八年级数学上 角平分线的作法

一. 教学内容：

1. 角平分线的作法．

2. 角平分线的性质及判定．

3. 角平分线的性质及判定的应用．

二. 知识要点：

1. 角平分线的作法（尺规作图）

①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；

②分别以C 、D 为圆心，大于1

2

CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；

③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．

O

A

B

①

②

③

2. 角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导

已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ．

O

P

A

B

M

N

12

C

证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2

在△PAO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠PAO ＝∠PBO

∠1＝∠2OP=OP

∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

O

P

A

B

M

N

12

如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ．

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导

已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上．

O

A

B

M

N

P

证明：连结OP

在R t △PAO 和R t △PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PB

OP ＝OP

∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ）

∴∠1＝∠2

∴OP 平分∠MON

即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

O

P

A

B

M

N

1

2

C

如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．

例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．

比例尺1∶2000

北

4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．

A B

C

D

E

F

P

(1)两个内角的角平分线

三. 重点难点：

1. 重点：角平分线的性质及判定

2. 难点：角平分线的性质及判定的应用

【考点分析】

本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．

【典型例题】

例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；

（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．

A

B

C

C'

分析：由条件∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′，可以把点A 看作是∠CBC ′平分线上的点，由此可打开思路． 证明：（1）∵∠C ＝∠C ′＝90°（已知），

∴AC ⊥BC ，AC ′⊥BC ′（垂直的定义）． 又∵AC ＝AC ′（已知），

∴点A 在∠CBC ′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC ＝∠ABC ′．

（2）∵∠C ＝∠C ′，∠ABC ＝∠ABC ′，

∴180°－（∠C ＋∠ABC ）＝180°－（∠C ′＋∠ABC ′）（三角形内角和定理）． 即∠BAC ＝∠BAC ′， ∵AC ⊥BC ，AC ′⊥BC ′，

∴BC ＝BC ′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．

例2. 如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，P 是AD 上一点，且D 点到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．

A B

C

E F

D P

1234

分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．

解：AD 平分∠BAC ．

∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2．

又∵PE ∥AB ，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4．

∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC ． 评析：由角平分线的判定判断出PD 平分∠EPF 是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．

例3. 如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？

A

B

C

D N

M

F E

P

分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段． 解：AP 平分∠BAC ．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E 、F 、D ． ∵BM 是∠ABC 的角平分线且点P 在BM 上，

∴PD ＝PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF ＝PE ，∴PD ＝PF ．

∴AP 平分∠BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．

例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路400m ，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．

（1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标．