高中数学 3.1.3空间向量的数量积导学案 人教A版选修2-1

3.1.3 空间向量的数量积

【使用说明及学法指导】

1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】

1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．

3. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

4. 掌握空间向量的坐标运算的规律；

【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题． 【难点】空间向量的坐标运算的规律 一、自主学习

1预习教材P 90~ P 92, 解决下列问题

复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？

复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC •.

2.导学提纲

1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 ，作

,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 . ⑴ 范围: ,a b ≤<>≤

,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？

⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积：

已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= .

⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a •= （选0还是0） ⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：

（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>．

（2）a b a b ⊥⇔⋅= ． （3）a a ⋅= ＝ . （4）cos ,a b <>=____________

4)空间向量数量积满足哪些运算律：_____________________________ ⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明.

⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？为什么?

⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？

5)对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要___个向量？这几个向量有何位置关系？

⑴ 空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解叫空间向量

的___________.

(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底,,a b c 都叫做__________.空间任意一个向量的基底有 个.一个基底可以表示_____个空间向量？

(3)如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用_________表示.

⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .

⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ . ⑹向量的直角坐标运算：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴a ＋b ＝_________________； ⑵a －b ＝_________________；

⑶λa ＝__________________;()R λ∈； ⑷a ·b ＝_____________________.

6)试用向量方法证明直线与平面垂直的判断定理

二、典型例题

例1.1. 下列命题中：

①若0a b •=，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠且a b a c •=•，则b c = ③()()a b c a b c ••=••

④2

2

(32)(32)94a b a b a b +•-=-

正确有个数为（ ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3

π

，则下面向量中与212e e -垂直

的是（ ）

A. 12e e +

B. 1

2

e e - C. 1e D. 2e

3. 若{}

a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ） A.,,a a b a b +- B. ,,b a b a b +-

C. ,,c a b a b +-

D. 2,,a b a b a b ++-

4. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是

5.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA •=

6.在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝

7. 已知4a =，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .

8. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 . 9. 已知向量

,a b 满足4a =，2b =，3a b -=，则a b +=____

10. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-，

当t ＝ 时，c 的模取得最大值.

例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，

3BC =，23BD =，3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值

变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若