正弦定理知识点总结与复习

在△ABC ，已知A ＝60°，B ＝45°，c ＝2，解三角形

[解题过程] 在△ABC 中，C ＝180°－(A ＋B )

＝180°－(60°＋45°)＝75°. sin 75°＝sin(45°＋30°)

＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝2(3＋1)4＝6＋24

根据正弦定理：

a ＝c sin A sin C ＝2sin 60°sin 75°＝2×3

2

2(3＋1)4＝6(3－1)＝32－

6，

b ＝

c sin B sin C ＝2sin 45°

sin 75°＝2×

222(3＋1)

4

＝2(3－1)．

[题后感悟] 已知两角和一边(如A ，B ，c )，求其他角与边的步骤是：

(1)C ＝180°－(A ＋B )； (2)用正弦定理，a ＝c sin A sin C ； (3)用正弦定理，b ＝c sin B

sin C . ,

思路点拨： 已知两边及一边对角，先判断三角形解的情况，

∵a>b ，∴A>B ，B 为锐角，故有一解，先由正弦定理求角B ， 然后由内角和定理求C ，然后再由正弦定理求边 c.

1．(1)已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10.求b .

(2)在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，求c . 解析： (1)∵A ＋B ＋C ＝180，∴C ＝105°. 又∵sin 105°＝sin(45°＋60°) ＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°·sin 60° ＝2＋64，

∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 30°

sin 105°＝10×

122＋64

＝5(6－2)．

(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝30°. 又∵b sin B ＝c

sin C ，

∴c ＝b sin C sin B ＝22×sin 30°sin 45°＝22×12

2

2

＝2.

在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，解三角形．

2．本例中条件“A ＝60°”改为“B ＝45°”，其它条件不变，解三角形

[解题过程] 由a sin A ＝b sin B

，得 sin B ＝b ·sin A a ＝42×sin 60°43

＝2

2.

∵a >b ，∴A >B ，而A ＝60°，∴B 为锐角，∴B ＝45°. C ＝180°－(A ＋B )＝75° 由a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝43·sin 75°sin 60°＝2(6＋2) [题后感悟] 已知两边和其中一边对角(如a ，b ，A )不能唯一确定三角形形状，解这类问题将出现无解、一解、两解三种情况，要注意判别，其方法是：由三角形中大边对大角可知，若a ≥b ，则A ≥B ，从而B 为锐角，有一解，若a

a ，①当sin B >1，无解；②当sin B ＝1，一解；③当sin B <1，两解． , 解析： 由正弦定理a sin A ＝

b sin B 得

sin A ＝a sin B b ＝43sin 45°42＝3

2

∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝75° 由正弦定理c sin C ＝b

sin B

得

在△ABC 中，已知a2tan B ＝b2tan A ，试判断△ABC 的形状． 思路点拨 ：观察已知条件，是一个边角等式，可以应用正弦定 理把边化为角，再利用三角公式求解

c ＝b sin C sin B ＝42·sin 75°

sin 45°＝2(6＋2)． 当A ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝15° 由正弦定理c sin C ＝b sin B

得

c ＝b sin C sin B ＝42·sin 15°

sin 45°＝2(6－2) ∴A ＝60°，C ＝75°，c ＝2(6＋2) 或A ＝120°，C ＝15°，c ＝2(6－2)

[规范作答] 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2

sin A

cos A .2分 由正弦定理的推广得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC

的外接圆半径)，∴4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A

cos A

，6分

即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .8分 又A 、B 为三角形的内角，

∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π

2.10分

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.12分

[题后感悟] (1)确定三角形的形状主要有两条途径： ①化边为角；②化角为边． (2)确定三角形形状的思想方法：

先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能.

3．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝acos C ，试判断△ABC 的形状． 解析： ∵b ＝acos C ，

由正弦定理得：sin B ＝sin A ·sin C. ∵B ＝π－(A ＋C)， ∴sin(A ＋C)＝sin A ·cos C.

即sin Acos C ＋cos Asin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos Asin C ＝0，

∵A 、C ∈(0，π)，

∴cos A ＝0，∴A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形． 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形： (1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°；

(2)a ＝3，b ＝1，A ＝60°； (3)a ＝3，b ＝1，B ＝120°.