计量经济学第四讲

第四节 非线性回归模型

前面讨论的线性回归模型

n i b x b x b b y i ki i i i ,,2,122110 =+++++=ε

其结构具有两个特点：（1）被解释变量y 是解释变量的线性函数，即关于解释变量线性；（2）被解释变量y 也是参数的线性函数，即关于参数线性。但是在现实经济问题的研究中，经济变量之间大多数是非线性关系，即模型为非线性回归模型。对非线性模型，通常将其转化成线性模型进行估计。本节将讨论非线性回归模型的参数估计方法以及非线性模型中参数的特定含义。

一、 可线性化模型

在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有：

（一） 倒数变换模型（双曲函数模型）

模型如下：

ε++=x

b a y 1 ε++=x

b a y 11 设： y y x x 11==*

*或 即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型，所以称该模型为倒数变换模型。

倒数变换模型有一个明显特征：随着x 的无限扩大，y 将趋近于极限值a(或1/a)，即有一个渐近下限或上限。有些经济现象（如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、菲得普斯曲线等）恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。

（二） 双对数模型（幂函数模型）

模型如下：

ε++=x b a y ln ln

设： x x y y ln ln ==*

* 则将其转换成线性回归模型：

ε++=*

*bx a y 对于双对数模型，因为有： 的增长速度

的增长速度x y x x y y x dx y dy x d y d b =∆∆≈==////ln ln 因此，双对数模型中的回归系数b 恰好就是被解释变量y 关于解释变量x 的弹性。即当x 增长1%时y 的增长率。由于弹性是经济分析中的一个十分重要的指标（需求函数中的价格弹性、收入弹性、生产函数中的资金弹性、劳动弹性等），如果所研究的经济关系可以用双对数模型描述，则估计模型之后就可以直接利用系数b 进行弹性分析。因此，双对数模型是人们经常采用的一类非线性回归模型。

（三） 半对数模型

模型如下：

）bx a y ）x b a y 指数函数模型对数函数模型(ln (ln ε

ε

++=++= 对对数函数模型来说设：x x ln =*

对指数函数模型来说设：y y ln =*

就可将其转化为线性回归模型。

由于模型中只有某一侧的变量为对数形式，所以称为半对数模型。半对数模型中的回归系数b 也有很直观的含义：

对数函数模型中： 的增长速度

的增长幅度x y x x y x dx dy x d dy b =∆∆≈==//ln 即x 增加1%时，y 将增长0.01b%个单位。

指数函数模型中：

的增长幅度

的增长速度x y x y y dx y dy dx y d b =∆∆≈==//ln 即x 增加1个单位时，y 将增长100b%。特别地，若x 为时间变量（如年份），则系数b 衡量了y 的年均增长速度。

（四） 多项式模型

模型如下：

ε+++++=k k x b x b x b b y

2210 设： k i x x i i

,,2,1 == 则： ε+++++=k k x b x b x b b y 22110

模型转化成多元线性回归模型。

例5：为了分析某行业的生产成本情况，从该行业中选取了10家企业，表2-10中列出了这些企业总产量X （吨）和总成本Y （成元）的有关资料，试建立该行业的总成本函数和边际成本函数。

某行业产量与总成本统计资料（表2-10）

根据边际成本的U 型曲线理论，总成本函数可以用产量的三次多项式近似表示，即：

ε++++=332210x b x b x b b y

设： 3,2,1==i x x i i

则将其转换成三元线性回归模型。在EViews 软件的命令窗口，依次键入：

GENR X1=X

GENR X2=X^2

GENR X3=X^3

LS Y C X1 X2 X3

得到总成本函数的估计式为：

3200009.001296.063478.018.14ˆx x x y

+-+= 3285.0.9983.0)90.15()15.13()28.13(2==-=E S R t 对总成本函数求导数，得到边际成本函数的估计式为：

200027.002592.063478.0ˆx x dx y d +-=

该曲线为开口向上的二次曲线，所以当产量低于顶点0.02592/(2×0.00027)(-b/2a)=48（吨）时，边际成本是递减的；而产量超过这个水平时，边际成本又呈上升趋势。

二、不可线性化模型

有些非线性模型无法通过变量变换或函数变换的方式转化成线性模型，称这类模型为不可线性化模型。对于不可线性化模型，一般采用高斯——牛顿迭代法进行估计，即将其展开成泰勒级数之后，再利用迭代估计方法进行估计。

（一） 迭代估计法

模型如下： ε++-=c

x b x a y 是一个不可线性化模型，现以该模型为例说明迭代估计法的原理和具体步骤。模型的估计过程如下：

1、 根据经济理论和所掌握的资料，先确定一组数000,,c b a 作为

参数c b a ,,的初始估计值。

2、 将模型在点),,(000c b a 处展开成泰勒级数，并取一阶近似值：

ε++-∂∂+-∂∂+-∂∂+=余项)()()(),,(000000c c c

f b b b f a a a f c b a f y 即：V c

f c b f b a f a c c f b b f a a f c b a f y +∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+-000000),,( 其中，V 是余项与随机误差项的和。本例上式计算的具体结果为：