高考数学专题突破提升练2

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高考数学二轮复习中难提分突破特训2文

(2)设 A1D 的中点为 G，连接 AG，CG，在平面 A1 AD 内作 GH⊥A1A 于点 H，则 GH ∥AD，
且 GH＝12AD，由已知可得 FC∥AD，
且
FC＝1AD，连接 2
FH，则四边形
FCGH
为平行四边形，∴CG∥FH，∵FH⊂
平面
A1AF，CG
⊄平面 A1AF，
∴CG∥平面 A1AF，∴当 G 为 A1D 的中点时，CG∥平面 A1AF，
极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ－2co sθ＝0.
(1)求曲线 C2 的直角坐标方程；
3
(2)若曲线 C1 上有一动点 M，曲线 C2 上有一动点 N，求|MN|的最小值．解 (1)由 ρ－2cosθ＝0 得 ρ2－2ρcosθ＝0.
∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴x2＋y2－2x＝0，
降雨量/毫米 1 2
34
5
快餐数/份 50 85 115 140 160
试建立 y 关于 x 的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为 6
毫米时需要准备的快餐份数．(结果四舍五入保留整数)
附注：回归方程 ^y ＝ ^b x＋ ^a 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
^b
＝∑ni＝1
(2)由题意可知－x ＝1＋2＋35＋4＋5＝3，
－y ＝50＋85＋1155＋140＋160＝110，
^b
＝∑5i＝1 ⊄xi－－x ⊄⊄yi－－y ⊄＝275＝27.5，
∑5i＝1 ⊄xi－－x ⊄2
10
^a ＝－y － ^b x＝27.5，
所以 y 关于 x 的回归方程为 ^y ＝27.5x＋27.5.
2
(1)求证：DA⊥平面 AA1C； (2)试在线段 A1D 上确定一点 G，使 CG∥平面 A1AF，并求 CG 与平面 ABCD 所成角的正切值．解 (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ACB＝∠DAC＝90°，∴DA⊥AC， ∵A1A⊥平面 ABCD，DA⊂平面 ABCD，∴A1A⊥DA，又 AC∩A1A＝A，∴DA⊥平面 A1AC.

专题02 数列-【李金柱梳理】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)(原卷版)

专题02数列题型简介数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质考察题型一般为：1错位相减求和2裂项相消求和3（并项）分组求和4数列插项问题5不良结构问题6数列与其他知识点交叉问题；在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视典例在线题型一：数列错位错位相减求和1．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．变式训练1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，并且0n b ＞，11334223,1,19,2a b b S a b a ==+=-=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ；(3)若()11N *·n n n c n a a +=∈，求数列{}n c 的前n 项和nM 题型二：裂项相消求和1已知数列{}n a 的前n 项的积记为n T ，且满足112n n na T a -=.(1)证明：数列{}n T 为等差数列；(2)设()()111nnn n n b T T +-+=，求数列{}nb 的前n 项和nS.1．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+.(1)证明：{}n a 是等差数列.(2)设数列1n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若满足不等式n T m<的正整数n 的个数为3，求m 的取值范围.题型三：（并项）分组求和1.设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．变式训练1．已知数列{}n a 满足11a =,11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.(1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,3b ,4b ,并猜想数列{}n b 的通项公式;(2)证明（1）中你的猜想;(3)若数列{}n a 的前n 项和为n S ,求2n S .题型四：数列插项问题1．记数列{an }的前n 项和为Sn ，对任意正整数n ，有2Sn ＝nan ，且a 2＝3.(1)求数列{an }的通项公式；(2)对所有正整数m ，若ak ＜2m ＜ak ＋1，则在ak 和ak ＋1两项中插入2m ，由此得到一个新数列{bn }，求{bn }的前40项和.变式训练1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N ．(1)求证：12n a ⎧⎫+⎨⎩⎭是等比数列；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.题型五不良结构问题1．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =且2a ，5a ，14a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n S ，在①21n n S =-，*n ∈N ；②21n n S b =-，*n ∈N ；③121n n S S +=+，*n ∈N 这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若11b =，且______，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.变式训练1．在①89a =，②520S =，③2913a a +=这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，___________，___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在n *∈N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.题型六数列与其他知识点交叉问题1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为α，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为β”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，()0,1,,8i p i =⋅⋅⋅表示“甲小朋友的当前累计得分为i 时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则00p =，81p =，11(1,2,,7)i i i i bp cp a i p p -+=++=⋅⋅⋅，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.6β=．（i ）证明：{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=⋯为等比数列；（ii ）根据4p 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．变式训练1．已知函数()cos 2f x x =，()sin g x x =.(1)判断函数()2ππ4H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；(2)设函数()()sin h x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<），若函数2πh x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式；(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有147个零点.模拟尝试一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项之积为()()1*22n n n S n -=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设公差不为0的等差数列{}n b 中，11b =，___________，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .请从①224b b =；②358b b +=这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.2．已知数列{}n a 的前n 项和为11131,3,31n n n n n S S a S ++-==-.(1)求23,S S 及{}n a 的通项公式；(2)若()()()()()()()32122311111111n n n n a a a a a a a a a a λ-+++≤------- 对任意的*2,N n n ≥∈恒成立，求λ的最小值.3．在数列{}n a 中，21716a =，*113,N 44n n a a n +=+∈．(1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)令123n n n b a +=⋅+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1340n S <．4．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足1325162,12,4,a S b b a ====．(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．5．已知{}n a 为首项112a =的等比数列，且n a ，12n a +，24n a +成等差数列；又{}n b 为首项11b =的单调递增的等差数列，{}n b 的前n 项和为n S ，且1S ，2S，4S 成等比数列．(1)分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3n T <．6．设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，且满足()*21N n n T a n =-∈．(1)证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，证明：14n S <．7．设{}n a 是首项为1的等比数列，且满足123,3,9a a a 成等差数列：数列{}n b 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且满足()21n n n S b b =+，则(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n T 为数列{}n n a b 的前n 项的和，证明：121412318n n n T --+≤⋅；(3)任意()()254,N ,,n n n n nb b a n nc a n +⎧--∈=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项的和．真题再练一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}nb 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．4．（2022·北京·统考高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2022·天津·统考高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nkk k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.nn n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.。

高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训(二)课件理

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令 θ 为直线 CD1 与平面 AB1D1 所成的角，
则
sinθ＝|cos〈C→D1，n〉|＝
→ |CD1·n| →
＝2
165 55 .
|CD1||n|
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第十五页，共二十四页。
4．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：yx＝＝23scionsθθ， (θ 为参数)，在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ－2cosθ＝0.
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第二页，共二十四页。
解 (1)由已知得 Sn＝n2－2kn＝(n－k)2－k2，因为 k∈N*，当 n＝k 时，(Sn)min＝－k2＝－9，故 k＝3.所以 Sn＝n2－6n. 因为 Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)(n≥2)，所以 an＝Sn－Sn－1＝(n2－6n)－[(n－1)2－6(n－1)]，得 an＝2n－7(n≥2)．当 n＝1 时，S1＝－5＝a1，综上，an＝2n－7.
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第十二页，共二十四页。
所以四边形 ABMD1 为平行四边形，所以 BM∥AD1，由 AD1⊂平面 AB1D1，BM⊄平面 AB1D1，所以 BM∥平面 AB1D1，又由于 BM，BD 相交于点 B，BM，BD⊂平面 BDM，所以平面 BDM∥平面 AB1D1.
(2)由题意，以 D 为坐标原点，分别以 D→A ，D→C ，D→D1方向为 x 轴、y 轴、
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第十七页，共二十四页。
∵|MC2|＝ 3cosθ－12＋4sin2θ ＝ 5cos2θ－6cosθ＋5， ∴当 cosθ＝53时，|MC2|min＝455， ∴|MN|min＝|MC2|min－1＝4 5 5－1.

2023年高考数学微专题专练2含解析文

专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词命题范围：逻辑联结词、复合命题的真假判断、量词及其否定．[基础强化]一、选择题1．[2022·安徽省蚌埠市高三质检]已知命题p ：∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1＜0，则¬p 为( ) A ．∀x ≥－1，2x－x －1≥0 B ．∀x ＜－1，2x－x －1≥0 C ．∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1≥0 D ．∃x 0≥－1，2x 0－x 0－1≥0 2．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0<0B ．∀x ∈(－∞，0)，e x>x ＋1 C ．∀x >0，5x >3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0<sin x 03．已知命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图像过点(2，0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真4．如果命题“¬(p ∨q )”为假命题，则( ) A ．p ，q 均为真命题 B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题5．已知命题p ：∀x >0，ln (x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )6．已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞) D．(0，4)7．若命题“∃x 0∈R ，x 20 ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，3]B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．[2022·山西省高三模拟]已知命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：∀a ∈R ，f (x )＝log (a 2＋2)x 在定义域内是增函数，则下列命题中的真命题是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．¬(p ∨q )9．[2022·广东汕头测试]已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，均有2x－a >0.若“¬p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，1]C ．(1，2)D ．(1，＋∞)二、填空题10．命题“∃x ∈(0，π2)，tan x >sin x ”的否定是________．11．[2022·江西省南昌市高三月考]若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20 ＋2ax 0＋1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．12．[2022·衡水中学高三测试]已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________．[能力提升]13．[2022·四川省成都市高三“二诊模拟”]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －1≤0，x ≥0构成的平面区域为D .命题p ：对∀(x ，y )∈D ，都有3x －y ≥0；命题q ：∃(x ，y )∈D ，使得2x －y ＞2.下列命题中，为真命题的是( )A ．(¬p )∧(¬q )B ．p ∧qC ．(¬p )∧qD ．p ∧(¬q )14．下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．[2022·江西省赣州市3月(一模)]斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD (其中AB BC ＝5－12)中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ︵；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ︵；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧BE ︵，EG ︵，GI ︵的长度分别为l ，m ，n ，给出以下两个命题：p ：l ＝m ＋n ，q ：m 2＝l ·n .则下列选项为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )16．[2022·江西省临川高三模拟]命题“∃x ∈R ，e x＋1＜a －e －x ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．专练2 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．B 因为命题p ：∃x 0＜－1，2x 0－x 0－1＜0，则¬p ：∀x ＜－1，2x－x －1≥0. 2．D 令f (x )＝sin x －x (x >0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )<f (0)，即f (x )<0，即sin x <x (x >0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x <x ，所以D 为假命题．3．A 由x 3<x 2，得x 2(x －1)<0，解得x <0或0<x <1，在这个范围内没有自然数，∴命题p 为假命题．∵对任意的a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，均有f (2)＝log a 1＝0，∴命题q 为真命题． 4．C 由¬(p ∨q )为假命题知p ∨q 为真命题，∴p ，q 中至少有一个为真命题． 5．B ∵当x >0时，x ＋1>1，∴ln (x ＋1)>0，故命题p 为真命题，当a ＝－1，b ＝－2时，a 20恒成立，∴Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，得0<a <4.7．D ∵命题“∃x 0∈R ，x 20 ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20 ＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.8．B 对于命题p ，取x ＝0，y ＝5π3，则sin x ＝0＞sin y ＝－32，但x ＜y ，p 为假命题；对于命题q ，∀a ∈R ，a 2＋2≥2，则函数f (x )＝log (a 2＋2)x 在定义域内为增函数，q 为真命题．所以p ∧q 、p ∧(¬q )、¬(p ∨q )均为假命题，(¬p )∧q 为真命题．9．C 若方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2，即p ：－2<a <2. ∀x >0，2x－a >0则a <2x，当x >0时，2x>1，则a ≤1，即q ：a ≤1. ∵¬p 是假命题，∴p 是真命题． ∵p ∧q 是假命题，∴q 是假命题，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2.10．答案：∀x ∈(0，π2)，tan x ≤sin x11．答案：[－3，3]解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20 ＋2ax 0＋1＜0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.12．答案：(－∞，－1)解析：由“p 或q ”为真命题，得p 为真命题或q 为真命题．当p 为真命题时，设方程x 2＋mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m >0，x 1x 2＝1>0，解得m <－2；当q 为真命题时，有Δ′＝16(m ＋2)2－16<0，解得－3<m <－1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，－1).13．B 不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分(包含边界)所示．根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p 为真命题，命题q 也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD 错误，B 选项正确．14．C 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真，即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真，即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3.15．A 根据题意可得圆弧BE ︵，EG ︵，GI ︵对应的半径分别为AB ，BC －AB ，AB －DG ，也即AB ，BC －AB ，2AB －BC ，则弧长l ，m ，n 分别为π2AB ，π2(BC －AB )，π2(2AB －BC )，则m ＋n ＝π2(BC －AB )＋π2(2AB －BC )＝π2AB ＝l ，故命题p 为真命题；ln ＝π24(2AB 2－AB ×BC )＝π24BC 2(2×AB 2BC 2－AB BC )＝π28BC 2(7－35)，而m 2＝π24BC 2(1－AB BC )2＝π28BC2(7－35)，故ln ＝m 2，命题q 为真命题．则p ∧q 为真命题，p ∧(¬q )，(¬p )∧q ，(¬p )∧(¬q ) 均为假命题． 16．答案：(－∞，3]解析：若命题“∃x ∈R ，e x ＋1＜a －e －x ”为假命题，则命题“∀x ∈R ，e x ＋1≥a －e －x”为真命题，即a ≤e x ＋e －x＋1在R 上恒成立，则a ≤(e x ＋e －x＋1)min ，因为e x＋e －x＋1≥2e x ·e －x ＋1＝3，当且仅当e x ＝e －x，即x ＝0时，等号成立，所以(e x＋e－x＋1)min＝3，所以a≤3.。

2021高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练2不等式含解析

高考数学二轮复习专题练：热点专练2 不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若a ，b ，c 为实数，且a a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，B 错； b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，C 错；由a ab >b 2，D 正确. 答案 D2.已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A.2B.－2C.－12D.12解析依题意，－1与－12是(ax －1)(x ＋1)＝0的两根，且a <0，∴－1×⎝⎛⎭⎫－12＝ (－1)×1a ，则a ＝－2.答案 B3.若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.2B.12C.4D.14解析因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2，∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 答案 B4.(2020·日照检测)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是( ) A.－4B.－2C.2D.4解析由题意得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)，∴1≥22x ＋y ，∴14≥2x ＋y ，∴2－2≥2x ＋y ，∴x ＋y ≤－2.∴x ＋y 的最大值为－2. 答案 B5.(2020·菏泽模拟)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54解析由x >0，y >0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，当且仅当x ＝3，y ＝233时取等号，∴xy 的最大值为2.答案 C6.(2020·滨州模拟)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则（x ＋1）（2y ＋1）xy 的最小值为( )A.2 2B.2 3C.4 2D.4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥212＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即x ＝3，y ＝1或x ＝2，y ＝32时取等号.∴（x ＋1）（2y ＋1）xy的最小值为4 3.答案 D7.设a >0，若关于x 的不等式x ＋ax －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A.16B.9C.4D.2解析在(1，＋∞)上，x ＋a x －1＝(x －1)＋ax －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4. 答案 C8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x ∈[1，5]，存在实数a ，使2x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x (a ∈R ，b >0)恒成立，则实数b 的最大值为( ) A.9B.10C.11D.12解析已知当x ∈[1，5]时，存在实数a ，使2x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x 恒成立，则－x 2＋2x ≤ax ＋b ≤－x 2＋6x ，令f (x )＝－x 2＋2x (1≤x ≤5)，g (x )＝－x 2＋6x (1≤x ≤5)，作出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，要使b 最大，且满足－x 2＋2x ≤ax ＋b ≤－x 2＋6x (1≤x ≤5)，则直线y ＝ax ＋b 必过(1，5)，且与函数y ＝f (x )的图象相切于点B .易得此时b ＝5－a ，此时的直线方程为y ＝ax ＋5－a .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋5－a ，y ＝－x 2＋2x ，得x 2＋(a －2)x ＋5－a ＝0.∴Δ＝(a －2)2－4(5－a )＝0，解得a ＝－4或a ＝4(舍去)，∴b max ＝5－(－4)＝9.故选A. 答案 A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.(2020·德州模拟)对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是( ) A.若a >b ，则ac <bc B.若a ab >b 2 C.若c >a >b >0，则a c －a >bc －bD.若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0解析若c >0，则由a >b 得ac >bc ，A 错；若a ab ，ab >b 2，a 2>ab >b 2，B 正确；若c >a >b >0，则c －b >c －a >0，∴1c －a >1c －b >0，∴a c －a >bc －b ，C 正确；若a >b ，且a ，b 同号，则有1a <1b ，因此由a >b ，1a >1b 得a >0，b <0，D 正确.故选BCD.答案 BCD10.(2020·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋b ＋c ≤ 3 B.(a ＋b ＋c 2)≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥2 3D.a 2＋b 2＋c 2≥1解析由基本不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD. 答案 BD11.(2020·济南一中期中)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最小值4 B.ab 有最小值12C.a ＋b 有最大值 2D.a 2＋b 2有最小值12解析对于A ，因为a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，所以有1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时取等号)，故A 正确；对于B ，因为a ，b 是正实数，所以有1＝a ＋b ≥2ab ，即ab ≤12(当且仅当a ＝b 时取等号)，故B 不正确；对于C ，因为a ，b 是正实数，所以有a ＋b2≤（a ）2＋（b ）22＝12，即a ＋b ≤2(当且仅当a ＝b 时取等号)，故C 正确；对于D ，因为a ，b 是正实数，所以有a ＋b2≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥12(当且仅当a ＝b 时取等号)，故D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9解析对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 答案 BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.解析由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.答案 1414.(2020·深圳统测)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则xy 的最小值为________，实数m 的取值范围为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，∴2x ＋1y ＝1，∴1＝2x ＋1y ≥22x ·1y，∴xy ≥8，当且仅当x ＝4，y ＝2时取等号，∴x ＋2y ＝xy ≥8，∴m 2＋2m <8，解得－4<m <2. 答案 8 (－4，2)15.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.解析因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.答案 416.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 解析法一由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.法二设x 2＋y 2＝t ＞0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1，所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝⎛⎭⎫t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为45.答案 45。

2024年高考数学专项突破数列大题压轴练(解析版)

数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1n nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得不等式2022n S >成立的n 的最小值．6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．2024年高考数学专项突破数列大题压轴练（解析版）(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b-+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n n b e +=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S为数列{}n a的前n项和，n T为S T+=．数列{}n S的前n项和，已知2n n(1)求证：数列{}n S是等比数列；(2)求数列{}n na的前n项和n A．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*sin 3()cos cos n n c N b b =∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；S>成立的n的最小值．(2)设数列{}n a的前n项和为n S，求使得不等式2022n6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+-．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2){}n a 为等比数列，理由见解析10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)nii i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.【答案】(1)12n n a -=(2)288n n+【分析】（1）选择条件①：先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列{}n a 的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件②：先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥，两式做减即可得出()122n n a a n +=≥，再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=，两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥，即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将211(1)nii i i b b+=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.【详解】（1）选条件①：数列{}1n S a +为等比数列，()()()2211131S a S a S a ∴+=++，即()()2121123222a a a a a a +=++，11a = ，且设等比数列{}n a 的公比为q ，()()22222q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍），1112n n n a a q --∴==，选条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+= ①，()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴，即()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥ ②，由①②两式相减得：()()12221n n n n a na n a +=-≥-，即()122n n a a n +=≥，令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n=得出212a a =也符合上式，故数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，则1112n n n a a q --==，（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．【答案】(1)43n a n =-，3nn b =(2)660【分析】（1）将14n n n S S a +=++移项作差可得{}n a 是等差数列，结合25a =可求出数列{}n a 的通项公式，将1,b q 代入等式计算，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）由2077a =可判断前20项中最多含有123,,b b b 三项，排除23b a =可确定前20项中14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT【答案】(1)1*(2)3n n a n -=⋅∈N ，()*)1(n b n n n =+∈N (2)()*)121(3n n T n n =+-∈N 【分析】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式作差即可得数列{}n a 的递推关系，即可求通项，最后验证1a 是否符合即可；数列{}n b 利用累乘法即可求，最后验证1b 是否符合即可；（2）由题，由等差数列的性质得()11n n n a a n c +-=+，即可求出n c 的通项公式，最后利用错位相减法求n T 即可【详解】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式相减可得13(2)n n a a n +=≥，故数列{}n a 从第3项开始是以首项为2a ，公比3q =的等比数列.又由已知132n n S S +=+，令1n =，得213+2S S =，即12132a a a +=+，得21226a a =+=，故123)2(n n a n -=⋅≥；又12a =也满足上式，则数列{}n a 的通项公式为1*(2)3n n a n -=⋅∈N ；16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}1,n n n a b b a a +=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a 满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC--=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：22211154b b b +++< ．（2）由（1）可得：当1n =时，则1b 当2n ≥时，可得()(2211212n b n n=<-则222121111111114223nb b b ⎛+++=+-+- ⎝L 27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．⎫⎪⎪⎪28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值【答案】(1)230S =，384S =，133n n S +=+(2)7【分析】（1）根据123,,S S S 进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.（2）利用裂项求和法求得m T ，由此列不等式，从而求得m 的最小值.【详解】（1）一阶和数列：{}2,6,4，对应112S =；二阶和数列：{}2,8,6,10,4，对应230S =；三阶和数列：{}2,10,8,14,6,16,10,14,4，对应384S =；故猜想136n n S S -=-，()1333n n S S --=-，所以数列{}3n S -是首项为139S -=，公比为3的等比数列，所以11393,33n n n n S S -+-=⋅=+.下面证明136n n S S -=-：设112124n m m S a a a a --=++++++ ，则()()()()1112112244n m m m m m S a a a a a a a a a --=+++++++++++++29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n nb e+=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….。

高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用(含解析)

高考数学二轮复习专题突破—基本初等函数、函数的应用一、单项选择题1.(2021·陕西西安月考)函数f (x )=xx 2-1−12的零点个数是( ) A.1 B.2C.3D.42.(2021·福建泉州一模)已知a=32,b=√3√2,c=ln3ln2,则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>bD.a>c>b3.(2021·浙江绍兴二模)函数f (x )=log a x+ax (a>1)的图象大致是( )4.(2021·湖北十堰期中)已知关于x 的方程9x -2a ·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,则实数a 的取值范围为( ) A.(0,52)B.(52,4)C.(52,+∞)D.(4,+∞)5.(2021·山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b-x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点;乙:4是该函数的零点;丙:该函数的零点之积为0;丁:方程f (x )=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则该错误结论是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁6.(2021·湖南师大附中期末)已知函数f(x)={lnx,x≥1,-ln(2-x),x<1,则方程(x-1)f(x)=1的所有实根之和为()A.2B.3C.4D.17.(2021·福建厦门期末)已知函数f(x)={|log3x|,0<x≤√3,1−log3x,x>√3,若关于x的方程f2(x)+mf(x)+112=0有6个解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)B.-1,-√33C.-1,-23D.-23,-√33二、多项选择题8.(2021·江苏扬州期末)17世纪初,约翰·纳皮尔为了简化计算发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道,任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式,两边取常用对数,则有lg N=n+lg a,现给出部分常用对数值(如下表),则下列说法正确的有()A.310在区间(104,105)内B.250是15位数C.若2-50=a×10m(1≤a<10,m∈Z),则m=-16D.若m32(m∈N*)是一个35位正整数,则m=129.(2021·北京延庆模拟)同学们,你们是否注意到?自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为f(x)=a e x+b e-x(其中a,b是非零常数,无理数e=2.718 28…),对于函数f(x),下列说法正确的是()A.如果a=b,那么函数f(x)为奇函数B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数C.如果ab>0,那么函数f(x)没有零点D.如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为210.(2021·海南第四次模拟)已知k>0,函数f(x)={-ln(k-x),x<0,ln(k+x),x>0,则()A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域为RC.存在k,使得f(x)在定义域上单调递增D.当k=12时,方程f(x)=1有两个实数根三、填空题11.(2021·北京通州区一模)已知函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),则常数t的一个取值为.12.(2021·山东济宁期末)已知函数f(x)=e x+x2+ln(x+a)与函数g(x)=e x+e-x+x2(x<0)的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为.答案及解析1.B 解析令f (x )=xx 2-1−12=0,即x 2-2x-1=0,解得x=1±√2,经检验x=1±√2是方程f (x )=0的解,故f (x )有两个零点.故选B . 2.C 解析 a=32,b=√3√2=√62,则a>b ,因为a-c=32−ln3ln2=3ln2−2ln32ln2=ln8−ln92ln2<0,所以a<c ,所以b<a<c.故选C .3.A 解析令g (x )=x+ax ,由于a>1,所以g (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,故f (x )在区间(0,√a )上单调递减,在区间(√a ,+∞)上单调递增,对照题中选项中的图象,知A 选项正确.4.C 解析令t=3x ,因为方程9x -2a·3x +4=0有一个大于2log 32的实数根,即x>2log 32,则t>32log 32=4,所以函数f (t )=t 2-2at+4有一个大于4的零点,所以f (4)=42-8a+4<0,解得a>52,即实数a 的取值范围是(52,+∞).故选C .5.B 解析若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙或丁是错误的结论,则甲和乙不可能同时正确,不符合题意,故选B .6.A 解析当x>1时,2-x<1,所以f (2-x )=-ln[2-(2-x )]=-ln x=-f (x ),当x<1时,2-x>1,所以f (2-x )=ln(2-x )=-f (x ),当x=1时,f (1)=0,所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称.显然x=1不是方程的根,当x ≠1时,原方程可变为f (x )=1x-1,画出函数y=f (x )和y=1x-1的图象(如图所示).由图知,二者仅有两个公共点,设为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为函数y=f (x )和y=1x-1的图象都关于点(1,0)对称,所以点A ,B 关于点(1,0)对称,所以x 1+x 22=1,即x 1+x 2=2.故选A .7.D 解析令f (x )=t ,则原方程可化为t 2+mt+112=0,画出函数f (x )的图象(如图).由图象可知,若关于x 的方程f 2(x )+mf (x )+112=0有6个解,则关于t 的方程t 2+mt+112=0必须在区间0,12上有两个不相等的实根,由二次方程根的分布得{ 112>0,Δ=m 2-13>0,14+12m +112>0,-m 2∈(0,12),解得m ∈-23,-√33.故选D . 8.ACD 解析对A,令x=310,则lg x=lg 310=10lg 3=4.77,所以x=104.77∈(104,105),A 正确;对B,令y=250,则lg y=lg 250=50lg 2=15.05,所以y=1015.05∈(1015,1016),则250是16位数,B 错误;对C,令z=2-50,则lg z=lg 2-50=-50lg 2=-15.05,又因为2-50=a×10m (1≤a<10,m ∈Z ),所以10-15.05=a×10m ,则10-15.05-m =a ∈[100,101),所以m=-16,C 正确;对D,令k=m 32,则lg k=lg m 32=32lg m ,因为m 32(m ∈N *)是一个35位正整数,所以34<32lg m<35,则3432<lg m<3532,即1.063<lg m<1.094,所以m=12,D 正确.故选ACD .9.BC解析对A,当a=b时,f(x)=a e-x+a e x,此时f(-x)=a e x+a e-x=f(x),故f(x)为偶函数.故A 错误.对B,当ab<0时,若a>0,b<0,则函数y=a e x在其定义域上单调递增,函数y=be x在其定义域上也单调递增,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递增;若a<0,b>0,则函数y=a e x在其定义域上单调递减,函数y=be x 在其定义域上也单调递减,故函数f(x)=a e x+be x在其定义域上单调递减.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数.故B正确.对C,当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+b e-x≥2√ae x·be-x=2√ab>0,当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-a e x-b e-x)≤-2√(-ae x)·(-be-x)=-2√ab<0.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点.故C正确.对D,由ab=1,得b=1a.当a<0,b<0时,函数f(x)=--a e x-1ae-x≤-2√(-ae x)·(-1ae-x)=-2;当a>0,b>0时,函数f(x)=a e x+1a e-x≥2√ae x·1ae-x=2.故ab=1时,函数f(x)没有最小值.故D错误.10.AC解析当x>0时,f(-x)=-ln(k+x)=-f(x),当x<0时,f(-x)=ln(k-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选项A正确;当x>0时,f(x)=ln(k+x)单调递增,且f(x)>ln k,当x<0时,f(x)=-ln(k-x)单调递增,且f(x)<-ln k,f(x)的值域为(-∞,-ln k)∪(ln k,+∞),若k≥1,ln k≥0,此时f(x)的值域不包含0,且f(x)在定义域上单调递增,故选项B错误,选项C正确;对于选项D,若k=12,ln k=-ln 2,而ln 2<1,由前面的分析可知,方程f(x)=1在区间(-∞,0)上没有实数根,在区间(0,+∞)上有一个实数根,故选项D错误.11.2(答案不唯一)解析由x2+2x=0可得x=0或x=-2,由ln x=0可得x=1,因为函数f(x)={x2+2x,x≤t,lnx,x>t(t>0)有两个零点,且其图象过点(e,1),所以e>t≥1.所以t可取2.12.(-∞,e)解析由题意得,g(-x)=f(x)在区间(0,+∞)上有解,即e-x=ln(x+a)在区间(0,+∞)上有解,所以函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上有交点.如图,函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象左右平移得到的,当y=ln x的图象向左平移至使y=ln(x+a)的图象经过点(0,1)时,函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象交于点(0,1),将点(0,1)的坐标代入e-x=ln(x+a),有1=ln(0+a),得a=e,所以,若函数y=ln x的图象往左平移a个单位长度,且a≥e时,则函数y=e-x与函数y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上无交点.将函数y=ln x的图象向右平移时,函数y=e-x与y=ln(x+a)的图象在区间(0,+∞)上恒有交点.所以a<e,即a∈(-∞,e).。

2014高考数学专题提升训练训练2

常考问题2 函数与方程及函数的应用(建议用时：50分钟)1．“a >3”是“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析由于“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f (－1)f (2)<0⇔(－a ＋3)(2a ＋3)<0⇔a <－32或a >3，则“a >3”是“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件．答案 A2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )．A.12，0 B ．－2,0 C ．12D ．0解析当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2 x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0，故选D. 答案 D3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析在同一坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x及y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f (x )在[0,2π]上有两个零点．答案 B4．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )．A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析法一因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13·1e －ln 1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13－ln 1＝13>0，f (e)＝e 3－ln e ＝e 3－1<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·f (1)>0，f (1)·f (e)<0，故y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1内无零点(f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点．法二在同一坐标系中分别画出y ＝13x 与y ＝ln x 的图象，如图所示．由图象知零点存在区间(1，e)内．答案 D5．若函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时f (x )＝1－x 2.函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x >0)，－1x(x <0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,4]内的零点的个数为( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析由f (x ＋1)＝－f (x )，可得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，求h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,4]内的零点，即求f (x )＝g (x )在区间[－5,4]上图象交点的个数．画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在[－5,4]之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.答案 A6．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm、60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.解析设直角边为40 cm和60 cm上的矩形边长分别为x cm、y cm，则40－x 40＝y60，解得y＝60－32x.矩形的面积S＝xy＝x⎝⎛⎭⎪⎫60－32x＝－32(x－20)2＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.答案6007．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝ln x－2x的零点，则[x0]＝________.解析∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝1x＋2x2>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－2e>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2. 答案 28．我们把形如y＝b|x|－a(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.解析由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝1|x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x－1(x≥0且x≠1)，－1x＋1(x<0且x≠－1).在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．答案 49．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．∴b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.因此实数a的取值范围是(0,1)．10．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧，L ′的值由正变负．所以①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )； ②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a －3－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3，所以Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧9(6－a )，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3，92≤a ≤5.故若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13a 3(万元)． 11．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6.(1)证明：函数f (x )有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14. (1)证明 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )是增函数． ∵f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)上至少有一个零点．又因f (x )在(0，＋∞)上是增函数，从而f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)解由(1)知f (2)<0，f (3)>0. ∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52·f (3)<0， ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3.取x 2＝114，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e 12>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫114·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0. ∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114且⎪⎪⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114即为符合条件的区间．。

2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题2数列第2讲数列求和及其综合应用课件

真题研究·悟高考
1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为 d，且 d>1.令 bn ＝n2a＋n n，记 Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前 n 项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
考点突破·提能力
核心考点1 求数列的通项公式
核心知识·精归纳
求数列通项公式的方法 (1)Sn 与 an 的关系：若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2. (2)由递推关系式求通项公式：①构造法；②累加法；③累乘法．
角度1：由Sn与an的关系求通项公式
方法技巧·精提炼
根据所求的结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
加固训练·促Байду номын сангаас提高
1.数列{an}满足：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*. 求数列{an}的通项公式．
2. (2023·全国新高考Ⅱ卷){an}为等差数列，bn＝a2na－n，6， n为n为偶奇数数，，记 Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前 n 项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，而 bn＝a2na－n，6，n＝n＝2k，2k－1， k∈N*，则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，于是ST43＝＝44aa11＋＋64dd＝－3122，＝16，解得 a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d

高考数学大题专题练习 (2)

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(2)方法一：由(1)得 cosA＝12，则b2＋2cb2c－a2＝12，所以 b2＋c2－bc＝16.①
因为A→D＝12(A→B＋A→C)，
则A→D2＝14(A→B2＋2A→B·A→C＋A→C2)＝14(c2＋bc＋b2)＝9，即 b2＋c2＋bc＝36.②
②－①得 2bc＝20，解得 bc＝10.
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(2)由题设及(1)得 cosBcosC－sinBsinC＝－12，即 cos(B＋C)＝－12，因为 0<B＋C<π，所以 B＋C＝23π，故 A ＝π3. 由题设得12bcsinA＝3sain2A，即 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得 b＋c ＝ 33. 故△ ABC 的周长为 3＋ 33.
－
sinC)2
＝
sin2A
－
sinBsinC，得 b2＋c2－2bc＝a2－bc，
所以 bc＝b2＋c2－a2，所以 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12.
由 A∈(0，π)，得 A＝π3.
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(2)由 2a＋b＝2c，得 2a＝2c－b，即 2a2＝4c2＋b2－4bc. 将 bc＝b2＋c2－a2 代入 2a2＝4c2＋b2－4bc，得 2a2＝3b2，
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1.(2019·课标全国Ⅲ)△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，已知 asinA＋2 C＝bsinA.
(1)求 B； (2)若△ ABC 为锐角三角形，且 c＝1，求△ ABC 面积的取值范围.
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解析 (1)由题设及正弦定理得 sinAsinA＋2 C＝sinBsinA. 因为 sinA≠0，所以 sinA＋2 C＝sinB. 由 A＋B＋C＝180°，可得 sinA＋2 C＝cosB2，故 cosB2＝2sinB2 B cos 2 . 因为 cosB2≠0，所以 sinB2＝12，所以 B＝60°.

高考数学专题(二)填空题

高考数学专题(二)填空题广州六中高三级高考数学专题复习(二)填空题的解法考前突破高考数学专题复习(二)要点：填空题就是高考题中客观性题型之一，具备小巧有效率，跨度小，覆盖面广，概念性弱，运算量并不大，不须要写下解过程而只需轻易写下结论等特点。

可以存有目的、人与自然地综合一些问题，注重训练我们精确、细致、全面、灵活运用科学知识的能力和基本运算能力。

填空题有两类：一类是定量的，一类是定性的。

填空题大多是定量的，近几年才出现定性型的具有多重选择性的填空题。

填空题大多能够在课本中找出原型和背景，故可以化后归入我们津津乐道的题目或基本题型。

填空题虽然量少（目前只有4条――16分），但不需过程，不设中间分，更易失分，考生的得分率较低，不很理想。

究其原因，考生还不能达到《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求：“正确、合理、迅速”。

那么，怎样才能做到“正确、合理、迅速”地解答填空题，为做后面的题赢得宝贵的时间呢？填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。

但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。

下面以一些典型的问题为例，介绍解填空题的几种常用方法与技巧，从中体会到解题的要领：快――运算要快，力戒小题大作；稳――变形要稳，不可操之过急；全――答案要全，力避残缺不齐；活――解题要活，不要生搬硬套；细――审题要细，不能粗心大意。

答疑填空题的常用方法存有：①轻易法：直接从题设条件出发，选用有关定义、定理、公式等直接进行求解而得出结论。

在求解过程中应注意准确计算，讲究技巧。

这是解填空题最常用的方法。

1、在等比数列?an?中，记sn?a1?a2?…?an，未知a1?2s1?1,a4?2s2?1,则公比q=_______.2、点m与点（a4，0）的距离比它与直线x+1=0的距离大1，则点m的轨迹方程就是_______.3、设立圆锥底面圆周上两点a、b间的距离为2，圆锥顶点至直线ab的距离为3，ab和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的体积为________________.ooo4、sin7?cos15sin8的值是_________________.cos7o?sin15osin8osinxcosx5、函数y?的值域就是____________.1?sinx?cosx6、设立函数f(x)?logax(a?0,a?1),函数g(x)??x2?bx?c且142345723741114115f(2?2)?f(2?1)?1,g(x)的图象过点a?4,?5?及b??2,?5?，则26162525166………………………………a=；函数f[g(x)]的定义域为.7、例如图，它满足用户：（1）第n行首尾两数均为n，（2）表的关系式关系相似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数就是____________________.abz18、定义运算：的模等于x，则?ad?bc，若复数z?x?yi(x,y?r)满足cd11复数z对应的z（x，y）的轨迹方程为；其图形为.第1页(共7页)广州六中低三级中考数学专题备考(二)填空题的数学分析9、若f?x?是以5为周期的奇函数且f??3??1,tan??2，则f?20sin?cos??=.第2页(共7页)广州六中低三级中考数学专题备考(二)填空题的数学分析10、已知函数f(x)在r上连续,且f(x0)?n(n?n*),c4?c4?c4(?1)c4(?1)c②特例法：当填空题暗示结论唯一或者其值为定值时，根据题目的条件、选取某个符合条件的特殊值（或作特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊点、特殊曲线、特殊方程、特殊模型等等）进行计算或推理的方法。

2021-2022年高考数学二轮专题复习提能增分篇突破一数学思想方法的贯通应用专项突破训练2

2021年高考数学二轮专题复习提能增分篇突破一数学思想方法的贯通应用专项突破训练2 文一、选择题(每小题5分，共30分)1．(xx·东北三省四市联考)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B ＝( )A. [－1,0]B. [－1,2]C. [0,1]D. (－∞，1]∪[2，＋∞)答案：C解析：由x2－2x≤0⇒0≤x≤2，∴B＝{x|0≤x≤2}．通过画数轴，可知A∩B＝[0,1]．故选C.2．(xx·福建福州质检)执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A.－1 B．1C．0 D．－2 014答案：C解析：由程序框图可知，第一次循环，S ＝－1，n ＝2；第二次循环，S ＝0，n ＝3；第三次循环，S ＝－1，n ＝4；第四次循环，S ＝0，n ＝5；……；当n ＝xx 时是第xx 次循环，于是输出S ＝0.故选C.3．(xx·贵州遵义联考)为了解某校今年新入学的高一某班学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知高一某班学生人数为48人，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则第2小组的人数为( )A.16 B ．14 C ．12 D ．11 答案：C解析：设从左到右第1小组的频率为x ，则由题意可得x ＋2x ＋3x ＋(0.013＋0.037)×5＝1，∴x ＝0.125，∴第2小组的人数为0.125×2×48＝12(人)．4.(xx·内蒙古呼和浩特模拟)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0，x －y ≥0时，x－2y ＋m ≤0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，3]D ．(－∞，0]答案：D解析：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，不等式x －2y ＋m ≤0表示直线x －2y ＋m ＝0及其上方的部分．由⎩⎨⎧y ＝6－x ，x ＝3y －2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，所以4－2×2＋m ≤0，解得m ≤0.故选D.5．(xx·湖北七市联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝3sin 2x 的图象，只需将f (x )的图象( )A.向左平移2π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移2π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案：B解析：由图象，得A ＝3，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，则ω＝2ππ＝2；又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，则φ＝－2π3，得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即把f (x )的图象向左平移π3个单位长度得g (x )的图象．故选B.6．(xx·江西南昌一模)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150° B. 135° C ．120° D ．不存在答案：A解析：解法一：设OD ＝a ，AD ＝b ，如图所示，S △AOB ＝ab ≤a 2＋b 22＝1，当且仅当a ＝b＝1时等号成立，又∵OP ＝2，∴∠DOP ＝30°.∴直线l 的倾斜角为150°.解法二：由题意可知，本题为过点P 的直线与半圆x 2＋y 2＝2()y ≥0相交问题．S △ABO ＝12|OB ||OA |sin ∠AOB ，sin ∠AOB 最大时，S △ABO 有最大值，∠AOB ＝90°，|AB |＝OA 2＋OB 2＝2，由△AOB 为等腰直角三角形，所以点O 到AB 的距离为1.设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k ()x －2，d ＝||2k k 2＋1＝1，因为k <0，所以k ＝－33，∴直线l 的倾斜角为150°. 解法三：曲线y ＝2－x 2，即x 2＋y 2＝2()y ≥0，表示以原点为圆心，半径为2的上半圆．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k ()x －2，即kx －y －2k ＝0.令原点O 到直线l 的距离d ＝||2k k 2＋1＝2，可得直线与曲线相切时斜率k ＝－1，数形结合知－1<k <0，只有A 选项符合．二、填空题(每小题5分，共20分)7．任意一个三角形ABC 的面积为S ，D 为△ABC 内任取的一个点，则△DBC 的面积和△ADC 的面积都大于S3的概率为________．答案：19解析：如图，在AB 上任取三等分点E ，F ，过点E 作EM ∥BC 交AC 于M ，过点F 作FN∥AC 交BC 于N ，则当点D 在△AEM 内时，满足S △DBC ＞S3，当点D 在△EFN 内时，满足S △DAC ＞S3.设EM 与FN 的交点为G ，则当点D 在△EFG 内时，同时满足S △DBC ＞S 3，S △DAC ＞S 3，∴所求概率P ＝S △EFG S △ABC ＝19.8．(xx·重庆一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x－1，x ≤1，f x －1＋2，x ＞1，则方程f (x )＝2x 在[0,2 015]内的根的个数是________．答案：2 016解析：画出y ＝f (x )与y ＝2x 的图象如图所示，由图象可得，方程f (x )＝2x 在[0,2 015]内的根分别是x ＝0,1,2,3，…，2 015，共2 016个．9．(xx·黑龙江哈尔滨三中一模)已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则|PN |＋|QN |＝________.答案：16解析：如图所示，设椭圆的两焦点分别为F 1，F 2，线段MN 的中点为D ，连接DF 1，DF 2.由已知条件可知，DF 1，DF 2分别是△MPN ，△MQN 的中位线，所以|PN |＋|QN |＝2|DF 1|＋2|DF 2|.又根据椭圆的定义，||DF 1＋||DF 2＝2a ＝8，所以|PN |＋|QN |＝2×8＝16.10．(xx·甘肃兰州诊断)已知函数f (x )＝x ()ln x －ax 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：由函数f (x )＝x ()ln x －ax ，则f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－a ＝ln x －2ax ＋1,令f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1，因为函数f (x )＝x ()ln x －ax 有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1. 切点在切线上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0⇒x 0＝1，即切点为(1,0)，则切线方程为y ＝x －1, 再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝0和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 三、解答题(每题15分，共30分)11．(xx·东北三校一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4.(1) 求动圆圆心的轨迹C 1的方程；(2) 过点P (1,2)分别作斜率为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2，交C 1于A ，B 两点(点A ，B 异于点P )，若k 1＋k 2＝0，且直线AB 与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝12相切，求△PAB 的面积．解： (1) 设动圆圆心坐标为(x ，y )，半径为r ，由题可知⎩⎨⎧x －22＋y 2＝r 2，22＋x 2＝r 2，消去r ，得y 2＝4x ，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2) 设直线l 1斜率为k ，则l 1：y －2＝k (x －1)；l 2：y －2＝－k (x －1).点P (1,2)在抛物线y 2＝4x 上，所以⎩⎨⎧y 2＝4x ，y －2＝k x －1⇒ky 2－4y ＋8－4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ>0恒成立，即()k －12>0，有k ≠1. 所以y 1y P ＝8－4kk.因为y P ＝2，所以y 1＝4－2k k.代入直线方程可得x 1＝k －22k 2.同理可得x 2＝2＋k2k 2，y 2＝4＋2k －k.k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4＋2k －k －4－2kk k ＋22－k －22k 2＝－1.不妨设l AB ：y ＝－x ＋b .因为直线AB 与圆C 相切，所以|b －2|2＝22，解得b ＝3或1，当b ＝3时，直线AB 过点P ，舍去．当b ＝1时，由⎩⎨⎧y ＝－x ＋1，y 2＝4x⇒x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32，|AB |＝1＋1·32＝8.P 到直线AB 的距离为d ＝2，△PAB 的面积为4 2.12．(xx·东北四市联考已知函数f (x )＝x 3－ax 2，常数a ∈R . (1)若a ＝1，过点(1,0)作曲线y ＝f (x )的切线l ，求l 的方程；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝x －1只有一个交点，求实数a 的取值范围. 解：函数求导得f ′(x )＝3x 2－2ax . (1)当a ＝1时，有f ′(x )＝3x 2－2x .设切点P 为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2x 0，则P 处的切线方程为y ＝(3x 20－2x 0)(x －x 0)＋x 30－x 20.该直线经过点(1,0)，所以有0＝(3x 20－2x 0)(1－x 0)＋x 30－x 20，化简得x 30－2x 20＋x 0＝0，解得x 0＝0或x 0＝1，所以切线方程为y ＝0和y ＝x －1.(2)解法一：由题意得方程x 3－ax 2－x ＋1＝0只有一个根，设g (x )＝x 3－ax 2＋x ＋1，则g ′(x )＝3x 2－2ax －1，因为Δ＝4a 2＋12＞0，所以g ′(x )有两个零点x 1，x 2，即3x 2i －2ax i －1＝0(i ＝1,2)，且x 1x 2＜0，a ＝3x 2i －12x i，不妨设x 1＜0＜x 2，所以g (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)单调递增，在(x 1，x 2)单调递减，g (x 1)为极大值，g (x 2)为极小值，方程x 3－ax 2－x ＋1＝0只有一个根等价于g (x 1)＞0且g (x 2)＞0，或者g (x 1)＜0且g (x 2)＜0，又g (x i )＝x 3i －ax 2i －x i ＋1＝x 3i －3x 2i －12x i x 2i －x i ＋1＝－12x 3i －x i 2＋1(i ＝1,2)，设h (x )＝－12x 3－x 2＋1，所以h ′(x )＝－32x 2－12＜0，所以h (x )为减函数，又h (1)＝0，所以x ＜1时h (x )＞0，x ＞1时h (x )＜0，所以x i (i ＝1,2)大于1或小于1，由x 1＜0＜x 2知，x i (i ＝1,2)只能小于1，所以由二次函数g ′(x )＝3x 2－2ax －1性质可得g ′(1)＝3－2a －1＞0，所以a ＜1. 解法二：曲线y ＝f (x )与直线y ＝x －1只有一个交点，等价于关于x 的方程ax 2＝x 3－x ＋1只有一个实根．显然x ≠0，所以方程a ＝x －1x ＋1x 2只有一个实根．设函数g (x )＝x －1x ＋1x 2，则g ′(x )＝1＋1x 2－2x 3＝x 3＋x －2x 3. 设h (x )＝x 3＋x －2，h ′(x )＝3x 2＋1＞0，h (x )为增函数，又h (1)＝0.所以当x ＜0时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数；当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数；当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数；所以g (x )在x ＝1时取极小值1.又当x 趋向于0时，g (x )趋向于正无穷；又当x 趋向于负无穷时，g (x )趋向于负无穷；又当x 趋向于正无穷时，g (x )趋向于正无穷．所以g (x )图象大致如图所示，所以方程a ＝x －1x ＋1x 2只有一个实根时，实数a 的取值范围为(－∞，1).。

专题排列组合专题突破训练(练习)2023届高考数学二轮复习专题

排列组合专题突破排列组合专项突破一（两个计数原理）1.．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有()A.288种B．144种C．576种D．96种2．里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有()A．6种B．24种C．36种D．42种3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有多少种不同的排法．() A．1 080B．1 280 C．1 440D．2 5604．甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有种．(用数字作答)排列组合专项突破二（排数问题）1．从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．6B．12C．18D．242．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56B．54C．53D．523．4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成个不同的三位数．4．某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有() A．18种B．20种C．24种D．30种5．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12 521等．两位数的回文数有11,22,33，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是()A．40 B．30C．20D．10排列组合专项突破三（分类问题）1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48B．18C．24D．362．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种3．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为() A．15 B．30C．35D．424．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．105.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．排列组合专项突破四（涂色问题）1. 如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有()A．24B．48C．96D．1202.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120 B．140C．240 D．2603.用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（）A．12B．13C．14D．3164.如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A. 480B. 720C. 1080D. 12005．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为(用数字作答)．排列组合专项突破五（相邻不相邻问题）1.七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是()A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 8002.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．3．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A ．12B ．6C ．8D ．164.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（） A ．12 B ．24 C ．36 D ．485.A 家庭有一对夫妻和两个女儿，B 家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A 家庭的两个女儿要相邻，B 家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端．那么这8人的排座方法种数为． 6.在大课间风采展示中，某班级准备了2个舞蹈，2个独唱，1个小品，共5个节目.要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有___________种，7.北京APEC 峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．96种排列组合专项突破六（分组分配问题）1．从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为( )A ．40B ．60C ．100D ．1202．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为 .3．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种4.数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )A.C 312C 39C 36A 33A 44种 B ．C 312C 39C 3634种 C.C 312C 39C 36A 4443种 D ．C 312C 39C 3643种5.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)6．（多选）下列说法正确的是( )A ．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法B ．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种C ．将4封信投入到3个信箱中，共有64种不同的投法D ．用0,1，…，9十个数字可以组成没有重复数字的三位偶数328个。

专题二数列(难点突破数列的函数特征)2023年高考数学二轮复习(全国通用)

又也满足上式，所以．（2）由（1）得，所以 .由 ,得，即，即，因为，所以，即 .故满足的最小正整数的值为10．
令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以当时，，即，故实数的取值范围为 .
突破点3 数列的最值
例3 (2022·枣庄二模)在① 是与的等差中项，② 是与的等比中项，③数列的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知是公差为2的等差数列，其前项和为， .
因为，所以是首项为，公差为4的等差数列．由的前5项和为65，得，解得，所以 .（2）不存在，使得 .理由如下：由（1）可得，因为，
所以； .所以，所以中的最大项为 .显然，所以对任意的，，所以不存在，使得 .
提分秘籍数列作为特殊的函数，数列的周期性可以通过归纳得到.数列的最值问题可利用函数的单调性求解，当然要注意数比较大小一般要求两个数均为正数．
（1）求数列的通项公式.
（2）设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
▶思维导图
[解析] （1）若选① 是与的等差中项，则，即，解得，所以 .若选② 是与的等比中项，则，即，解得，所以 .若选③数列的前5项和为65，则 .
◎难点精练
1.(2022·湖北模拟)数列 <m></m> 满足 <m></m> 且 <m></m> 是递增数列，则实数 <m></m> 的取值范围是______.
[解析] ∵数列满足且是递增数列，∴需满足即解得，即实数的取值范围是 .

高考数学一轮复习(通用版)专题突破提升练2 Word版含答案

专题突破提升练(二)导数与函数、不等式等知识的热点交汇问题命题点一应用导数研究函数的性质①()的单调减区间是；②()的极小值是－；③当＞时，对任意的＞且≠，恒有()＞()＋′()(－)；④函数()有且只有一个零点．其中真命题的个数为( )．个．个．个．个【解析】因为()＝－－－，所以其导函数为′()＝－－＝(－)(＋)，令′()＜，解得－＜＜；令′()＞，解得＜－或＞；所以函数()的单调递减区间为，所以①错误；根据单调性可判断()的极小值是()＝－，()的极大值为＜，故函数()有且只有一个零点，所以④和②正确；又因为＞，对任意的＞且≠，所以()－()－′()(－)＝－－－＋＋－(－－)(－)，所以＋－－－＋＞，所以恒有()＞()＋′()(－)，故③正确；故选.【答案】．(·安徽高考)设＋＋＝，其中，均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是．(写出所有正确条件的编号)①＝－，＝－；②＝－，＝；③＝－，>；④＝，＝；⑤＝，＝.【解析】令()＝＋＋，则′()＝＋.当≥时，′()≥，()单调递增，④⑤正确；当<时，若＝－，则′()＝－＝(＋)(－)，∴()极大＝(－)＝－＋＋＝＋，()极小＝()＝－＋＝－，要使()＝仅有一个实根，需()极大<或()极小>，∴<－或>，①③正确，②不正确．故填①③④⑤.【答案】①③④⑤．(·衡水二模)已知函数()＝，∈.()当＝时，求曲线＝()在点(，())处的切线方程；()当＝－时，求证：()在(，＋∞)上为增函数；()若()在区间()上有且只有一个极值点，求的取值范围．【解】函数()的定义域为{≠}，′()＝.()当＝时，()＝，′()＝(＋)，所以()＝，′()＝.所以曲线＝()在点(，())处的切线方程是－＝(－)，即－－＝.()证明：当＝－时，′()＝(＞)．设()＝＋－＋，则′()＝＋－＝(－)(＋)．令′()＝(－)(＋)＞，得＞.令′()＝(－)(＋)＜，得＜＜.所以函数()在上是减函数，在上是增函数，所以函数()在＝处取得最小值，且＝＞.所以()在(，＋∞)上恒大于零．于是，当∈(，＋∞)时，′()＝＞恒成立．所以当＝－时，函数()在(，＋∞)上为增函数．()′()＝.设()＝＋＋－，则′()＝＋＋.①当＞时，′()＞在(，＋∞)上恒成立，即函数()在(，＋∞)上为增函数．而()＝－＜，()＝＞.则函数()在区间()上有且只有一个零点，即()＝，即′()＝，且在(，)上，′()＜，在()上，′()＞.故为函数()在区间()上唯一的极小值点．②当＝时，′()＝＋＞，∈()恒成立，则函数()在区间()上为增函数，此时()＝，所以函数()＞在区间()上恒成立，。

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专题突破提升练(二)导数与函数、不等式等知识的热点交汇问题命题点一应用导数研究函数的性质x )． ①f (x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2；②f (x )的极小值是－15；③当a ＞2时，对任意的x ＞2且x ≠a ，恒有f (x )＞f (a )＋f ′(a )(x －a )；④函数f (x )有且只有一个零点．其中真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】因为f (x )＝x 3－2x 2－4x －7，所以其导函数为f ′(x )＝3x 2－4x －4＝(x －2)(3x ＋2)，令f ′(x )＜0，解得－23＜x ＜2；令f ′(x )＞0，解得x ＜－23或x ＞2；所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2，所以①错误；根据单调性可判断f (x )的极小值是f (2)＝－15，f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＜0，故函数f (x )有且只有一个零点，所以④和②正确；又因为a ＞2，对任意的x ＞2且x ≠a ，所以f (x )－f (a )－f ′(a )(x －a )＝x 3－2x 2－4x －a 3＋2a 2＋4a －(3a 2－4a －4)(x －a )，所以x 3＋2a 3－2x 2－2a 2－3a 2x ＋4ax ＞0，所以恒有f (x )＞f (a )＋f ′(a )(x －a )，故③正确；故选C.【答案】 C2．(2015·安徽高考)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.【解析】令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，则f ′(x )＝3x 2＋a .当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，④⑤正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， ∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使f (x )＝0仅有一个实根，需f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，②不正确．故填①③④⑤. 【答案】 ①③④⑤3．(2015·衡水二模)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x e x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当a ＝－1时，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数；(3)若f (x )在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．【解】函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝x 3＋x 2＋ax －a x 2e x.(1)当a ＝0时，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，所以f (1)＝e ，f ′(1)＝2e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)证明：当a ＝－1时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2e x(x ＞0)．设g (x )＝x 3＋x 2－x ＋1，则g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)．令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)＞0，得x ＞13.令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)＜0，得0＜x ＜13.所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数，所以函数g (x )在x ＝13处取得最小值，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2227＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上恒大于零．于是，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2e x＞0恒成立．所以当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(3)f ′(x )＝x 3＋x 2＋ax －a x 2e x.设h (x )＝x 3＋x 2＋ax －a ，则h ′(x )＝3x 2＋2x ＋a .①当a ＞0时，h ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数h (x )在(0，＋∞)上为增函数．而h (0)＝－a ＜0，h (1)＝2＞0.则函数h (x )在区间(0,1)上有且只有一个零点x 0，即h (x 0)＝0，即f ′(x 0)＝0，且在(0，x 0)上，f ′(x )＜0，在(x 0,1)上，f ′(x )＞0. 故x 0为函数f (x )在区间(0,1)上唯一的极小值点． ②当a ＝0时，h ′(x )＝3x 2＋2x ＞0，x ∈(0,1)恒成立，则函数h (x )在区间(0,1)上为增函数，此时h (0)＝0，所以函数h (x )＞0在区间(0,1)上恒成立，即f ′(x )＞0.故函数f (x )在区间(0,1)上为单调递增函数．所以f (x )在区间(0,1)上无极值．③当a ＜0时，h (x )＝x 3＋x 2＋ax －a ＝x 3＋x 2＋a (x －1)，总有h (x )＞0，x ∈(0,1)成立，即f ′(x )＞0成立．故函数f (x )在区间(0,1)上为单调递增函数．所以f (x )在区间(0,1)上无极值．综上所述，a ＞0，即a 的取值范围为(0，＋∞)．4．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于 f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫427a 3＋b ＜0，从而⎩⎨⎧a ＞0，－427a 3＜b ＜0或⎩⎨⎧a ＜0，0＜b ＜－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a ＞0时，427a 3－a ＋c ＞0或当a ＜0时，427a 3－a ＋c ＜0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，则在(－∞，－3)上g (a )＜0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )＞0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a ]．因为函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3＞0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.综上c ＝1.5.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋1x＋ax (a 是实数)，g (x )＝2xx 2＋1＋1. (1)当a ＝2时，求函数f (x )在定义域上的最值；(2)若函数f (x )在[1，＋∞)上是单调函数，求a 的取值范围；(3)是否存在正实数a 满足：对于任意x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋1x＋2x ，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1x2＋2＝2x 2＋x －1x 2＝(2x －1)(x ＋1)x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝12.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在x ＝12处取到最小值，最小值为3－ln2；无最大值．(2)f ′(x )＝1x －1x 2＋a ＝ax 2＋x －1x 2，x ∈[1，＋∞)，显然a ≥0时，f ′(x )≥0，且不恒等于0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，符合要求．当a ＜0时，令h (x )＝ax 2＋x －1，易知h (x )≥0在[1，＋∞)上不恒成立，所以函数f (x )在[1，＋∞)上只能是单调递减函数．所以Δ＝1＋4a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0h (1)≤0－12a ≤1，解得a ≤－14.综上，满足条件的a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[0，＋∞)．(3)不存在满足条件的正实数a .由(2)知，a ＞0时f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数，所以f (x )在[1,2]上是单调递增函数．所以对于任意x 1∈[1,2]，f (1)≤f (x 1)≤f (2)，即f (x 1)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a ，ln 2＋12＋2a .g ′(x )＝2(1－x 2)(1＋x 2)2，当x ∈[1,2]时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[1,2]上是单调递减函数．所以当x 2∈[1,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2.若对于任意x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a ，ln 2＋12＋2a ⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，此时a 无解．所以不存在满足条件的正实数a .6.(2015·四川高考)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．【解】 (1)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． (2)证明：由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x .令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0，于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0. 令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)．由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故0＝u (1)<a 0＝u (x 0)f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0；又当x ∈(0,1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x >0. 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．命题点二应用导数解决与不等式有关的问题f (x )满足f (1)＝2，且f (x )的导函数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )＜1，则不等式f (x )＜x ＋1的解集为( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f (x )＜x ＋1可化为f (x )－x －1＜0，令g (x )＝f (x )－x －1，则g ′(x )＝f ′(x )－1，因为f ′(x )＜1，∴g ′(x )＜0，即g (x )在R 上单调递减，又g (1)＝f (1)－1－1＝2－2＝0，则g (x )＜0的解集为{x |x ＞1}．所以f (x )＜x ＋1的解集为{x |x ＞1}．【答案】 B2．(2015·福建高考)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>kk －1【解析】令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1.∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数．又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1. 【答案】 C3.(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1，求a 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ， f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1>a a －1，所以不合题意．③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<aa －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]使得f (x 1)＜g (x 2)，求a 的取值范围．【解】 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x(x ＞0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1,2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0. (2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x ＞0)，①当a ≥0时，由于x ＞0，故ax ＋1＞0，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )＞0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )＜0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知知所求可转化为f (x )max ＜g (x )max ，g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0,1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2＞－1－ln(－a )，解得a ＜－1e 3，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 3. 5.(2015·长春二模)已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)在(1)的条件下，求证：f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116；(3)当x ∈[e ，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝2x －a －ax，由题意可得f ′(1)＝0，解得a ＝1. 经检验，a ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝x 2－x －ln x ，令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋5x22－4x ＋116＝x 33－3x 22＋3x －ln x －116，由g ′(x )＝x 2－3x ＋3－1x ＝x 3－1x －3(x －1)＝(x －1)3x(x ＞0)，可知g (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )≥g (1)＝0，所以f (x )≥－x 33＋5x 22－4x ＋116成立．(3)由x ∈[e ，＋∞)知，x ＋ln x ＞0，所以f (x )≥0恒成立等价于a ≤x 2x ＋ln x在x ∈[e ，＋∞)时恒成立，令h (x )＝x 2x ＋ln x，x ∈[e ，＋∞)，有h ′(x )＝x (x －1＋2ln x )(x ＋ln x )2＞0，所以h (x )在[e ，＋∞)上是增函数，有h (x )≥h (e)＝e 2e ＋1，所以a ≤e2e ＋1，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e 2e ＋1. 6.(2015·山西四校联考)设函数f (x )＝ln x ＋kx，k ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调递减区间和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意x 1＞x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＜x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围．【解】 (1)由条件得f ′(x )＝1x －kx2(x ＞0)，∵曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直， ∴此切线的斜率为0，即f ′(e)＝0，1e －ke 2＝0，得k ＝e ，∴f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2(x ＞0)，由f ′(x )＜0得0＜x ＜e ，由f ′(x )＞0得x ＞e ， ∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，当x ＝e 时f (x )取得极小值f (e)＝lne ＋ee ＝2.故f (x )的单调递减区间为(0，e)，极小值为2.(2)条件等价于对任意x 1＞x 2＞0，f (x 1)－x 1＜f (x 2)－x 2恒成立，(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋k x－x (x ＞0)．则(*)式等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －kx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得k ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴k ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫对k ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立，故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.。