1-3 常见特殊矩阵
特殊矩阵
性质： ） 性质：（1）A 是对称阵 ⇔ AT = A ⇔ AT = − A A是反对称阵 是反对称阵 2）A,B是n阶对称阵 （2）A,B是n阶对称阵 ⇒ A + B 是对称阵 A,B是n阶对称阵 是 阶对称阵 是对称阵（例见P.71） ⇒ AB 是对称阵（例见 ）
但有： 但有： （P.71例） 例 A,B是n阶对称阵，则 是 阶对称阵 阶对称阵， 证 “⇐”
（四） 三角矩阵
a11 0 ⋮ 0 a12 ⋯ a1n a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ a nn
a11 a 21 ⋮ a n1 0 0 0 a 22 0 0 ⋮ ⋱ 0 a n 2 ⋯ a nn
1 0 0 0 0 2 0 0 不是对角阵 0 0 3 0
阶对角阵， 为常数 性质 （1）A,B为n阶对角阵，k为常数 ） 为 阶对角阵
仍为对角阵， ⇒ kA, A + B , AB , BA仍为对角阵，且 AB = BA.
因
a11 b11 a11b11 a22 b22 a22b22 AB = = ⋱ ⋱ ⋱ annbnn ann bnn
+B ) I
n −1
常用的矩阵
常用的矩阵一、单位矩阵单位矩阵是一个方阵，它的对角线上的元素都是1，其他位置的元素都是0。
单位矩阵在矩阵运算中起到了重要的作用，它可以保持矩阵的性质不变。
在线性代数中，单位矩阵是一个非常常用的概念，它用于表示单位向量和标准坐标系。
二、对角矩阵对角矩阵是一个只有主对角线上有非零元素的方阵。
对角矩阵有很多重要的性质，例如它们的转置矩阵和逆矩阵也是对角矩阵。
在物理学、工程学和经济学等领域中，对角矩阵常常用来表示系统的特征值和特征向量。
三、零矩阵零矩阵是一个所有元素都是0的矩阵。
零矩阵在矩阵运算中起到了很重要的作用，它是加法和乘法运算的单位元。
在线性代数中，零矩阵是一个非常基本的概念，它用于表示没有任何信息或没有任何变化的矩阵。
四、方阵方阵是一个行数和列数相等的矩阵。
方阵在很多领域中都有应用，例如在线性代数中，方阵用于表示线性变换；在图论中，方阵用于表示图的邻接矩阵；在计算机科学中，方阵用于表示图像的像素矩阵。
方阵具有很多重要的性质和特征，在矩阵的理论中占据了重要的地位。
五、转置矩阵转置矩阵是将一个矩阵的行和列互换得到的矩阵。
转置矩阵在矩阵运算中有很多重要的应用，例如它可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的秩和求解最小二乘问题。
转置矩阵也可以用于表示向量的转置。
六、逆矩阵逆矩阵是一个矩阵和它的逆矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵。
逆矩阵在线性代数中起到了重要的作用，它可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的秩和求解最小二乘问题。
逆矩阵的存在和唯一性是很重要的性质，在矩阵的理论中有着重要的应用。
以上介绍了几种常见的矩阵及其应用。
矩阵在各个领域中都有重要的作用，它们不仅是数学理论的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习和理解矩阵的性质和特征，我们可以更好地应用矩阵来解决实际问题。
希望本文对读者能够有所启发，增加对矩阵的认识和理解。
1-3 常见特殊矩阵讲解学习
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)； 分块(block)上(下)三角矩阵； 分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。
2. 初等变换矩阵
第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)； 第二类：A2=I+beiejT； 第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]； 左行右列
对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。
下列条件都等价：
1. A是半正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于等于0； 3. 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。
设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有 x*Ax>(<,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半 负定)矩阵。
6. V=Rn，A>0， <x,y>=xTAy；a
在欧式空间中，称非负实数 x, x 为x的长度 (模、范数)，记为||x||。
1. ||kx||=|k| ||x||； 2. ||x+y||=||x||+||y||； 3. ||<x,y>||≤||x|| ||y||。
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几种特殊的矩阵
a11 a12 a13 ... a1n b11 b12 b13 ... a1n
0
a22
a23
...
a2n
0
b22
b23
...
b2n
0 0 a33 ... a3n 0 0 b33 ... b3n
0 0 0 ... ann 0 0 0 ... bnn
c11
0
0
0
c12 c13 c22 c24 0 c33
a11
0
a12 a22
a13 a23
... ...
a1n
a2
n
ka11
0
ka12 ka22
ka13 ka23
... ka1n
...
ka2n
k 0 0 a33 ... a3n 0
0 ka33 ... ka3n
0
0
0
...
ann
0
0
0 ... kann
即 数k乘n阶上三角矩阵后 还是n 阶上三角矩阵.
0 a33
... ...
0 0
0
0
0
... ann
a1n a2n a3n ... ann
同理, 所有n 阶下三角 矩 阵关于加法、数乘、
乘法封闭.下三角矩阵的转置矩阵 为上三角矩阵。
a11 0 ...
对角矩阵 0 a22 ...
0 0
既可看成上三角矩阵 也可看成下三角矩阵.
0
0
...
在矩阵的乘法中 数量矩阵 起着“数”的作用。
3.三角形矩阵
如果n阶方阵A=(aij)中 的元素满足条件：i j时,
aij 0 即
a11 a12 a13 ... a1n
常见的矩阵分类
常见的矩阵可以按照不同的属性和用途进行分类。
首先，根据元素是否为实数或复数，矩阵可以被分为实矩阵和复矩阵。
其次，如果矩阵的行数和列数相等，我们称之为方阵，否则就称为一般的矩阵。
特殊的，当矩阵只有一行或者一列时，分别被称为行矩阵或列矩阵。
此外，以下列举了一些特殊类型的矩阵：
-对角矩阵：除对角线元素外，其余元素均为0的方阵。
-单位矩阵：元素全为1的方阵。
-零矩阵：元素全为0的方阵。
-上三角矩阵：所有主对角线以下的元素都为0的方阵。
-对称矩阵：转置后的矩阵与原矩阵相等。
-正定矩阵：所有特征值都为正的实对称矩阵。
- Toeplitz矩阵：一种具有特定结构的矩阵，其特点是每个斜对角线上的元素都相同。
线性代数-特殊矩阵
例3 设 A2 A, E 是单位矩阵，证明：
( A E )m E (2m1 1) A
其中, m是正整数. 证 A,E相乘可以交换，由二项式定理有：
( A E )m
0 1 2 m 1 m Cm Am Cm Am 1 Cm Am 2 Cm A Cm E
2.2
几种特殊的矩阵
• 对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵 • 上(下)三角形矩阵 • 对称矩阵和反对称矩阵 • 幂等矩阵，幂幺矩阵和幂零矩阵
一、对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵
1.对角矩阵 形如
a1 a2 的方阵称为对角矩阵． an nn
【注】 1o A ( aij )nn 为对角矩阵 aij=0(i≠j，i,j=1,2,…,n)
1 0 0 1 例2 设 A 0 0 0 , B 3 1 1 1 , 0 0 1 1
验证A,B都是幂等矩阵． 解
1 0 0 1 0 0 1 2 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 B 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 B 1 0 0 0 0 A 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1
0 a22 an 2 0 0 的方阵称为下三角矩阵． ann
2.下三角形矩阵
【注】A为上三角阵
aij=0, i＞j ( i, j=1,2,…,n)； A为下三角阵 aij=0, i＜j ( i, j=1,2,…,n)．
三、对称矩阵和反对称矩阵
0 1 2 m 1 m Cm A Cm A Cm A Cm A Cm E
特殊矩阵的压缩存储
特殊矩阵的压缩存储简介矩阵是数学和计算机科学中的基本数据结构之一，广泛应用于各个领域。
在某些情况下，矩阵的数据量十分庞大，导致存储和处理的效率低下。
为解决这一问题，特殊矩阵的压缩存储方法应运而生。
什么是特殊矩阵特殊矩阵是指具有一定特征或性质的矩阵。
常见的特殊矩阵包括对角矩阵、三角矩阵、稀疏矩阵等。
这些矩阵在实际应用中具有普遍性和重要性，因为它们往往可以提供更高效的存储和运算方式。
1. 对角矩阵对角矩阵是指所有的非对角元素都为零的矩阵。
由于对角矩阵的特殊属性，可以使用一维数组来存储矩阵的主对角线元素，从而减少存储空间的占用。
2. 三角矩阵三角矩阵是指所有主对角线以下或以上的元素都为零的矩阵。
同样地，三角矩阵可以使用一维数组来压缩存储，只存储非零元素即可。
3. 稀疏矩阵稀疏矩阵是指元素中绝大多数为零的矩阵。
对于稀疏矩阵，传统的二维数组存储方式存在很大的空间浪费。
因此，压缩存储方法可以大幅减少稀疏矩阵的存储空间。
压缩存储方法特殊矩阵的压缩存储方法旨在减少存储空间的占用，并提高对矩阵的操作效率。
常见的压缩存储方法包括对角线压缩法、三角矩阵压缩法和行逻辑链接法等。
1. 对角线压缩法对于对角矩阵和三角矩阵，可以使用对角线压缩法来进行存储。
对角线压缩法是指只存储矩阵的主对角线元素或其他非零对角线元素，并用一维数组来表示。
通过这种方式，可以大幅减少矩阵的存储空间，并方便对矩阵进行操作。
对角矩阵的压缩存储对角矩阵的对角线元素存储在一维数组中，数组的长度等于矩阵的行数或列数。
例如，对于一个3x3的对角矩阵：1 0 00 2 00 0 3可以使用一维数组[1, 2, 3]来表示。
三角矩阵的压缩存储三角矩阵的非零元素存储在一维数组中，数组的长度等于矩阵的行数或列数。
对于下三角矩阵，可以使用一维数组来存储矩阵的下三角部分（不包含主对角线），而上三角矩阵可以使用一维数组来存储矩阵的上三角部分。
例如，对于一个3x3的下三角矩阵：1 0 02 3 04 5 6可以使用一维数组[2, 4, 5]来表示。
1-3 初等矩阵
1
E , 1 CA
T T
即可得 Y CA
1
.
( A , C ) 作初等行变换，
T
（A ,C ) 即可得 Y
T
列变换
1 T T T 1
( E , ( A ) C ), ) C (A ) C ,
T
T
1
T
(A
即可求得
Y.
1） 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2 1 3 3 1 2 5 2 1
r2 2） 1 （
r3 （
2 2 0 3 6 5 0 1 1 1 1 3 2 1 3 5 1 A 3 . 2 2 1 1 1 0 0 1 3
1 (A B) 2 3
1 0 0 0 2 0 0 0 1
2 2 4
3 4 1
3 1 3
2 3 4
5 1 3
1 0 0
0 2 0
0 0 1
3 4 1
2 r 2r 3 6 1 r2 5 r3 3
2 （ r2 2） 6 r 1） （ 3 3
1
设 n 阶 矩 阵 A 非 奇 异 , 由 定 理 6 , 有 初 等 矩 阵 P1 , P2 , , Pm 使 得 Pm P2 P1 A E
因此， Pm P2 P1 A E ） ( Pm P2 P1 A Pm P2 P1 E ) ( E A ) （
1
1
E ij ( k ) .
矩阵的等价
定理1 n 阶矩阵 A 可以经有限次消法变换化为对角矩阵 ， d ia g ( d 1 , d 2 , d r , 0, 0 ).
矩阵的概念及几种特殊矩阵
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3.数量矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为数量矩阵：
a 0 0 A 0 a 0 。
0 0 a
数量矩阵是特殊的对角矩阵：a11=a22==ann=a。
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4.单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 In 或或IE,n 或 E。
例如
3 4
1 2
与
5 6
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a b c d e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2,
e=-5, f=6 时, 它们相
等.
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三、几种特殊的矩阵
1 .零矩阵
若一个矩阵的所有元素都为零, 则称这个矩阵为
零矩阵, m n 零矩阵记为 Ｏm n 在, 不会引起
1 0 0
0 1 0
I
。
0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11=a22==ann=a=1。
单位矩阵的作用： 类似于数字“1”的运算。
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5.对称矩阵
阵，即
如果 n 阶矩阵 A 满足 AT=A ，则称 A 为对称矩
a11 a12 a1n
A
a12 a22 a2n
§2.1 矩阵的概念 几种特殊的矩阵
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一、基本概念
定义 由 m n 个数 aij (i= 1, 2,
几种特殊类型的矩阵
A1
a 1 22
.
0
a 1 nn
下三角形矩阵
a 11
a 21
0 a
22
0 与上三角形 0 矩阵的性质
类似.
a n1
a n2
a nn
正交矩阵
定义 实数域上的方阵A如果满足AA = AA
=E, 则称A为正交矩阵.
例如
cos sin
sin cos
1 0 0 1
都是正交矩阵.
aa i2 j2
a a in jn
0(i
j,i,
j 1,2,n).
a 2 1j
a2 2j
a2 nj
1,
j
1,2,, n.
a1i
a 1
j
a a 2i 2 j
a a ni nj
0(i
j,i,
j
1,2,n).
例 判1别 1下113列2 矩1阵1122是否11231为,正交阵2． 919984
8 9 1
9 4
9
4
9 4
.
9
7
9
解
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的 第一列和第 二列，
由于
1
1 2
1 2
1
1 3
1 2
0,
所以它不是正交矩阵．
解
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
9 9 9
4 9
4 9
7 9
由于
1
9 8
9
4 9
8 9 1
定义 方阵的非主对角线的元素全部为零,
特殊矩阵的压缩存储
特殊矩阵的压缩存储特殊矩阵的压缩存储是一种将矩阵中的零元素省略掉，只存储非零元素及其位置信息的存储方式。
这种存储方式可以大大减少矩阵在内存中所占用的空间，提高计算效率和存储效率。
一、特殊矩阵的定义特殊矩阵是指具有某些特定性质的矩阵。
常见的特殊矩阵有三角矩阵、对称矩阵、对角线矩阵、稀疏矩阵等。
1. 三角矩阵：当一个上三角（下三角）矩阵中除了主对角线和下（上）方所有元素都为零时，称之为上（下）三角矩阵。
2. 对称矩阵：当一个方阵A满足A[i][j]=A[j][i]时，称之为对称矩阵。
3. 对角线矩阵：当一个方形n×n的稠密（dense）或稀松（sparse）实数或复数方针中非对角线元素都为0时，该方针被称为对角线方针。
4. 稀松（sparse）或稀有（sparsest）系数或系数矩阵（sparse matrix）：在数学中，一个矩阵如果大部分元素为零，那么这个矩阵就被称为稀疏矩阵。
二、特殊矩阵的压缩存储方式特殊矩阵的压缩存储方式是一种将矩阵中的零元素省略掉，只存储非零元素及其位置信息的存储方式。
这种存储方式可以大大减少矩阵在内存中所占用的空间，提高计算效率和存储效率。
1. 三角矩阵的压缩存储对于上三角（下三角）矩阵A，只需要把主对角线以下（以上）的元素按行优先顺序排列成一个一维数组B即可。
由于上（下）三角形中有n(n-1)/2个零元素，因此B数组长度为n(n+1)/2。
例如：A = [ 1 2 3 ][ 0 4 5 ][ 0 0 6 ]B = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ]2. 对称矩阵的压缩存储对于对称方针A，只需要把其中任意一个三角形（上或下）中的非零元素按行优先顺序排列成一个一维数组B即可。
由于对称方针中有n(n+1)/2个零元素，因此B数组长度为n(n+1)/2。
例如：A = [ 1 2 3 ][ 2 4 5 ][ 3 5 6 ]B = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ]3. 对角线矩阵的压缩存储对于对角线方针A，只需要把其对角线上的元素按行优先顺序排列成一个一维数组B即可。
1-3常见特殊矩阵
A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；
A2-1=I-beiejT；
A3-1=A3。
分块形式初等变换矩阵。
例1 设A∈Cm×n，B∈Cn×m ，证明：AB和BA的非 零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有 det(Im+AB)=det(In+BA)。
3. 对称矩阵
(a) 实对称矩阵和复Hermite矩阵
特别的可以取y=e1。
设U∈Cn×n，如果满足U*U=UU*=I，则称U为酉 (unitary)矩阵。 酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。
5. 内积空间(欧式空间)
设V是实数域R上的线性空间。如果对于V中任意 两个向量x,y，可以定义一个二元运算<x,y>，并且 满足： 1. 交换性 <x,y>=<y,x>； 2. 分配律 <x,y+z>=<x,y>+<x,z>； 3. 齐次性 <kx,y>=k<x,y>，k∈R； 4. 非负性 <x,x>≥0，且等号只有当x=0时才成立。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号：
用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,…
用小写希腊字母表示标量，如a,b,l,m,…
设A∈Rn×n，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix)。记做A∈SRn×n。 对称矩阵的特征值都是实数。
设A∈Rn×n，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩 阵(skew-symmetric matrix)。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。
几种特殊的矩阵
1. 零矩阵
几种特殊的矩阵
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记作O， 如果要指明其行数与列数，则记为Om×n，即
注意：行（列）数不同的零矩阵是不同的．
几种特殊的矩阵
2. 行（列）矩阵
3. n阶方阵
几种特殊的矩阵
矩阵的行数与列数都为n时，称为n阶矩阵或n阶方阵． 对于n阶方阵
连接其左上角元素a11和右下角元素ann的连线称为矩阵A的 主对角线，位于主对角线上的元素a11，a22，…，ann称为矩阵A 的对角元．
注意：当m=n=1时，在逻辑上，我们把一阶方阵A=a视同 为普通的数a.
4. 对角阵
几种特殊的矩阵
除对角元以外，其余元素全为0的n阶方阵称为n阶对 角阵，记为：
几种特殊的矩阵
注意：当n阶对角阵Λ中对角元a11=a22=…=ann=a时， 则称之为数量矩阵.特别地，当a=1时，该数量矩阵称为 单位矩阵，一般记为En，在不引起混淆的情况下，简记 为E（也有部分教材将n阶单位矩阵记为In或I），即
几种特殊的（上）方元素全为0的n阶方阵称为上 （下）三角形矩阵．例如，
分别是3阶上三角形矩阵和4阶下三角形矩阵． 显然，对角阵既是上三角形矩阵，也是下三角形 矩阵，但反之则不然．
谢谢聆听
几种特殊的矩阵
ann bnn
0 0 M
两个n 还是n阶对角矩阵. 两个n阶对角矩阵的乘积 还是n阶对角矩阵. 对角矩阵的转置 还是对角矩阵. 还是对角矩阵. 所有n 所有n阶对角矩阵 关于加法、 、 、 关于加法、 数乘、 乘法、 转置封闭. 数乘 乘法 转置封闭.
2.数量矩阵 2.数量矩阵 如果n 对角矩阵A 如果n阶对角矩阵A中的元素a11 = a22 = a33 = ... = ann a 0 ... 0 即
0 0 = B( aEn ) = a ( BEn )= aB M a
用一个n阶数量矩阵右乘 B， 用一个n 等于用数 a 乘B 起着“ 的作用。 在矩阵的乘法中 数量矩阵 起着“数”的作用。
3.三角形矩阵 3.三角形矩阵 i 如果n 方阵A=(a 的元素满足条件： 如果n阶方阵A=(aij)中的元素满足条件： > j 时,
a13 a23 a33 M 0
... a1n b11 ... a2 n 0 ... a3 n 0 M M ... ann 0
c13 c 24 c 33 ... ... ...
M
b12 b22 0 M 0
b13 b23 b33 M 0
... a1n ... b2 n ... b3 n M ... bnn
0 a ... 0 A= M M M 0 0 ... a
则称A 则称A为n阶数量矩阵. 数量矩阵.
a 0 ... 0 1 0 a ... 0 0 = a A= M M M M 0 0 0 ... a
0 ... 0 1 ... 0 = aE M M 0 ... 1
则称A 下三角矩阵. 则称A为n 阶下三角矩阵. 即主对角线右上方 的元素均为零 的矩阵称为 下三角矩阵. 下三角矩阵 注意： 必为方阵. 注意：上、下三角矩阵 必为方阵.
矩阵理论中的特殊方阵分类
矩阵理论中的特殊方阵分类矩阵理论是数学领域中的重要分支之一，其研究的对象是矩阵以及它们之间的各种关系与性质。
矩阵在很多领域中都有着广泛的应用，比如物理学中的量子力学，工程学中的信号处理等等。
而在矩阵理论中，特殊方阵的分类是一个十分重要且具有挑战性的问题。
特殊方阵是指其满足一些特殊的性质，比如方阵中的所有元素都为1或-1，对称矩阵中的对角线元素都为1等等。
这些特殊的性质使得这些矩阵在很多领域中都有着广泛的应用，比如在密码学中，置换矩阵的应用，就依赖于特殊的矩阵结构。
特殊方阵的分类问题可以被分为不同的问题，比如如何刻画一个特殊方阵的结构，如何刻画一类特殊方阵的结构等等。
这些问题都十分重要，因为它们能够帮助我们更好地理解矩阵以及它们之间的性质。
对于不同的特殊方阵，它们的分类方式也有所不同。
以对称矩阵为例，对称矩阵是指矩阵中的元素关于主对角线对称，即aij=aji。
对称矩阵有着很多重要的性质，比如它们的特征值都是实数。
而对称矩阵可以被分为三类，分别是正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵以及半负定矩阵。
正定矩阵是指所有特征值都是正数的矩阵，而半正定矩阵则是指所有特征值都大于等于0的矩阵。
同样的，负定矩阵是指所有特征值都为负数的矩阵，而半负定矩阵则是指所有特征值都小于等于0的矩阵。
这些分类方式对于对称矩阵的研究有着重要的意义，因为这些矩阵在很多领域中都有着广泛的应用。
除了对称矩阵的分类外，其它特殊矩阵的分类也是一个重要的问题。
比如二元矩阵就是一类具有二值元素（取值只能是0或1）的矩阵。
二元矩阵可以被分为很多不同的类别，比如0-1矩阵、置换矩阵、割边矩阵等等。
这些分类方式对于图论等领域中的问题具有很大的帮助。
总的来说，特殊方阵的分类问题是矩阵理论中的一个重要问题，它帮助我们更好地理解矩阵以及它们之间的各种性质。
特殊方阵也广泛地应用于很多领域中，比如密码学、图论、物理学等等。
随着深度学习等领域的兴起，矩阵理论的应用也越来越广泛，相信在未来的研究中，矩阵理论的地位也将愈加重要。
1-3 常见特殊矩阵
把正定矩阵定义中的x 改成x 把正定矩阵定义中的 TAx>0改成 TAx<0，则称 改成 ，则称A 矩阵。 是负定 (negative definite)矩阵。记做 矩阵 记做A<0。 。 负定矩阵的特征值都是负数 负数。 负定矩阵的特征值都是负数。
× 如果对任意x∈ 设A∈SRn×n，如果对任意 ∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 ∈ ， 称A为半正 负)定 (semi positive/negative definite) 为半正(负 定 矩阵，记做A≥(≤)0。 矩阵，记做 。
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果 TQ=QQT=I，则称 为正交 ∈ × 如果Q ，则称Q为 (orthogonal)矩阵。 矩阵。 矩阵 正交矩阵一定可逆， 正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 是正交矩阵， 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 也 都是正交矩阵。 都是正交矩阵。 1. Givens变换： 变换： 变换 A = c s , c 2 + s 2 = 1, A = cosθ sinθ . − s c − sinθ cosθ 可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变 可以通过一系列的 变换把任意非零向量变 的倍数。 成e1的倍数。
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵 4. 正交矩阵 5. 内积空间
我们尽量采用如下记号： 我们尽量采用如下记号： 用大写英文字母表示矩阵， 用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素， a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量， 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,… 用小写希腊字母表示标量， 用小写希腊字母表示标量，如α,β,λ,µ,…
第6章 几类特殊矩阵
n
，则
( A)
.
推论 4 设 A (aij ) C
n
nn
，又 x1 ,
x 2 , L , x n 为任意 n 个正
a x ij j j 1 数，设 1 max ， xi xj n 1 max a ij xi i 1
j 1 j t
n
两边除以 x t 并取模得
| att | | atj |
j 1 j t
n
xj xt
| atj | Rt (A) ，
j 1 j t
n
所以 S t ，即 S S i ．
i 1
n
例 3 设 A (aij ) C
nn
定义 2 设 A O 为不可约 n 阶矩阵， k 为 A 的模 令 等于 ( A) 的特征值的个数。若 k 1 时，则称 A 为本原矩 阵，若 k
1 时，则称 A 为具有指标 k 的循环矩阵
正矩阵是本原矩阵，但本原矩阵未必都是正矩阵
本原矩阵的性质： 定理 6 阵，则 （1） （2） （3） 设 A ， B 均为 n 阶非负矩阵，且 A 是本原矩
设A
O 为 n 阶矩阵，则
A 有一非负特征值等于它的谱半径，此外，这特征值为
正，除非 A 为可约并且 A 的法式为严格上三角矩阵
（2） 对应于 ( A) 有特征向量 x
0
（3） 当 A 的任一元素增加时， ( A) 不减少
定理 4 则 ( B) 设 A 和 B 为两个 n 阶矩阵，并且 O
则
( A) mi n( 1 , 1 ) .
例4
0 1 0 设B 4 1 1
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特别的可以取y=e1。
设U∈Cn×n，如果满足U*U=UU*=I，则称U为酉 (unitary)矩阵。 酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。
5. 内积空间(欧式空间)
设V是实数域R上的线性空间。如果对于V中任意 两个向量x,y，可以定义一个二元运算<x,y>，并且 满足： 1. 交换性 <x,y>=<y,x>； 2. 分配律 <x,y+z>=<x,y>+<x,z>； 3. 齐次性 <kx,y>=k<x,y>，k∈R； 4. 非负性 <x,x>≥0，且等号只有当x=0时才成立。
A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；
A2-1=I-beiejT；
A3-1=A3。
分块形式初等变换矩阵。
例1 设A∈Cm×n，B∈Cn×m ，证明：AB和BA的非 零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有 det(Im+AB)=det(In+BA)。
3. 对称矩阵
(a) 实对称矩阵和复Hermite矩阵变换把任意非零向量变 成e1的倍数。
2. Householder变换：
任给单位向量u，定义H=I-2uuT，则H被称为 Householder矩阵。
H满足：HT=H，H2=I，det(H)=-1。
对任意非零向量x，y，总可以找到一个
Householder矩阵H，使得Hx=ay。
把正定矩阵定义中的xTAx>0改成xTAx<0，则称A 是负定 (negative definite)矩阵。记做A<0。 负定矩阵的特征值都是负数。
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则 称A为半正(负)定 (semi positive/negative definite) 矩阵，记做A≥(≤)0。
则称这个二元运算是内积，V称为Euclid空间，或 欧式空间，或内积空间。
上述定义可以推广到复数域C上。
1. V=Rn，<x,y>=xTy； 2. V=Cn，<x,y>=x*y； 3. V=Cn，<x,y>=xTy； 不是内积 4. V=Rn×n，<A,B>=tr(ABT)；
5. V=C[a,b]， f ( x), g( x) b f ( x)g( x)dx ；
设A∈Rn×n，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵 (symmetric matrix)。记做A∈SRn×n。 对称矩阵的特征值都是实数。
设A∈Rn×n，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩 阵(skew-symmetric matrix)。 反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。
设A∈Cn×n，如果满足A=A*，则称A为Hermite 矩 阵(Hermitian matrix)；如果满足A=-A*，则称A为 反Hermite 矩阵(skew-Hermitian matrix)。
In表示n阶单位矩阵(identity matrix of order n)； ei表示In的第i列； 对角矩阵(diagonal matrix)：A=diag(a11,a22,…,ann) 上三角矩阵(upper triangular matrix) 下三角矩阵(lower triangular matrix) 上(下)三角矩阵的特征值就是对角元； 上(下)三角矩阵的逆矩阵仍然是上(下)三角矩阵；
1.3 常见特殊矩阵
1. 上三角矩阵 2. 初等变换矩阵 3. 对称矩阵
4. 内积空间
我们尽量采用如下记号：
用大写英文字母表示矩阵，如A,B,… 用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如 a11,b2n,… 用小写英文字母表示向量，如x,y,z,…
用小写希腊字母表示标量，如a,b,l,m,…
1. 上三角矩阵
分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)； 分块(block)上(下)三角矩阵； 分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征 值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。
2. 初等变换矩阵
第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)； 第二类：A2=I+beiejT； 第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]； 左行右列
(b) 正定矩阵
设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn都有xTAx>0，则称 A为对称正定 (symmetric positive definite)矩阵。 记做A>0。 对称正定矩阵的特征值都是正数。 下列条件都等价： 1. A是正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于0； 3. 存在非奇异矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都是正数。
6. V=Rn，A>0， <x,y>=xTAy；a
在欧式空间中，称非负实数 x, x 为x的长度 (模、范数)，记为||x||。
1. ||kx||=|k| ||x||； 2. ||x+y||=||x||+||y||； 3. ||<x,y>||≤||x|| ||y||。
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
4. 正交矩阵
设Q∈Rn×n，如果QTQ=QQT=I，则称Q为正交 (orthogonal)矩阵。
正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。 设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1, Q1Q2, diag(Q1,Q2)也 都是正交矩阵。
1. Givens变换：
A
c s
s c
,
c2 s2 1,
A
cos sin
对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。
下列条件都等价：
1. A是半正定矩阵； 2. A的所有顺序主子式都大于等于0； 3. 存在矩阵C，使得A=CCT； 4. A对称，且所有特征值都非负。
设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有 x*Ax>(<,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半 负定)矩阵。