垂径定理知识点及典型例题

垂径定理

一、知识回顾

1、到定点距离等于的点的集合叫做圆，定点叫做，定长叫做；连接圆上任意两点间的线段叫做，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做，它分为、、三种。

2、能够的两个圆叫做等圆；能够互相的弧叫做等弧，他只能出现在中。

3、圆既具有对称性，也具有对称性，它有对称轴。

4、垂直于弦的直径，并且；平分弦（不是直径）的直径，并且。

5、顶点在的角叫做圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等，也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、。

6、顶点在，并且相交的角叫做圆周角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。

7、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。

8、如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的。圆的内接四边形。

二、典例解析

例1 如图，某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小明和小亮在湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离等于A、C之间的距离，并测得BC=240m，A 到BC的距离为5m。请帮忙求出滴水湖的半径。

D两点，已知C（0,3）、D（0，-7），求圆心E的坐标。

变式2 已知O e 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 和CD 之间的距离。

变式3 如图，O e 的直径AB=15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在半圆AMB 上滑动（点C 与点A ，点D 与点B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于点E ，DF ⊥CD 于点F 。

（1）求证：AE=BF ；（2）在动弦CD 的滑动过程中，四边形CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请予以证明并求出这个值。

变式4 如图，某地方有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一竹排运送一货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，问货箱能否顺利通过该桥？

例2 如图，BC 是O e 的直径，OA 是O e 的半径，弦BE ∥OA 。求证：弧AC=弧AE 。

H D

N M F E C B

A

变式1 如图，BC 是O e 的直径，D 是O e 上一点，使AD=AC ，O e 的半径为4，B=30∠︒ ，

求ACD ∆的面积。

变式2 如图，半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD 于E ，试说明AD ∥BC 。

变式3 如图，ABC ∆的三个顶点都在O e 上，O e 外一点E 与B 的连线交O e 于点D ，连接CD 。

（1）求证：EDA=ACB ∠∠；（2）若ADE=ADC ∠∠，求证：ABC ∆是等腰三角形。

A