即知函数()g x 的图像关于点Q 成中心对称.这也就表明，存在点1(1,)3Q ，使得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等. 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）（ⅰ）由321()3231m g x x x x x =-+-+- 得22'()23(1)mg x x x x =-+--.()g x 是[2,)+∞上的增函数， '()g x ∴0≥在[2,)+∞上恒成立，即22230(1)mx x x -+-≥-在[2,)+∞上恒成立. 设2(1)x t -=.[2,),[1,)x t ∈+∞∴∈+∞，即不等式20mt t+-≥在[1,)+∞上恒成立. 所以22m t t ≤+在[1,)+∞上恒成立.令22y t t =+，[1,)t ∈+∞，可得min 3y =，故3m ≤，即m 的最大值为3.（ⅱ）由（ⅰ）得3213()3231g x x x x x =-+-+-，将函数()g x 的图像向左平移1个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图像相应的函19 / 19数解析式为313()23x x x xφ=++，(,0)(0,)x ∈-∞+∞. 由于()()x x φφ-=-，所以()x φ为奇函数，故()x φ的图像关于坐标原点成中心对称. 由此即得，函数()g x 的图像关于点1(1,)3Q 成中心对称.这也表明，存在点1(1,)3Q ，是得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图像围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等.。

2010年全国1卷高考数学(含答案)

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．3．第I 卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=球n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题（1）复数=-+i i3223（A ）i（B ）i - （C ）i 1312- （D ）i 1312+ （2）记k =︒-)80cos(，那么=︒100tan（A ）k k 21-（B ）-kk 21- （C ）21kk - （D ）-21kk -（3）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤.02,0,1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（4）已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，634987321,10,5a a a a a a a a a 则===（A ）25（B ）7（C ）6（D ）24（5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（A ）-4 （B ）-2 （C ）2 （D ）4（6）某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（A ）30种（B ）35种（C ）42种（D ）48种（7）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）设2135,2ln ,2log -===c b a ，则（A ）c b a <<（B ）a c b << （C ）b a c << （D ）a b c <<（9）已知F 1、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则P到x 轴的距离为（A ）23 （B ）26 （C ）3 （D ）6（10）已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是（A ）),22(+∞（B ）[)+∞,22（C ）),3(+∞（D ）[)+∞,3（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ⋅的最小值为（A ）24+-（B ）23+-（C ）224+-（D ）223+-（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）332 （B ）334 （C ）32 （D ）338 绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：七彩教育网免费提供Word 版教学资源七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ (1)最新修正版

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析1】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. 【解析2】232322323i i ii i i+-+==-- (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=B. C.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析1】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80k=-=-【解析2】cos(80)k -︒=cos(80)k⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin 80tan1001008018080oo ocon con con -︒===--=(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析1】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.x +20y -=【解析2】11222z x y y x z =-⇒=-，画图知过点()1,1-是最大，()1213Max z =--= （4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析1】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===， 37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====【解析2】123a a a =5325a ⇒=；789a a a =103810,a ⇒=6333528456550a a a a a a a ⇒==⇒==(5)35(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 5.C 【解析】12451335333322(1(1161281510105x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x 的系数是 -10+12=2(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数AB C DA 1B 1C 1D 1 O学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种. 【解析2】33373430C C C --=(7)正方体ABCD-1111A BC D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A3237.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.与【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)22ACD S AC AD ∆==⨯=,21122ACD S ADCD a ∆==. 所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆==,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin 3DO DD θ==,所以cos θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos 1/3O O O OD OD ∠===（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. 【解析2】a =3log 2=321log ,b =ln2=21log e , 3221log log 2e <<< ，32211112log log e<<<； c=12152-=<=，∴c<a<b (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为(A)(C)(D)9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析1】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a ex c =--=+=+，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x轴的距离为0||2y =【解析2】由焦点三角形面积公式得：120226011cot 1cot 222222F PF S b c h h h θ∆=====⇒=（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞(B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 2a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，求2z x y=+的取值范围问题，11222z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为3,∴(C)(3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为(A) 4-(B)3-(C) 4-+(D)3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，，sin α=||||cos 2PA PB PA PB α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y ∙=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+故min ()3PA PB ∙=-+.此时x =【解析2】法一：设,0APB θθπ∠=<<，()()2cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭2222221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭ 法二：换元：2sin,012x x θ=<≤，()()1121233x x PA PB x xx--∙==+-≥或建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3(C)(D) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =. 【解析2】()()22210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

导数十年真题分类汇编(带答案)

导数十年真题分类汇编（带答案）一．基础题组1. 【2010全国新课标，文4】曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为…( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 【答案】：A【解析】y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，因此曲线在(1,0)处的切线方程为y ＝x －1. 2. 【2010全国2，文7】若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 【答案】：A【解析】∵y ′＝2x ＋a ，∴k ＝y ′|x ＝0＝a ＝1，将(0，b )代入切线：0－b ＋1＝0，∴b ＝1，∴a ＝1，b ＝1.3. 【2007全国2，文8】已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) (A)1(B) 2(C) 3(D) 4【答案】：A【解析】f'（x ）=x/2，k=f'(x)=x/2=1/2，x=1，所以：切点的横坐标是1.4. 【2012全国新课标，文13】曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________．【答案】：4x －y －3＝05. 【2005全国3，文15】曲线32x x y -=在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】x+y-2=0【解析】'223y x =-，1k =-，∴切线方程为11(1)y x -=-⨯-，即20x y +-=.6. 【2015新课标2文数】已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，文21】(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2e －x. (1)求f (x )的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．(2)设切点为(t ，f (t ))，则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )．所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝()223'()22f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h (x )＝2x x+(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h (x )的取值范围为22 当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪223，＋∞)．综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪223，＋∞)． 2. 【2005全国2，文21】(本小题满分12分)设为实数，函数32()f x x x x a =--+． (Ⅰ) ()f x 的极值；(Ⅱ) 当在什么范围内取值时，曲线()y f x =与轴仅有一个交点．【解析】：(I)'()f x =32x －2－1 若'()f x =0，则==－13， =1 当变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：(－∞，－13) －13(－13，1) 1 (1，+∞)'()f x + 0 － 0 + ()f x极大值极小值∴()f x 的极大值是15()327f a -=+，极小值是(1)1f a =- ∴当5(,)27a ∈-∞-∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与轴仅有一个交点。

2010-2019全国卷I文科函数与导数(解析版)

专题16 函数与导数（2）1．（2019年）已知函数f （x ）＝2sin x ﹣x cos x ﹣x ， f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【解析】（1）∵f （x ）＝2sin x ﹣x cos x ﹣x ，∴f ′（x ）＝2cos x ﹣cos x +x sin x ﹣1＝cos x +x sin x ﹣1，令g （x ）＝cos x +x sin x ﹣1，则g ′（x ）＝﹣sin x +sin x +x cos x ＝x cos x ，当x ∈（0，2π）时，x cos x ＞0，当x ∈（2π，π）时，x cos x ＜0， ∴当x ＝2π时，极大值为g （2π）＝12π-＞0，又g （0）＝0，g （π）＝﹣2，∴g （x ）在（0，π）上有唯一零点，即f ′（x ）在（0，π）上有唯一零点；（2）由（1）知，f ′（x ）在（0，π）上有唯一零点x 0，使得f ′（x 0）＝0，且f ′（x ）在（0，x 0）为正，在（x 0，π）为负， ∴f （x ）在[0，x 0]递增，在[x 0，π]递减，结合f （0）＝0，f （π）＝0，可知f （x ）在[0，π]上非负，令h （x ）＝ax ，作出图象，如图所示：∵f （x ）≥h （x ）， ∴a ≤0，∴a 的取值范围是（﹣∞，0]．2．（2018年）已知函数f （x ）＝ae x ﹣lnx ﹣1．（1）设x ＝2是f （x ）的极值点，求a ，并求f （x ）的单调区间；（2）证明：当a ≥1e时，f （x ）≥0．【解析】（1）∵函数f （x ）＝ae x ﹣lnx ﹣1．∴x ＞0，f ′（x ）＝ae x ﹣1x，∵x ＝2是f （x ）的极值点， ∴f ′（2）＝ae 2﹣12＝0，解得a ＝212e， ∴f （x ）＝212e e x ﹣lnx ﹣1，∴f ′（x ）＝2112x e e x-，当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，当x ＞2时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a ≥1e时，f （x ）≥x e e ﹣lnx ﹣1，设g （x ）＝x e e ﹣lnx ﹣1，则()1x e g x e x '=-，由()1x e g x e x'=-＝0，得x ＝1，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，∴x ＝1是g （x ）的最小值点，故当x ＞0时，g （x ）≥g （1）＝0，∴当a ≥1e时，f （x ）≥0．3．（2017年）已知函数f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）≥0，求a 的取值范围．【解析】（1）f （x ）＝e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ＝e 2x ﹣e x a ﹣a 2x ， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣ae x ﹣a 2＝（2e x +a ）（e x ﹣a ），①当a ＝0时，f ′（x ）＞0恒成立，∴f （x ）在R 上单调递增， ②当a ＞0时，2e x +a ＞0，令f ′（x ）＝0，解得x ＝lna ，当x ＜lna 时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，当x ＞lna 时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，③当a ＜0时，e x ﹣a ＞0，令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln （﹣2a），当x ＜ln （﹣2a）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，当x ＞ln （﹣2a）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增，综上所述，当a ＝0时，f （x ）在R 上单调递增，当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（﹣∞，ln （﹣2a ））上单调递减，在（ln （﹣2a），+∞）上单调递增．（2）①当a ＝0时，f （x ）＝e 2x ＞0恒成立，②当a ＞0时，由（1）可得f （x ）min ＝f （lna ）＝﹣a 2lna ≥0，∴lna ≤0， ∴0＜a ≤1，③当a ＜0时，由（1）可得：f （x ）min ＝f （ln （﹣2a））＝234a ﹣a 2ln （﹣2a）≥0，∴ln （﹣2a ）≤34，∴342e -≤a ＜0，综上所述，a 的取值范围为[342e -，1]．4．（2016年）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由f （x ）＝（x ﹣2）e x +a （x ﹣1）2，可得f ′（x ）＝（x ﹣1）e x +2a （x ﹣1）＝（x ﹣1）（e x +2a ），①当a ≥0时，由f ′（x ）＞0，可得x ＞1；由f ′（x ）＜0，可得x ＜1，即有f （x ）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a ＜0时，若a ＝﹣2e，则f ′（x ）≥0恒成立，即有f （x ）在R 上递增；若a ＜﹣2e时，由f ′（x ）＞0，可得x ＜1或x ＞ln （﹣2a ）；由f ′（x ）＜0，可得1＜x ＜ln （﹣2a ）．即有f （x ）在（﹣∞，1），（ln （﹣2a ），+∞）递增；在（1，ln （﹣2a ））递减；若﹣2e＜a ＜0，由f ′（x ）＞0，可得x ＜ln （﹣2a ）或x ＞1；由f ′（x ）＜0，可得ln （﹣2a ）＜x ＜1．即有f （x ）在（﹣∞，ln （﹣2a ）），（1，+∞）递增；在（ln （﹣2a ），1）递减；（2）①由（1）可得当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f （1）＝﹣e ＜0，x →+∞，f （x ）→+∞；当x →﹣∞时f （x ）＞0或找到一个x ＜1使得f （x ）＞0对于a ＞0恒成立，f （x ）有两个零点；②当a ＝0时，f （x ）＝（x ﹣2）e x ，所以f （x ）只有一个零点x ＝2；③当a ＜0时，若a ＜﹣2e时，f （x ）在（1，ln （﹣2a ））递减，在（﹣∞，1），（ln （﹣2a ），+∞）递增，又当x ≤1时，f （x ）＜0，所以f （x ）不存在两个零点；当a ≥﹣2e时，在（﹣∞，ln （﹣2a ））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n （﹣2a ），1）单调减，只有f （ln （﹣2a ））等于0才有两个零点，而当x ≤1时，f （x ）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f （x ）有两个零点时，a 的取值范围为（0，+∞）．5．（2015年）设函数f （x ）＝e 2x ﹣alnx ．（1）讨论f （x ）的导函数f ′（x ）零点的个数；（2）证明：当a ＞0时，f （x ）≥2a +aln 2a ．【解析】（1）f （x ）＝e 2x ﹣alnx 的定义域为（0，+∞）， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣ax．当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，故f ′（x ）没有零点，当a ＞0时，∵y ＝e 2x 为单调递增，y ＝﹣单调递增， ∴f ′（x ）在（0，+∞）单调递增，又f ′（a ）＞0，假设存在b 满足0＜b ＜ln 2a 时，且b ＜14，f ′（b ）＜0，故当a ＞0时，导函数f ′（x ）存在唯一的零点，（2）由（1）知，可设导函数f ′（x ）在（0，+∞）上的唯一零点为x 0，当x ∈（0，x 0）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（x 0+∞）时，f ′（x ）＞0，故f （x ）在（0，x 0）单调递减，在（x 0+∞）单调递增，所欲当x ＝x 0时，f （x ）取得最小值，最小值为f （x 0），由于022x e ﹣a x ＝0，所以f （x 0）＝02a x +2ax 0+aln 2a ≥2a +aln 2a．故当a ＞0时，f （x ）≥2a +aln 2a．6．（2014年）设函数f （x ）＝alnx +12a -x 2﹣bx （a ≠1），曲线y ＝f（x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1aa -，求a 的取值范围．【解析】（1）f ′（x ）＝()1a a x b x+--（x ＞0），∵曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， ∴f ′（1）＝a +（1﹣a ）×1﹣b ＝0，解得b ＝1．（2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f （x ）＝alnx +212a x x --，∴()()11af x a x x'=+--＝()111a a x x x a -⎛⎫-- ⎪-⎝⎭． ①当a 12≤时，则11aa≤-，则当x ＞1时，f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（1，+∞）单调递增，∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1a a -的充要条件是()11af a <-，即1121a aa --<-，解得11a <<； ②当12<a ＜1时，则11a a>-，则当x ∈（1，1a a -）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1，1aa -）上单调递减；当x ∈（1a a -，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（1aa-，+∞）上单调递增．∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜1aa -的充要条件是11a a f a a ⎛⎫< ⎪--⎝⎭，而()2ln 112111a a a a af a a a a a a ⎛⎫=++> ⎪-----⎝⎭，不符合题意，应舍去． ③若a ＞1时，f （1）＝1112a a a----=<，成立．综上可得：a 的取值范围是（11）U （1，+∞）．7．（2013年）已知函数f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f （x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．（1）求a，b的值；（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解析】（1）∵f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）＝e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4，∴f（0）＝4，f′（0）＝4，∴b＝4，a+b＝8，∴a＝4，b＝4．（2）由（1）知，f（x）＝4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）＝4e x（x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（e x﹣1），2令f′（x）＝0，得x＝﹣ln2或x＝﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2），当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．8．（2012年）设函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x +1＞0，求k 的最大值．【解析】（1）函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2的定义域是R ，f ′（x ）＝e x ﹣a ，若a ≤0，则f ′（x ）＝e x ﹣a ≥0，所以函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a ＞0，则当x ∈（﹣∞，lna ）时，f ′（x ）＝e x ﹣a ＜0；当x ∈（lna ，+∞）时，f ′（x ）＝e x ﹣a ＞0；所以，f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增．（2）由于a ＝1，所以，（x ﹣k ） f ′（x ）+x +1＝（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x +1，故当x ＞0时，（x ﹣k ） f ′（x ）+x +1＞0等价于k ＜11xx x e ++-（x ＞0）①，令g （x ）＝11x x x e ++-，则g ′（x ）＝()()()2221111x x x xxe e x xe ee----+=--，由（1）知，当a ＝1时，函数h （x ）＝e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h （1）＜0，h （2）＞0，所以h （x ）＝e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g ′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x ∈（0，α）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（α，+∞）时，g ′（x ）＞0；所以g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （α）．又由g ′（α）＝0，可得e α＝α+2所以g （α）＝α+1∈（2，3）由于①式等价于k ＜g （α），故整数k 的最大值为2．9．（2011年）已知函数f （x ）＝ln 1a x x ++b x，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +2y ﹣3＝0．（1）求a 、b 的值；（2）证明：当x ＞0，且x ≠1时，f （x ）＞ln 1x x -．【解析】（1）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+．由于直线x +2y ﹣3＝0的斜率为12-，且过点（1，1），所以1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得a ＝1，b ＝1．（2）由（1）知f （x ）＝ln 11x x x++，所以()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭，考虑函数()212ln x h x x x -=-（0x >），则()()()222222112x x x h x x x x ---'=-=-，所以当x ≠1时，h ′（x ）＜0而h （1）＝0，当x ∈（0，1）时，h （x ）＞0，可得()2101h x x >-；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x >-．从而当x ＞0且x ≠1时，()ln 01x f x x ->-，即f （x ）＞ln 1xx -．10．（2010年）设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2．（1）若a＝12，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【解析】（1）a＝12时，f（x）＝x（e x﹣1）﹣12x2，∴()1x xf x e xe x'=-+-＝（e x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0．∴函数()f x的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）．（2）f（x）＝x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）＝e x﹣1﹣ax，则g'（x）＝e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．。

2010年全国1卷高考数学(含答案)

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 3．第I 卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=球 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()( 一、选择题（1）复数=-+i i 3223 （A ）i （B ）i - （C ）i 1312-（D ）i 1312+ （2）记k =︒-)80cos(，那么=︒100tan（A ）k k 21- （B ）-k k 21- （C ）21k k- （D ）-21k k -（3）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤.02,0,1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（4）已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，634987321,10,5a a a a a a a a a 则===（A ）25 （B ）7 （C ）6 （D ）24（5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（A ）-4 （B ）-2 （C ）2 （D ）4（6）某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（A ）30种（B ）35种（C ）42种（D ）48种（7）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）设2135,2ln ,2log -===c b a ，则（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）a b c <<（9）已知F 1、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则P到x 轴的距离为（A ）23 （B ）26 （C ）3 （D ）6（10）已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是（A ）),22(+∞ （B ）[)+∞,22 （C ）),3(+∞ （D ）[)+∞,3（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么⋅的最小值为（A ）24+- （B ）23+- （C ）224+- （D ）223+-（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）332 （B ）334 （C ）32 （D ）338 绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。