人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案

导数的概念及运算

【考点指津】

1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义．

2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数．

【知识在线】

1．函数y =14223++x x 的导数是 ．

2．曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6，则点P 的坐标是 ．

3．设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8，则0

lim →∆x f(x+Δx)-f(x)Δx = ． 4．已知使函数y=x 3+ax 2- 43

a ，若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a ． 【讲练平台】

例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ）

A ． (6x+1)(2x+3)

B ． 2(6x+1)

C ． 2(3x 2+x+1)

D ． 18x+22x+5

分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数．

解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3

∴y'=18x 2+22x+5，故应选D

点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式．

例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5， 若f'(x 0)=0，则x 0= ．

分析 x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0

解 f(x)=x 3-2x 2+x+5， 求f'(x)=3x 2-4x+1

由f'(x 0)=0， 得3x 2-4x+1=0

解得x 0=1或13

∴应填写答案为1或13

点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n ．x n -1， 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导

数的常用工具．

例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1， 求a ，b ，c 的值． 分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a ，b ，c ．

解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过（1，1）点和（2，1）点

∴a+b+c=1 (1)

4a+2b+c=-1 (2)

又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3)

由(1)(2)(3)可得，a=3，b=-11，c=9．

点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求．

【知能集成】

1．两种常见函数的导数：c'=0 （C 是常数）；(x n )'= nx n -

1(n ∈N *)．

导数和运算法则：若 f(x)，g(x)的导数存在，则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x)， [cf(x)]' = cf '(x)．（C 是常数）

2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式，掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数．

【训练反馈】

1．函数y=(2x 2-1)2的导数是 （ ）

A ． 16x 3-4x 2

B ． 4x 3-8x

C ． 16x 3-8x

D ． 16x 3-4x

2．曲线y=4x -x 2上两点A(4，0)、B(2，4)，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标是 （ ）

A ． (3，3)

B ． (1，3)

C ． (6，-12)

D ． (2，4)

3．已知f(x)=ax 3+3x+2，若f '(-1)=4，则a 的值是 （ ）

A ．193

B ． 163

C ． 133

D ． 31 4．设f(x)= (x 2-1)2x+1

(x ≠-1)，则)(x f '等于 （ ） A ． 3x 2-2x+1 B ． 3x 2+2x+1

C ． 3x 2-2x -1

D ． x 2-2x -1

5．若抛物线y=x 2-x+c 上一点P 的横坐标是-2，抛物线过点P 的切线恰好过原点，则c= ．

6．与直线y=4x -1平行，且与曲线f(x)=x 3+x -2相切的直线方程为 ．

7．设函数f(x)=(x -a)(x -b)(x -c)，（a 、b 、c 是两两不等的常数）， 则='+'+')

()()(c f c b f b a f a ． 8．设f(x)为可导函数，C 为常数，证明[cf(x)]'=cf'(x) ．

9．已知两曲线y=x 3+ax 和y=x 2+bx+c 都经过P(1，2)，且在P 点处有公切线，试求a 、b 、c 的值．

10．在曲线y=x 3+3x 2+6x -10的切线中，求斜率最小的切线方程．

11．在曲线y=x 3-x 上有两点O(0，0)、A(2，6)，求弧OA 上点P 的坐标，使ΔAOP 的面积最大．

12．一列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后，t 秒间列车的前进距离为

S=27t -0．45t 2米，问这列车在刹车后的时间中前进了多少米才停车？

13．在曲线y=x 3-6x 2-x+6上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线关于该点对称．