久期与远期利率协议

久期（Duration ），也叫持续期。 一、概述

1．久期概念：债券所有现金流量发生时间的加权平均值，即衡量债券持有者收到现金付款之前平均需要等待多长时间。

2．权重的概念：Wt ：表示某一时刻现金流量的现值与债券价格之比。 Wt=

P

CFt PV ）

（，PV 现值，CFt （cash flow ）

3．久期表达式：

∑=⨯n

t Wt t 1

=

P

CFt PV t n

t ∑=⨯1

)(=

P

r t

CFt t n

t ∑=+⨯

1

)1(=D

4．久期概念的用途：考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。 证明：∵P=

∑=+n

t t

r CFt

1

)1( （1）

对（1）式相对于t 求一阶导数可得dr dP = —∑=++⨯n

t r t CFt

t 1)

1(1 （2）

将（2）两边同除以价格P ，得：

dr dP ×P

1

= )1()1(1

r P r t

CFt

t

n

t ++-∑== —r

D +1，同时可得：

P dP = —D r

dr

+1 假定收益率曲线平滑，r 在中短期内变化微小。

P P ∆= —D ×（r

r +∆1） （3） ∴D 是反映收益变化影响债券价格变化的比例系数，公式负号表示利率上升，债券价格下跌,反之，则上涨。

5．修正久期的概念： 定义修正久期为D*=

r

D +1 △P= —D*×P ×△r (4) 二、基于久期的套期保值策略 1、套期保值比率HR 的确定 套期保值所需合约数（张）=

期货面值

现货面值

×到期日调整系数×加权系数

到期日调整系数=

数

期货合约标的物到期天日天数

现货套期保值标的到期

举例

加权系数有三种：1、转换系数模型；2、回归模型；3、久期系数

1、转换系数模型：现货债券如果恰恰是最便宜可交割债券，用这种方法较为理想。 原因：期货市场价格变动与最便宜可交割债券价格变动一致。 缺点：（1）、现货需要保值的债券恰恰是最便宜可交割债券，偶然性大，不被广泛使用。 （2）、最便宜可交割债券随时都在变化，用CF 作系数不实用。

2、回归模型：将期货价格与现货价格变化的历史数据作回归分析，以回归线的斜率β作为对冲系数，此方法可以作为套期保值比率系数的一个补充，一个参考。 缺点：（1）新发行债券没有历史数据

（2）衍生债券也没有历史数据。

久期值模型：

△Ps= —Ds *

×Ps ×△r (1)

△Pf= —Df *

×Pf ×△r (2) △Ps= △Pf ×HR (3) 将（1）、（2）代入（3）式得：

—Ds *×Ps ×△r= —Df *

×Pf ×△r ×HR HR=

f

f P D Ps

Ds ⨯⨯**

举例：某投资者持有1500万美元的美国国债现货债券，到期日2018年，息票利率11%，担心近期利率上涨，拟用长期国债期货套期保值，求卖出国债期货的合约数量？

已知：Ds * =9.8年，Df *

=10.64年，Ps =118.5，Pf =92-16 HR=

5

.6264.105

.1188.9⨯⨯=1.18， 卖出期货合约数量=万万101500×1.18=177张

三、久期值的计算

1、列表法，求D 麦考莱（Macaulay ）1938年，D *

=r

D

+1 （见书P119） 2、封闭式久期计算法

D 麦=P

r n n F r n r rn

r r n C )1()

1(2)1()1(1+•+

+-+-++⨯

C 为年利率，F 为面值，r 为到期收益率，n 为债券剩余期限付息次数，P 债券价格

举例：见书 表4.5

已知：F=100，C=10，n=3×2=6，r=0.12年（半年为0.06）

D 麦=

213

.9406.16

610006.1606.02606.006.1)06.01(5⨯+

⨯⨯--+⨯T =5.32（半年）

D 1年麦＝

2

32

.5＝2.66年

3、有效久期计算法 （1）、1996年弗兰克法波齐（Frank Fabozi ） （2）、有效久期≈D* (条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平滑) （3）、计算公式 D 有效＝

)

(_0_R R P P P --++

P_ 指收益率下降x 个基点债券价格 P + 指收益率上升x 个基点时债券价格 R_ 指初始收益率减去x 个基本点 R + 指初始收益率加上x 个基本点 P 0 指债券初始价格

举例：某债券剩余期限为8年，息票利率9.5％，半年付息一次，现价90，到期收益率11.44％，我们用到期收益率5个基点的变化来计算有效久期，即①当收益率为11.44％＋0.05％，P +＝89.77；②当收益率为11.44％－0.05％，P －＝90.25 D 有效＝

)(_0_R R P P P --++＝)

1139.01149.0(9077

.8925.90--＝5.33

用封闭公式计算D 麦来验证。

已知：C ＝95／2＝47.5；F ＝1000；P ＝900；R ＝11.44％；r=5.72%；N ＝8×2＝16

D 麦＝900

4351.21610000572.1160572.02160572.10572.10572.1175.47⨯+

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯--⨯＝11.28年

D 麦1年＝11.28／2＝5.644 D ＊

＝

0572

.1644

.5＝5.33

4、简便的久期计算公式D 麦 D 麦＝

r r +1－[]

r

r s c r c s r +-+-++1)1()

()1(

r ＝半年到期收益率；S ＝剩余年限付息次数；C ＝半年息票利率

将上例数据代入公式验证， D 麦半年＝

0572.00572.1－[]

0572

.010572.1160475.0)

0572.00475.0(160572.1+--+＝18.48－7.20＝11.28

D 麦1年＝11.28／2＝5.64

5、影响久期的因素 （1）、久期值与债券期限长度成正比； （2）、久期值与息票额成反比；（通过公式可以看出） （3）、久期值与到期收益率成反比； （4）、零息债券的久期为距到期日的时间，而附息债券的久期短于距到期日的时间。