2.2.2反证法(学、教案)

合集下载

2.2.2反证法(公开课)

三个步骤：反设—归谬—存真归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？（1）直接证明有困难（2）否定性命题（3）唯一性命题（4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
趣味数学
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被
别
人采摘,
这与“多子”产生矛盾.
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?
导
致
反设
不成立
结述方式：
≥1 ＜1
＜3 至少有一个≥3 —— 一个也没有 ≥n ＜n 至多有两个至少有三个——
≤1 至多有(n-1) ＞1 至少有n个—— 个最多有一个—— 至少有两个
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
2.2.2 反证法
复习 1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法已知条件结论分析法
结论
已知条件
由因导果执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动…

人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版

2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解：假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12．【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-，故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1．所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)，又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。

教学设计7：2.2.2　反证法

2．2.2反证法教学设计1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．教学知识梳理知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考本故事中王戎运用了什么论证思想？【答案】运用了反证法思想．梳理(1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．教学案例类型一用反证法证明否定性命题例1已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明假设a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，∴4b ＝a ＋c ＋2ac .①∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，②由②得b ＝ac ，代入①式，得a ＋c －2ac ＝(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c .这与已知a ，b ，c 不成等差数列相矛盾， ∴假设不成立．故a ，b ，c 不成等差数列．类型二用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a ，b ，c ∈(0,2)，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1.证明假设(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 都大于1.因为a ，b ，c ∈(0,2)，所以2－a >0,2－b >0,2－c >0.所以(2－a )＋b 2≥(2－a )b >1. 同理(2－b )＋c 2≥(2－b )c >1， (2－c )＋a 2≥(2－c )a >1. 三式相加，得(2－a )＋b 2＋(2－b )＋c 2＋(2－c )＋a 2>3，即3>3，矛盾．所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1.反思与感悟应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x 成立存在某个x 0不成立至多有一个至少有两个对任意x 不成立存在某个x 0成立至少有n 个至多有n －1个 p 或q p 且q 至多有n 个至少有n ＋1个 p 且q p 或qy 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a 和y 3＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点，由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a ，y 3＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，且Δ3＝4a 2－4bc ≤0.同向不等式求和，得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，所以2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0，所以(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，所以a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．类型三用反证法证明唯一性命题例3 求证：方程2x ＝3有且只有一个根．证明 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23.这说明方程2x ＝3有根．下面用反证法证明方程2x ＝3的根是唯一的．假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)，则12b ＝3, 22b ＝3，两式相除得122b b ＝1，∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这与b 1≠b 2矛盾．∴假设不成立，从而原命题得证．反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．跟踪训练3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，求证：方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．证明假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．达标检测1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )A ．三角形中至少有一个直角或钝角B ．三角形中至少有两个直角或钝角C ．三角形中没有直角或钝角D ．三角形中三个角都是直角或钝角【答案】B2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么直线c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线【答案】C【解析】假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．3．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60° 【答案】B4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( )A ．a 不垂直于cB ．a ，b 都不垂直于cC ．a ⊥bD ．a 与b 相交【答案】D5．用反证法证明：关于x 的方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，当a ≤－32或a ≥－1时，至少有一个方程有实数根．证明假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝16a 2＋4(4a －3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4×(－2a )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，解得－32<a <－1，与a ≤－32或a ≥－1矛盾，故原命题成立．。

高中数学专题2.2.2 反证法教案新人教A版选修12

反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。

提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。

常用的直接证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

2.2.2反证法学案(含答案)

2.2.2反证法学案（含答案）2.2.2反证法反证法学习目标1. 了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的他们都问王戎“你怎么知道李子是苦的呢”王戎说“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的”思考1本故事中王戎运用了什么论证思想答案运用了反证法思想思考2反证法解题的实质是什么答案否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确梳理1反证法的概念一般地，由证明pq转向证明綁qrt, t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定絲q为假，推出q为真的方法，叫做反证法2庾证法常见的几种矛盾与假设矛盾与数学公理.定理. 公式.定义或已被证明了的结论矛盾与公认的简单事实矛盾例如，导出01,00之类的矛盾3反证法证明数学命题的一般步骤分清命题的条件和结论做出与命题结论相矛盾的假设由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1反证法属于间接证明问题的方法2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理3庾证法的实质是否定结论导出矛盾类型一用反证法证明否定性命题例1已知三个正数a, b, c成等比数列但不成等差数列求证a, b, c不成等差数列证明假设a, b, c成等差数列，则2bac,4bac2ac. a, b, c成等比数列，b2eic,由得bac,代入式，得ac2acac20, ac,从而abc.这与已知a, b, c不成等差数列相矛盾，假设不成立故a, b, c不成等差数列反思与感悟对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的跟踪训练1已知正整数，a, b, c满足a2b2c2.求证a, b, c不可能都是奇数证明假设a, b, c都是奇数，则a2, b2, c2都是奇数左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾假设不成立，a, b, c不可能都是奇数类型二用反证法证明“至多.至少”类问题例2a, b, c0,2,求证 2ab, 2bc, 2ca不能都大于1.证明假设2ab, 2bc, 2ca都大于1.因为 a, b, c0,2,所以 2a0,2b0,2c0.所以 2ab22ab1.同理，2bc22bcl, 2ca22ca1.三式相加，得2ab22bc22ca23,即33,矛盾所以2ab,2bc, 2ca不能都大于1.庾思与感悟1用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误需仔细体会“至少有一个” “至多有一个'‘等表达的意思2常用的“原结论词"与“庾设词"归纳如下表原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有不存在至少有两个至多有nl个至少有nl个跟踪训练2已知 a, b, c是互不相等的实数，求证由ylax22bxc, y2bx22cxa和 y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由ylax22bxc, y2bx22cxa, y3cx22axb,得 12b24ac0, 22c24ab0,且32a24bc0.同向不等式求和，得 4b24c24a24ac4ab4bc0,所以2a22b22c22ab2bc2ac0,所以 ab2bc2ac20,所以Elbe.这与题设a, b, c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三用反证法证明唯一性命题例3求证方程2x3有且只有一个根证明 2x3, xlog23.这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的假设方程2x3至少有两个根bl, b2blb2,则12b3,22b3,两式相除得122bbl, blb20,则blb2,这与blb2矛盾假设不成立，从而原命题得证反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有"“只有一个"“唯一存在''等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练3求证两条相交直线有且只有一个交点证明设两直线为Q, b,假设结论不成立，即有两种可能无交点；至少有两个交点1若直线b 无交点，那么Qb或a, b是异面直线，与已知矛盾；2若直线a, b至少有两个交点，设为A和B,这样同时经过点A, B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线"相矛盾所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点1证明“在ABC中至多有一个直角或钝角"，第一步应假设A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角答案B2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中A有一个内角小于 60B每一个内角都小于60C有一个内角大于60D每一个内角都大于 60答案B3 u abCabDab或ab答案D4用反证法证明“在同一平面内，若ac, be,则ab”时，应假设Aa不垂直于C B EI, b都不垂直于cCabDa与b 相交答案D5已知fxx2pxq. 1求证flf32f22； 2求证f 1|, |f2|, |f3|中至少有一个不小于12.证明 Iflf32f21pq93pq242pq2.2假设|fl|, |f2|, f3|中至少有一个不小于12不成立，则 fl|, |f2|, |f3| 都小于 12,则 |fl|2|f2| |f32.因为 fl|2|f2 |f3 flf32f21pq93pq84p2q2,这与Ifl|2|f2||f3|2相矛盾，所以假设不成立，原命题成立，所以|fl|, f2|, |f3|中至少有一个不少于12.用反证法证题要把握三点1必须先否定结论，对于结论的及面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的2反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义.公理.定理. 事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.。

学案5：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点)．2.理解反证法的思考过程、特点，会用反证法证明数学问题(重点、难点)．知识提炼1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．温馨提示反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()(4)反证法是通过证明逆否命题来证明原命题．()2．用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”时，假设的内容应是()A．a2＝b2B．a2＜b2C．a2≤b2D．a2＜b2，且a2＝b23．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③4．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使f(c)＞0”反设，所得命题为“_______________________________________”．5．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为______________．核心突破类型1用反证法证明否定性命题(自主研析)典例1已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．归纳升华1．用反证法证明否定性命题的适用类型．结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤．变式训练如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分．类型2用反证法证明“至多”“至少”等存在性问题典例2用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．(不考虑重根)归纳升华1．反证法是利用原命题的否定不成立则原命题成立来进行证明的．在使用反证法时，必须在假设中罗列出所有与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．2．对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．变式训练已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．类型3用反证法证明唯一性问题典例3已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．归纳升华(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．(2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．变式训练已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．类型4 用反证法证明不等式成立问题(误区警示)典例4已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.易错提示：本题易出现如下错误：假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0，与题设条件a＋b＋c＞0，abc＞0矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．防范措施：(1)错解没有弄清原题待证的结论是什么，导致反设错误．“求证：a＞0，b＞0，c＞0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0”．(2)含“至多”“至少”“唯一”等的结论，或以否定形式给出的结论，常用反证法证明．证明的第一步是写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可能情形一一推证．类题尝试已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．课堂小结1．反证法证题的原理与实质．(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法证题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．2．反证法的适用对象．作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)结论是含有“至多”“至少”等词语的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．参考答案思考尝试1．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×【解析】(1)对，反证法是间接证明问题的方法．(2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理．(3)对，根据反证法的概念知说法正确．(4)错，2．【答案】C【解析】将结论否定，即为a2≤b2.3．【答案】C4．【答案】函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上恒小于等于0【解析】将命题反设，意思是“对区间[－1，1]上的任何x，都有f(x)≤0”．5．【答案】a≠1或b≠1【解析】“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以假设为a≠1或b≠1.核心突破类型1用反证法证明否定性命题(自主研析)典例1证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a，b，c不成等差数列．变式训练证明：连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.因为四边形ACBD为圆的内接四边形，所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，所以∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，所以对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，假设错误，所以AB，CD不能互相平分.类型2用反证法证明“至多”“至少”等存在性问题典例2证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．变式训练证明：假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd＞1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．类型3用反证法证明唯一性问题典例3证明：根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图①所示，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图②所示，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C 为垂足)那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂平面α，所以AB⊥BC，AC⊥BC，在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．图①图②变式训练证明：假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立．类型4 用反证法证明不等式成立问题(误区警示)典例4解：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a＜0，则由abc＞0，得bc＜0，由a＋b＋c＞0得，b＋c＞－a＞0，所以ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知ab＋bc＋ca＞0矛盾．又若a＝0，则abc＝0与abc＞0矛盾．故“a≤0”不成立，所以a＞0，同理可证b＞0，c＞0.类题尝试已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．证明：因为a∥b，所以过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，所以m⊂α.即过a、b、m有一个平面α.假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．。

人教版高中数学教案-反证法

2. 2.2反證法課前預習學案一、預習目標：使學生瞭解反證法的基本原理；掌握運用反證法的一般步驟；學會用反證法證明一些典型問題.二、預習內容：提出問題：問題1：桌面上有3枚正面朝上的硬幣，每次用雙手同時翻轉2枚硬幣，那麼無論怎麼翻轉，都不能使硬幣全部反面朝上。

你能解釋這種現象嗎？學生嘗試用直接證明的方法解釋。

採用反證法證明：假設經過若干次翻轉可以使硬幣全部反面向上，由於每枚硬幣從正面朝上變為反面朝上都需要翻轉奇數次，所以 3 枚硬幣全部反面朝上時，需要翻轉 3 個奇數之和次，即要翻轉奇數次．但由於每次用雙手同時翻轉 2 枚硬幣， 3 枚硬幣被翻轉的次數只能是2 的倍數，即偶數次．這個矛盾說明假設錯誤，原結論正確，即無論怎樣翻轉都不能使3 枚硬幣全部反面朝上．問題2：A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。

則C必定是在撒謊，為什麼？分析:假設C沒有撒謊, 則C真.那麼A假且B假;由A假, 知B真. 這與B假矛盾.那麼假設C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.推進新課在解決某些數學問題時，我們會不自覺地使用反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。

三、提出疑惑疑惑點疑惑內容課內探究學案一、學習目標（1）使學生瞭解反證法的基本原理；（2）掌握運用反證法的一般步驟；（3）學會用反證法證明一些典型問題.二、學習過程：例1、已知直線,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求證||a α。

解析：讓學生理解反證法的嚴密性和合理性；證明：因為||a b ,所以經過直線a , b 確定一個平面β。

因為a α⊄，而a β⊂，所以 α與β是兩個不同的平面．因為b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=.下麵用反證法證明直線a 與平面α沒有公共點．假設直線a 與平面α有公共點P ，則P b αβ∈=，即點P 是直線 a 與b 的公共點，這與||a b 矛盾．所以 ||a α.點評：用反證法的基本步驟：第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步作出與所證不等式相反的假定；第三步從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所作的假定不正確，於是原證不等利變式訓練1.求證：圓的兩條不全是直徑的相交弦不能互相平分.例2、求證：2不是有理數例3、設二次函數q px x x f ++=2)(，求證：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一個不小於21. 解析：直接證明)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一個不小於21.比較困難，我們應採用反證法證明：假設)3(,)2(,)1(f f f 都小於21，則 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由絕對值不等式的性質，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。

导学案2.2.2反证法

2.2.2反证法[学习目标]1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．[情景引入]著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”你知道王戎运用了什么思想方法吗？提示：王戎运用了反证法的思想．[新知探究]1．反证法是___________的一种基本方法．2．假设原命题_________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了___________，这种证明方法叫做反证法．3．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_______矛盾，或与________________________矛盾等．[例题讲解]例1已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋3，求证：数列{a n }中任意不同的三项都不可能是等比数列．【思路启迪】该问题是一个否定性命题，可假设在{a n }中存在某不同的三项构成等比数列，然后推得矛盾，从而证明原命题的正确性．【证明】假设{a n }存在不同的三项a p ，a q ，a r (p 、q 、r 互不相等)构成等比数列．则a 2q ＝a p ·a r ，即(p ＋3)·(r ＋3)＝(q ＋3)2，∴pr ＋3(p ＋r )＋3＝q 2＋23q ＋3，∴(pr －q 2)＋3(p ＋r －2q )＝0，由于p ，q ，r ∈N *，∴pr －q 2＝0且p ＋r －2q ＝0.于是pr －(p ＋r 2)2＝0，得(p －r )2＝0，故p ＝r ＝q .这与p 、q 、r 互不相等相矛盾，因此假设不成立，即{a n }中任意不同的三项都不可能是等比数列．点评：(1)当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．(2)例2用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行．【思路启迪】由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以作一条已知直线的平行线．而“只有一条”可通过假设过点A 有两条直线与直线a 平行，由平行公理推出矛盾．【证明】由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行．假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．点评：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)证明．例3已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.【思路启迪】不能同时大于14，亦即至少有一个不大于14，因此可用反证法证明．【证明】证法一：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >164.又(1－a )a ≤(1－a ＋a 2)2＝14.同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.以上三式相乘得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，这与(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164矛盾，故结论得证．证法二：假设三式同时大于14.∵0<a <1，∴1－a >0.1－a ＋b 2≥ 1－a b >14＝12.同理， 1－b ＋c 2≥12， 1－c ＋a 2≥12. 三式相加得32>32，矛盾，∴原命题成立．点评：(1)当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时，适合用反证法．(2)“至多”“至少”“都”等词语的否定形式．例4 已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．解;假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根，则该方程的根的判别式Δ＝4－4(5－p 2)≥0，解得p ≥2或p ≤－2①而由已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，解得－2<p <－12②数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．[课堂小结]1．反证法是通过证明命题的否定“若p ，则綈q ”为假，从而达到证明原命题为真的目的．因此，在用反证法证题时，一定要把命题的否定求对，命题的否定是保留条件，只否定结论．2．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即当把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【当堂检测】1．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中或都是奇数或至少有两个偶数解析：对“恰有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”，故选D.2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个数是正数D ．两个都是负数解析：假设两个数都是负数或零，或一负数一零，则其和必为负数或零，这与已知矛盾．故选C.3．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三角形三个内角都不大于60°B ．三角形三个内角都大于60°C ．三角形三个内角至多有一个大于60°D ．三角形三个内角至多有两个大于60°解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三角形三个内角都大于60°”，故选B.4．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a ＝b ＝1”即“a ＝1且b ＝1”，其否定为“a ≠1或b ≠1”．5．设实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于________．解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a ，b ，c 中至少有一个不小于13.。

人教A版选修2-2第二章 2.2.2反证法教学设计

反证法(教学设计)【教学目标】知识与技能：1.通过实例理解反证法的概念；2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤。

过程与方法：通过反证法的应用体会“正难则反”的数学思想，提升逻辑推理能力。

情感态度价值观：渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

【教学重难点】学习重点：理解反证法的概念、反证法的特点，把握反证法的适用范围。

学习难点：如何假设问题的反面，如何在证明过程中导出矛盾。

【学法指导】通过预习教材和导学案，理解反证法的概念及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤，理解反证法的原理。

合作探究反证法的证明过程和一般思路，掌握反证法的特点和表述的规律及适用题型，提升自己的分析能力和数学论证能力。

【教学过程】一.情景引入（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？分析：假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。

因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个球是同色的。

我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。

（引出反证法）二．基本概念一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。

因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明。

注：反证法是最常见的间接证明法。

反证法证题的基本步骤：①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与定义，公理，定理，事实等矛盾，与假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等），从而否定假设；③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。

简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论（其中推出矛盾是反证法证明的关键）三．典型例题例1.求证：在三角形ABC中，至少有一个内角不小于60°。

高中数学新人教版B版精品教案《2.2.2 反证法》

反证法教学设计[学习目标]1、知识与技能：理解反证法的概念，掌握反证法证题问题的步骤；2、过程与方法：通过生活实例归纳反证法的概念，通过数学问题体会反证法证明问题的步骤；3、情感、态度与价值观：通过反证法的学习，培养正难则反的逆向思维，认识反证法在数学发展中的重要作用。

[重点] 反证法的概念，一般步骤[难点] 结合条件、假设及所学知识进行合理变形推出矛盾[教法] 启发引导式教学法[学法] 小组讨论合作探究法[学习过程]一、课题的引入及概念的形成①活动探究通过活动发现“任意13个同学中必有同一个月生日的同学”，启发学生思考问题的必然性，结合生活实际可以给出证明：如果任意13个同学中没有同一个月生日的同学，那月份至少有13个月，而实际只有12个月，矛盾，所以原结论正确。

②故事情境通过“道旁李苦”的故事，引导学生用同样的方法去分析：假设李子甜的，而李树长在路边，那李子早应该被人采光了，而事实是果实累累，矛盾，所以假设错误（李子不是甜的），原结论成立（李子是苦的）。

③结合生活实际举例：应用这种方法解决问题的例子并加以说明？通过以上例子的分析，引出课题：反证法。

让学生体会反证法，并归纳出反证法的概念：假设原命题结论不成立，即结论的反面成立，经过正确推理，得出矛盾，因此说明假设错误，从而原结论成立。

二、归纳步骤，典例讲解结合定义和实例归纳出反证法证明问题的步骤（三步）：反设，归谬，结论。

通过典例讲解，体会“反设”，“归谬”，“结论”三步在证明时的具体应用、易错点和难点。

例1：已知直线b a ,和平面α，如果αα⊂⊄b a ，，且b a //，求证：α//a分析：这是线面平行的判定定理，立体几何中的很多证明常采用反证法。

证明：假设直线a 和平面α有公共点，设A a = α，b a // ，b A ∉∴在平面α内，过A 作直线b c //，c a //∴，c A c A ∈∈，，A c a =∴ ，这与c a //矛盾，所以假设错误，α//a ∴反证法在数学证明中的应用很广泛，除了可以证明几何问题也可以证明代数问题。

2.2.2反证法（优秀经典公开课比赛教案）.

2.2.2反证法（优秀经典公开课⽐赛教案）.课题：2．3反证法学科：数学年级：⾼⼆班级：⼀、教材分析：本节主要研究反证法的概念以及反证法证明问题的⼀般步骤。

在上⼀节中，我们已经学习了直接证明，但是对于有的题⽬，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；或者如果从正⾯证明，需要分成多种情形进⾏分类讨论，⽽从反⾯进⾏证明，只要研究⼀种或很少的⼏种情形。

所以，教材在直接证明之后安排反证法的内容是很有必要的。

⼆、教学⽬标：1．知识与技能结合实例了解间接证明的⼀种基本⽅法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会⽤反证法证明数学问题．2．过程与⽅法使学⽣经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学⽣归纳、总结、推理论证的能⼒．增强学⽣的数学应⽤意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学⽣积极参与、⼤胆探索的精神以及合作意识．通过让学⽣体验成功，培养学⽣学习数学的⾃信⼼．通过科学家的故事，培养学⽣的耐⼼、恒⼼、⾃信⼼和抗挫折能⼒．从⽽发展学⽣的数学思维能⼒，提⾼思维品质．三、教学重点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．四、教学难点难点：应⽤反证法解决问题，在推理过程中发现⽭盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或⼰知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相⽭盾的地⽅；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学⽣亲⾝体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决⽅法，突出重点、化解难点．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电⼦⽩板六、教学⽅法：建议本节课采取探究式教学法，让学⽣参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学⽣积极参与的热情，开发其论证推理能⼒的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下⼏点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出⽭盾——得出结论．(2)提出反设的⽅式⽅法：引导学⽣弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬⽅法：在归谬过程中要注意假设条件的利⽤，通过例题分析总结归谬的⽅法技巧．(4)反证法的适⽤范围及对象：反证法⼀般适⽤于题⽬条件中含有量词“⾄多”“⾄少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．七、教学过程：1、⾃主导学：阅读课本42—43页回答下列问题：（学⽣课前预习后提出疑惑，⽼师解答）【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎⼩时候，爱和⼩朋友在路上玩耍．⼀天，他们发现路边的⼀棵树上结满了李⼦，⼩朋友⼀哄⽽上，去摘李⼦，独有王戎没动．等到⼩朋友摘了李⼦⼀尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李⼦是苦的呢？”王戎说：“假如李⼦不苦的话，早被路⼈摘光了，⽽这棵树上却结满了李⼦，所以李⼦⼀定是苦的．”王戎的论述运⽤了什么推理思想？【提⽰】实质运⽤了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成⽴(即在原命题的条件下，结论不成⽴)，经过正确的推理，最后得出⽭盾，因此说明假设错误，从⽽证明了原命题成⽴，这样的证明⽅法叫做反证法．2．反证法常见的⽭盾类型2、合作探究（1）分组探究探究点1 反证法的定义和探究点2 反证法的应⽤1.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0⽆整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选⽤反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应⽤．【⾃主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．⽽f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn ＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．⼜a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数⽭盾．∴f(x)＝0⽆整数根．2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再⽤反证法证明零点唯⼀．【⾃主解答】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)内⾄少存在⼀个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另⼀个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，⽭盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，⽭盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．（2）教师点拨1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正⾯突破较困难时，可⽤反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后⽤转化后的命题作为条件进⾏推理，推出⽭盾，从⽽达到证题的⽬的．2．常见否定词语的否定形式如下表所⽰：3、巩固训练1.已知⾮零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．【证明】假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac，⼜a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac，∴(a －c )2＝0，即a ＝c .这与a ≠c ⽭盾．故假设错误，原命题正确.2.已知a 与b 是异⾯直线，求证：过a 且平⾏于b 的平⾯只有⼀个．【证明】如图所⽰．假设过直线a 且平⾏于直线b 的平⾯有两个，分别为α和β，在直线a 上取点A ，过b 和A 确定⼀个平⾯γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c 、d ，由b ∥α，知b ∥c ，同理b ∥d ，故c ∥d ，这与c 、d 相交于点A ⽭盾，故假设不成⽴，原结论成⽴.3.已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y x中⾄少有⼀个⼩于2. 【思路探究】明确“⾄少”的含义―→对结论作出假设―→得出⽭盾．【⾃主解答】假设1＋x y ，1＋y x 都不⼩于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2.∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2⽭盾．∴1＋xy，1＋yx中⾄少有⼀个⼩于2.常见结论词与反设词列表如下：。

教学设计5：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法例1.已知x 、y 、z 是整数，且x 2+y 2=z 2 求证：x 、y 、z 不可能都是奇数.证明：设x 、y 、z 都是奇数，则x 2、y 2、z 2都是奇数 ∴x 2+y 2为偶数 ∴ x 2+y 2≠z 2 这与已知矛盾 ∴ x 、y 、z 不可能都是奇数.例2. 若三个方程x 2+4mx -4m +3=0；x 2+(m -1)x +m 2=0；x 2+2mx -2m =0 至少有一个方程有实数根，求实数m 的取值范围.解：当三个方程都没有实根时，有即：得：∴ -3/2<m <-1∴ 上述三个方程至少有一个方程有实根的m 的范围应为：m ≥-1或m ≤-3/2. 例3 若{},x y ∈正实数,且2x y +>,求证:12x y +<或12yx+<中至少有一个成立. 证明 (用反证法证明) 假设12x y +<和12y x +<都不成立,则有12x y +≥和12y x+≥同时成立. 因为0x >且0y >,所以12x y +≥且12y x +≥. 两式相加得 222x y x y ++≥+,所以2x y +≤, 这与已知条件2x y +>矛盾,因此,12x y +<或12yx+<中至少有一个成立. 课堂巩固1．实数a ，b ，c 不全为0等价于 ( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0学习笔记教师备课△1=(4m )2-4(3-4m )<0△2=(m -1)2-4m 2<0 △=4m 2+8m<0 4m 2+4m -3<03m 2+2m -1>0-3/2<m <1/2 m <-1或m >1/3证明假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．解析“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案a，b不全为09．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c.①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．10．已知函数f(x)＝x22x－2，如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证：当n≥2时，恒有a n<3成立．证明由a n＋1＝f(a n)得a n＋1＝a2n2a n－2，∴1a n＋1＝－2a2n＋2a n＝－2⎝⎛⎭⎫1a n－122＋12≤12，∴a n＋1<0或a n＋1≥2；(1)若a n＋1<0，则a n＋1<0<3，学习笔记∴结论“当n≥2时，恒有a n<3”成立；(2)若a n＋1≥2，则当n≥2时，有a n＋1－a n＝a2n2a n－2－a n＝－a2n＋2a n2a n－1＝－a n a n－22a n－1≤0，∴a n＋1≤a n，即数列{a n}在n≥2时单调递减；由a2＝a212a1－2＝168－2＝83<3，可知a n≤a2<3，在n≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n≥2时，恒有a n<3成立．。

教学设计6：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法教学目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识链接1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．教学导引 1．反证法由证明p ⇒q 转向证明綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与假设矛盾，与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾，与公认的简单事实矛盾． 3．反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：结论词至少有一个至多有一个至少有n 个至多有n 个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有(n －1)个至少有(n ＋1)个结论词只有一个对所有x 成立对任意x 不成立反设词没有或至少有两个存在某个x 不成立存在某个x 成立结论词都是一定是 p 或q p 且q 反设词不都是不一定是綈p 且綈q 綈p 或綈q要点一用反证法证明“至多”“至少”型命题例1 已知x ，y >0，且x ＋y >2. 求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明假设1＋x y ，1＋yx 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋yx≥2.∵x ，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x . ∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2与已知x ＋y >2矛盾． ∴1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.规律方法对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练1 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明假设a ，b ，c ，d 都是非负数， ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1.又∵(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， ∴ac ＋bd ≤1.这与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．要点二用反证法证明不存在、唯一性命题例2 求证对于直线l ：y ＝kx ＋1，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．证明假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有(1)直线l ：y ＝kx ＋1与直线y ＝ax 垂直；(2)点A 、B 在直线l ：y ＝kx ＋1上；(3)线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝ax 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝－1， ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2， ②y 1＋y 22＝a x 1＋x22， ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0. ④ 当k 2＝3时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意．由②、③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2, ⑤由④知x 1＋x 2＝2k3－k 2，代入⑤整理得： ak ＝3，这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．规律方法证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．跟踪演练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直．已知：平面α和一点P .求证：过点P 与α垂直的直线只有一条．证明如图所示，不论点P 在α内还是在α外，设P A ⊥α，垂足为A (或P )．假设过点P 不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB ⊥α，设P A ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线P A ，PB 垂直于a ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．要点三用反证法证明否定性命题例3 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题时，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．跟踪演练3 已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根. 当堂检测1．用反证法证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A ．三角形中至少有一个直角或钝角 B ．三角形中至少有两个直角或钝角 C ．三角形中没有直角或钝角 D ．三角形中三个角都是直角或钝角【答案】B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A ．有一个内角小于60° B ．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D ．每一个内角都大于60°【答案】B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b【答案】D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( )A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交【答案】D5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．。

人教版高中数学选修2-22.2.2反证法教案

2.2.2 反证法教课建议1.教材剖析本节主要内容是反证法的观点及应用反证法进行证明的一般步骤 ,经过学习本节内容 , 对培育学生的逆向思想是特别有益的 ,反证法是间接证明的一种基本方法 .要点 :认识反证法的含义及思想过程和特色,并能简单应用.难点 :应用反证法解决问题.2.主要问题及教课建议(1)方法的选择 .建议教师要修业生总结何时采纳反证法证明更好.当问题波及否认性,独一性 ,至多 ,起码等字眼或问题很明显从正面没法下手时能够考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展现学生的证明过程,有针对性地更正以下错误现象: 不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设 (若不用反设就不是反证法了 ),对推出矛盾没有预示性或推不出矛盾 ,指引学生学会制造矛盾 .备选习题1.如图 ,设 SA,SB 是圆锥 SO 的两条母线 ,O 是底面圆的圆心,C 是 SB 上一点 .求证 :AC 与平面 SOB 不垂直.证明 :如图 ,连结 AB ,OB,假定 AC⊥平面 SOB.∵直线 SO 在平面 SOB 内 ,∴AC⊥ SO.∵SO⊥底面圆 O,∴SO⊥ AB.又 A B∩AC=A ,∴SO⊥平面 ABC,∴平面 ABC∥底面圆 O.这明显与 AB? 底面圆 O 矛盾 ,∴假定不建立 .故 AC 与平面 SOB 不垂直 .2.设{ a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n 项和 .(1)求证 :数列 { S n} 不是等比数列 ;(2)数列 { S n} 是等差数列吗 ?为何 ?(1)证明 :反证法 :假定 { S n} 是等比数列 ,则 =S1S3,即 (1+q )2=a 1·a1(1+q+q 2).∵a1≠ 0,∴(1+q )2= 1+q+q 2,即 q= 0,与 q≠0矛盾 ,∴{ S n} 不是等比数列 .(2)解 :当 q= 1 时 ,{ S n} 是等差数列 .当 q≠1时 ,{ S n} 不是等差数列 .假定 q≠1时 ,{ S n} 是等差数列 ,则 S1,S2,S3成等差数列 ,即 2S2=S1+S 3.∴2a1(1+q )=a 1 +a 1(1+q+q 2 ).因为 a1≠ 0,∴2(1+q )= 2+q+q 2 ,q=q2. ∵q≠1,∴q= 0,与 q≠0矛盾 .∴当 q≠1时 ,{ S n} 不是等差数列.。

学案8：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法学习目标：1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．学习过程：知识点：反证法提出问题著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？问题2：反证法解题的实质是什么？导入新知1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．化解疑难1．反证法实质用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q ―→导致逻辑矛盾―→“p且 q”为假―→“若p，则q”为真2．反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．例题讲解：题型一：用反证法证明否定性命题例1：设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．类题通法1．用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．2．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．活学活用：设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.题型二：用反证法证明唯一性命题例2：已知a≠0，求证关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．类题通法用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．活学活用：用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．题型三：用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题例3：已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.类题通法常见“结论词”与“反设词”多有一个零点．例4：在同一平面内，设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0，证明l 1与l 2相交．课堂检测：1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④2．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除3．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y 和1＋y x中至少有一个小于2； ③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．4．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．5．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．参考答案学习过程：知识点：反证法问题1：运用了反证法的推理思想．问题2：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．例题讲解：例1：证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数，∴n ，an ＋b 均为奇数．又∵a ＋b 为偶数，∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾，∴f (x )＝0无整数根．活学活用：证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1.因为ad －bc ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0，即(a ＋b )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＋(b ＋c )2＝0，所以a ＋b ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝b ＝c ＝d ＝0，这与已知条件ad －bc ＝1矛盾，故假设不成立，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.例2：证明：由于a ≠0，因此方程ax ＝b 至少有一个实根x ＝b a. 如果方程不只有一个实根，不妨假设x 1，x 2是它的不同的两个根，从而有ax 1＝b ，ax 2＝b ，两式作差得a (x 1－x 2)＝0.因为x 1≠x 2，从而a ＝0，这与已知条件a ≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即当a ≠0时，关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个实根．活学活用：证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行．假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立. 例3：证明：假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100矛盾，故假设错误．所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.活学活用：证明：假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点，设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1＜x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确.例4：证明：假设直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，由直线l 1与l 2的方程可知实数k 1，k 2分别为两直线的斜率，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，消去k 1，得k 22＋2＝0，k 2无实数解，这与已知k 2为实数矛盾，所以k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．课堂检测：1．【解析】除原结论不能作为推理条件外其余均可．【答案】C2．【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．【答案】B3．【解析】①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．【答案】①②③④4．【解析】∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．【答案】b 与c 平行或相交5．解：若三个方程均无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，Δ2＝(a －1)2－4a 2＜0，Δ3＝(2a )2－4(－2a )＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1. 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －32＜a ＜－1，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤－32或a ≥－1，故所求实数a 的取值范围是a ≤－32或a ≥－1.。

学案6：2.2.2 反证法

2.2.2 反证法学习目标（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.学习过程：提出问题：问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上.你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释.采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．问题2：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎.则C 必定是在撒谎，为什么？分析:假设C 没有撒谎, 则C 真.那么A 假且B 假;由A 假, 知B 真. 这与B 假矛盾.那么假设C 没有撒谎不成立;则C 必定是在撒谎.推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法. 例题讲解：例1：已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α.例2：求证：2不是有理数反思总结：1.反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确2.归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾.3.应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；（4结论为 “唯一”类命题；当堂检测：1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A ．假设都是偶数B ．假设都不是偶数C ．假设至多有一个是偶数D ．假设至多有两个是偶数2．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．20(0)ax bx c a ++=≠a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，332p q +=2p q +≤2p q +≥a b ∈R ，1a b +<20x ax b ++=用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（）A ．与的假设都错误B ．与的假设都正确C ．的假设正确；的假设错误D ．的假设错误；的假设正确3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角4．三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 至少有1个大于或等于60 的反面为_______．5. 已知A 为平面BCD 外的一点，则AB 、CD 是异面直线的反面为_______．6．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．参考答案1x 11x ≥(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)a b c d ，，，1a b c d +=+=1ac bd +>a b c d ，，，例题讲解：例1：证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β.因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α. 例2：证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n =，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有 2242k n =，即222n k =所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．当堂检测：1. B2. D3. C4. 三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 都小于605．AB 、CD 共面6.证明：假设都是非负实数，因为， a b c d ，，，1a b c d +=+=所以，所以，，所以，这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．a b c d ，，，[01]∈，2a c ac +2b c bd +122a cb d ac bd ++++=≤1ac bd +>a b c d ，，，。

§2.2.2-反证法导学案

1高二数学选修 2-2 § 2.2.2-反证法一、学习任务1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2.使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题. 二、新课探究复习旧知1.直接证明的两种基本证法：________________________2.这两种基本证法的推证过程和特点是什么？3.在实际解题时，两种方法如何运用？预习新知4.反正法是_____________的一种基本方法。

5.课本P89页思考，你能解释这种现象吗？6.一般地，假设原命题________（即在原命题的条件之下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了____________________，这样的证明方法叫反证法。

7.用反证法证明命题“如果b a <，那么33b a >”时，假设的内容应为____________8.反正法的关健是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与_______矛盾，或与___________________________________矛盾等。

问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。

你能解释这种现象吗？采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，（假设）所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．（延着假设进行推理）但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．（与已知相矛盾）这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上.（由矛盾说明原结论正确） 1.变式：（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？2.课本例2、求证：2是无理数（1）___________________________是有理数，________________________是无理数。

高中数学优质教案反证法

2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列，求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1）在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2）如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3）在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4）在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。

2.2.2 反证法教案-高二数学人教A版选修1-2

[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。

这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。

也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。

但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。

究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。

由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。

第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。

高中数学 2.2.2反证法学案新人教A版选修22

2．2.2 反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A) A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2 B．a2<b2C．a2≤b2 D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解 B．有两个解C．至少有两个解 D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R P、Q、R都大于0.故选C.＋矛盾，故7．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a>b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使a n＝b n.答案：08．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y或x<y”，所以②正确；“a>b”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a ＋1c不成立．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0. 所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1 ＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2. 与假设x 0<0矛盾，故f (x )＝0没有负实根．。