新定义与阅读理解题类型三新解题方法型针-中考数学题型训练

第二部分题型研究

题型四新定义与阅读理解题

类型三新解题方法型

针对演练

1. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．

例如：求91与56的最大公约数

解：91－56＝35

56－35＝21

35－21＝14

21－14＝7

14－7＝7

所以，91与56的最大公约数是7.

请用以上方法解决下列问题：

(1)求108与45的最大公约数；

(2)求三个数78、104、143的最大公约数．

2. (2017青岛节选)数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究：求不等式|x－1|< 2的解集

(1)探究|x －1|的几何意义

如图①，在以O 为原点的数轴上，设点A′对应的数是x －1，由绝对值的定义可知，点A′与点O 的距离为|x －1|，可记为A′O ＝|x －1|.将线段A′O 向右平移1个单位得到线段AB ，此时点A 对应的数是x ，点B 对应的数是1.因为AB ＝A′O ，所以AB ＝|x －1|.因此，|x －1|的几何意义可以理解为数轴上x 所对应的点A 与1所对应的点B 之间的距离

AB .

第2题图

(2)求方程|x －1|＝2的解

因为数轴上3和－1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，－1.

(3)求不等式|x －1|<2的解集

因为|x －1|表示数轴上x 所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x 的范围．

请在图②的数轴上表示|x －1|<2的解集，并写出这个解集．

3. (浙教八下第47页阅读材料改编)古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x 2

＋ax ＝b 2

(a ＞0，b ＞0)的方程的

图解法是：如图，以a

2和b 为两直角边作Rt △ABC ，再在斜边上截取BD ＝a 2

，则AD 的长就

是所求方程的解．

(1)请用含字母a 、b 的代数式表示AD 的长．

(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．

第3题图

4. 请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．

引例：设a，b，c为非负实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)，分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究．

解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，

则AB＝a2＋b2，BC＝b2＋c2，CD＝a2＋c2，

显然AB＋BC＋CD≥AD，

∴a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c)．

探究一：已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求x2＋4＋y2＋9的最小值(图②仅供参考)；

探究二：若a，b为正数，求以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积．

第4题图

答案

1. 解：(1)108－45＝63

63－45＝18

45－18＝27

27－18＝9

18－9＝9

所以，108与45的最大公约数是9； (2)①先求104与78的最大公约数， 104－78＝26 78－26＝52 52－26＝26

所以，104与78的最大公约数是26； ②再求26与143的最大公约数， 143－26＝117 117－26＝91 91－26＝65 65－26＝39 39－26＝13 26－13＝13

所以，26与143的最大公约数是13. 综上所述，78、104、143的最大公约数是13. 2. 解：在数轴上表示如解图所示．

第2题解图

所以，不等式的|x －1|<2的解集为－1

3. 解：(1)∵∠C ＝90°，BC ＝a 2

，AC ＝b ，

∴AB ＝

b 2

＋a 2

4

，

∴AD ＝

b 2

＋a 2

4－a 2

＝

4b 2＋a 2

－a

2； (2)用求根公式求得： x 1＝－4b 2

＋a 2

－a 2

；

x 2＝4b 2＋a 2

－a 2

故AD 的长就是方程的正根，

遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．

4. 解：探究一：如解图①，构造矩形AECF ，并设矩形的两边长分别为12，5，

第4题解图①

则x ＋y ＝12，AB ＝x 2

＋4，

BC ＝y 2＋9，

显然AB ＋BC ≥AC ，

当A ，B ，C 三点共线时，AB ＋BC 最小， 即x 2

＋4＋y 2

＋9的最小值为AC ， ∵AC ＝122

＋52

＝13，

∴x 2

＋4＋y 2＋9的最小值为13；

第4题解图②