拉普拉斯逆变换
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2πj j
证明 (略)
n
Re[F s(s)ee ss tt , sk], (t 0).
k1
(进入证明?)
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 常用 利用Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace 变换来求逆变换。
大多数情况下，象函数 F(s)常常为(真)分式形式：
s2
2et3e2t.
解 方法二 利用留数法求解 (1) s1 1,s22为 F(s) 的一阶极点，
R[F e (s)s e st, 1 ]5 s 1e st 2et,
s 2 s 1
R[F e (s)s est,2 ]5 s 1est 3e2t.
s 1 s 2
(2) f ( t ) R [ F ( s e ) e s t , s 1 ] R [ F ( s e ) e s t ,2 s ] 2et3e2t.
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式
1. 公式推导 推导 (2) 根据 Fourier 逆变换，在 f (t) 的连续点 t 处，有
f(t)u (t)e t1 F ( j )ejtd. 2 π
(3) 将上式两边同乘 e t , 并由 sj, 有
f(t)u(t)1 2πj
f(t)1ettet.
方法二 利用留数法求解 s10,s21分别为 F(s)的一阶与二阶极点，
该直线处于 F(s)的存在域中。
P227 ( 9.16 )式
j
c
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、求 Laplace 逆变换的方法
1. 留数法
利用留数计算反演积分。
定理 设函数 F(s) 除在半平面 Rsec内有有限个孤立奇点
P227 定理
s1,s2,sn外是解析的，且当 s时，F(s) 0, 则
9.2
f(t) 1 jF(s)estds
R[e F (s)est,2](s 11)2ests2 e2 t , R[eF (ss)est,1](est ) ettet.
s2 s1
(2) f ( t ) R [ F ( s e ) e s t,s 2 ] R [ F ( s e ) e s t,s 1 ] e2tettet.
解 方法一 利用查表法求解 (1) F(s)[(s1()s2 14)]2(s3)
就是函数 f(t)u(t)et 的 Fourier 变换，
即 F ( s ) F ( j) [ f ( t ) u ( t ) e t] e j t d t .
(2) 根据 Fourier 逆变换，在 f (t) 的连续点 t 处，有
f(t)u (t)e t1 F ( j )ejtd. 2 π
§9.3 Laplace 逆变换
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 二、求 Laplace 逆变换的方法
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式
1. 公式推导 推导 (1) 由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知，
函数 f (t) 的 Laplace 变换 F (s) F (j )
B 1 ,C 1 ,
解 方法一 利用查表法求解 (1) F(s)2 [(ss 1 1()3 s2 14()]s 2( ss 1 ) 32 1 ) 2 2(s 1 ) 2 2 2 2,
(2) 由
1[
A2 1 ss3a
] (esB 1Ba(ts,s(1s)2 1C)12)4,222C 1,
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用函数的 Laplace 逆变换
解 方法一 利用查表法求解
(1) F(s) 5s1
A2
B3 . (单根)
(s1)(s2) s1 s2
(2) 由 1[ 1 ] ea t , 有
sa
f(t) 1[F(s)]
2 1[ 1 ]3 1[ 1 ]
s1
jj F (s)estds.
即得
f(t) 1 2πj
jj F(s)estds, (t 0).
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式
2. 反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对:
定义 称 (B) 式为反演积分公式。 注 反演积分公式中的积分路径是
s 平面上的一条直线 Rse,
P228 例9.17
解 方法一 利用查表法求解 (1) F(s)(s2)1(s1)2
s A 1 2sB 11(s C 11)2. (重根)
(2) 由 1[ 1 ] ea t ,
sa
1[
1 (s a)2
] t eat,
有
f(t) 1[F(s)]e2tettet.
解 方法二 利用留数法求解 (1) s12,s21分别为 F(s)的一阶与二阶极点，
F(s) P(s), 其中，P(s) 和 Q(s) 是实系数多项式。 Q(s)
由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法
很容易得到象原函数。
(真分式的部分分式分解)
此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用的 Laplace 逆变换的性质
A2 s3
(sB 1B(ss(1s)2 1C)12)4,222C 1, (复根)
( s 1 ) 2 A [ s 1 ( ) 2 2 2 ] [ B ( s 1 ) 2 C ] s 3 ( ) ,
令 s3, 得 A2; 令 s12i, 得 ( 2 2 i) 2 ( 2 iB 2 C )( 2 i 2 ),
(重根)
1[
s1 (s1)2 22
]et
co2st,
1[
2 (s1)2
22
]et
sin2t,
得 f(t) 1[F(s)] 2 e 3 t e tc2 o t s e tsi2 tn .
解 方法二 利用留数法求解(略讲)
(1) s13,s2 ,312 i为 F(s)的一阶极点，
R[F e (s)s e st,3 ] 2 e 3 t,
R [F ( e s )e s s t,1 2 i] 1 ie ( 1 2 i)t.
2
(2) f( t) 2 e 3 t 1 ie ( 1 2 i) t 1 ie ( 1 2 i) t
2
2
2 e 3 t e tc2 o t s e tsi2 tn .
解 方法一 利用查表法求解
11 1 F(s)ss1(s1)2,
证明 (略)
n
Re[F s(s)ee ss tt , sk], (t 0).
k1
(进入证明?)
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 常用 利用Laplace 变换的性质，并根据一些已知函数的Laplace 变换来求逆变换。
大多数情况下，象函数 F(s)常常为(真)分式形式：
s2
2et3e2t.
解 方法二 利用留数法求解 (1) s1 1,s22为 F(s) 的一阶极点，
R[F e (s)s e st, 1 ]5 s 1e st 2et,
s 2 s 1
R[F e (s)s est,2 ]5 s 1est 3e2t.
s 1 s 2
(2) f ( t ) R [ F ( s e ) e s t , s 1 ] R [ F ( s e ) e s t ,2 s ] 2et3e2t.
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式
1. 公式推导 推导 (2) 根据 Fourier 逆变换，在 f (t) 的连续点 t 处，有
f(t)u (t)e t1 F ( j )ejtd. 2 π
(3) 将上式两边同乘 e t , 并由 sj, 有
f(t)u(t)1 2πj
f(t)1ettet.
方法二 利用留数法求解 s10,s21分别为 F(s)的一阶与二阶极点，
该直线处于 F(s)的存在域中。
P227 ( 9.16 )式
j
c
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、求 Laplace 逆变换的方法
1. 留数法
利用留数计算反演积分。
定理 设函数 F(s) 除在半平面 Rsec内有有限个孤立奇点
P227 定理
s1,s2,sn外是解析的，且当 s时，F(s) 0, 则
9.2
f(t) 1 jF(s)estds
R[e F (s)est,2](s 11)2ests2 e2 t , R[eF (ss)est,1](est ) ettet.
s2 s1
(2) f ( t ) R [ F ( s e ) e s t,s 2 ] R [ F ( s e ) e s t,s 1 ] e2tettet.
解 方法一 利用查表法求解 (1) F(s)[(s1()s2 14)]2(s3)
就是函数 f(t)u(t)et 的 Fourier 变换，
即 F ( s ) F ( j) [ f ( t ) u ( t ) e t] e j t d t .
(2) 根据 Fourier 逆变换，在 f (t) 的连续点 t 处，有
f(t)u (t)e t1 F ( j )ejtd. 2 π
§9.3 Laplace 逆变换
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式 二、求 Laplace 逆变换的方法
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式
1. 公式推导 推导 (1) 由 Laplace 变换与 Fourier 变换的关系可知，
函数 f (t) 的 Laplace 变换 F (s) F (j )
B 1 ,C 1 ,
解 方法一 利用查表法求解 (1) F(s)2 [(ss 1 1()3 s2 14()]s 2( ss 1 ) 32 1 ) 2 2(s 1 ) 2 2 2 2,
(2) 由
1[
A2 1 ss3a
] (esB 1Ba(ts,s(1s)2 1C)12)4,222C 1,
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用函数的 Laplace 逆变换
解 方法一 利用查表法求解
(1) F(s) 5s1
A2
B3 . (单根)
(s1)(s2) s1 s2
(2) 由 1[ 1 ] ea t , 有
sa
f(t) 1[F(s)]
2 1[ 1 ]3 1[ 1 ]
s1
jj F (s)estds.
即得
f(t) 1 2πj
jj F(s)estds, (t 0).
一、反演积分公式 —— Laplace 逆变换公式
2. 反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的 Laplace 变换对:
定义 称 (B) 式为反演积分公式。 注 反演积分公式中的积分路径是
s 平面上的一条直线 Rse,
P228 例9.17
解 方法一 利用查表法求解 (1) F(s)(s2)1(s1)2
s A 1 2sB 11(s C 11)2. (重根)
(2) 由 1[ 1 ] ea t ,
sa
1[
1 (s a)2
] t eat,
有
f(t) 1[F(s)]e2tettet.
解 方法二 利用留数法求解 (1) s12,s21分别为 F(s)的一阶与二阶极点，
F(s) P(s), 其中，P(s) 和 Q(s) 是实系数多项式。 Q(s)
由于真分式总能进行部分分式分解，因此，利用查表法
很容易得到象原函数。
(真分式的部分分式分解)
此外，还可以利用卷积定理来求象原函数。
二、求 Laplace 逆变换的方法
2. 查表法 几个常用的 Laplace 逆变换的性质
A2 s3
(sB 1B(ss(1s)2 1C)12)4,222C 1, (复根)
( s 1 ) 2 A [ s 1 ( ) 2 2 2 ] [ B ( s 1 ) 2 C ] s 3 ( ) ,
令 s3, 得 A2; 令 s12i, 得 ( 2 2 i) 2 ( 2 iB 2 C )( 2 i 2 ),
(重根)
1[
s1 (s1)2 22
]et
co2st,
1[
2 (s1)2
22
]et
sin2t,
得 f(t) 1[F(s)] 2 e 3 t e tc2 o t s e tsi2 tn .
解 方法二 利用留数法求解(略讲)
(1) s13,s2 ,312 i为 F(s)的一阶极点，
R[F e (s)s e st,3 ] 2 e 3 t,
R [F ( e s )e s s t,1 2 i] 1 ie ( 1 2 i)t.
2
(2) f( t) 2 e 3 t 1 ie ( 1 2 i) t 1 ie ( 1 2 i) t
2
2
2 e 3 t e tc2 o t s e tsi2 tn .
解 方法一 利用查表法求解
11 1 F(s)ss1(s1)2,