热传导方程与扩散方程

2 2
分离变量
分别求解 合成半通解 代入初始条件
X " 2 X 0 T ' a T 0, X ' (0) X ' ( ) 0
X k cos(kx), Tk Ak exp(k 2 a 2t ), k N X 0 1, T0 A0
u
第二类边界条件



定解问题
ut a 2u xx 0, 0 x L u x | x 0 0, u x | x L 0 u | ( x) t 0
未知函数分离
泛定方程分离 边界条件分离 本征运动 半通解
u( x, t ) X ( x)T (t )
u
Baidu Nhomakorabea

k 1
Ak exp(k 2 a 2 t ) sin kx
sin x( A B cos x)
A sinkx
k
A sin x 1 B sin 2 x A1 sin x A2 sin 2 x A3 sin3x 2 A1 A, A2 1 B, Ak 2 0 2
则有热传导的非齐次方 程
u u u u c k k k f ( x , y , z , t ). t x x y y z z
如果物体是均匀的，且各向同性的，则有 数学模型
u a 2 u f ( x, y, z , t ) t
D 为扩散系数
第二节
初边值问题的分离变量法

定解问题

ut a 2 u xx , 0 x L u | x 0 0, u | x L 0 u | ( x ) t 0
未知函数分离
u( x, t ) X ( x )T ( t )
T ' X a 2TX "
T ' /(a 2T ) X " / X
X ' (0) X ' ( L) 0
X cos(wx), w k / L, k 0,1,2,, w2
2 2 Tk Ak exp(wk a t)
u T0 k 1 Tk (t ) X k ( x)


T ' a 2 2T 0

分离结果的求解
X " 2 X 0 X (0) X ( L) 0
T ' a 2 2T 0


空间方程解出
非零解条件
X ( x ) C cos x D sin x X ( 0) C 0 X ( L) D sin L 0
初始条件要求
( x) A0
A X
k
k ( x)
典型问题的求解

例题2


ut a 2u xx 0, 0 x u x | x 0 0, u x | x 0 2 u |t 0 A cos x
u ( x, t ) X ( x)T (t )
u |t 0 ( x )
ut a 2u xx
u |x0 u |xL 0
X (0) X ( L) 0
u T (t ) X ( x )
T ' /(a 2T ) X " / X
T ' a 2 w 2T 0
X " w2 X 0
X sin x, kL
u 第三类边界条件： g ( x, y , z , t ) u n (0, )
初始条件 给出物体在初始时刻 t=0 的温度
u( x, y, z,0) ( x, y, z )

定解问题
由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象， 它构成一个定解问题

定解条件
给定温度函数 u(x,y,z,t) 在物体表面的限制。 一般来有三种类型：
边界条件
第一类边界条件： u ( x, y, z , t ) (0, ) g ( x, y, z , t )
u g ( x, y, z, t ) 第二类边界条件： k n (0,)

1 2
k 0
Ak exp(k 2 a 2t ) cos kx
k 0
A cos2 x
1 2

Ak cos kx A, A1 Ak 2 0
A 1 A cos 2 x A0 A1 cos x A2 cos 2 x A3 cos3x 2 A, A2
u k ( x , y , z ) dSdt t1 n
t2
c( x , y , z ) ( x , y , z )[u( x , y , z , t 2 ) u( x , y , z , t1 )]dxdydz


u u u k k dxdydzdt k t1 x x y y z z t 2 u c( x , y , z ) ( x , y , z ) dtdxdydz t 1 t

泛定方程分离
T ' X a 2TX " a 2TX a 2TX T ' /(a 2T ) X " / X 2

边界条件分离 X (0) X ( L) 0 分离结果
X " 2 X 0 X (0) X ( L) 0
T ( t ) X (0) T ( t ) X ( L) 0

扩散方程
考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体， 假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子 的浓度在时刻 t 的分布规律。
物理模型
数学模型
u Du f ( x, y, z, t ) t
f (x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数
其中：u(x,y,z,t)表示于时刻 t 在 (x,y,z) 处的分子浓度
t2
交换积分次序
u u u u k k k dxdydzdt 0 c t1 t x x y y z z
t2
注意到t1 , t 2及均是任意的 , 则有热传导的齐次方程
分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数
u k 1 uk ( x , t ) k 1 Ak e a k t sin k x

2 2
( x) Ak sink x
Ak 2 L ( x ) sin k xdx 0 L


分 离 变 量 流 程 图
第二章 热传导方程与扩散方程

热传导方程
在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假 定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交 换，来研究物体内部温度的分布规律。
物理模型
z
Fourier实验定律
dS
n

物体在无穷小时段 t内沿 法线方向n流过一个无穷小 面积dS的热量dQ与物体温 度沿曲面dS法方向的方向 导数 u 成正比 : n u dQ k ( x , y , z ) dSdt. n
2 u 2 u a , x , t 0 2 初始问题： t x u ( x,0) ( x), x
u 2 2u 0 x l, t 0 t a x 2 , 混合问题： ux (0, t ) u (l , t ) 0, t 0 u ( x,0) ( x) 0 xl
T A exp(a 2 w2t )
uk Tk (t ) X k ( x)
u u ( x, t )
u Tk X k
典型问题的求解

例题1


ut a 2u xx 0, 0 x u | x 0 0, u | x 0 u | sin x( A B cos x) t 0
u u u u c k k k 0. t x x y y z z
若物体内部有热源，
热量 热量 通过边界的流入量 热源的生成量
t t2 t t1 t1 t t2 t1 t t2
1 2
A0
c( x, y, z ) ( x, y, z )[u( x, y, z , t

2
) u( x , y , z , t1 )]dxdydz .
其中c为比热, 为密度.
由热量守恒定律，物体内部无热源时，
热量 热量 通过边界的流入量
t t2 t t1 t1 t t 2
u ( x, t ) X ( x)T (t ) X " 2 X 0 T ' a T 0, X (0) X ( ) 0
2 2
分离变量
分别求解 合成半通解 代入初始条件
X k sin(kx), Tk Ak exp(k 2 a 2t ), k N
2 2 2 2 2 2 x y z
其中： a2=k/Cρ， f (x,y,z,t)=f0/C，
二维的情形：
2 u 2u 2 u a 2 2 f ( x, y , t ) t x y
一维的情形：
2 u u 2 a f ( x, t ) 2 t x

o x
u 异号. n
y
注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧， 故dQ与
在物体G内任取一闭曲面 , 它所包围的区域记为 .
从时刻t1到t 2流进闭曲面的全部热量为 u Q k ( x , y , z ) dS dt. t1 n
t2
在时间间隔 [t1 , t 2 ]中, 温度从u( x , y , z , t1 )变化到u( x , y , z , t 2 ), 它所吸收的热量是
sin L 0
L k k / L, k N


非零解
时间方程解出
X k ( x) sink x, k k / L
2 2 Tk (t ) Ak exp(k a t)
典型问题的求解

分离结果的合成 uk ( x, t ) X k ( x)Tk (t ) Ak exp(a 2k2t ) sink x 再合成半通解 初始条件要求 系数的确定 过程小结