《经济数学基础》综合练习(线性代数)
经济数学基础作业3(电大)
经济数学基础作业3（线性代数部分第1章行列式——第二章矩阵）知识要点：1．行列式的概念和性质掌握二阶和三阶行列式的计算。
了解行列式的性质：特别是性质1、性质3、性质5。
2．了解矩阵和几类特殊矩阵的概念3．理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； 4．知道方阵的行列式性质： 设B A ,是n 阶方阵，k 是数，则（1）B A AB ⋅=；（2）A k kA n =；（3）A A T =； （4）若A 可逆，则AA 11=- 5.了解矩阵秩的概念； 6.理解矩阵初等行变换的概念： （1）将矩阵的某两行对换位置； （2）将某一行遍乘一个非零常数k ；（3）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k 加到另一行。
7．熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算。
掌握这几种运算的有关性质，注意：（1）矩阵的乘法一般不满足交换律，即AB =BA 不一定成立； （2）在矩阵的乘法中存在,0,0≠≠B A 有0=AB ；（3）矩阵乘法的消去律不成立，即,0≠A 且AC AB =，不能导出C B =。
8．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。
一）填空题1.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a . 解：A 的元素23a 表示矩阵中第2行与第3列交叉的元素，即23a =3。
2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则T AB 2-=________. 解：因为 若B A ,是n 阶方阵，k 是数，则B A AB ⋅=，A k kA n =，A A T =因此B A B A AB T T ⋅-=⋅-=-8)2(23=72)3()3(8-=-⨯-⨯-3.设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是. 解：因为222))(()(B AB BA A B A B A B A +--=--=-222B AB A +-=的充分必要条件是AB =BA4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X . 解：因为： X BX A =+，则A X B I =-)(，A B I X 1)(--=5.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则__________1=-A . 求逆矩阵的初等行变化法：),(),(1-→⋅⋅⋅⋅⋅⋅→A I I A),(3100021001100010001100010001300020001),(1-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A I I A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-310002100011A （二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（ ）． A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵 D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠ 解：A 不正确。
2022年经济数学基础综合练习题及解答
“经济数学基本”综合练习题及解答（合计59道）注意：如下7道大题中5道以原题浮现，2道类型相仿，每题10分如下3题中必有一道以原题浮现 1/1、求极限4331lim 31x x x x -+→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭()4343433129lim43lim43131323133lim lim lim 1313131x x x x x x x x x x x x x x e x x x →∞→∞-+-+-+---+++→∞→∞→∞-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：=ee1/2、求极限0x →解：220023303~3,2~22433=lim lim 43344x x x Sin x x x x x x x →→→=⨯==当时，原式1/3、求极限sin 201lim tan 3x x e x→-；sin 2022:0,1~sin 2~2,tan 3~3,lim33x x x x e x x x x x →→-∴==解原式如下3题中必有一道以原题浮现 2/1、设函数21Sin xy x =-，求dy ；解：()()()()()()()()()()()2222212122121221211122121Sin x x Sin x x Cos x x Sin x Cos x x Sin x y x x x Cos x x Sin xdy y dx dx x ''-------+'===----+'∴==- 2/2、设函数()3223x y x x e -=-，求dy ；解:()()()()()()()()()()22222222222222232343232434610431043x x x x x x x x y x x e x x e x e x x e x e x x e x x e dy y dx x x e dx--------'''=-+-=-+--=-+-+=--'∴==--2/3、设函数212x y x e -=，求dy ；解：()212212()x x y x e x e --'''=+ 1221222x x xe x e --=- 12212(22)x x dy xe x e dx --=-如下3题中必有一道以原题浮现 3/1、计算不定积分 2cos 3x x dx ⎰；22 220cos3sin9cos27sin3333=3sin +18cos 54sin +C333x x x x x x x x xx x --∴-原式 3/2、计算不定积分23x xe dx ⎰；233332201113927xx x x x xe e e e - 原式23331223927x x xx e xe e c =-++ 3/3、计算不定积分 2sin 2x x dx ⎰2220sin 2cos4sin8cos2222x x x x x x -- 原式22cos 8sin 16cos 222x x xxx C =-+++如下3题中必有一道以原题浮现 4/1、用抛物线公式计算定积分()111f x dx -⎰旳近似值，其中()x f 旳值给出如下表：解：()()()()()()()()()111724635114231111134458526737127418213703b af x dx y y y y y y y n --≈⨯++++++⎡⎤⎣⎦---=⨯++++++⎡⎤⎣⎦-=⨯+⨯+⨯=⎰ 4/2、用抛物线公式计算定积分()162f x dx -⎰旳近似值，其中()x f 旳值给出如下表：解：()()()()()()()()()1617246352142311621 2.8 3.342.93423.5 3.83716.149.927.360.3b af x dx y y y y y y y n --≈⨯++++++⎡⎤⎣⎦---=⨯++++++⎡⎤⎣⎦-=+⨯+⨯=⎰ 4/3、用数值积分公式计算定积分()131f x dx ⎰旳近似值，其中()x f 旳值给出如下表：解：()()()131224345432f x dx ≈++++++⎰45= 如下3题中必有一道以原题浮现,λ为什么值时，线性方程组12341234123321252383x x x x x x x x x x x λ+++=⎧⎪++-=⎨⎪++=⎩有解，并求一般解。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(线性代数)模拟试卷11(题后
经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷11(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />=( )．A．dB．2dC．4dD．8d正确答案：D解析：在已知D=|aij|=d的条件下，通过行列式性质将D1还原为原行列式，即有D1故选D．知识模块：线性代数2．若n阶行列式Dn=＜0，则n为( )．A．任意正整数B．奇数C．偶数D．4k－1或4k－2，k=1，2，…正确答案：D解析：由行列式定义，该行列式非零项为副对角线元素的乘积，即有Dn=(－1)τ(n(n－1)…321)=(－1)[n(n－1)]／2，若Dn＜0，则应有1／2n(n－1)为奇数，即n=4k－1或4k－2，k=1，2，…．故选D．知识模块：线性代数3．设A，B均为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A－1－B|=2，则|A－B－1|=( )．A．－3B．－2C．2D．3正确答案：A解析：由矩阵与行列式的关系，有|A－1－B|=|A－1(E－AB)|=|A－1||E－AB|=2，|E－AB|=2|A|=6，从而有|A－B－1|=|AB－E||B－1|=(－1)3|E－AB||B－1|=－6×=－3．故选A．知识模块：线性代数4．设αj与βj分别是n阶矩阵A的第j行元素构成的行向量和第j列元素构成的列向量，ej是n阶单位矩阵E的第j列元素构成的列向量，则( )．A．Aei=αjB．eja=αjC．Aej=βjD．ejA=βj正确答案：C解析：选项C，依题设，A=(β1，β2，…，βn)，E=(e1，e2，…，en)，于是有A=AE=A(e1，e2，…，en)=(Ae1，Ae2，…，Aen)，即有Aej=βj(j=1，2，…，n)，故选C．选项A，由Am×n(ej)n×1知是n×1的矩阵，而αj是1×n的矩阵，显然两者不相等．选项B，D，ej是n×1的矩阵，A是n×n的矩阵，两者不能相乘．知识模块：线性代数5．设A为n阶矩阵，且满足4(A－E)2=(A+2E)2，则矩阵A，A－E，A－2E，A－3E中必定可逆的矩阵个数为( )．A．4B．3C．2D．1正确答案：B解析：将方程展开并整理为A2－4A=O，从而有A(A－4E)=O，推得|A||A－4E|=0．同理，有(A－E)(A－3E)=3E，推得|A－E||A－3E|≠0；(A－2E)2=4E，推得|A－2E|≠0．可以确定|A－E|≠0，|A－2E|≠0，|A－3E|≠0，即矩阵A－E，A －2E，A－3E必定可逆，但无法判断矩阵A是否可逆，故选B．知识模块：线性代数6．E2017(1，2)E2018(2，3)=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由于Em(i，j)因此有故选B．知识模块：线性代数7．设α1，α2，α3为同维向量，则下列结论不正确的是( )．A．α1，α2，α3中任何一个向量均可被向量组α1，α2，α3线性表示B．若存在一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，则α1，α2，α3必线性相关C．若α1=2α2，则α1，α2，α3必线性相关D．若α1，α2，α3中有一个零向量，则α1，α2，α3必线性相关正确答案：B解析：选项B，根据向量组线性相关的概念，只有在k1，k2，k3不全为零的情况下，满足k1α1+k2α2+k3α3=0，才能确定α1，α2，α3线性相关，所以该选项不正确，故应选B．选项A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量αi(i=1，2，3)，不妨取α1，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得α1=1．α1+0．α2+0．α3．选项C，由条件可知，存在一组不全为零的数1，－2，0，使得α1－2α2+0．α3=0，因此α1，α2，α3线性相关．选项D，不妨取α1=0，于是存在一组不全为零的数1，0，0，使得1．α1+0．α2+0．α3=0．因此α1，α2，α3线性相关．知识模块：线性代数8．设α1=(1，2，－1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，若α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则a=( )．A．2B．3C．6D．8正确答案：C解析：根据题设，该向量组的秩为2，于是解法1用初等变换．即由(α1，α2，α3)T知当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成．故选C．解法2用行列式．由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个3阶子式为零，故故当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选C．知识模块：线性代数9．设α1，α2，α3，β均为4维向量，则下列结论正确的是( )．A．若β不能被向量组α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，β必线性无关B．若向量组α1，α2，α3，β线性相关，则β可以被向量组α1，α2，α3线性表示C．β可以被向量组α1，α2，α3的部分向量组线性表示，则可以被α1，α2，α3线性表示D．β可以被向量组α1，α2，α3线性表示，则β可以被其任何一个部分向量组线性表示正确答案：C解析：选项C，β可以被向量组α1，α2，α3的部分向量组线性表示，则必定可被整个向量组α1，α2，α3线性表示，故选C．选项A，α1，α2，α3可能是线性相关向量组，因此，α1，α2，α3，β可能线性相关．选项B，向量组α1，α2，α3，β线性相关，则其中必定有向量可以被其余向量线性表示，但这个向量未必是β．选项D，β可以被向量组α1，α2，α3线性表示，但未必可以被其任何一个部分向量组线性表示．如向量β=(1，1，1，0)可以被α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，α3=(0，0，1，0)线性表示，但不能被其中任意两个向量线性表示．知识模块：线性代数10．设四元齐次线性方程组若该方程组仅有零解，则λ( )．A．≠1B．≠－1C．≠±1D．可取任意实数正确答案：C解析：方程组的系数矩阵为=1－λ4，又方程组仅有零解，从而知，λ≠±1．故选C．知识模块：线性代数11．设A为n(n＞2)阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若r(A*)=1，则方程组Ax=0的基础解系含无关解的个数是( )．A．nB．n－1C．1D．0正确答案：C解析：根据n阶矩阵A的秩与其伴随矩阵A*的秩的关系，当r(A*)=1时，r(A)=n－1．因此，齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含无关解的个数为n－r(A)=1，故选C．知识模块：线性代数12．设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若使齐次方程组ABx=0必有非零解，则( )．A．n＞mB．n＜mC．n=mD．m，n大小关系不确定正确答案：B解析：选项B，齐次方程组ABx=0必有非零解，即必须有r(AB)＜m．又由r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，知只有n＜m，才能确保r(AB)＜m成立，故选B同时也否定了选项D的正确性．选项A，若n＞m，则r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=m，不能确保r(AB)＜m成立．选项C，类似地，n=m不能确保r(AB)＜m成立．知识模块：线性代数13．设方程组(Ⅰ)(Ⅱ)－3x1+3x2－5x3=0，若两个方程组有公共非零解，则a=( )．A．2B．1C．－1D．－2正确答案：D解析：两个方程组有公共非零解，即两个方程组的联立方程组有非零解，于是有解得a=－2，故选D．知识模块：线性代数计算题14．计算行列式Dn=正确答案：构造n+1阶加边行列式，有涉及知识点：线性代数15．设n维向量α=(1／2，0，…，0，1／2)，矩阵A=E－αTα，C=E+2αTα，计算|AC|．正确答案：由题设，αTα解法1由AC=(E－αTα)(E+2αTα)=E+αTα－2αT(ααT)α=E，所以，|AC|=|E|=1．解法2将行列式|A|按第一行展开，得|A|=|E －αTα|类似地，有|C|=|E+2αTα|因此得|AC|=|A||C|=1．涉及知识点：线性代数16．设矩阵A=，矩阵B满足方程ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，求|B|．正确答案：在方程两边右乘A，得ABA*A=2BA*A+A，由A*A=|A|E及|A|=3，方程简化为3AB=6B+A，因式分解化为(3A－6E)B=A，再两边取行列式，有|3A －6E||B|=|A|=3，于是由|3A－6E|==27，得|B|=3／|3A－6E|=1／9．涉及知识点：线性代数17．设αT=，β=(3，2，1)，A=αTβ，计算Am(m为正整数，且m≥3)．正确答案：A=αTβ于是，由矩阵乘法的结合律，有Am=3m－1αTβ涉及知识点：线性代数18．已知矩阵A=，且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中E是3阶单位矩阵，求X正确答案：将方程整理，有AX(A－B)=BX(A－B)+E，得(A－B)X(A－B)=E．由于|A－E|==1≠0，可知A－B可逆，因此X=(A－B)－1(A－B)－1，其中，由得(A－B)－1故X=(A－B)－1(A－B)－1 涉及知识点：线性代数19．设A=BTCB．求A200．正确答案：注意到B，C均为初等矩阵，且B=E(2，3)，C=E(13(－2))，故有BT=B－1=B，B2=E，Cm=E(13(－2m))，因此A200 涉及知识点：线性代数设向量组α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，问：20．α1能否被α2，α3线性表示，证明你的结论；正确答案：α1可以被α2，α3线性表示．证明如下：因为α2，α3，α4线性无关，其部分组α2，α3也线性无关，又α1，α2，α3线性相关，于是，α1可以被α2，α3线性表示．涉及知识点：线性代数21．α4能否被α1，α2，α3线性表示，证明你的结论．正确答案：α4不能被α1，α2，α3线性表示．证明如下：用反证法．假设α4可以被α1，α2，α3线性表示，即存在数k1，k2，k3，使得α4=k1α1+k2α2+k3α3，由(1)，α1可以被α2，α3线性表示，知α4可以被α2，α3线性表示，即α2，α3，α4线性相关，与已知条件矛盾．故α4不能被α1，α2，α3线性表示．解析：讨论向量组的线性关系，要准确把握线性相关概念的含义．如α4可以被α1，α2，α3线性表示，即可写出α1，α2，α3线性表达式，在α1可以被α2，α3线性表示的条件下，可推得α4可以被α2，α3线性表示，即α2，α3，α4线性相关．知识模块：线性代数22．求向量组α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，－1)T，α3=(0，1，1)T的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组表示．正确答案：解法1由(α1，α2，α3)T知α1，α2为其一个最大无关组，且α3=α1－α2．解法2设存在常数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，于是，由(α1，α2，α3)知α1，α2为其一个最大无关组，解得α3=α1－α2．涉及知识点：线性代数23．α1=，讨论a为何值时，(1)β不能被α1，α2，α3线性表示；(2)β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一；(3)β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．正确答案：设一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β，则有下面用两种解法求解．解法1先求系数行列式，即(1)当a=0时，对增广矩阵施以初等行变换，方程组无解，即β不能被α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0且a ≠1时，方程组有唯一解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一．(3)当a=1时，方程组有无穷多解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．解法2直接由初等变换讨论，即(1)当a=0时，方程组无解，即β不能被α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0且a≠1时，方程组有唯一解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一．(3)当a=1时，方程组有无穷多解，即β可以被α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．涉及知识点：线性代数24．设A=，求解线性方程组Ax=b．正确答案：方程组的系数矩阵A对应的行列式是由元素1，2，－3，－1构造的范德蒙德行列式，则=(－1－1)(－1－2)(－1+3)(－3－1)(－3－2)(2－1)=240≠0，故方程组有唯一解，由类似地，D3=D4=0，因此，根据克拉默法则解得x1=D1／D=2，x2=x3=x4=D4／D=0．故x=(2，0，0，0)T．涉及知识点：线性代数25．设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，试求线性方程组Ax=b 的通解．正确答案：依题设，r(A)=3，知方程组导出组的基础解系由一个无关解构成，即为原方程组两个特解的差，可利用线性方程组解的性质表示为2α1－(α2+α3)=(2，3，4，5)T．又α1=(1，2，3，4)T为原方程组的一个特解，因此，Ax=b 的通解为x=C(2，3，4，5)T+(1，2，3，4)T，C为任意常数．涉及知识点：线性代数26．已知二次三项式f(x)满足f(1)=1，f(－1)=8，f(2)=－3，求此二次三项式f(x)．正确答案：设该二次三项式f(x)=ax2+bx+c，从而有该方程组的系数行列式知方程组有解且有唯一解．由解得a=－1／6，b=－7／2，c=14／3，因此，涉及知识点：线性代数。
经济数学基础线性代数综合练习题
经济数学基础线性代数综合练习题2016《线性代数》综合练习一、选择题1、若===),,(,3),,(,3),,,(3214324321ααααααααααr r r 则（）（A ）2；（B ）3；（C ）1或2或3；（D ）2或3 2、设A 、B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有（）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关；（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3、设A 为3阶方阵，将A 的第2行加到第3行后得到矩阵B ，则AB -1=（）。
（A ）??101001010；（ B ）100101010；（C ）110001010；（D ）-110010001。
4、下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量；（B ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（C ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。
5、已知=y x A 6364221，B 为三阶矩阵，且AB =O ，则有( )（A ）当y =3x 时，r(B )=1 （B ）当y =3x 时，r(B ) ≠2 （C ）当y ≠3x时，r(B )=1 （D ）当y ≠3x 时，r(B ) ≠26、设A 的伴随矩阵A *≠O ，若α1，α2，α3，α4是非齐次线性方程组β=AX 的互不相等的解，则齐次线性方程组AX =O 的基础解系（）（A ）不存在（B ）仅含一个非零解向量, (C) 含有两个线性无关的解向量(D) 含有三个线性无关的解向量7、设非奇异矩阵A 的各行元素之和为2，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（）。
经济类专业学位联考综合能力数学基础(线性代数)模拟试卷9(题后
经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />的系数矩阵的行向量组分别线性无关和线性相关，但方程组均仅有零解．所以，A的行向量组线性无关既不是Ax=0仅有零解的充分条件，也不是Ax=0仅有零解的必要条件．故选D．知识模块：线性代数10．设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若r(A)=1，则方程组A*x=0的基础解系含无关解的个数为( )．A．3B．2C．1D．0正确答案：A解析：由r(A)=1知A的所有2阶子式均为零，所以r(A*)=0，从而知方程组A*x=0的基础解系含无关解的个数为3，故选A．知识模块：线性代数11．设n元非齐次线性方程组Ax=b，Ax=0为其导出组，则( )．A．若Ax=0有非零解，则Ax=b必有无穷多解B．若Ax=0仅有零解，则Ax=b必有唯一解C．若Ax=b有无穷多解，则Ax=0必有非零解D．Ax=b解的状态与Ax=0是否有非零解没有关联性正确答案：C解析：选项C，从非齐次线性方程组的通解结构可以看到，若Ax=b有无穷多解，其导出组必含基础解系，因此，Ax=0必有非零解．故选C．选项A，B，Ax0有非零解，并不能确定对应的非齐次线性方程组一定有解．因此，结论A，B不正确．选项D，在Ax=b有解的情况下，Ax=b解的状态与Ax=0有无非零解有关联，如选项C．知识模块：线性代数12．设A为m×n矩阵，r(A)＜n，则( )．A．ATAx=0与Ax=0的解之间没有关联B．Ax=0的解一定是ATAx=0的解，但反之不然C．ATAx=0的解一定是Ax=0的解，但反之不然D．Ax=0与ATAx=0为同解方程组正确答案：D解析：关键在于两方程组非零解之间的关系，若η是方程组Ax=0的非零解，即有Aη=0，也必有ATAη=0，因此，η也必定是方程组ATAx=0的解．反之，若η是方程组ATAx=0的非零解，也必有Aη=0，否则，Aη≠0，使得(Aη)TA η=ηTATAη≠0，从而与假设ATAη=0矛盾．从而知ATAx=0与Ax=0为同解方程组，综上，知选项A，B，C均不正确，故选D．知识模块：线性代数计算题13．计算行列式正确答案：解法1将各行依次减去第一行，得解法2将各行加至第一行，提出公因子后，得涉及知识点：线性代数14．设函数f(x)，g(x)均在点x=1处存在一阶导数，且f(1)=g(1)=1，f’(1)=1，g’(1)=2，计算正确答案：由行列式性质，其中涉及知识点：线性代数15．设A为n(n为奇数)阶矩阵，满足ATA=E，且|A|＞0，计算|E－A]2[|．正确答案：由于|E－A2|=|E－A||E+A||E+A|，所以本题实际要推导|E+A|=0或|E－A|=0．由题设，|ATA|=|A|2=1，且|A|＞0，得|A|=1．于是，由|A|=1，AAT=E，n为奇数，则有E－A=AAT－A=A(AT－E)，从而有|E－A|=|A||AT－E|=|A||A－E|=(－1)n|A||E－A|=－|A||E－A|，即有等式(1+|A|)|E－A|=2|E－A|=0，得|E－A|=0，因此|E－A2|=|E－A||E+A|=0．涉及知识点：线性代数16．设A－1=，求(A*)－1．正确答案：解法1由题设，A可逆，则有A*=|A|A－1，从而有(A*)－1=(|A|A －1)－1=1／|A|A，(A－1)*=|A|(A－1)－1=1／|A|A，若记B=A－1，即有(A*)－1=(A－1)*=B*其中涉及知识点：线性代数17．设矩阵A的伴随矩阵为A*=，且ABA－1=BA－1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．正确答案：解法1用A*=|A|A－1替换等式中的A－1．由|A*|=|A|4－1=|A|3=8，得|A|=2．将等式两边左乘A－1，右乘A，有B=A－1B+3E=1／2A*B+3E，即(2E －A*)B=6E．又2E－A*可逆，于是B=6(2E－A*)－1，由(2E－A*)－1因此解法2由AA*=|A|E得A=|A|(A*)－1．由|A*|=|A|4－1=|A|3=8，得|A|=2．故A=|A|(A*)－1可知A－E为可逆矩阵．将等式整理得(A－E)BA－1=3E，有JB=3(A－E)－1A，又(A－E)－1因此涉及知识点：线性代数设A，B，Q为3阶方阵，且B=QTAQ，QQT=E．18．计算Bm(m为正整数，且m≥3)；正确答案：由矩阵乘法的结合律，有Bm=QTAmQ．涉及知识点：线性代数19．若取A=，计算B10．正确答案：由初等矩阵的幂的运算性质，A10左乘矩阵A10相当于将该矩阵的第2行放至第1行，第3行放至第2行，第1行放至第3行，Q右乘某矩阵相当于将该矩阵的第2列放至第1列，第3列放至第2列，第1列放至第3列，即有B10 涉及知识点：线性代数20．设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，求矩阵B－C．正确答案：由B=E+AB，C=A+CA，知(E－A)B=E，C(E－A)=A，可知E－A，B互为逆矩阵，也有B(E－A)=E，于是有B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E －A，因为E－A可逆，从而有B－C=E．涉及知识点：线性代数21．若矩阵的秩为2，求t的值．正确答案：解法1已知该矩阵的秩为2，所以它的所有3阶子式都为零，因此，只要计算出其中含待定常数t的两个3阶子式，即可确定t的值．即由解得t=3．解法2对该矩阵作初等变换，有可知当t=3时，该矩阵的秩为2．涉及知识点：线性代数22．设α1，α2，α3为n维列向量组，且β1=α1，β2=2α1+α2，β3=－α1+2α2+kα3，问当k取何值时，α1，α2，α3可以被β1，β2，β3线性表示，并在k=1时，给出表达式．正确答案：依题设，两向量组有以下关系：(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)Q．其中转换矩阵为则α1，α2，α3可以被β1，β2，β3线性表示的充分必要条件是Q可逆，即k≠0．当k=1时，由得Q－1=，从而有(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)Q－1=(β1，β2，β3)，即有表达式α1=β1，α2=－2β1+β2，α3=5β1－2β2+β3．涉及知识点：线性代数23．设向量组α1，α2，…，αn线性无关，若要求向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关，则n应满足什么条件?正确答案：解法1用定义证明．设一组数k1，k2，…，kn，使得k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+…+kn－1(αn－1+αn)+kn(αn+α1)=0，即(k1+kn)α1+(k2+k1)α2+…+(kn－1+kn－2)αn－1+(kn+kn－1)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，则有于是，向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关的充要条件是方程组(*)仅有零解，即系数行列式=1+(－1)n+1≠0，即向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关的充要条件是n为奇数．解法2讨论两向量组转换矩阵的奇异性．由(α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1)知向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关的充要条件是其转换矩阵非奇异，即=1+(－1)n+1≠0，即n为奇数．涉及知识点：线性代数24．设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，3；n＞3)是n维实向量；且α1，α2，α3线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，判断向量组β，α1，α2，α3的线性相关性．正确答案：依题设，αiTβ=0(i=1，2，3)，即βTαi=0，又β≠0，因此，βTβ≠0，于是设一组数k1，k2，k3，k，使得k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0，k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0，两边左乘βT，即有k1βTα1+k2βTα2+k3βTα3+k βTβ=kβTβ=0，得k=0，从而有k1α1+k2α2+k3α3=0，由于α1，α2，α3线性无关，则必有k1=k2=k3=0，由此知α1，α2，α3，β线性无关．涉及知识点：线性代数25．求解四元齐次线性方程组的通解并用其基础解系表示．正确答案：方程组的系数矩阵为知r(A)=2＜4，方程组有非零解，且基础解系有两个线性无关解向量，取自由未知量为x2，x3，将x2，x3依次取0，1和1，0，代入方程组得η1=(0，0，1，0)T，η2=(－1，1，0，1)T，η1，η2即为方程组的一个基础解系．通解为x=C1η1+C1η2，C1，C2为任意常数．涉及知识点：线性代数26．设A为4阶矩阵，r(A)=3，其代数余子式A11≠0，A*为A的伴随矩阵．试求线性方程组A*x=0的一个基础解系．正确答案：由于r(A)=3，因此r(A*)=1，从而知线性方程组A*x=0的基础解系由4－1=3个线性无关解构成．设矩阵A的列向量组为β1，β2，β3，β4，即A=(β1，β2，β3，β4)．由A*A=|A|E=O，即A*(β1，β2，β3，β4)=0，得A*βj=0(j=1，2，3，4)，即A的列向量均为方程组A*x=0的解．又由A11≠0，知由β2，β3，β4构成的矩阵中有一个3阶子式不为零，从而知r(β2，β3，β4)=3，即β2，β3，β4线性无关．因此β2，β3，β4构成方程组A*x=0的一个基础解系．涉及知识点：线性代数。
《线性代数(经管类)》综合测验题库完整
《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位阵2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说确的是( )A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为1D.其秩为23.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则( )未必是正定二次型。
A.X T（A+B）XB.X T A-1XC.X T B-1XD.X T ABX4.设A，B为正定阵，则( )A.AB，A+B都正定B.AB正定，A+B非正定C.AB非正定，A+B正定D.AB不一定正定，A+B正定5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B( )A.一定合同B.一定相似C.即相似又合同D.即不相似也不合同6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为( )A.rB.t-rC.2t-rD.r-t7.设8.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是( )9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论( )不成立。
A.A与B相似B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B有相同的特征向量10.下列命题错误的是( )A.属于不同特征值的特征向量必线性无关B.属于同一特征值的特征向量必线性相关C.相似矩阵必有相同的特征值D.特征值相同的矩阵未必相似11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是( )12.已知矩阵有一个特征值为0，则( )A.x=2.5B.x=1C.x=-2.5D.x=013.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=( )A.2B.-6C.6D.2414.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为( )A.3，1，1B.2，-1，-2C.3，1，-1D.3，0，115.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是( )A.α和β线性无关B.α+β是A的特征向量C.α与β线性相关D.α与β必正交16.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中( )是P-1AP对应于λ的特征向量。
2019-2020年电大考试数学经济基础试题答案及答案
《经济数学基础》真题一、填空题(每题3分，共15分)6．函数()f x =的定义域是 (,2](2,)-∞-+∞ ．7．函数1()1xf x e =-的间断点是 0x =．8．若()()f x dx F x C =+⎰，则()x x e f e dx --=⎰()x F e c --+．9．设10203231A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，当a = 0 时，A 是对称矩阵。
10．若线性方程组12120x x x x λ-=⎧⎨+=⎩有非零解，则λ= －1 。
6．函数()2x xe ef x --=的图形关于 原点 对称．7．已知sin ()1xf x x=-，当x → 0时，()f x 为无穷小量。
8．若()()f x dx F x C =+⎰，则(23)f x dx -=⎰1(23)2F x c -+ ．9．设矩阵A 可逆，B 是A 的逆矩阵，则当1()T A -= TB 。
10．若n 元线性方程组0AX =满足()r A n <，则该线性方程组 有非零解 。
6．函数1()ln(5)2f x x x =++-的定义域是 (5,2)(2,-+∞ ． 7．函数1()1xf x e =-的间断点是 0x = 。
8．若2()22x f x dx x c =++⎰，则()f x =2ln 24x x +．9．设111222333A ⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()r A = 1 。
10．设齐次线性方程组35A X O ⨯=满，且()2r A =，则方程组一般解中自由未知量的个数为 3 。
6．设2(1)25f x x x -=-+，则()f x =x2+4 ．7．若函数1sin 2,0(),0x x f x xk x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k= 2 。
8．若()()f x dx F x c =+⎰，则(23)f x dx -=⎰1/2F(2x-3)+c．9．若A 为n 阶可逆矩阵，则()r A = n 。
注意经济数学基础综合练习及模拟试题(含答案)
注意：经济数学基础综合练习及模拟试题（含答案）一、单项选择题 1．若函数xxx f -=1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )． A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5 正确答案：A2．下列函数中为偶函数的是（ ）．A ．x x y -=2B ．x x y --=e eC ．11ln +-=x x y D ．x x y sin = 正确答案：D3．函数)1ln(1-=x y 的连续区间是（ ）．A ．），（），（∞+⋃221B ．），（），∞+⋃221[C ．），（∞+1D ．），∞+1[正确答案：A李蓉：为什么是A ，答案B 的前面有中括号的定义与答案A 区别是？顾静相：答案B 左边的是方括号[，表示能取到端点，在左端点处函数没有意义。
4．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）． A ．21 B ．21- C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x正确答案：B5．设c xxx x f +=⎰ln d )(，则)(x f =（ ）． A ．x ln ln B ．x x ln C ．2ln 1x x - D ．x 2ln 正确答案：C6．下列积分值为0的是（ ）．A ．⎰ππ-d sin x x x B ．⎰-+11-d 2e e x xx C ．⎰--11-d 2e e x xx D ．⎰-+ππx x x d )(cos 正确答案：C7．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ ）． A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 正确答案：A8. 设B A ,为同阶方阵，则下列命题正确的是（ ）. A .若O AB =，则必有O A =或O B =B .若O AB ≠，则必有O A ≠,O B ≠C .若秩O A ≠)(,秩O B ≠)(，则秩O AB ≠)(D . 111)(---=B A AB正确答案：B9. 当条件（ ）成立时，n 元线性方程组b AX =有解．A . r A n ()<B . r A n ()=C . n A r =)(D . O b = 正确答案：D蒋玉兰：关于这题，上午我们一些辅导教师还在说难了点。
经济类专业学位联考综合能力数学基础线性代数-试卷3_真题(含答案与解析)-交互
经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）-试卷3(总分74, 做题时间90分钟)2. 逻辑推理单项选择题1.设n阶方阵A，B，C满足ABC=I，I表示相应的单位矩阵，则下列各式中必成立的是( )。
SSS_SINGLE_SELA ACB=IB CBA=IC BAC=ID BCA=I该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由ABC=I，则(A)(BC)=I，即BCA=I，即应选择D。
2.设A为N阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A 3 =O，则( )。
SSS_SINGLE_SELA E—A不可逆，E+A可逆B E—A不可逆，E+A也不可逆C E—A可逆，E+A可逆D E—A可逆，E+A不可逆该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C3.设A，B，A+B，A -1 +B -1均为n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =( )。
SSS_SINGLE_SELA A+BBA -1 +B -1CA(A+B) -1 BD(A+B) -1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C4.SSS_SINGLE_SELAAP1 P2BAP1 P3CAP3 P1DAP2 P3该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B5.设A，B为n阶矩阵，A*，B*分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵C*=( )。
SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：由于所以当A可逆时，A*=|A|A -1。
答案应选择D。
6.设矩阵B=已知矩阵A相似与矩阵B，则r(A一2E)+r(A—E)=( )。
SSS_SINGLE_SELA 2B 3C 4D 5该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：因为矩阵A相似与矩阵B，所以存在可逆矩阵P，使得 B=P -1 AP，从而B一2E=P -1 (A一2E)P，B—E=P -1 (A—E)P 即B一2E与A一2E相似，B—E与A—E相似，由于相似矩阵具有相同的秩，即r(A一2E)+r(A—E)=4 故本题应选择C。
经济数学基础线性代数部分综合练习（霍长荣）
经济数学基础 线性代数部分综合练习（霍长荣）一、单项选择题1．设A 为23´矩阵，B 为32´矩阵，则下列运算中（矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）A . TTT)(B A AB = B . TTT)(A B AB =C . 1T 11T )()(---=B A AB D . T111T )()(---=B A AB3．以下结论或等式正确的是（．以下结论或等式正确的是（ ）． A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若AC AB =，且O A ¹，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵．对角矩阵是对称矩阵 D ．若O B O A ¹¹,，则O AB ¹ 4．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --15．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（＝（）． A ．úûùêëé--6231 B ．úûùêëé--6321 C ．úûùêëé--5322 D ．úûùêëé--5232 6．设úúúûùêêêëé----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）．A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为úúúúûùêêêêëé--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．线性方程组îíì=+=+012121x x x x 解的情况是（解的情况是（ ）． A . 无解无解 B . 只有0解 C . 有唯一解有唯一解 D . 有无穷多解有无穷多解B=．．件是 . 件是)= ．b． ．未知量的个数等于 ．未知量的个数等于．11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为úúúûùêêêëé--=000020103211A 则此方程组的一般解为的一般解为 .12．设线性方程组b AX =，且úúúûùêêêëé+-®010********1t A ，则__________t 时，方程组有唯一解. 三、计算题1．设矩阵A =úúúûùêêêëé-012411210，求逆矩阵1-A ． 2．设矩阵A =úúúûùêêêëé----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ． 3．设矩阵．设矩阵 A =úúúûùêêêëé-022011，B =úûùêëé--210321，计算(BA )-1． 4．设矩阵úûùêëé=úûùêëé=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 5．设线性方程组．设线性方程组 ïîïíì=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况判断其解的情况..6．求线性方程组ïîïíì=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．的一般解．7．求线性方程组ïîïíì=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解．的一般解． 8．设齐次线性方程组．设齐次线性方程组ïîïíì=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x l 问l 取何值时方程组有非零解，并求一般解取何值时方程组有非零解，并求一般解. .9．当l 取何值时，线性方程组ïîïíì=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x l 有解？并求一般解有解？并求一般解..参考解答参考解答一、单项选择题 1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D 11．B 12．C二、填空题 1．úûùêëé---264132 2．úûùêëé--2240 3．B A ,交是可交换矩换矩阵阵 4．0 5．A B I 1)(-- 6．n 7解．无解 8．-1 9．n – r 10. 3 11．îíì=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量) 12．1-¹三、计算题1．解：因为．解：因为(A I ) =úúúûùêêêëé---®úúúûùêêêëé-120001010830210411100010001012411210 úúúûùêêêëé----®úúúûùêêêëé---®123124112200010001123001011200210201 úúúûùêêêëé----®2112312411210001001 所以所以 A -1=úúúûùêêêëé----211231241122．解：因为．解：因为 úúûùêêëé-=+021501310A I且 úúúûùêêêëé---®úúúûùêêêëé-110520001310010501100021010501001310 úúúûùêêêëé-®112100001310010501úúúûùêêêëé-----®1121003350105610001所以所以 úúúûùêêêëé-----=+-1123355610)(1A I 3．解：因为．解：因为BA =úûùêëé--210321úúúûùêêêëé-022011=úûùêëé--2435 (BA I )=úûùêëé--®úûùêëé--1024111110240135 úûùêëé---®54201111úúûùêêëé--®2521023101 所以所以 (BA )-1=úúûùêêëé--252231 4．解：因为．解：因为úûùêëé10530121úûùêëé--®13100121 úûùêëé--®13102501 即úûùêëé--=úûùêëé-132553211所以，X =153213221-úûùêëéúûùêëé=úûùêëé--úûùêëé13253221= úûùêëé-1101 5．解：因为．解：因为=9491==491úúúûùêêêëé---®úúúûùêêêëé--=26102610111115014121111l l Aúúúûùêêêëé--®l 00026101501 所以当l =0时，线性方程组有无穷多解，时，线性方程组有无穷多解， 且一般解为：îíì+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕是自由未知量〕。
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共15分)：1．设A 是三阶矩阵,将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为( ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010; （B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010; （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量； (C ）R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；(D)R n 中，坐标满足x 1=1,x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）—1有一个特征值等于（ ）。
（A)34； （B ）43； （C ）21； （D ）41.5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它( ）。
（A)合同; （B ）相似； （C ）等价； （D)以上都不对。
二、填空题(每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA ＊=2BA ＊+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵,则|B ｜= .2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
《经济数学基础12》复习3.doc
线性代数部分综合练习题-、单项选择题设A 为3x2矩阵，B 为2x3矩阵，则下列运算中（A ）可以进行.A ・ABB. AB TC ・A+BD ・BA 1设A,B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ）A. (AB)T = A 1 B rB ・(/13)丁=8丁人丁。
・(人3「尸=A 」(3「尸D. (AB r )_1 = A _,(B _，)TA.若A,B 均为零矩阵，则有A = B B ・若A3二AC, 且/I H O,则B = C9.设线性方程组A mxn X=b 有无穷多解的充分必要条件是（D ）・ A. r(A) = r(A) < m B. r(A) < n C. m < n D. r(A) = r(A) < n二、填空题2. 3. 以下结论或等式正确的是（C ）・4. 5.C.对角矩阵是对称矩阵D.若 A H O,B 卫 0,贝 I JAB H O设A 是可逆矩阵，且A^AB = I ，则A -1 = ( C )・A. BB ・1 + B C.A. ■-1-2 3~ :6 B. ■-]3 [-2 6C.-2 -2 3 5D.-2 3 -2 5_1 20 - -3_设A = 0 0 -1 3 ,则心）二（C)・A. 4B・2 4 -1 - -3_C.C. 2 D ・17.设线性方程组AX=b 的增广矩阵通过初等行变换化为般解中自由未知量的个数为（A ） A. 1 B. 28.线性方程组1 0 0 0 3 -1 0 0 1 3 0 02 1 2 0 6 4 -1 0,则此线性方程组的一D. 4%1+%2=1解的情况是（A ）・A ・无解B.只有0解 x, + x 2 = 0C. 有唯一解D.有无穷多解10.设线性方程组AX=b 有唯一解, 则相应的齐次方程组AX=O （ A.无解 B.有非零解 C.只有零解 D.解不能确定1. 6. 3设 A = (l 2), B = (-l 3), / 是单位矩阵，则 A TB-/ = ( D )・1.若矩阵4 二[-1 2], B= [2 -3 1],则/fB二______ .应该填写:-11-2 34-6 2・应该填写:2.设均为〃阶矩阵，则等式（A-B）2=A2-2AB^B2成立的充分必要条件是注意：本题也可改成如下的形式考:例如：解矩阵方程AX=B,其中「0 12TTA = 1 1 4 ,B =0 ,答案：X=A-[B =32 -1 0_-1-11 2 1 0 0'_1 14 01 0'_1 14 01 0_1 1 4 0 1 0 T 0 12 1 0 0 T0 1 2 1 0 02 -1 0 0 0 1_0 3 —80 -2 10 0-2 3 -2 1_1 1 4 0 11 1 0 6 -421 0 02 -2 1T 0 1 21 0 0 T 0 1 0 4 -2 1 T 0 1 0 4 -2 1 0 0 13 110 0 1 3 11 0 0 1 3 1 1~212_~2 1'2.~2 1~2_解：因为(A /)=1 02 a 03 2 3-1吋，A 是对称矩阵•应该填写：04.设A,B 均为斤阶矩阵，且(I-B)可逆，则矩阵A + BX = X 的解X 二应该填写：5.若线性方程组西-：2=有非零解，则" X] + /Lr 2 = 0•应该填写：-16.设齐次线性方程组两=0 ,且秩(A) = r< n,则其一般解中的自由未知量的个数等・应该填写：n-r7.齐次线性方程组AX=O 的系数矩阵为A 二 1 -10 10 03-2 0则此方程组的一般解为 应该填写："-严（其中Xx 2 = 2X 4是自由未知量)三、计算题(1・设矩阵A 二1 2 1 4 -1 0求逆矩阵所以2 4 -3/2 -1 -2 11 1 _1/25.求线性方程组v - Xj + x 2 -3X 3 + 2X 4 = 0的一般解.2兀]一花 + 5x 3 - 3X 4 = 01 21 又如：已知A 二 1 1 4 ,B =2 -1 0-12.设矩阵A 二 -1111 -1 -2 35 -1,求逆矩阵(7 +A)'1.1 0 0_■-1 13_'0 1 3_解:因为/ + A = 0 1 0 + 1 -15 = 1 0 59且0 0 11 -2 -11 -2 00 1 3 1 0 0_「1 0 5 0 1 0] 卩 0 5 0 1 0_1 0 0 -10 6 -5 1 0 5 0 1 0>0 1 3 1 0 01 3 1 0 0 T 0 1 0 -5 3 -31 -2 0 0 0 1_0 -2-5 0 -1 1J 〔00 1 2 -1 10 0 1 2 -1 1所以(/ + A)'1 -10 -5 2 6 3 -1 -5-3111 _'1 2 -3_ 0 -2 ,B =0 -1 2_ 20 _解：因为84=2 -1 -3 2 1 -2 0-5 4 -3 2-5 -3 1 0 —>-1 -1 1 fT「1 1 -1 -fT「1 0 14 2 0 1_4 2 0 1b-24 5 J0 1 -2 %所以(BA)"二-24.设矩阵A ,B,求解矩阵方程XA = B.'12 10'_1 2 1 0__1 0 -5 2''1 2-1-52_TT,即—3 5 0 10-1-310 13-13 53 -1所以X 二计算(BA)»1 2 23X] + 2X 3 - x 4 = 0 (BA /)= 解：因为3.设矩阵A 二_ 1 0 2 -f_1 0 2 -f _1 0 2 -f解：因为A = -1 1 _3 2 T0 1 -1 1 T0 1 -1 1_2 _1 5 _3. _0 -1 1 -1_ _0 0 0 0所以一般解为（其中勺，勺是自由未知量）2 兀］-5X2 + 2 兀3 — -36.求线性方程组＜ X)+ 2x2 - x3 = 3 的一般解.—2%］ +14 兀2 — 6屯=12_ 2 -5 2 -3 _1 2 -1 3 __1 2 -1 3解:A — 1 2 -1 3 T 0 -9 4 -9 T0 -9 4 -9_-214 -6 12 _0 18 -8 18_ 0 0 0 0_1 2 -1 3_0 -1/9 rT0 1 -4/9 1 T0 1 -4/9 1_0 0 0 0 _0 0 0 0_无1 =討+ 1所以一般解为兀2=討+1（其屮心是自由未知量）X I-3X2+2X3=07.设齐次线性方程组＜ 2坷一5兀2 +3兀3 =0 ,3兀］一8 兀2 +2 兀3 = °问九取何值时方程组有非零解，并求一般解._1 -3 2 _1 -3 2 '1 0 -1 ■解：因为系数矩阵A二2-5 3 T0 1 -1 T0 1 -13 — 8 2 _0 1 A-6_ 0 0 A-5_所以当九=5时，方程组有非零解. 且一般解为E （其中兀3是自由未知量）_ 1 1 1 r_ 1 1 1 r_1 1 1 1 「11 1 r 解：因为增广矩阵方二2 1 -4 A T-1 0 5 i T0 1 6 2 T0 1 6 2-1 0 5 1 2 1 -4 2 0 -1 -6 2-2 0 0 0 2兀1 +兀？十X3 = 18.当久取何值时，线性方程组2册+花-4心=久有解？并求一般解.—X| + 5兀3 = 1所以当久二0吋，线性方程组有无穷多解1 1 1 1 1 1 1 11 0 -5 -1 0 1 62 T 0 1 6 2 T 0 1 6 2 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 且一般解为；戈；2（滤自由未知量）注意：方程组如有未知参数2,最好先把2互换到最下行这类题也有如下的考法：当2为何值时，线性方程组=— H — -------- -5 5 - 5（其中禺，兀4是自由未知量）9. 0,5为何值时，方程组州一兀2_兀3 =1< %] + 兀2 一 2X 3 = 2 x } + 3X 2 + ax y - h有唯一解，无穷多解，无解？'1 -1 -1r'1 -1-11 '1 -1-1 1 _ 解方二1 1 -2 2 T0 2 -11 T0 2 -1 11 3 ab4 d + 1 b-\0 a + 3 b-3二-3且时，方稈组无解； 工-3, be R 时方程组有唯一解； =-3且b = 3时，方程组有无穷多解。
经济数学基础线性代数部分综合练习及答案
经济数学基础线性代数部分综合练习及答案一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行.A ．AB B ．AB TC ．A +BD ．BA T2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ）A . T T T )(B A AB =B .T T T )(A B AB =C .1T 11T )()(---=B A ABD .T 111T )()(---=B A AB3．以下结论或等式正确的是（ C ）．A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A =B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B =C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠4．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ C ）.A .B B .1+BC .I B +D .()I AB --15．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ D ）． A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（C ）． A ．4 B ．3C ．2D ．17．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（A ）．A ．1B ．2C ．3D ．48．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ A ）． A . 无解 B . 只有0解 C . 有唯一解 D . 有无穷多解9．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（ B ）时线性方程组无解．A ．0B ．12C ．1D ．2 10. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．A ．m A r A r <=)()(B ．n A r <)(C ．n m <D ．n A r A r <=)()(11．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（B ）．A ．有唯一解B ．无解C ．有非零解D ．有无穷多解12．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（C ）．A ．无解B ．有非零解C ．只有零解D ．解不能确定二、填空题1．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T )(A I - 3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a A 是对称矩阵. 5．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X =． 应该填写：A B I 1)(--6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )=．应该填写：n7．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b ．应该填写：无解8．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则λ9．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于10.O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则)(A r11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一其中43,x x 是自由未知量)12．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010*********t A ，则有唯一解.三、计算题1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 解 因为(AI ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ．解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 3．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以(BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 4．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3.又因为r (A )≠r (A )，所以方程组无解.6．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．解 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解．解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000194101101 所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量） 8．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.解 因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x x x （其中3x 是自由未知量） 9．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ有解？并求一般解.解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕。
经济数学《线性代数》习题参考答案[终稿]
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经管类《微积分（下）与线性代数》习题参考答案第六章 多元函数微积分学习题一 一、1、y x 32-；2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥；3、1，2；4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，22812x y -，xy 16-．二、1．D ； 2．D ；3．A ；4．B三、1．（1）y x x z ln 1+=∂∂，)ln (1y x y y z +=∂∂；（2）xy e y x y x y x x z 22232)(2++-=∂∂， xye y x y xy x y z 22223)(2+-+=∂∂2.12222222222222222223.z xy z xyx x y y x y z y x x y x y ∂∂==-∂+∂+∂-=∂∂+（）（）（）4．（1）dy xy x xy dx xy y y x dz )]cos(2[)]cos(2[2++++=（2）)(1zdz ydy xdx udu ++=（3）xdzyx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-5．dydx 3231+习题二一、1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；2、211f y f '+'，22f y x '-；3、dy f f dx f f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-''-12121； 4、y x yx -+；5、x y z z z -ln ln ，yyz xy z ln 2-二、 1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、C ； 5、A三、1、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂)ln(112222222y x x y x x y x z ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∂∂)ln(222222y x y x y x y y z2、321f yz f y f x u '+'+'=∂∂，32f xz f x yu'+'=∂∂，3f xy z u '=∂∂4、dy dx dz --=5、（1）极小值：2)1,1(=f ；（2）0>a 时，有极大值：273,33a a a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛；0<a 时，有极小值：273,33aa a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛6、极大值：1)1,1(=f7、（1）25.1,75.0==y x ； （2）5.1,0==y x习题三一、1.()2ab a b +； 2．⎰⎰x x dy y x f dx 2),(10； 3．)1(214--e ； 4．⎰⎰θππθsec 2034)(rdr r f d ；5．π3二、1、D ；2、B ；3、D ；4、C三、1、556； 2、121+e ； 3、21532； 4、49； 5、2643π； 6、31； 7、π3第八章 无穷级数 习题一 一、判断题1、√；2、×；3、√；4、×；5、√；6、×二、填空题1、0；2、1>p 且p 为常数；3、1>p ，10≤<p ，0≤p ；4、 ,2,1,1=≥+n u u n n 且0lim =∞→n n u三、选择题 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（C ）； 4、（A ）； 5、（C ）四、1、收敛； 2、发散；、收敛； 、收敛；、收敛； 、收敛五、1、发散； 2、条件收敛 3、绝对收敛； 4、条件收敛六、当10≤<a 时，发散；当1>a 时，收敛． 习题二 一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、√ 二、填空题1、0=R ；2、),(,+∞-∞+∞=R ；3、)1,1(-，)1ln(x --；4、22,2)1(1)1(2ln 011≤<-⋅+-+∑∞=++x x n n n n n；5、60,)3(31)1(01<<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=+x x n nn n三、选择题1、（D ）；2、（B ）；3、（B ）；4、（A ）；5、（B ）；6、（C ）四、1、)3,3[-；2、)3,1[；3、]1,1[-五、1、)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x s ；2、)1,1(,)]1ln()1[ln(21)(-∈--+=x x x x s ；3ln 21六、)1,1(,)1(2131)(01-∈⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑∞=+x x x f nn n n第九章 微分方程初步习题一 一、判断题1、×；2、√；3、√；4、×；5、×二、填空题1、2)(ln 21)(x x f =； 2、x cxe y -=； 3、x y 2=； 4、x x x y 91ln 31-=；5、Ct x +=)(ln ϕ三、1、C y x =⋅tan tan ； 2、C e e y x =-⋅+)1()1(四、22sec )1(=⋅+y e x五、1、)ln(2122Cx xy =⋅； 2、15325=-y x y六、1、)(sin C x ey x+=-； 2、)cos 1(1x y --=ππ； 3、322Cy y x +=七、xx e e x f 2323)(-=八、)1,1[,)1ln()(1-∈--=∑∞=x x e x f x n n习题二一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（A ）； 6、（C ）二、1、x x e C e C y 221-+=；2、x C x C y sin cos 21+=；3、xx e e y -+-=4三、x e x x L 273)(-+-=四、（1）20005.0-=W dt dW；（2）t e W 05.010004000+=五、)sin (cos 21)(x e x x x ++=ϕ六、1)(21)(++=-x x e e x s七、uu f ln )(=八、)14()(242+=t e t f t ππ《线性代数》习题参考答案习题一一、填空题1． 8k ； 2．8； 3．12 ； 4．)1)(1(++cd ab ．二、计算题1． 55b a +； 2．1211)1(-+-n n a a na 3．1)]()1([---+n a x a n x ；4．1)2]()2([---+n a x a n x ； 5．6习题二一、填空题1．21； 2．E ； 3．)(21E A -，)3(41E A --； 4．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0011A B ；5．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----8500320000520021； 6．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 11121； 7．4．二、选择题1．③；2．③；3．②；4．③；5．②；6．①；7．③；8．②．三、计算题1．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201030102； 2．-16； 3．3)(=A R ； 4．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011101110；5．（1）1=k ；（2）2-=k ；（3）1≠k 且2-≠k ．习题三一．填空题1．)()(.b A R A R =； 2．0=A ； 3．1.≠λ且2-≠λ； 4．0.4321=+++a a a a ．二、选择题 1．④； 2．①； 3．④；4．④三、1-=k 时，有非零解；c c x x x ,111321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛不为零的任意实数．四、（1）2,1-≠λ ； （2）2-=λ； （3）1=λ．五、当1≠a 且0≠b 时，有唯一解；当1=a 且2/1≠b 或0=b 时，无解；当1=a 且21=b 时，有无穷多解，其解为：⎪⎩⎪⎨⎧==-=c x x cx 32122 （c 为任意常数）习题四一、填空题1．5=t ； 2．至少有一个向量； 3321,,.ααα ；42.≤r ；5ts r -=.二、选择题1．④； 2．③； 3．③； 4．③； 5．②三、321,,ααα为极大无关组，323214,3ααααααα+-=-+=四、（1）3-=λ；（2）0≠λ且3-≠λ；（3）0=λ，3221121)(αααβc c c c +++-=五、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543c x ；（c 为任意常数）六、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛608301214321c x x x x （c 为任意常数）习题五一、填空题1．1或-1 ；2．E ；3．18 ；4．121==λλ，213-=λ；5．125 ； 6．4=λ二、选择题1．②； 2．③； 3．④； 4．②； 5．②三、6||=A四、0,3,1=-=-=b a λ五、2,0-==y x ；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111012100P六、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=412212111A七、当3=x 时，A 可对角化．。
线性代数(经管类)综合习题集(精心整理)
线性代数(经管类)综合习题集(精心整理)线性代数（经管类）综合试题一一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设D=M≠0，则D^-1=(B)．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C，则A应为(|A|≠)．A.A≠OB.A=OCC.|A|=0D.|A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则(A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)^-1=B^-1A^-14.二阶矩阵A=[a b。
c d]，|A|=1，则A^-1=(B)．A.[-d b。
c -a]B.[d -b。
-c a]C.[-d -b。
-c -a]D.[d b。
c a]5.已知向量组{α1.α2.α3}与{β1.β2.β3}等价，则下列说法正确的是(B)．A.若两向量组等价，则s = t.B.若两向量组等价，则r(α1.α2) = r(β1.β2).C.若s = t，则两向量组等价.D.若r(α1.α2) =r(β1.β2)，则两向量组等价.6.向量组{α1.α2.α3}中，若有向量能由其余向量线性表示，则该向量组(B)．A.线性无关B.线性相关C.无法确定D.以上都不对7.设向量组{α1.α2.α3}与{β1.β2.β3}都是n维向量组，且r(α1.α2) = r(β1.β2)，则下列成立的是(C)．A.r与s未必相等B.r+s=mC.r=sD.r+s<n8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=0，下列命题正确的是(D)．A.Ax = 0有解时，Ax = b必有解.B.Ax = 0有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C.Ax = b无解时，Ax = 0也无解.D.Ax = b有惟一解时，Ax = 0只有零解.9.设方程组Ax=b有非零解，则k=(D)．A.2B.3C.-1D.110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D)．A.|A|>0B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设向量组{α1.α2.α3}线性无关，向量β可由α1，α2，α3线性表示，则β的表示式中，α1，α2，α3的系数不能全为__________。
2022年经济数学基础综合练习及参考答案
第一部分 微分学一、单选题 1．函数()1lg +=x xy 旳定义域是（ D ）． A ．1->x B ．0≠x C ．0>x D ．1->x 且0≠x 2．下列各函数对中，（ D ）中旳两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．11)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1C ．2ln x y =，x x g ln 2)(=D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g3．设xx f 1)(=，则=))((x f f （ C ）． A ．x 1 B ．21xC ．xD ．2x4．下列函数中为奇函数旳是（ C ）． A ．x x y -=2B ． xxy -+=e e C ．11ln+-=x x y D ．x x y sin = 5．已知1tan )(-=xxx f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. A. x →0 B. 1→x C. -∞→x D. +∞→x6．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量旳是（ D ）A ．12+x xB ．)1ln(x +C ．21e x - D ．xx sin7．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处持续，则k = (C )．A ．-2B ．-1C ．1D ．2 8．曲线11+=x y 在点（0, 1）处旳切线斜率为（ A ）． A ．21-B ．21C ．3)1(21+xD ．3)1(21+-x9．曲线x y sin =在点(0, 0)处旳切线方程为（ A ）． A. y = x B. y = 2x C. y =21x D. y = -x 10．设y x =l g 2，则d y =（ B ）．A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增长旳是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 – x12．设需求量q 对价格p 旳函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ B ）．A ．p p32- B ．--pp32 C ．32-ppD ．--32pp二、填空题 1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 旳定义域是 [-5，2] ．2．函数xx x f --+=21)5ln()(旳定义域是 (-5, 2 ) ．3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f62-x．4．设21010)(x x x f -+=，则函数旳图形有关 y 轴 对称．5．已知生产某种产品旳成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品旳平均成本为3.6． 6．已知某商品旳需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品旳价格，则该商品旳收入函数R (q ) =45q – 0.25q 2 ．7. =+∞→xxx x sin lim1 .8．已知xxx f sin 1)(-=，当 0→x 时，)(x f 为无穷小量．9. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内持续，则=a 2 .10．曲线y =)1,1(处旳切线斜率是(1)0.5y '=．11．函数y x =-312()旳驻点是 x =1 .12．需求量q 对价格p 旳函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p = 2p -．三、计算题 1．已知y xxxcos 2-=，求)(x y ' ．解： 2cos sin cos ()(2)2ln 2x x x x x x y x x x --''=-=- 2sin cos 2ln 2xx x x x +=+2．已知()2sin ln xf x x x =+，求)(x f ' ． 解 xx x x f xx 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅=' 3．已知2sin 2cos x y x-=，求)(x y ' ．解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y xx2cos 22ln 2sin 2x x x x --=4．已知x x y 53eln -+=，求)(x y '解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--=5．已知xy cos 25=，求)2π(y '；解：由于 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x xx x y -='='='因此 5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y6．设x x y x+=2cos e，求y d 解：由于212cos 23)2sin (e 2x x y x+-=' 因此x x x y x d ]23)2sin (e 2[d 212cos +-=7．设x y x5sin cos e+=，求y d ．解：由于 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y xx x x x sin cos 5cos e 4sin -=因此 x x x x y xd )sin cos 5cose (d 4sin -=8．设xx y -+=2tan 3，求y d ．解：由于 )(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x2ln 2cos 3322x x x --= 因此 x xx y xd )2ln 2cos 3(d 322--= 四、应用题1． 设生产某种产品x 个单位时旳成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）, 解（1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++= 625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C因此，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令 025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去） 由于20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题旳确存在最小值，因此当=x 20时，平均成本最小. 求：（1）当10=x 时旳总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？ 2．某厂生产一批产品，其固定成本为元，每生产一吨产品旳成本为60元，对这种产品旳市场需求规律为q p=-100010（q 为需求量，p 为价格）． 试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？ 解（1）成本函数C q ()= 60q +．由于 q p=-100010，即p q =-100110， 因此 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -．（2）由于利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +) = 40q -1102q -且'L q ()=(40q -1102q -')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内旳唯一驻点． 因此，q = 200是利润函数L q ()旳最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3．某厂生产某种产品q 件时旳总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件）.试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？ 解（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .由于利润函数存在着最大值，因此当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为 1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 4．某厂每天生产某种产品q 件旳成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解 由于 ()9800()0.536C q C q q q q==++ (0)q > 298009800()(0.536)0.5C q q q q ''=++=- 令()0C q '=，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内旳唯一驻点，且该问题旳确存在最小值.因此q 1=140是平均成本函数C q ()旳最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时旳平均成本为9800(140)0.514036176140C =⨯++= （元/件） 5．已知某厂生产q 件产品旳成本为C q q q()=++25020102（万元）．问：要使平均成本至少，应生产多少件产品？解 由于 C q ()=C q q ()=2502010q q++ 'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q 令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得150q =，q 2=-50（舍去）， q 1=50是C q ()在其定义域内旳唯一驻点．因此，q 1=50是C q ()旳最小值点，即要使平均成本至少，应生产50件产品第二部分 积分学一、单选题1．在切线斜率为2x 旳积分曲线族中，通过点（1, 4）旳曲线为（ A ）． A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 2．下列等式不成立旳是（ A ）．A ．)d(e d e xxx = B ．)d(cos d sin x x x =-C ．x x xd d 21= D ．)1d(d ln x x x =3．若c x x f x+-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ D ）.A . 2ex-- B . 2e 21x- C . 2e 41x- D . 2e 41x--4．下列不定积分中，常用分部积分法计算旳是（ C ）．A ．⎰+x x c 1)d os(2B ．⎰-x x x d 12C ．⎰x x x d 2sin D ．⎰+x x xd 125. 若c x x f xx+-=⎰11e d e)(，则f (x ) =（ C ）． A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x6. 若)(x F 是)(x f 旳一种原函数，则下列等式成立旳是( B )．A ．)(d )(x F x x f xa =⎰ B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰7．下列定积分中积分值为0旳是（ A ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x xx d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππ D ．x x x d )sin (2⎰-+ππ 8．下列定积分计算对旳旳是（ D ）． A ．2d 211=⎰-x x B ．15d 161=⎰-x C ．0d sin 22=⎰-x x ππ D ．0d sin =⎰-x x ππ9．下列无穷积分中收敛旳是（ C ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+13d 1x x10．无穷限积分 ⎰∞+13d 1x x =（ C ）． A ．0 B ．21- C ．21 D. ∞二、填空题 1．=⎰-x x d ed 2x x d e 2- ．2．函数x x f 2sin )(=旳原函数是 -21cos2x + c (c 是任意常数) ． 3．若)(x f '存在且持续，则='⎰])(d [x f )(x f ' ． 4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x . 5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰= c F x +--)e ( .6．=+⎰e 12dx )1ln(d d x x 0 . 7．积分=+⎰-1122d )1(x x x0 ．8．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是收敛旳 ．（鉴别其敛散性）9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为：2 + q 23三、计算题1．⎰+-x x x d 242解 ⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+ 2．计算⎰x x x d 1sin2解 c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰xx x d 2 解c x xx xx x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin 解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin5．计算⎰+x x x d 1)ln (解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(2122 6．计算x x x d e 2121⎰解 x xxd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x xx7．2e 1x ⎰解x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-8．x x x d 2cos 2π0⎰解：x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+解x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+--- =1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1 四、应用题1．投产某产品旳固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本旳增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本旳增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元）又xc x x C x C x⎰+'=d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一旳驻点，而该问题旳确存在使平均成本达到最小旳值. 因此产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．已知某产品旳边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量旳基本上再生产50件，利润将会发生什么变化？解 由于边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题旳确存在最大值. 因此，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增长至550件时，利润变化量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3．生产某产品旳边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时旳产量再生产2百台，利润有什么变化？解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )旳唯一驻点，该问题旳确存在最大值，故x = 10是L (x )旳最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时旳产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．已知某产品旳边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：由于总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为qq q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3 (百台) 该题旳确存在使平均成本最低旳产量. 因此当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 5．设生产某产品旳总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时旳边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时旳产量；(2) 在利润最大时旳产量旳基本上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 由于边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )旳极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增长至8百吨时，利润变化量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.第三部分 线性代数一、单选题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立旳是（ B ）A . TT T )(BA AB = B . TT T )(AB AB =C . 1T 11T )()(---=B A AB D .T 111T )()(---=B A AB3．如下结论或等式对旳旳是（ C ）．A ．若B A ,均为零矩阵，则有B A = B ．若AC AB =，且O A ≠，则C B = C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠ 4．设A 是可逆矩阵，且A A B I +=，则A -=1（ C ）. A . B B . 1+B C . I B+ D . ()I A B --15．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ D ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ C ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．设线性方程组b AX =旳增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组旳一般解中自由未知量旳个数为（ A ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 8．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解旳状况是（ A ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 9．若线性方程组旳增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（ B ）时线性方程组无解． A ．0 B ．12C ．1D ．2 10. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解旳充足必要条件是（ D ）．A ．m A r A r <=)()(B ．n A r <)(C ．n m <D ．n A r A r <=)()( 11．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ B ）．A ．有唯一解B ．无解C ．有非零解D ．有无穷多解 12．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应旳齐次方程组O AX =（ C ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能拟定 二、填空题1．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---264132 ．2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T)(A I -＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240 ． 3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立旳充足必要条件是B A ,是可互换矩阵4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵. 5．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+旳解X = A B I 1)(-- ． 6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= n ． 7．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b无解．8．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ-1 ．9．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中旳自由未知量旳个数等于n – r 10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则≤)(A r 3 ．11．齐次线性方程组0=AX 旳系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组旳一般解为 ⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量) . 12．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则1-≠时，方程组有唯一解.三、计算题1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ．解 由于(AI )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210102110012100002321-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦100211010421002321-⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 因此 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211231241122．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ．解由于 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 因此 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I3．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 解 由于BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435(BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 因此 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2522314．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =． 解：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211因此，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵旳秩，并判断其解旳状况.解 由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201因此 r (A ) = 2，r (A ) = 3. 又由于r (A ) ≠ r (A )，因此方程组无解6．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 旳一般解．解 由于系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 因此一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 旳一般解．解 由于增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000141019101因此一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）8．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.解 由于系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ因此当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x x x （其中3x 是自由未知量） 9．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.解 由于增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 因此当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕。
经济类专业学位联考综合能力数学基础线性代数模拟试卷8_真题(含答案与解析)-交互
经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷8(总分54, 做题时间90分钟)计算题1.设多项式f(x)= ，则f(x)的4阶导数f (4) (x)=( )．SSS_SINGLE_SELA 72B 18C －18D －72该问题分值: 2答案:A解析：根据行列式的各项由不同行不同列的元素组成的规则及行列式中含有变量x的各元素的位置，可知该行列式为四次多项式，因此，求解的关键是找出含x 4的项，显然，该项在行列式副对角线的元素乘积中产生，即为3x 4，从而得到f (4) (x)=72，故选A．2.设函数f(x)=，则方程f'(x)=0( )．SSS_SINGLE_SELA 有一个大于1的根B 有小于1的正根C 有一个负根D 无实根该问题分值: 2答案:B解析：根据行列式的一般项由不同行不同列元素组成的规则，函数f(x)为二次多项式，存在唯一驻点．又f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且由罗尔定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=0，即方程f'(x)=0有小于1的正根．故选B．3.设A，B均为n阶矩阵，且A可逆，下列结论正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 若A=2B，则|A|=2|B|B|B|=|A －1 BA|C |A－B|=|B－A|D |AB|=－|BA|该问题分值: 2答案:B解析：选项B，由矩阵和行列式的关系，|A －1 BA|=|A －1 ||B||A|=|B|，其中|A －1 ||A|=1，故选B．选项A，由|A|=|2B|=2 n |B|，知|A|≠2|B|．选项C，由|A－B|=|－(B－A)|=(－1) n |B－A|，知|A－B|≠|B－A|．选项D，由|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，知|AB|≠－|BA|．4.设A为m×n矩阵，E为m阶单位矩阵，则下列结论不正确的是( )．SSS_SINGLE_SELAA T A是对称矩阵BAA T是对称矩阵CA T A+AA T是对称矩阵DE+AA T是对称矩阵该问题分值: 2答案:C解析：选项C，由题设，A T A是n阶方阵，AA T是m阶方阵，两者加法运算不成立，故选C．选项A，由(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，知A T A是对称矩阵．选项B，由(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T，知AA T是对称矩阵．选项D，两个m阶对称矩阵AA T和E构成的矩阵仍是对称矩阵．5.设A为可逆矩阵，则[(A －1 ) T ] －1 =( )．SSS_SINGLE_SELA ABA －1CA TD(A －1 ) T该问题分值: 2答案:C解析：由(A －1 ) T (A T )=(AA －1 ) T =E，知[(A －1 ) T ] －1 =A T．故选C．6.设A为3阶非零方阵，Aij 为aij的代数余子式，且aij=Aij(i，j=1，2，3)，则( )．SSS_SINGLE_SELA |A|=0B |A|=1C |A|＜0D A=E该问题分值: 2答案:B解析：选项B，由A≠O，知至少有一个元素非零，不妨设a11≠0，于是有|A|=a11 A11+a12A12+a13A13=a112 +a122 +a132＞0，又由A=(aij )=(Aij)=(A * ) T，A T =A *，即有|A－=|A * |=|A| 2，从而得|A|=1．因此，选项A和C均不正确，故选B．选项D，见反例：取A= ，同样满足条件aij =Aij(i，j=1，2，3)，但A≠E．7.设α1 = ，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组一定线性相关的为( )．SSS_SINGLE_SEL Aα1，α2，α3Bα1，α2，α4Cα1，α3，α4Dα2，α3，α4该问题分值: 2答案:C解析：本题主要考查数值向量组的线性相关性．在维数与向量组向量个数相同时，应采用行列式的值是否为零判别最简便，由|α1，α3，α4|=0．知α1，α3，α4线性相关．另外，由观察可知(c3+c4)α1=c1(α3+α4)，从而知α1，α3，α4线性相关，故选C．8.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．SSS_SINGLE_SELAα1－α2，α2－α3，α3－α1Bα1+α2，α2+α3，α3+α1Cα1－α3，α3－α2，α2+α1Dα1，α2－α3，α2+α3答案:A解析：选项A，两向量组的关系可表示为(α1－α2，α2－α3，α3－α1 ) 其中转换矩阵为A1且由|A1|=0，知该向量组线性相关．故选A．选项B，由(α1+α2，α2+α3，α3+α1) 其中转换矩阵为A2且由|A2|=2≠0，知该向量组线性无关．选项C，由(α1－α3，α3－α2，α2+α1) 其中转换矩阵为A3且由|A3|=－2≠0，知该向量组线性无关．选项D，由(α1，α2－α3，α2+α3 ) 其中转换矩阵为A4且由|A4|=2≠0，知该向量组线性无关．讨论由线性无关向量组α1，α2，…，αs的线性组合生成的向量组β1，β2，…，βs的线性相关性，应该引入转换矩阵A，化为(β1，β2，…，βs)=(α1，α2，…，αs)A．于是，β1，β2，…，βs线性相关(线性无关)的充分必要条件是|A|=0(|A|≠0)．找对转换矩阵A就找到了解决问题的关键．9.设A为m×n矩阵，若方程组Ax=b有唯一解，则A的( )．SSS_SINGLE_SELA 行向量组线性无关B 行向量组线性相关C 列向量组线性无关D 列向量组线性相关该问题分值: 2答案:C解析：非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，其充分必要条件是r(A)=r(Ab)=n，从而知A的列向量组线性无关．故选C．10.设A为3阶矩阵，A *为A的伴随矩阵，β1，β2，β3；e1，e2，e3分别是矩阵A *和E的列向量，若|A|=1，则下列结论不正确的是( )．SSS_SINGLE_SELAβ1是方程组Ax=e1的解Bβ2是方程组Ax=e2的解Cβ3是方程组Ax=e3的解D方程组Ax=ei(i=1，2，3)未必有解答案:D解析：选项D，依题设，|A|=1≠0，则方程组Ax=ei(i=1，2，3)必定有解，且有唯一解，故结论不正确．选之．由于A可逆，因此，A *也可逆，且AA *=|A|E=E，即有A(β1，β2，β3)=(e1，e2，e3)，Aβi=ei(i=1，2，3)，所以选项A，B，C均正确．11.设Ax=b为三元非齐次线性方程组，r(A)=2，且ξ1，ξ2是方程组的两个不同的特解，C，C1，C2为任意常数，则该方程组的全部解为( )．SSS_SINGLE_SEL AC(ξ1－ξ2)+BC(ξ1+ξ2)+CC(ξ1－ξ2)+ξ1+ξ2DC1ξ1+C2ξ2该问题分值: 2答案:A解析：选项A，依题设，该方程组导出组Ax=0的基础解系由一个无关解构成，具体可用原方程组的两个不等解的差ξ1－ξ2表示，又1／2A(ξ1+ξ2 )=1／2(b+b)=b，知是原方程组的一个特解，从而确定C(ξ1－ξ2)+是Ax=b的通解．故选A选项B，由于ξ1+ξ2并非方程组导出组Ax=0的解，也非方程组Ax=b的解，因此，C(ξ1+ξ2)+ 不符合方程组Ax=b解的结构形式．选项C，虽然ξ1－ξ2为方程组导出组Ax=0的基础解系，但ξ1+ξ2非方程组Ax=b的解，因此，C(ξ1－ξ2)+ξ1+ξ2不符合方程组Ax=b解的结构形式．选项D，由于A(C1ξ1+C2ξ2)=C1Aξ1 +C2Aξ2=(C1+C2)b不一定等于b，因此，C1ξ1+C2ξ2不一定是方程组Ax=b的解．12.设方程组(Ⅰ) (Ⅱ)－x1 +x2－x3=0，则( )．SSS_SINGLE_SELA 当a=2时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组B 当a=1时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组C 当a=0时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组D 无论a取何值，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)均不是同解方程组答案:D解析：两个方程组为同解方程组的必要条件是系数矩阵的秩相等，无论a取何值，方程组(Ⅰ)中的两个方程的系数均不成比例，因此，其系数矩阵的秩为2，而方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩为1，所以，这两个方程组不可能为同解方程组．故选D．13.计算行列式其中a0 a1…an≠0．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：由于a0 a1…an≠0，于是将第j(j=2，3，…，n+1)列的－1／aj－1倍加至第1列，即得=(a－)a1a2…an．设A，P为4阶方阵，且P可逆．SSS_TEXT_QUSTI14.证明|E－A|=|E－P －1 AP|；该问题分值: 2答案:正确答案：由P －1 (E－A)P=P －1 EP－P －1 AP=E－P －1 AP，两边取行列式，有 |P －1 (E－A)P|=|P －1 ||E－A||P|=|E－A|=|E－P －1 AP|，证得|E－A|=|E －P －1 AP|．SSS_TEXT_QUSTI15.若P －1 AP=kE，计算|E－A 2 |．该问题分值: 2答案:正确答案：若P －1 AP=kE，则(P －1 AP) 2 =P －1 A 2 P=k 2 E，于是，由(1)，得 |E－A 2 |=|E－P －1 A 2 P|=|E－k 2 E|=|(1－k 2 )E|=(1－k 2 ) 4．16.求与A=可交换的一切矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2正确答案：若A，B可交换，则有AB=BA，而从而有 x11 +x21=x11，x12+x22=x11+x12，x13+x23=x12+x13， x21+x31=x21，x22+x32 =x21+x22，x23+x33=x22+x23， x31=x31，x32=x31+x32，x33=x32 +x33，解得x21=0，x31=0，x32=0，x11=x22=x33，x12=x23，令x11 =x22=x33=a，x12=x23=b，x13=c，其中a，b，c为任意常数．则所求矩阵为17.设A，B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，已知AB=2A+2B，B=，求A－E．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：已知AB=2A+2B，整理得 (A－E)(B－2E)=2E+B，其中B－2E= ，由|B－2E|=1≠0，知B－2E可逆．解法1先求逆矩阵，再求解A－E．得 (B－2E) －1因此，解得 A－E=(2E+B)(B－2E) －1解法2直接利用初等列变换，由18.设A，B为3阶方阵，且满足方程A －1 BA=6A+BA，A= ，求B．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：方程两边同时左乘矩阵A和右乘矩阵A －1，整理为(E－A)B=6A，由于可知E－A可逆，故有 B=6(E－A) －1 A19.设A=，矩阵C满足．AC=B，求C．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：由题设，C为3×2的矩阵，设C由AC=B，有其中a，b为任意常数．设向量组α1 =(1，0，2，3) T，α2=(2，－1，0，1) T，α3=(－1，2，a，5) T，α4 =(3，－1，7，a+5) T．问a取何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关；a取何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：设一组数k1，k2，k3，k4，使得 k1α1+k2α2+k3α3 +k4α4=0．有方程组其系数行列式=－(a－1)(a－4)，可知当a=1或a=4时，方程组有非零解，即向量组α1，α2，α3，α4线性相关；当a≠1且a≠4时，方程组仅有零解，即向量组α1，α2，α3，α4线性无关．21.已知向量组α1，α2，α3和向量组β1，β2，β3，且若α1，α2，α3线性无关，试求向量组β1，β2，β3的秩．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：由(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3) ，其转换矩阵为A= ，由于α1，α2，α3线性无关，则有r(β1，β2，β3)=r(A)．于是，由=(m+4)(m－2) 2，知当m≠－4且m≠2时，|A|≠0，即r(A)=3；当m=－4时，有知r(A)=2；当m=2时．有知r(A)=1．所以r(β1，β2，β3)解析：当一个向量组β1，β2，β3被一个线性无关向量组α1，α2，α3线性表示时，在找到两向量组转换关系(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)A的前提下，有结论：r(β1，β2，β3)=r(A)．22.设向量β可以被向量组α1，α2，…，αm线性表示但不可以被向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αm－1线性表示，若记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm－1，β．试讨论αm能否被向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)线性表示?SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2正确答案：依题设，β可以被向量组α1，α2，…，αm表示，即存在一组数k1，k2，…，km，使得β=k1α1+k2α2+…+km－1αm－1+kmαm ，(*) 其中km≠0，否则β可以被向量组(Ⅰ)表示，与题设矛盾．因此有αm =－1／km(k1α1+k2α2+…+km－1αm－1－β)，即αm能被向量组(Ⅱ)线性表示．由(*)可以判断αm不能被向量组(Ⅰ)表示，否则，若αm 可被向量组(Ⅰ)表示，则必存在一组数l1，l2，…，lm－1，使得αm =l1α1+l2α2+…+lm－1αm－1，将其代入等式(*)，由此β可表为(Ⅰ)的线性组合，与题设矛盾．综上讨论，αm能被向量组(Ⅱ)表示，但不能被向量组(Ⅰ)表示．23.设A为4阶方阵，且各行元素之和均为零，若r(A)=3，试求齐次线性方程组Ax=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：依题设，r(A)=3，知齐次线性方程组Ax=0有非零解，且基础解系由4－r(A)=1个解向量构成．又A的各行元素之和为零，即等价于因此，ξ=(1，1，1，1) T是方程组Ax=0的一个非零解向量，并构成一个基础解系．于是方程组Ax=0的通解为x=Cξ，C为任意常数．24.已知非齐次线性方程组有解，试确定常数k的值，并求解方程组．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：方程组增广矩阵为已知方程组有解，即有r( )=r(A)≤2，因此，=(－3－1)(－3－k)(k－1)=0，得k=1或k=－3，于是，当k=1时，由知原方程组无解．当k=－3时，由知原方程组有唯一解．其解为x1 =0，x2=1．已知方程组有3个线性无关解向量．SSS_TEXT_QUSTI25.证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；该问题分值: 2正确答案：由题设，方程组有3个线性无关解，则有4－r(A)+1≥3，即r(A)≤2，又由≠0，即系数矩阵中至少有一个2阶子式非零，则r(A)≥2．综上，r(A)=2．SSS_TEXT_QUSTI26.求a的值及方程组的通解．该问题分值: 2答案:正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有由于r(A)=2，有a=2．此时解得方程组的通解为 C1，C2为任意常数．27.设线性方程组求方程组的全部解，并用对应齐次线性方程组的基础解系表示全部解．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 2答案:正确答案：初等变换法求解．即有于是，当λ≠1／2时，=3＜4，知方程组有无穷多解，且基础解系有一个无关解，记为ξ=(－1，1／2，－1／2，1) T，通解为x=Cξ+(1，－1，1，－1) T，C为任意常数．当λ=1／2时，=2＜4，知方程组有无穷多解，且基础解系有两个无关解，记为ξ1=(－1／2，－1，0，1) T，ξ2 =(1，－3，1，0) T，通解为 x=C1ξ1+C2ξ2 +(1，－1，1，－1) T，C1，C2为任意常数．1。
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《经济数学基础》综合练习（线性代数）
一、单项选择题
1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . T
T T )(A B AB = C . 1T 11
T
)()
(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB
3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T
T
T
)(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111)
(---=A B AB
4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A
=-1
5．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --1
6．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T
＝（ ）．
A ．⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.
A ．A
B = A
C ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BA
D ．AB = 0，则有A = 0，或B = 0
8．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1
（ ）．
A .kA -1
B .
11k
A n
- C . --kA 1
D . 11k A - 9．设⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
10．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--0000
01200041
31
062131，
则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 11．线性方程组⎩⎨
⎧=+=+0
1
2121x x x x 解的情况是（ ）．
A . 无解
B . 只有0解
C . 有唯一解
D . 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（
）时线性方程组无
解．
A ．
1
2
B ．0
C ．1
D ．2 13． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.
A . 有唯一解
B . 可能无解
C . 有无穷多解
D . 无解
14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解
15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定
二、填空题
1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .
2．计算矩阵乘积[]⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321= ．
3．若矩阵A = []21-，B = []132
-，则A T B=
．
4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 ．
5．设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=a A 131可逆. 7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X
．
8．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．
9．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．
10．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b
．
11．若线性方程组⎩⎨
⎧=+=-00
2
121x x x x λ有非零解，则=λ
．
12．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．
13．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .
14．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401
021d A
则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.
15．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .
三、计算题
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -．
2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．
3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1
-A ．
4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 6．设矩阵 A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 7．解矩阵方程⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．
8．解矩阵方程⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 9．设线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=+b
ax x x x x x x x 321
32131
2022
讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.
10．设线性方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+--=+0
522312321
32131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解
的情况.
11．求下列线性方程组的一般解：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-+-=-+0
352023024321
4321431
x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=-+-=+-12
61423
23
252321321321x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+-=+-0
830352023321
321321x x x x x x x x x λ
问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.
14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=-+=++1542131
321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.
15．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013
611λ A
问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.
四、证明题
1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．
2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3
A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 3．已知矩阵 )(2
1
I B A +=
，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.
5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．。