角平分线模型的构造13111.doc

建筑

第二讲角平分线模型的构造 3 月

角平分线

(l) 定义：如图 2-1，如果∠ AOB ＝∠ BOC，那么∠一试试看”．

M

A

M

AOC=2∠AOB=2 ∠BOC，像 OB 这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线．

α

α

图 2-1

(2)角平分线的性质定理

①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角，

②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

(3)角平分线的判定定理

①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线，

②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，

与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型，

已知 P 是∠ MON 平分线上一点，

(l)若 PA⊥OM 于点 A ，如图 2-2(a)，可以过 P 点作PB⊥ON 于点B，则PB=PA.可记为“ 图中有角平分线，可向两边作垂线” ．

M M

A

A

P

P

O B N O B N

(a) (b)

(2)若点 A 是射线 OM 上任意一点，如图 2-2(b)，可以在 ON 上截取 OB=OA ，连接 PB，构造△ OPB ∽△ OPA.可记为“ 图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现” ．

(3)若 AP ⊥OP 于点 P，如图 2-2(c)，可以延长 AP 交 ON 于点 B，构造△ AOB 是等腰三角形， P 是底

P

Q P

O (c) B N O

(d) N

(4)若过 P点作 PQ∥ON 交 OM 于点 Q，如图 2-2(d)，可以构造△ POQ 是等腰三角形，可记为“ 角平分线十平行线，等腰三角形必呈现” ．

例 1

(1)如图 2-3(a)，在△ ABC 中，∠ C=90。， AD 平分∠CAB ，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D

到直线 AB 的距离是（）cm.

A

C D B

图 2-3（a）

(2)如图 2-3(b)，已知：∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，

求证： AP 平分∠ BAC ．

A

B C

2 3

1 4

P

图2-3（b）

例 2

如图 2-4(a)，Rt △ABC 中，∠ ACB=90 °， CD⊥AB ，垂足为 D. AF 平分∠ CAB ，交 CD 于点 E，交CB于点F

⑴求证： CE= CF.

C

F

E

A D B

图 2-4（a）

⑵将图 2-4(a)中的△ ADE 沿 AB 向右平移到△ A ，D，E，的位置，使点 E，落在 BC 边上，其它条件不变，如图 2-4(b)所示．试猜想： BE'与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．

C

F

E

E'

A

D A'

B D'

图 2-4（ b）例 3

阅读下列学习材料：

如图 2-5(a)所示， OP 平分∠ MON ，A 为 OM 上一点， C 为 OP 上一点，连接 AC ，在射线 ON 上截取 OB =OA ，连接 BC( 如图 2-5(b))，易证△ AOC ≌△ BOC.

M

M

A

A

P

P

C

C

O BN

O N

图2-5（ a）图 2-5 （ b ）

请根据上面的学习材料，解答下列各题：

(l)如图 2-5(c)所示，在△ ABC 中，AD 是△ BAC 的外角平分线， P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由．

A

B C D

图2-5（c）

(2)如图 2-5(d)所示， AD 是△ ABC 的内角平分线，其它条件不变，试比较 PC－ PB 与 AC－ AB 的大小，并说明理由．

A

P

B D C

图 2-5（ d）

例 4

如图2-6(a)，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE⊥BD，垂足为点 E，

求证： BD=2CE.

A

E

D

B C

图 2-6（a）(2)如图 2-7(b)，BD 、 CE 分别是△ ABC 的内角平分线，其它条件不变；

A

G

F

E D

B C

图 2-7（b）

(3)如图 2-7(c)，BD 为△ ABC 的内角平分线， CE 为△ ABC 的外角平分线，其它条件不变，

则在图 2-7(b)、图 2-7(c)两种情况下， DE 与 BC 还平行吗？它与△ ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。

A

D

F

B

图 2-7（ c）

C

(1)如图 2-7(a)， BD 、CE 分别是△ ABC 的外角平

分线，过点 A 作 AD 上 BD 、 AE⊥ CE，垂足分别

为 D、E，连接 DE.

1

求证： DE∥ BC， DE= (AB+BC+AC) ；

A

D E

B C

图 2-7（a）

E