MATLAB实验报告,遗传算法解最短路径以及函数最小值问题讲解

硕士生考查课程考试试卷

考试科目：MATLAB教程

考生姓名：考生学号：

学院：专业：

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任课老师(签名)

考试日期：20 年月日午时至时

《MATLAB 教程》试题：

A 、利用MATLA

B 设计遗传算法程序，寻找下图11个端点的最短路径，其中没有连接的端点表示没有路径。要求设计遗传算法对该问题求解。

a

d e

h

k

B 、设计遗传算法求解f (x)极小值，具体表达式如下：

3

21231(,,)5.12 5.12,1,2,3

i i i f x x x x x i =⎧=⎪⎨⎪-≤≤=⎩

∑ 要求必须使用m 函数方式设计程序。

C 、利用MATLAB 编程实现：三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河？

D 、结合自己的研究方向选择合适的问题，利用MATLAB 进行实验。

以上四题任选一题进行实验，并写出实验报告。

选择题目： A 一、问题分析（10分）

1

4

10

11

如图如示，将节点编号，依次为 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11，由图论知识，则可写出其带权邻接矩阵为：

0 2 8 1 500 500 500 500 500 500 500 2 0 6 500 1 500 500 500 500 500 500 8 6 0 7 500 1 500 500 500 500 500 1 500 7 0 500 500 9 500 500 500 500 500 1 500 500 0 3 500 2 500 500 500 500 500 1 500 3 0 4 500 6 500 500 500 500 500 9 500 4 0 500 500 1 500 500 500 500 500 2 500 500 0 7 500 9 500 500 500 500 500 6 500 7 0 1 2 500 500 500 500 500 500 1 500 1 0 4 500 500 500 500 500 500 500 9 2 4 0 注：为避免计算时无穷大数吃掉小数，此处为令inf=500。

问题要求求出任意两点间的最短路径，Floyd 算法采用的是在两点间尝试插入顶点，比较距离长短的方法。我思考后认为，用遗传算法很难找到一个可以统一表示最短路径的函数，但是可以对每一对点分别计算，然后加入for 循环，可将相互之间的所有情况解出。观察本题可发现，所有节点都是可双向行走，则可只计算i 到j 的路径与距离，然后将矩阵按主对角线翻折即可得到全部数据。 二、实验原理与数学模型（20分）

实现原理为遗传算法原理：

按所选择的适应度函数并通过遗传中的复制、交叉及变异对个体进行筛选，使得适应度高的个体被保留下来，组成新的群体，新的群体既继承了上一代的信息，又优于上一代。这样周而复始，群体中个体适应度不断提高，直到满足一定的条件。

数学模型如下： 设图G 由非空点集合12{,...}n V V V V = 和边集合12{,...}m E e e e = 组成，其中121221(,)e ,P ,)(P ,P ),

i i i i i i i i e P P E P =∈≠且若（则G 为一个有向图； 又设i e 的值为i a ，12{,...},m A a a a = 故G 可表示为一个三元组{,,}G P E A = 则求最短路径的数学模型可以描述为：

1

min *..

n

i i

i i i A E s t A A E E

=⎧

⎪⎨⎪∈∈⎩∑ 实验具体：

第一：编码与初始化

因采用自然编码，且产生的编码不能重复，于是我采用了randperm 函数产生不重复的随机自然数。因解题方法是使用的是计算每一对点，则我们编码时将第一个节点单独放入，合并成完整编码。

因为节点有11个，可采用一个1行11列的矩阵储存数据，同时，由于编号为数字，可直接使用数字编码表示路径的染色体。具体如下：

采用等长可变染色体的方式，例如由2到9的路径，染色体编码可能为（2，5，1，8，4，6，9，3，10，7，11），超过9之后的编码，用来进行算子的运算，不具备实际意义。

第二：计算适应度，因取最短路径值，即最小值，常用方法为C-F(x)或C/F(x)（C 为一常数），此处采用前一种方式。于是，可进一步计算相对适应度。

第三：选择与复制

采用轮盘赌算法，产生一个随机值，比较它与累计相对适应度的关系，从而选择出优良个体进入下一代。

第四：交叉。

因编码是不重复的数字，所以采用传统的交叉方法，即上一行与下一行对位交叉，会产生无效路径，于是，采用了不同的交叉方法，具体如下：

（1）在表示路径的染色体Tx 和Ty 中，随机选取两个基因座（不能为起点基因座）i 和j, 即将i 个基因座和第j 个基因座之间的各个基因座定义为交叉域，并将交叉的内容分别记忆为temp1和temp2。

（2）根据交叉区域中的映射关系，在个体Tx 中找出所有与temp2相同的元素，在个体Ty 中找出所有与temp1相同的元素，全部置为0。

（3）将个体Tx 、Ty 进行循环左移，遇到0就删除，直到编码串中交叉区域的左端不再有0：然后将所有空位集中到交叉区域，而将交叉区域内原有的基因依次向后移动。因0元素可能较多，在程序实现时，我是将非零元素提出，后面再合成。

（4）将temp2插入到Tx 的交叉区域，temp1插入到Ty 的交叉区域。形成新的染色体[1]。

第五：变异

染色体编码为从1到11的无重复编码，所以不能采用一般的生成一个随机数替代的办法。此处采用交换变异法。即随机产生两个数，交换两个节点的顺序。例：[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],13,28p K K === 则新染色体编码为：

[1,2,8,4,5,6,7,3,9,10,11]p =

三、实验过程记录（含基本步骤、程序代码及异常情况记录等）（60分）

首先，写程序，修复Bug 。

然后，调试种群数量，遗传代数，交叉概率，变异概率等，不断运行程序，以达到较理想的状态。