九年级上册数学一元二次方程专题知识点总结

一元二次方程知识点复习

知识点1．一元二次方程的判断标准：

（1）方程是_____方程（2）只有___个未知数（一元）（3）未知数的最高次数是____（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程

练习A ：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3=

1x ；④x 2-y=0； ④（x+1）2=x 2-1．一元二次方程的个数是.

2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．

3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k 是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．

4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．

知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念

一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项，______为二次项系数，_______是一次项，_______为一次项系数，______为常数项。

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号

练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数 a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________

知识点3．完全平方式

练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x --

2、已知1a a +=求1a a

-的值.

3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m=，

若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是。

若942++kx x 是完全平方式，则k =。

知识点4．整体运算

练习D:1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为

2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________

知识点5．方程的解

练习E ：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_______________．

2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程。

知识点6．方程的解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法（二次项系数为1，一次项系数为偶数）；④公式法；⑤十字相乘法；

⑵关键点：降次

练习F ：

1、直接开方解法方程

(1)2(6)30x -+=(2)21(3)22

x -= （3）（4x-1）²=225(4)

2、用配方法解方程

(1)2210x x +-=(2)2430x x -+=

3、用公式法解方程

(1)03722=+-x x (2)210x x --=

4、用因式分解法解方程:

(1)3(2)24x x x -=-(2)22(24)(5)x x -=+

5、用十字相乘法解方程

(1)2900x x --=(2)22100x x +-=

知识点7．一元二次方程根的判别式：2b 4ac ∆=-

练习G:1、关于x 的一元二次方程012)2(2=-+++m x m x .求证：方程有两个不相等的实数根

2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。

3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是

知识点8．根与系数的关系

1212,b c x x x x a a

+=-=(a ≠0,Δ=b 2-4ac ≥0) 使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件0∆≥

练习H ：1、已知方程25x mx 6=0+-的一个根为x=3,求它的另一个根及m 的值。

2、已知22x 4x 30+-=的两根是x 1,x 2，利用根与系数的关系求下列各式的值

（1）12

11x x +（2）2212x x +（3）12(1)(1)x x ++（4）212()x x - 3、已知关于x 的一元二次方程x 2－（m+2）x+14

m 2－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 12+x 22=18，求m 的值．

知识点9.非负数的和2为0

｜x ｜≥0，√a ≥0，a ²≥0

已知a ²+b ²+c ²+4a-2b ＋5=0，求3a ²+5b ²-5的值。

2、若a,b,c 是△ABC 的三边长且满足a ²-6a+b ²-8b+√c-a+25=0,请根据已知条件判断其形状。

知识点9．一元二次方程与实际问题

1、 病毒传播问题

2、 树干问题

3、 握手问题（单循环问题）

4、 贺卡问题（双循环问题）

5、 围栏问题

6、 几何图形（道路、做水箱）

7、 增长率、降价率问题

8、 利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）

9、 数字问题

10、折扣问题 世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。不要随意发脾气，谁都不欠你的