浅谈分离常数法的步骤(20200521122958)
分离常数法三个公式
分离常数法是一种求解常微分方程的方法，常用于线性常微分方程组的解析解。
以下是分离常数法常用的三个公式：
变量分离公式：适用于可分离变量的一阶常微分方程，形式为dy/dx = f(x)g(y)。
可以将方程分离为f(y)dy = g(x)dx，然后进行积分求解。
积分因子公式：适用于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过求解积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx) ，将方程乘以积分因子，然后进行积分求解。
初值条件公式：对于一阶常微分方程的初值问题，形如dy/dx = f(x, y) ，y(x0) = y0。
可以将x0 和y0 代入方程中，得到f(x0, y0) = dy/dx 在初始条件下的值。
这个条件可以用来确定常数C，从而得到特定的解析解。
这些公式是分离常数法的基本工具，可以帮助我们将常微分方程转化为可进行积分的形式，从而求解方程的解析解。
但需要注意的是，不是所有的常微分方程都可以使用分离常数法求解，而且有时候可能需要额外的技巧和方法来解决更复杂的问题。
常数分离法
常数分离法常数分离法概念:分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
还有一种常见的应用方式是在分式型函数中，当分式的分子和分母次数相同时，常可分离出一个常数来，也称之分离常数法。
【题目】：什么是分离常数法。
【答案解析】：分离常数法适用于分式型函数,且分子、分母是同次,这时通过多项式的除法,分离出常数,使问题简化。
在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端）,从而求出变量的取值范围.这种方法可称为分离常数法。
用这种方法可使解答问题简单化。
例如:Y=(ax+b)/(cx+d),(a≠0,c≠0,d≠0),其中a,b,c,d都是常数。
例:y=x/(2x+1).求函数值域。
分离常数法,就是把分子中含X的项分离掉,即分子不含X项。
Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1)=1/2-1/[2(2X+1)].即有,-1/[2(2X+1)]≠0,Y≠1/2.则,这个函数的值域是:{Y|Y≠1/2}。
分离常数法：为了方便记忆,我们从分子到分母,每一项前系数依次设为a,b,c ,d,公式推倒应该用Y=（ax+b）/（cx+d)（c≠0）而不是Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）.所以这一句话应该改成：为了方便记忆,我们从分子到分母,每一项前系数依次设为a,b,c ,d,将形如Y=（cx+d）/（ax+b)（a≠0）的函数,分离常数,变形过程为（ax+b)/（cx+d)=[a/c(cx+d)+b-da/c]/(cx+d)=a/c+(b-da/c)/(cx+d) 。
a/c+(b-da/c)/(cx+d)可以称作分式一般式分离常数公式。
适用情况举例：（1）分离常数法适用于解析式为分式形式的函数，如求的值域，则可分离常数为，进而求值域，[3] 当分式的分子和分母次数相同时，常可分离出一个常数来，称之分离常数法。
分离参数法解决恒成立问题的步骤
引言在数学建模和问题求解过程中，分离参数法是一种常用的方法，用于解决恒成立问题。
本文将以分离参数法解决恒成立问题的步骤为主题，深入探讨这一方法的应用和原理。
通过对这一主题的深度分析，希望读者能更全面地了解分离参数法在解决恒成立问题中的作用和意义。
一、分离参数法的基本概念分离参数法是一种通过引入新的参数，将原方程中的变量分离的方法。
在解决恒成立问题时，我们通常会遇到一些复杂的方程或不等式，通过分离参数法可以简化问题的求解过程。
这种方法的关键在于选择合适的参数，使得原方程中的变量可以被分离或者化简成更容易处理的形式。
二、分离参数法解决恒成立问题的步骤1. 确定需要分离的参数在使用分离参数法解决恒成立问题时，首先需要确定需要引入的参数。
这一步需要观察原方程的形式，找到能够将变量分离的合适参数。
通常情况下，选择参数需要考虑到简化方程和减少求解难度的原则。
2. 将参数引入原方程确定了需要分离的参数后，接下来就是将参数引入原方程。
这一步需要仔细分析原方程的结构，选择合适的方式引入参数，并进行变形操作，使得原方程中的变量能够被成功分离。
3. 分离变量并求解引入参数后，原方程中的变量应该被分离到各自的部分，使得方程的形式更简单或者更易于处理。
在分离变量的过程中，可能会需要运用一些基本的数学技巧或变换方法。
对分离后的方程进行求解，得到恒成立条件或者特定的解。
三、分离参数法解决恒成立问题的示例分析举例来说明分离参数法解决恒成立问题的具体步骤。
假设有一个非常简单的不等式问题：证明当x＞0时，恒有2x+1＞0成立。
这个问题可以通过分离参数法得到简单的解。
首先我们选择参数t，使得2x+1可以被分离为2(x-1/t)+1/t，接着我们引入t后，可以得到不等式 2(x-1/t)+1/t＞0。
由于x＞0，所以x-1/t＞0，因此不等式转化为1/t＞0。
当1/t＞0时，不等式2(x-1/t)+1/t＞0成立。
根据1/t＞0，我们知道t必须是正数，因此不等式2x+1＞0在x＞0时恒成立。
25.分离常数法和分离参数法
分离常数法与分离参数法一:分离常数法:是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p+++++====+++++等。
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1）用分离常数法求分式函数的值域例1：求函数31()2x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ⎡⎤⎣⎦-++-+===+---。
由1x ≤，得 21x -≤-。
所以1102x -≤<-。
故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性例2：已知函数f(x)=(),x a a b x b+≠+,判断函数f(x)的单调性。
解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。
3)用分离常数法求分式函数的最值例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101x x x +++的最小值。
解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()211711101x x x +-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()215141x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411x x +=+，即x=1时，等号成立。
所以当x=1时，f(x)取得最小值9.二：分离参数法分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。
通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。
这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用资料讲解
分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数2X有y axb ，y ax 2 bxc ，y max n，ymSinx n 等.解题的关键是通过cx d mx 2~nx ~pp a qp sinx q恒等变形从分式函数中分离出常数•1•用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数 f(x)3x 1 (x 1)的值域.x 2解 由已知有f(x)3[(x 2) 2] 13(x 2) 7 37x 2x 2x 2由x 1，得x 2 1 . •110.x 2•••函数f(x)的值域为{y R| 4 y 3}.2•用分离常数法判断分式函数的单调性例2已知函数f(x) 「(a b)，判断函数f(x)的单调性. x b 解由已知有y (x b) a b 1 口，x b .x bx b所以，当a b 0时，函数f (x)在(，b)和(b,)上是减函数；当a b 0时，函数f (x)在(,b)和(b,)上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值2x 7x 10的最小值.x 11，二 x 10.由已知有分离参数法1，求函数f(x) 2f(x)1)2 5(x 1) 41x 19 .当且仅当x 1 —，即x 1时，等号成立.x 17[(x 1) 1] 10 (x x 2j(x 1)丄 5X x 14 [(x 1)] 5x 1•••当x 1时, f (x)取得最小值9.分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决•分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1•用分离参数法解决函数有零点问题例4已知函数g(x) x2ax 4在［2,4］上有零点，求a的取值范围•解•••函数g(x) x2ax 4在［2,4］上有零点，.••方程x2 ax 4 0在［2,4］上有实根，即方程a x 4在［2,4］上有实根•x令f(x) x 4，则a的取值范围等于函数f(x)在［2,4］上的值域•x又f(X)1 $ (x 2)2x 2)0在x ［2,4］上恒成立，••• f(x)在［2,4］上是x x增函数•••• f (2) f (x) f ⑷，即4 f (x) 5. ••• 4 a 5.2•用分离参数法解决函数单调性问题2例5已知f(x)空竺仝在［1,)上是单调递增函数，求a的取值范围•2xf (x)又f(x)在［1,)上是单调递增函数，• f (x) 0・于是可得不等式a x2对于x 1恒成立• • a ( x2)max •由x 1，得x2「• a 1 •3・用分离参数法解决不等式恒成立问题例6已知不等式mx2 2x m 1 0对满足2 m 2的所有m都成立, 求x的取值范围•解原不等式可化为(x2 1)m 2x 1 0，此不等式对2 m 2恒成立•构造函数f(m) (x2 1)m 2x 1 , 2 m 2，其图像是一条线段•根据题意有f( 2) 2(/ 1) 2x 1 0，即2x2 2x 3解得2 72f (2) 2(x 1) 2x 1 0 2x 2x 1 0-1 7 x 1 3.2 24•用分离参数法解决不等式有解问题例7如果关于x的不等式|x 3 |x 4 2a 1 0的解集不是空集，求参数a的取值范围.解原不等式可化为x 3 |x 4 2a 1.•••原不等式的解集不是空集，••• (x 3 x 4)min 2a 1.又x 3 x 4 (x 3) (x 4) 1,当且仅当(x 3)(x 4) 0时，等号成立,••• 2a 11，即a 1 .5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线I : (2 m 1)x (m 1)y 7m 4 0，m R，求证：直线I恒过定点.解直线I的方程可化为x y 4 m(2x y 7) 0.设直线I恒过定点M(x,y).由m R，得x y 4 0M(3,1).2x y 7 0•••直线I恒过定点(3,1).。
数学分离常数法例题
数学分离常数法例题
数学分离常数法是一种常用的数学方法，可以将一个复杂的数学公式分解成多个简单的子公式，有助于简化计算，也有助于理解数学知识。
本文将介绍如何使用数学分离常数法来求解实际问题，并以一个例题为例，讲解其用法。
首先，要弄清楚数学分离常数法的原理。
它的基本思想是将一个复杂的公式拆分成多个简单的子公式，从而降低计算的复杂性。
那么，我们如何使用数学分离常数法来求解实际问题呢？
答案是：我们需要找出这个公式中的常数项。
由于常数项只出现一次，所以，它只需要从整个公式中提取出来，然后单独将它拆分出来，得到两个子公式，第一个公式中含有常数项，第二个公式中，常数项被提取出来，其余成分则组成另一个子公式。
下面，我们将以一个例题来讲解如何使用数学分离常数法来求解实际问题。
例如：有一个数学公式：x + 4x + 7，求x的值。
首先，把这个数学公式拆开来，我们可以发现，这个公式中含有一个常数项，即7，因此，可以将这个公式拆分为两个子公式：x + 4x，以及7。
然后，我们可以将前一个子公式化为一元二次方程：x + 4x = 0，使用常见的二次方程求解方法解出方程的两个解：x=0，x=-4，因此，原来的公式x + 4x+ 7的解为：x=0，x=-4。
可以看出，数学分离常数法能够有效的帮助我们求解复杂的数学
公式，并且从中提取出常数项，这样，就能够把数学公式分解成多个简单的子公式，大大地简化了求解数学公式的过程。
总之，数学分离常数法是一种十分有效的数学方法，它可以帮助我们求解复杂的数学公式，并且从中提取出常数项，从而可以分解出多个简单的子公式，这样就可以大大减少计算的难度，使我们更加高效地完成计算任务。
分离变量法的基本步骤
分离变量法的基本步骤
分离变量法是求解常微分方程的一种常用方法，其基本步骤如下： 1. 将方程中的未知函数分离出来，即将所有包含未知函数的项
移到方程左侧，将所有不包含未知函数的项移到方程右侧。
2. 对于分离出来的未知函数，在方程左侧和右侧分别求积分，
得到两个方程。
3. 将两个方程合并，得到最终的解式。
需要注意的是，在进行分离变量法时，有时需要注意分母为0或分母中含有未知函数的情况，此时需要进行特殊处理。
另外，对于某些特殊的方程，分离变量法可能不适用，需要采用其他方法求解。
- 1 -。
(分离常数法与分离参数法)
分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax by cx d +=+，22ax bx c y mx nx p++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域.解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x af x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性.解 由已知有()1x b a b a b y x bx b++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值.解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x+-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知x a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围.解 ∵()2a af x x x =-+，∴2()1a f x x '=+.又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a . 3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围. 解 原不等式可化为3421x x a -+-<-.∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥. 5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点. 解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).巩固练习：1、 设函数()2()log 21x f x =+的反函数为=y 1()-f x ，若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，则实数m 的取值范围是 2213log ,log 35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2、 设关于x 的方程0)5(6391=-+-+k k k x x在]2,0[内有解，求k 的取值范围.1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、 奇函数f(x)在R 上为减函数，若对任意的],1,0(∈x 不等式0)2()(2>-+-+x x f kx f 恒成立，则实数k的取值范围是 221min =+-<）（xx k4、 函数2()223f x ax x a 在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围.显然本题看成03222=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而分离变量：]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,12232-∈--=x x x a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,12232-∈--=x x xy 的值域，从而利用换元法求出),1[]273,(+∞⋃+--∞∈a .5．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =_4_____。
高中数学分离常数法仔细讲解(很实用)
形如y = (ax+b) / (cx+d)的都可以用常数分离法
先想办法把分子（ax+b）换成含（cx+d）的式子，结果为（ax+b）=t
（cx+d）+m
这个过程是包含了主要的技巧：（ax+b）尽量往（cx+d）靠拢
1、先化x前面的系数，（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
2、加一项减一项使得获得（+d），（a/c）（cx）+ b =（a/c）（cx + d - d）+ b
3、把那一项不符合（cx+d）的去掉，
（a/c）（cx + d - d）+ b =（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b4、化简（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b =（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b为了方便下面的叙述，令t =（a/c），m = -（ad/c）+b
整个上面的过程就是：（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
=（a/c）（cx + d - d）+ b
=（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b=（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
= t（cx+d）+m
以上就是分子的化简过程，接下来的就简单了
y = (ax+b) / (cx+d)
=〔t（cx+d）+m〕/ (cx+d)
= t +（m）/ (cx+d)
结束
（以上算法是针对分子分母x的次数相等，如y = (ax^2+b) / (cx^2+d)等均可以试用）
（若遇到分子分母x的次数不相等，则可以靠虑将x放入系数，有点复杂，现在学大学了，不知道高中具体是什么水平，所以把各种情况都写出来了）打的挺辛苦的，希望帮到你~。
[高考文科数学复习]方法3.5 分离(常数)参数法(讲)
![[高考文科数学复习]方法3.5 分离(常数)参数法(讲)](https://img.taocdn.com/s3/m/ff62196e8e9951e79b89272c.png)
分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.1 分离常数法分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.1.1 用分离常数法求分式函数的最值例1. 【2016高考北京文数】函数()(2)1x f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2例2.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++. 由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQ k m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--； 第21题图1 第21题图2当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8.1.2 用分离常数法求函数的值域 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d+=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例3. 函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( ) A．23＋2 B．23－2 C．2 3D．2【答案】A1.3 用分离常数法判断分式函数的单调性例4.已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 【答案】当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.【解析】由已知有()1x b a b a b y x b x b++--==+++，x b ≠-，∴当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.例5.已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间1[2]3，上是增函数，则实数a 的取值范围______.【答案】43a ≥. 【解析】 ∵120f x x a x '()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x≥-+在1[2]3，恒成立， ∵max 18()3x x -+=，∴823a ≥，即43a ≥. 2 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例6.【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】已知数列{}n a 是以t 为首项，以2为公差的等差数列，数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+．若对*n ∈N 都有4n b b ≥成立，则实数t 的取值范围是___________．【答案】[18,14]--例7.【广西梧州市2017届高三上学期摸底联考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21222l o gl o g l o g n n b a a a =+++ ，求使()8n n b nk -≥对任意n N +∈恒成立的实数k 的取值范围． 【答案】（1）()*2n n a n N =∈；（2）10k ≤-. 【解析】（1）因为122n n S +=-，所以()122,2nn S n -=-≥ 所以当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=， 又211222a S ==-=，满足上式，2.2 求定点的坐标例8. 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.【答案】(3,1).【解析】直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=，设直线l 恒过定点(,)M x y ，由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒，∴直线l 恒过定点(3,1). 【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。
方法总结-分离常数法与分离参数法
分离常数法与分离参数法分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.1.用分离常数法求分式函数的值域例1 求函数31()(1)2x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.2.用分离常数法判断分式函数的单调性例2 已知函数()()x a f x a b x b+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.3.用分离常数法求分式函数的最值例3 设1x >-，求函数2710()1x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9.分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.1.用分离参数法解决函数有零点问题例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x=+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x=+，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.2.用分离参数法解决函数单调性问题例5 已知xa ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1af x x'=+. 又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.由1x ≥，得21x -≤-.∴1-≥a .3.用分离参数法解决不等式恒成立问题例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围.解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.解得x <4.用分离参数法解决不等式有解问题例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围.解 原不等式可化为3421x x a -+-<-. ∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-. 又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥.5.用分离参数法求定点的坐标例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).。
常微分方程分离变量法
常微分方程分离变量法
常微分方程是指只包含一个未知函数及其导数的方程。
分离变量法是求解常微分方程的一种常用方法。
下面介绍具体步骤：
1. 将方程移项，将未知函数和导数分别归到等式的两边。
2. 将方程两边除以包含未知函数的项，将未知函数和导数分开。
3. 将未知函数的导数乘以一个系数（可以是任意实数），将等式两边分别积分。
4. 对于积分后的表达式，解释其含义得到未知函数的解。
5. 若原方程中包含初值条件，则通过代入初值条件求解得到特定的解。
需要注意的是，在进行分离变量的时候，应该考虑到未知函数的定义域以及可能的不可导点。
这只是一种常用的求解常微分方程的方法，对于特定的方程可能还存在其他更适用的方法。
此外，对于某些特殊的微分方程，分离变量法可能无法解决，需要采用其他的方法，如变量代换法、常系数线性齐次方程等。
分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义
（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范
围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，所以
所以当时，，
又，满足上式，
所以数列的通项公式
（2）
由对任意恒成立，即使对恒成立
设，则当或时，取得最小值为，所以.
2.2 求定点的坐标
例7.已知直线：，，求证：直线恒过定点.
【答案】.
【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
∴函数 在 上单调递增，
又 ，
∴ ，
∴ ．
∴函数 的值域为 ．
（Ⅲ）当 时， ．
由题意得 在 时恒成立，
∴ 在 时恒成立．
令 ，
则有 ，
∵范围为 ．
例2.一种作图工具如图1所示． 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处铰链与 连接， 上的栓子 可沿滑槽AB滑动，且 ， ．当栓子 在滑槽AB内作往复运动时，带动 绕 转动一周（ 不动时， 也不动）， 处的笔尖画出的曲线记为 ．以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
例1.已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 的值域；
（Ⅲ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .
高中数学分离常数法公式(一)
高中数学分离常数法公式(一)高中数学分离常数法公式一、一元二次方程的分离常数法公式• 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0，其中a ≠0 • 分离常数法公式：将一元二次方程化为 (x +p )2=q 的形式，其中p 和q 为已知常数• 举例说明：– 原方程：x 2+6x −7=0– 使用分离常数法，我们先将方程化简为 (x +b 2a )2=c −b 24a 2– 将已知值代入，得到 (x +62)2=−7−624– 化简得 (x +3)2=−374 – 方程的解为 x +3=±√−374– 解得 x =−3±√37i 2，其中i 为虚数单位二、三角函数的分离常数法公式•三角函数的分离常数法公式适用于一些特殊类型的三角函数方程•举例说明：–原方程：sin2x−3sinx+2=0–使用分离常数法，我们将方程进行化简–设sinx+p=q，其中p和q都是已知常数–利用恒等式sin2x=(1−cos2x)/2，将原方程转化为一元二次方程–化简得(cos2x−2p)(cos2x−2q)=0–求解得两个方程cos2x=2p和cos2x=2q–分别解出2x的值，然后求解x的值得到方程的解三、指数与对数的分离常数法公式•指数与对数的分离常数法公式适用于一些指数方程和对数方程•举例说明：–原方程：3x−4⋅3x−2+3=0–使用分离常数法，我们将方程进行化简–设3x=t，其中t为已知常数–将原方程化为关于t的一元二次方程t2−4t+3=0–解出t=1和t=3–因为3x=1时没有实数解，所以舍去–当3x=3时，解得x=1四、其他分离常数法公式•在高中数学中，还存在其他一些分离常数法公式的应用•不同类型的方程有不同的适用公式，需要灵活运用以上是关于高中数学分离常数法公式的列举和解释，希望对您有所帮助。
高中数学分离常数法仔细讲解(很实用)
形如y = (ax+b) / (cx+d)的都可以用常数分离法
先想办法把分子（ax+b）换成含（cx+d）的式子，结果为（ax+b）=t
（cx+d）+m
这个过程是包含了主要的技巧：（ax+b）尽量往（cx+d）靠拢
1、先化x前面的系数，（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
2、加一项减一项使得获得（+d），（a/c）（cx）+ b =（a/c）（cx + d - d）+ b
3、把那一项不符合（cx+d）的去掉，
（a/c）（cx + d - d）+ b =（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b4、化简（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b =（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b为了方便下面的叙述，令t =（a/c），m = -（ad/c）+b
整个上面的过程就是：（ax+b）=（a/c）（cx）+ b
=（a/c）（cx + d - d）+ b
=（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b=（a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
= t（cx+d）+m
以上就是分子的化简过程，接下来的就简单了
y = (ax+b) / (cx+d)
=〔t（cx+d）+m〕/ (cx+d)
= t +（m）/ (cx+d)
结束
（以上算法是针对分子分母x的次数相等，如y = (ax^2+b) / (cx^2+d)等均可以试用）
（若遇到分子分母x的次数不相等，则可以靠虑将x放入系数，有点复杂，现在学大学了，不知道高中具体是什么水平，所以把各种情况都写出来了）打的挺辛苦的，希望帮到你~。
分离常数法公式
分离常数法公式
分离常数法是解微分方程的一种常用方法。
对于形如y'=f(x)g(y)的一阶微分方程，我们可以将其分离变量，即将x和y分别移到方程两边得到：
g(y)dy = f(x)dx
然后对上式两边分别积分，得到：
∫g(y)dy = ∫f(x)dx + C
其中C为常数，称为积分常数。
这个公式就是分离常数法公式，它可以用来求解一些简单的一阶微分方程。
需要注意的是，分离常数法只适用于形如y' = f(x)g(y)的一阶微分方程，对于其他类型的微分方程，需要使用其他方法进行求解。
同时，求解过程中还需要注意对积分常数的处理，通常需要根据边界条件来确定其值。
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