3-5小样本区间估计
区间估计及运算
查表，得到
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13
由公式，
得，总体均值μ的置信度为90%的置信区间 为
于是可以说，我们有90%的把握确信，寿险 投保人总体的平均年龄介于37.37到 41.63
岁之间。
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14
1.从正态总体中抽取样本，且总体方差已知， 均值μ的区间估计
（2）在不重复抽样的条件下，置信区间为
X Z
2
n
N n N 1
的置信度为1-α的置信区间。
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54
四、简单随机抽样和等距抽样的参数估计
（三）一个总体比例的区间估计
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55
在许多实际应用中，经常会遇到总体比例的 估计问题。例如：企业的管理人员想了解 一批产品中次品的比例；职工收入中工资 外收入所占的比例；某高校学生参加英语 四级考试的通过率；某地区绿化荒山新栽 树木的成活率等。
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8
1.从正态总体中抽取样本，且总体方差已知，
均值μ的区间估计
（1）重复抽样的条件下
设
， 已知，
为来自总体的容
量为n的简单随机样本，则 的抽样分布为
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9
在重复抽样的方式下，总体均值μ的置信度 为1-α的置信区间为
其中， 是标准正态分布α水平的双侧分位数。
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10
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11
例一：
信区间。 称为置信区间的置信度，也称
置信概率、置信系数或置信水平， 称为置
信下限， 称为置信上限。
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6
三、置信区间的含义
若独立地反复多次抽取容量相同的简单随机样本，每一个样
本都确定一个随机区间
，在这些区间中，包含总体
参数 真值的约占
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
区间估计点估计样本量估计缺区估计ppt课件
方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。估计
量的期望方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越
差；否则越好，越有效。不同的估计量具有不同的方差，方
差最小说明最有效。
如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量，其
期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计
量。
2021精选ppt
28
【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种 新型饮料认知的广告效果。他在广告前和广告后 分别从市场营销区各抽选一个消费者随机样本， 并询问这些消费者是否听说过这种新型饮料。这 位制造商想以10%的误差范围和95%的置信水平 估计广告前后知道该新型饮料消费者的比例之差 ，他抽取的两个样本分别应包括多少人？(假定两 个样本量相等)
yk
1 n ni1
yik
E(yk)
(8·6)
也可以用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩
同一函数，即若Q=f ( E(y),E(y2),…,E(yk) ) , 则
Q ˆf(y， y2， ， yk)
由此得到的估计量称为矩估计量。
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31
[例8.1] 现获得正态分布 N(， 2)的随机样本y1, y2 ,…yn，
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估计两个总体比例之差时样本量的 确定
(例题分析)
解: E=10%, 1-=95%，z/2=1.96，由于没有
的信息，用0.5代替
n1
n2
(z
2)2
1(11)2(12)
E2
1.9620.5(100..152)(0.5(10.5)
19.208193
即应抽取193位消费者作为样本
2021精选ppt
第2节 区间估计
2
~ (n 1)
2
在给定的置信度1 下,由
P{12 2 (n 1) 2 22 (n 1)} 1
得
2 的置信区间为:
2 (n 1) S 2 (n 1) S , 2 2 (n 1) 1 (n 1) 2 2
即 P X u X u 1 n 2 n 2 置信度为1 的置信区间是 ( X u , X u )
n
2
n
2
例1 包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单 位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,
2 ( n 1) S n 11 0.04 2 0.0224 2 (n 1) 19.675
故所求置信区间为: (0.0224, 0.0962)
二、两个正态总体均值差与方差比的置信区间 1、二总体均值差
1 2 的区间估计
2 X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ) 设两总体
n2
n2
Yi 2
2
) 2 ~ 2 ( n2 )
1 故F
1
2 1 i 1 n2
(X
i
n1
i
1 )
2
2
n1 ~F (n1 , n2 ) n2
( , ) 即是 的置信度为 1 的置信区间
正态总体参数的区间估计
一、单总体均值与方差的区间估计
二、双总体均值差与方差比的区间估计
三、小结
一、单正态总体均值与方差的区间估计 1.单总体均值 的置信区间 X ~ N ( , 2 ), 2 已知时 (1)设
关于区间估计6页word文档
(1) P值是：1) 一种概率，一种在原假设为真的前提下出现观察样本以及更极端情况的概率。
2) 拒绝原假设的最小显著性水平。
3) 观察到的(实例的) 显著性水平。
4) 表示对原假设的支持程度，是用于确定是否应该拒绝原假设的另一种方法。
(2) P 值的计算：一般地，用X 表示检验的统计量，当H0 为真时，可由样本数据计算出该统计量的值C ，根据检验统计量X 的具体分布，可求出P 值。
具体地说:左侧检验的P 值为检验统计量X 小于样本统计值C 的概率，即:P = P{ X < C}右侧检验的P 值为检验统计量X 大于样本统计值C 的概率:P = P{ X > C}双侧检验的P 值为检验统计量X 落在样本统计值C 为端点的尾部区域内的概率的2 倍: P = 2P{ X > C} (当C位于分布曲线的右端时) 或P = 2P{ X< C} (当C 位于分布曲线的左端时) 。
若X 服从正态分布和t分布，其分布曲线是关于纵轴对称的，故其P 值可表示为P = P{| X| > C} 。
计算出P 值后，将给定的显著性水平α与P 值比较，就可作出检验的结论:如果α > P 值，则在显著性水平α下拒绝原假设。
如果α ≤ P 值，则在显著性水平α下接受原假设。
在实践中，当α = P 值时，也即统计量的值C 刚好等于临界值，为慎重起见，可增加样本容量，重新进行抽样检验。
整理自：区间估计区间估计（Interval Estimation）[编辑]什么是区间估计区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可能范围。
它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指标落在这个可能范围内的概率。
区间估计既说清估计结果的准确程度，又同时表明这个估计结果的可靠程度，所以区间估计是比较科学的。
用样本指标来估计总体指标，要达到100%的准确而没有任何误差，几乎是不可能的，所以在估计总体指标时就必须同时考虑估计误差的大小。
统计学区间估计详细讲解
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
非正态总体下的小样本区间估计问题
８ Ｎａ ｇ ｌ ｅ Ｄ Ｌ，Ｍｃ Ｇｒ ａ ｉ ｌ Ｓ Ｈ， Ｖｉ ｔ ａ ｌ ｅ Ｊ ， ｅ ｔ ａ １ ．Ｔｈ ｅ ｍａ ｈ ｏ ｇ ａ ｎ ｙ ｐ ｒ ｏ ｔ ｅ ｉ ｎ ｉ ｓ ａ
ｒ ｅ ｃ ｅ ｐｔ ｏ ｒ ｉ ｎ ｖ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｉ ｎ ｓ ｕ ｐ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｏ ｂ ｅ ｓ ｉ ｔ ｙ ． Ｎａ ｔ ｕ ｒ ｅ ，１ ９ ９ ９，３ ９ ８ （ ６ ７ ２ ３ ）：１ ４ ８ ～１ ５ ２ ． ９ Ｇｕ ｎ ｎ ＴＭ ，Ｍ ｉ ｌ ｌ ｅ ｒ ＫＡ ， Ｈｅ Ｌ，ｅ ｔ ａ １ ． Ｔｈ ｅ ｍｏ ｕ ｓ ｅ ｍａ ｈ ｏ ｇ ａ ｎｙ ｌ ｏ ｃ ｕ ｓ ｅ ｎ ｃ ｏ ｄ ｅ ｓ ａ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｍｅ ｍｂ ｒ ａ ｎｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｏ ｆ ｈ ｕ ｍａ ｎ ａ ｔ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｎ ． Ｎａ ｔ ｕ ｒ ｅ ， １ ９ ９ ９， ３ ９ ８（ ６ ７ ２ ３） ： １ ５ ２ ～１ ５ ６ ．
数理 医药 学杂志
文章 编 号 ： １ ０ ０ ４ — ４ ３ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ６ ８ １ — ０ ２ 中 图分 类 号 ： Ｒ３ １ １ 文献标识码 ： Ａ
２ ０ １ ３ 年第 ２ ６卷第 ６ 期
・
统计 分析 ・
非 正 态 总 体 下 的 小 样 本 区 间估 计 问题
假设 总体 率 Ｐ未知 ， 如何求出总体率 Ｐ的 １ 一ａ 置信 区间
呢？
我们 先从 总体 中随机抽取 一个样 本容 量为 的样 本 ， 假
设 其 中具 有某 种 特 征 的 个 体 数 为 ｍ， 则 ｍ￣ Ｂ（ ｎ ， Ｐ） 。
设Ａ一 ｛ 具有某种特征的事件） ， 令Ｐ （ Ｐ ￣ｐ ） ≤詈 ， Ｐ（ Ｐ
3号准则、5号准则中的估计价值
3号准则、5号准则中的估计价值
3号准则和5号准则是统计学中常用的准则，其目的是帮助我们判断样本数据是否能够代表总体数据。
在使用这两个准则时，我们需要对样本数据进行估计，以确定样本数据的可靠性。
在3号准则中，我们需要计算样本均值与总体均值之间的差异，并将其与样本标准差相除，得到一个t值。
根据t值与自由度的关系，我们可以确定样本数据是否代表总体。
在进行估计时，我们需要考虑到样本容量、方差和样本均值的精确程度等因素。
在5号准则中，我们需要计算置信区间，以确定总体均值的区间估计。
置信区间的计算涉及到样本均值、标准差和样本容量等因素。
我们可以根据置信区间中的上下限确定总体均值的估计值，并对样本数据进行有效性判定。
总的来说，3号准则和5号准则都是基于样本数据的统计学方法，可以帮助我们对总体数据进行估计。
在使用这两个准则时，我们需要注意到样本数据的特点，以便进行准确的估计。
- 1 -。
区间估计及假设检验算法实现方法详解
区间估计及假设检验算法实现方法详解随着数学、统计学等学科的发展，计算机技术在数学、统计学中扮演着越来越重要的角色。
在实际应用中，人们往往需要对各种数据进行分析处理以满足不同的需求，如何快速准确地进行数据分析，是一个非常重要的问题。
其中，区间估计和假设检验是数据分析中常用的两种方法。
本文将详细介绍这两种方法的实现方式。
一、区间估计区间估计是以样本统计量为基础，通过分析样本的信息来推断总体参数的取值范围，同时限定一定程度的误差。
通常，我们通过样本估计总体的平均数、标准差等参数，并对其进行区间估计。
常见的区间估计有置信区间、预测区间等。
1. 置信区间置信区间是指在给定的置信水平下，估计总体参数的取值范围。
在实际中，一个置信水平通常取95%或99%，即我们希望在95%或99%的数据中，总体参数的真实值可以被估计出来。
例如我们要估计一个总体的均值，使用样本均值计算出来一个估计值，并使用标准误和置信系数得到置信区间，那么这个置信区间的含义就是，我们认为有95%的置信度，总体均值在这个置信区间之内。
2. 预测区间预测区间是指在给定的置信水平下，预测一个新的数据值的取值范围。
通常，我们需要根据给定的样本数据来估计总体参数，并通过置信水平和误差限制得到一个预测区间。
例如，我们要预测未来一家公司的利润，使用以前几年公司利润值的样本数据，得到一组样本均值、标准误和置信系数等参数，根据置信系数和置信区间计算得到预测区间，那么这个预测区间的含义就是，在一定置信水平下，公司未来的利润值会在这个预测区间之内。
在实际进行区间估计的过程中，通常会使用计算机进行计算。
例如，在R语言中，我们可以使用以下代码实现置信区间的计算：```# 假设有一个样本数据data# 想要计算一个均值的置信区间result <- t.test(data, conf.level = 0.95)# 得到result$conf.int即为置信区间```我们可以看到，R语言中的t.test函数就可以方便地实现置信区间的计算，而不需要手动进行计算。
区间估计
38第二节 区间估计一、区间估计的概念和步骤点估计用一个确定的值去估计未知的参数，具有较大的风险。
因为估计量来自于一个随机抽取的样本，结果也就带有随机性。
样本估计量刚好等于所估计的总体参数的可能性极小。
但是如果说所估计的总体参数就落在估计值附近，即所估计的总体参数就落在以点估计所得到的估计值为中心的某一个小区间内，那就比较有把握了。
这种方法就是区间估计法。
在第四章中我们已经知道，一个足够大样本的均值的抽样分布是正态的，并且所抽到的样本均值落在总体均值的两侧x σ±范围内的概率是0.683，落在总体均值±2σx 范围内的概率是0.955，落在总体均值3±σx 范围内的概率是0.997等等。
由此可见，我们可以按照概率来估计总体均值是落在某一区间范围内的。
我们把这种对总体均值的估计称作区间估计。
从上述说明可以看到：1. 如果所估计的区间越大，参数被包含在该区间内的概率就越大。
2. 如果样本的方差越小，则在相同的概率下区间估计所得到的结果就越短。
一般地，设θ为总体的一个未知参数，θθ12,分别为由一组样本所确定的对θ的两个估计量，对于给定的10<<α，若P(θθθ12≤≤)=1-α，则称区间[θθ12,]为置信度是1-α的置信区间。
θθ12,分别为置信区间的下限和上限。
1-α称为置信度或置信概率，表示区间估计的可靠度。
α称为置信度水平。
常用的置信度有 0.80，0.90，0.95 0.99等。
一般来说，对于估计要求比较精确的问题，置信程度也要求高一些，在社会经济现象中，通常采用95%就可以了。
置信度反过来也表示可能犯错误的概率。
如置信度为95%，则犯错误的概率就为1-95%=5%。
这一概率也就是置信度水平α，也可理解为风险率或风险水平。
图5-2 根据不同样本所得到的置信度为95.5%的置信区间39需要指出的是，P(θθθ12≤≤)=1-α不应理解为θ落在某一固定区间的概率。
小样本下指数分布尺度区间估计
摘要指数分布是可靠性工程中最重要的分布之一，对其参数区间估计的研究有一定的理论意义和实用价值。
本文主要针对小样本情况，研究指数分布尺度参数的区间估计问题。
讨论了单参数指数分布尺度参数基于选定枢轴变量的最短区间估计方法，根据假设检验与区间估计之间内在的联系，通过似然比检验推导出尺度参数在无偏估计类中最短的置信区间；针对双参数指数分布，在位置参数未知的条件下，利用尺度参数一致最小方差无偏估计构造枢轴变量推导出该参数的置信区间，同时又利用似然比检验法求出尺度参数置信区间，两种方法所得结果相同，最后给出了尺度参数的定数截尾估计；本文最后想对指数分布尺度区间估计进行改进，由于涉及到陌生的概念被迫中止，所以将在进一步学习和研究以后再进行讨论。
关键词：区间估计；单参数指数；双参数指数；尺度参数；置信区间。
AbstractPonential distribution is one of the most important distributions in reliability engineering. It is both theoretically meaningful and practical to study the estimation of its parameter range. In this article the parameter range estimation of an exponential distribution scale is studied by taking small samples. The choice of the parameter(s) of single-parameter exponential distribution based on the selection of shortest interval of a pivot is discussed. According to the inner connection of hypothesis testing and range estimation, the shortest confidence interval is derived via likelihood ratio testing. For double-parameter exponential distribution, the confidence interval of its position parameter is derived from the pivot constructed from the scale parameter UMVU. The confidence interval of this scale parameter is obtained using likelihood testing. These two methods give the same results from which the truncation estimation for the scale parameter is determined. Finally, the distribution of scale index would like to improve the range of estimates, as it relates to the concept of strangers was forced to suspend, it will further study and research in the future discussion.Keywords: range estimation;single-parameter exponent; double-parameter exponent; scale parameter; confidence interval.目录1 绪论 (1)1.1 定义介绍 (1)1.2 小结 (3)2 单参数指数分布的置信区间 (4)2.1 引言 (4)2.2 尺度参数区间估计最短化 (4)2.3 似然比检验法构造置信区间 (9)2.4 小结 (15)3 双参数指数分布尺度参数的区间估计 (16)3.1 引言 (16)3.2 带冗余参数尺度参数的区间估计 (16)3.3 尺度参数的定数截尾估计 (20)4 总结 (23)4.1 综述 (23)4.2 尺度参数区间估计的改进 (23)致谢 ................................................... 错误！未定义书签。
点估计与区间估计方法例题和知识点总结
点估计与区间估计方法例题和知识点总结在统计学中，点估计和区间估计是两种常用的估计方法，用于从样本数据中推断总体的参数。
下面我们将通过一些例题来深入理解这两种估计方法，并对相关知识点进行总结。
一、点估计点估计是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
例如，设总体 X 服从参数为λ的泊松分布，即 P(X ＝ k) ＝（λ^k e^（λ)）／ k! （k ＝ 0, 1, 2,），从该总体中抽取容量为 n 的样本 X₁, X₂,， Xₙ，求λ的矩估计值。
因为总体的一阶矩 E(X) ＝λ，而样本的一阶矩（即样本均值）为X ＝（X₁＋ X₂＋＋ Xₙ) ／ n 。
根据矩估计法，令样本一阶矩等于总体一阶矩，即X＝λ，所以λ的矩估计值为λ̂＝X。
最大似然估计法最大似然估计法的基本思想是在给定样本观测值的情况下，使得样本出现的概率最大的参数值作为估计值。
例如，设总体 X 服从正态分布N(μ, σ²)，从该总体中抽取容量为 n 的样本 X₁, X₂,， Xₙ，求μ和σ²的最大似然估计值。
首先写出样本的联合概率密度函数（似然函数）L(μ, σ²)，然后分别对μ和σ²求偏导数，并令偏导数等于 0，解方程组即可得到μ和σ²的最大似然估计值。
μ的最大似然估计值为μ̂＝X，σ²的最大似然估计值为σ̂²＝（1 ／n) Σ(XᵢX）²。
二、区间估计区间估计是在点估计的基础上，给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计的关键是确定置信水平和置信区间。
置信水平表示区间估计的可靠性，常用的置信水平有 90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据和置信水平计算得到的一个区间。
一个常见的例子假设我们要估计某地区成年人的平均身高。
抽取了一个样本，样本均值为 170 厘米，样本标准差为 10 厘米，样本容量为 100。
区间估计和误差计算
（二）区间估计区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。
在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。
第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。
1. 总体平均数的区间估计按照第一套模式，根据置信度F t ()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(∆∆∆或p x ，并指出估计区间（置信区间）。
具体步骤是：（1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x ；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。
（2）根据给定的置信度F t ()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t 值。
（3）根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μxx t =∆，并据以计算置信区间的上下限。
例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。
15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 35 22 24 32 46 26第一步：根据样本计算样本平均数和标准差：x x n ==∑32 （元） S n x x ==-∑2945().（元），用样本标准差代替总体标准差σ=945.（元） 样本平均误差 x n μσ===94549135..（元）第二步：根据给定的置信度F t ()=95%，查概率表得t =196. 第三步：根据概率度t 和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。
65.235.196.1=⨯==∆μxx t （元） 将μxx ,的值代入区间估计公式 )(65.34)(35.2965.23265.232元元≤≤+≤≤-+≤≤-∆∆X X x X x xx计算结果表明，以95%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。
概率论与数理统计--区间估计
由标准正态分布的上 分位点的定义知
P
X
/
n
z
/
2
1,
即
P X
n
z
/
2
X
n
z
/
2
1
,
于是得的一个置信水平为 1 的置信区间
X
n z / 2 ,
X
n
z
/
2
.
这样的置信区间常写成
X
由一个样本值算得样本均值的观察值 x 5.20,
则置信区间为(5.20 0.49), 即 (4.71, 5.69).
在例2中如果给定 0.05,
则又有
P
z0.04
X
/
n
z0.01
0.95,
即
P{ X
n
z0.01
X
n
z0.04
}
0.95,
另外定义中的表达式
P{ ( X1 , X 2 ,, X n ) ( X1 , X 2 ,, X n )} 1
还可以描述为 : 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区间( , ),
每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值, 按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
第三节 区间估计
一、区间估计的基本概念 二、典型例题 三、小结
一、区间估计的基本概念
05区间估计
0.05 0.10 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.660 1.653 1.648 1.646 1.6449
例4.2
• n=120>100，标准正态分布代替t分布，u0.10=1.64 ，标准正态分布代替 分布 分布，
X − u 0.10 × s X = 142.67 − 1.64 × 0.5477 = 141.77(cm) X + u 0.10 × s X = 142.67 + 1.64 × 0.5477 = 143.57(cm)
附表2 附表 t 界值表
自由度
-t
0
t
ν
1 2 3 4 5 11 12 13 14 15
单侧 双侧
概 率，P 0.25 0.20 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 0.50 0.40 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0.001 1.000 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.321 318.309 636.619 0.816 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 22.327 31.599 0.765 0.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.215 12.924 0.741 0.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 0.727 0.920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 0.697 0.876 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 0.695 0.873 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 0.694 0.870 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 0.692 0.868 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 0.691 0.866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 7.173 5.893 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 8.610 6.869 4.437 4.318 4.221 4.140 4.073
区间估计的原理
区间估计的基本原理区间估计是统计学中一种常用的方法，用来根据样本数据推断总体参数的取值范围。
它通过计算置信区间来表示参数估计值的可信度，并提供了一种统计量范围的估计方法。
在这个过程中，我们关注的是总体参数的不确定性。
置信区间的定义置信区间是指在一定置信水平下，总体参数的可信范围。
置信水平通常采用符号(1−α)表示，其中α是一个介于0和1之间的数，表示置信水平的显著性水平。
例如，当α=0.05时，我们说我们有95%的置信度来估计总体参数。
置信区间的上界和下界称为置信限。
区间估计的步骤进行区间估计时，我们需要按照以下步骤进行：1.收集样本数据：从总体中随机抽取一部分样本进行观察和测量，得到样本数据。
2.选择合适的统计分布：根据所研究的问题和样本数据的性质，选择适当的统计分布来建立数学模型。
3.计算统计量：根据所选择的统计分布，利用样本数据计算出一个统计量，该统计量用于估计总体参数。
常用的统计量有样本均值、样本比例、样本方差等。
4.构建置信区间：根据所选择的统计分布和计算出的统计量，采用适当的方法构建置信区间。
5.解释和应用结果：根据置信区间的结果进行解释，并根据实际应用情况进行结果的应用和决策。
构建置信区间的方法在构建置信区间时，常用的方法有以下几种：1.正态分布的方法：当样本容量大于30，或当样本容量较小但总体近似服从正态分布时，可以使用正态分布的方法进行区间估计。
2.t分布的方法：当样本容量较小且总体不服从正态分布时，可以使用t分布的方法进行区间估计。
t分布相较于正态分布，具有较宽的尾部，适合用于较小样本的情况。
3.二项分布的方法：当样本数据为二项分布时，可以使用二项分布的方法进行区间估计。
二项分布常用于估计样本比例的置信区间。
4.Poisson分布的方法：当样本数据符合泊松分布时，可以使用Poisson分布的方法进行区间估计。
5.其他分布的方法：根据具体问题的要求，选择适当的分布进行区间估计。
统计学区间估计详细讲解
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
图1 根据选择的在 x1 、x2 、x3 位置的样本均值建立的区间
STAT
x 的抽样分布
x 2
95%的所有x的值
3.92 3.92
x1
基于x2 3.92的 区间
基于x1 3.92的 区间
x3
x2
基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
STAT 上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。 因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。
办法是抽样，然后用样本数据估计平均每袋的重量。质检科从
某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，下表1是对每袋食品重 量的检验结果。
STAT 表1 25袋食品的重量（克） 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 10808 101.6 108.4 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
误差边际
x Z 2
2
其计算需要已知 Z , 和样本容量 n。
小样本参数估计方法
小样本参数估计方法
小样本参数估计方法是一种统计学中常用的方法，它是针对样本数量较少的情况下，对总体参数进行估计的一种方法。
相比于大样本情况下的参数估计方法，小样本参数估计方法更加精准和可靠。
小样本参数估计方法包括点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本数据得出一个点估计值，来估计总体参数的值。
点估计值通常是样本统计量，如样本均值或样本比例等。
区间估计则是通过样本数据得出一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能性比较大。
区间估计常用的方法有置信区间和可信区间。
小样本参数估计方法在实际应用中非常重要，因为在很多情况下，我们只能获得很少的样本数据。
比如在医学研究中，往往只能招募少量受试者进行实验，这时使用小样本参数估计方法就显得尤为重要。
但是需要注意的是，在使用小样本参数估计方法时，必须要注意样本的随机性和代表性，以及对样本数据进行严谨的分析和处理，才能得出准确可靠的估计结果。
- 1 -。
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2
S X t n 1 n n n 2 2 X X i i
i 1
2 n
2
i 1
12 n
2
2
未知
( n 1) S 2
2
( n 1) S 2 2 n 1
2
( n 1) S 2 , 2 1 n 1
对于给定的置信度 1 ， 查 正 态 分 布 表 ， 找 出 1， 2， 使 得: P{ U } 1 .
1 2
由此可找出无穷多组 1， 2； 通 常 我 们 取 对 称 区 间[ , ], 使 ： P{| U | } 1 -
即：
P{-
第三章 参数估计
解1：用正态分布估计
w= 90 = 0.9 W 100
ΔW = U α W 1 - W /n = 1.96 0.9 0.1 = 0.0588 100
w - , w + = 0.9 - 0.0588,
0.9 + 0.0588 = 0.8412, 0.9588
n = 30, 1 - α = 0.95, k = 12 , n - k = 30 - 12 = 18 解∶
查表得p的可靠性为95%的置信区间为[0.227, 0.594]
第三章 参数估计
例3.11 在一批染病的苗木上喷洒某种药剂后，随机
从中抽出100粒进行检查，结果有90粒治愈。试以95%
的可靠性，估计这批染病苗木治愈率的置信区间。
= 587.58, 4134.83
一个正态总体未知参数的置信区间
待估参数 随机变量 随机变量 的分布 双侧置信区间的上、下限
已知
2
X
/ n X
S/ n
1
N 0， 1
X U
n
2未知
t n 1
2
已 知
2
X
i 1
n
i
2 n
试求总体均值 的置信区间 .
已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 解：
1 x (115 120 110 ) 115 9
u 0.05 1.96
115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9
110.43 , 119.57
t0.05 9 = 2.262
第三章 参数估计 绝对误差限 相对误差限为
Δ = t0.05 9 S = 2.262 35.217 = 25.191
n 10 Δ 25.191 Δ = = = 0.055 x 457.5
精度为
区间估计为
A = 1 - Δ' = 1 - 0.055 = 0.945
已知n 7, 0.05. 由样本值算得： 解：
S S , X t ( n 1) ] n n
在置信度为 95%时，试求温度的均值 的所在范围。
x 112.8, s 2 1.29. t0.05 (6) 2.447
1.29 1.29 , 112.8 2.447 112.8 2.447 7 7 111.75, 113.85
第三章 参数估计 由观测值k、可靠性1-α 、n-k,查二项分布参数p 的置信区间表可直接求出p的置信区间为 [ p1 , p2 ] 满足 P
p1 p p2 = 1- α
例3.10 有一批杀虫剂已存放一年，今随机抽出30瓶
进行检验，结果有12瓶失效。试以95%的可靠性，
估计这批产品中失效瓶数所占比例.
第三章 参数估计 区间估计: P 1 ( x1 , x2 , , xn ) 2 ( x1 , x2 , , xn ) 1 大样本估计 小样本估计 极限分布 精确分布 n>=50 n无要求 任意总体 正态总体 N , 2
2
p p
3.4 小样本方法(用精确分布进行参数区间估计) 一、一个正态总体未知参数的置信区间
解2：用泊松分布估计 c = 10
4.8412 100 , 18.39 [0.048412, 0.1839] 100
[1 - 0.048412, 1 - 0.1839] = [0.8161,0.9516]
第三章 参数估计 解3∶ n = 100 ,k = 90,1 - α = 0.95 ,n - k = 10
查 (n 1)分布表 ,得
2
2 (n 1),
2 2
1
2 1
2
( n 1 ).
退 出
第三章 参数估计
由此得：
2 1
2
(n 1)
(n 1) S
2
2
(n 1)
2 2
2 (n 1) S 2 ( n 1 ) S 推得： 2 2 2 (n 1) (n 1) 2 1 2
即置信区间为：
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 ( n 1) , 2 ( n 1) 1 2 2
退 出
第三章 参数估计
例3 设某机床加工的零件长度 X ~ N ( , 2 )， 今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差 2的置信区间.
X -
0 / n
} 1-
由正态分布表的构造， 由P{| U | } 1 ，可知：
U
-U
(X - ) n
0
U
推得，随机区间： [X -U
0
n
, X U
0
n
]
是 的置信度为 1 的置信区间 .
例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的 幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）; 假设标准差 0 7，置信度为 95%；
已知n 16, 0.05. 由样本值算得： s 2 0.00244 . 解： 2 2 2 查 (n 1)分布表 , 得 0.025 (15) 27.5, 0.975 (15) 6.26.
2 2 ( n 1) S 15 0.00244 ( n 1) S , , 2 ( n 1) 2 ( n 1) 27.5 1 2 2
k
60
100
Δk
=40
下限 W1 0.752 上限 W2 0.929
0.838 ΔW1=0.086 0.955 ΔW2=0.026
用线性插值法计算得:
ΔW1 0.086 W1 = 0.752 + (90 - 60) = 0.752 + 30 = 0.8165 Δk 40 ΔW2 0.026 W2 = 0.929 + (90 - 60) = 0.929 + 30 = 0.9485 Δk 40
推得，置信区间为：
S S [X -t ( n 1) , X t ( n 1) ] n n
[X -t ( n 1)
例2 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度 分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度; 设温度 X ~ N ( , 2 )。
15 0.00244 0.0013,0.0058 6.26
第三章 参数估计 例 3.12:已知某树种木材横纹抗压力服从正态分布. 今对10个试件进行试验,得到以下数据(单:kg/cm2) 482 493 457 510 446 425 418 394 469 471 以95%的置信度对抗压力的方差进行区间估计.
[X U
0
n
, X U
0
n
]
(2) 方差未知时，估计均值
由于方差 2未知，
而选取样本函数： T
X S/ n
~ t ( n 1).
对于给定的 1 ，查t分布表，找 1与 Nhomakorabea，使得：
P{1 T 2 } 1 ，
我们仍然取成对称区间 [ , ],使得：
2
样本函数： 2
( n 1) S 2
~ (n 1).
2
P{1 2 } 1 ，
第三章 参数估计
虽 然 2 分 布 密 度 函 数 无 对 称 ， 性我 们 仍 采 用 使 概 率 对称的区间：
P{ 2 1 } P{ 2 2 } / 2，
P{| T | } 1 ，
即 P{
X S/ n
} 1 ，
第三章 参数估计
由t分布表的构造及 P{| T | } 1 ，可知：
t ( n 1), 由此得： X- -t ( n 1) t ( n 1) S/ n
1） 均值的区间估计
设X 1 ,, X n为总 体 X ~ N ( , )的一 个样本 , 在置 信度 1 下，来确 定 的置 信区间 [ 1， 2 ].
2
(1)方差已知时，估计均值
2 设已知方差 2 0 ,
构造样本的函数 U
X
0 / n
~ N (0,1).
2
第三章 参数估计 3.4.3总体频率p的小样本估计 总体分布∶
X P
0 1-p 1