圆的方程练习题(学生版)

圆的方程练习题（学生版）

1．求过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程.

2．若圆过A （2，0），B （4，0），C （0，2）三点，求这个圆的方程．

3．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线1

2

y x =上。 (1)求圆的方程；

(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。

4．已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线y x =上截得弦长为③圆心在直线30x y -=上.求圆C 的方程.

5．求圆心在直线3x+y-5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程

6．求圆心为（1，1）并且与直线4=+y x 相切的圆的方程。

7．求与圆x 2+y 2−2x =0外切且与直线x +√3y =0 相切于点M(3,−√3)的圆的方程.

8．求圆心在直线

40x y --=上，并且过圆22640x y x ++-=与圆

226280x y y ++-=的交点的圆的方程.

9．已知圆心为C 的圆经过三个点O(0,0)、A(−2,4)、B(1,1)． (1)求圆C 的方程；

(2)若直线l 的斜率为−4

3，在y 轴上的截距为−1，且与圆C 相交于P 、Q 两点，求△OPQ 的面积．

10．已知圆C：x 2+y 2+10x+10y+34=0： ：I ）试写出圆C 的圆心坐标和半径；

：II ）若圆D 的圆心在直线x=-5上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程。

11．已知圆C 的圆心在直线y =1

2x 上，且过圆C 上一点M(1,3)的切线方程为y =3x .

（Ⅰ）求圆C 的方程；

（Ⅱ）设过点M 的直线l 与圆交于另一点N ，以MN 为直径的圆过原点，求直线l 的方程.

12．已知圆C经过原点O：0：0）且与直线y=2x：8相切于点P：4：0：：

：1）求圆C的方程；

：2）已知直线l经过点（4, 5），且与圆C相交于M：N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程．

13．在ΔABC中，点A（7，4），B（2，9），C：5：8：

(1)求ΔABC的面积.

(2)求ΔABC的外接圆的方程.

14．已知圆心在x轴非负半轴上，半径为2的圆C与直线x−√3y+2=0相切.

(1)求圆C的方程；

(2)设不过原点O的直线l与圆O:x2+y2=4相交于不同的两点A，B．①求△OAB的面积的最大值;②在圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l的方程为mx+ny=1，且此时△OAB 的面积恰好取到①中的最大值?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

15．若圆C与y轴相切于点P(0,1),与x轴的正半轴交于A,B两点,且|AB|=2,求圆C的标准

方程

参考答案

1．()()2

2

114x y -+-=.

【解析】试题分析：由,A B 的坐标计算可得AB 的垂直平分线方程y x =，进而得到：

{ 20

y x x y =+-=，解可得,x y 的值，即可得圆心坐标，而圆的半径

22r =

=，代入圆的标准方程计算即可得到答案。

解析:由已知得线段AB 的中点坐标为()0,0，

所以()11111

AB k --=

=---

所以弦AB 的垂直平分线的斜率为1k =， 所以AB 的垂直平分线方程为y x = 又圆心在直线20x y +-=上，

所以{

20y x x y =+-= 解得1

{ 1

x y == 即圆心为()1,1

圆的半径为22r =

=

所以圆的方程为()()2

2

114x y -+-=. 2．x 2+y 2﹣6x ﹣6y+8=0

【解析】试题分析：设所求圆的方程为2

2

0,x y Dx Ey F ++++=将()2,0A ,

()()4,0,0,2B C

三点代入，即可求得圆的方程。

解析：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，

则有4+20{1640 240D F D F E F +=++=++=①②③

②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6 代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8 代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6

∴D=﹣6，E=﹣6，F=8

∴圆的方程是x 2+y 2﹣6x ﹣6y+8=0 3．（1）()()22

2116x y -+-=.（2）1

【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。 试题解析：

（1）设圆的方程为2

2

0x y Dx Ey F ++++=，

由已知条件有()222

225250

{2120 1222D E F D E F E D ++++=-+-++=⎛⎫

-

=⨯- ⎪⎝⎭

，

解得4

{2 11

D E F =-=-=-

所以圆的方程为2

2

42110,x y x y +---=

()()22

2116x y -+-=即.

（2）由（1）知，圆的圆心为()2,1，半径r=4, 所以圆心到直线34230x y -+=的距离

5d =

=

则圆上点到直线34230x y -+=的最小距离为1d r -=。

点睛：解决圆中的最值问题时，一般不直接依赖纯粹的代数运算，而是借助平面几何的相关知识，使得解题变得简单且不易出错。常用结论有：①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最小（大）距离为圆心到直线的距离减去（加上）半径；②当点在圆外时，圆上的点到该点的最小（大）距离等于圆心到该点的距离减去（加上）半径。

4．.设圆方程为()()2

2

2x a y b r -+-=

，则2

2

30

{

7a b a r r -==+=---4

解得3,13,1a b a b ===-=-或--------------------------------4’