导数在函数中的应用

导数在函数中的应用吴兴昌编文数学审

【考纲要求】

1.通过函数图像直观理解导数的几何意义

2.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

4.会利用导数解决实际问题.

【重点难点】

①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。

【自主学习】

1、曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为___________

2、函数f(x)＝xlnx在(0,5)上的单调递增区间是________．

］上取得最大值时，x的值为________．3、(2010年山东烟台模拟)函数y＝x＋2cosx在［0，

2

4、(2010年江苏扬州模拟)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)________．

①无极大值点、有四个极小值点

②有三个极大值点、两个极小值点

③有两个极大值点、两个极小值点

④有四个极大值点、无极小值点

5、已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0)的图象如图所示，且|x1|>|x2|，则有a，b的正

负情况是________．

6、函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________． [典型例析]

例1. 已知f(x)=e x-ax-1.

（1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

2时，例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=

3

y=f(x）有极值.

（1）求a,b,c的值；

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.

例3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R.

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程；

（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.

例4.将一张2×6米的矩形钢板按图示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱．设水箱的高为x 米，容积为y立方米．

(1)写出y关于x的函数关系式；

(2)x取何值时，水箱容积最大？

[当堂检测]

1.(2005全国卷Ⅰ文)函数93)(23-++=x ax x x f ,已知)(x f 在3-=x 时取得极值,则a =( )

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

2．(2008海南、宁夏文)设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）

A. 2e

B. e

C. ln 22

D. ln

2 3．（2005广东）函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）

A ．),2(+∞

B ．)2,(-∞

C ．)0,(-∞

D ．（0，2）

4.（2008安徽文）设函数1()21(0),f x x x x =+-< 则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数

5．（2007福建文、理)已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，

则x<0时（ ）

A f’(x)>0，g’(x)>0

B f’(x)>0，g’(x)<0

C f’(x)<0，g’(x)>0

D f’(x)<0，g’(x)<0

6.(2008全国Ⅱ卷文)设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则

=a ( )

A ．1

B ．

12 C ．12

- D ．1- 7．（2006浙江文）32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

8．（2004湖南文科）若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）

9．（2004全国卷Ⅱ理科）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）

（A ）(

2

π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π) 10.（2004浙江理科）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的 图象最有可能的是（ ）

x y o A x y o D x y o C x y o B