2001考研数一真题及答案解析

存在切平面.若存在时,法向量
n=
f
(0, 0) ，f x
(0, y
0)
，
1
{3,1,-1}与{3,1,1}不
共线,因而(B)不成立.
x t,
关于(C),该曲线的参数方程为
y
0,
z f (t, 0),
它在点 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为
因此,(C)成立.
{t ', 0, d dt
0 0
0 0
0 0
,
则
A
与
B
1 1 1 1
0 0 0 0
(A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.
(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 的相关系
数等于
(A)-1.
(B) 0.
1
(C) .
2
十二、(本题满分 7 分)
设 总 体 X 服 从 正 态 分 布 N (, 2 ) ( 0 ), 从 该 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本
X1, X 2 , ,
X 2n ( n 2 ),其样本均值为 X
1 2n
2n i 1
Xi
,求统计量 Y
n
(Xi
i 1
X ni
2X )2
的
数学期望 E(Y ) .
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)
(1)设 y ex (C1 sin x C2 cos x) ( C1, C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通
解,则该方程为_____________.
f
(1 cos h) 1 cosh
1
cos h2
h
t
1
cos
h
1 lim 2 t0
f (t) t
,
由此可知
lim
h0
1 h2
f (1 cos h)
f
'
(0)
.
若 f (x) 在 x 0 可导 (A)成立,反之若(A)成立 f' (0) f ' (0) .如 f (x) | x | 满
设
f
(x)
1 x2 = x
arctan
x,
1,
x x
0,
将
0,
f (x) 展开成 x 的幂级数,并求级数
(1)n n1 1 4n 2
的和.
六、(本题满分 7 分)
计算 I ( y 2 z 2 )dx (2z 2 x 2 )dy (3x 2 y 2 )dz ,其中 L 是平面 x y z 2 与柱 L
(2)设 r x 2 y 2 z 2 ,则 div(gradr) (1,2,2) =_____________.
0
1 y
(3)交换二次积分的积分次序: dy f (x, y)dx ＝_____________.
1
2
(4)设矩阵 A 满足 A2 A 4E 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A E)1 =_____________.
2001 年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是 r1, r2 1 i ,从而得知特征方程为 (r r1)(r r2 ) r 2 (r1 r2 )r r1r2 r 2 2r 2 0 .
由此,所求微分方程为 y'' 2 y' 2 y 0 .
足(A),但 f ' (0) 不 .
关于(D):若 f (x) 在 x 0 可导,
lim 1 [ f (2h) f (h)] lim[2 f (2h) f ( h)] 2 f '(0) f '(0) .
h0 h
h0
2h
h
(D)成立.反之(D)成立 lim( f (2h) f (h)) 0 f (x) 在 x 0 连续, f (x) 在 x 0 可 h0
事实上, Cov(X ,Y ) Cov(X , n X ) DX , DY D(n X ) DX ,由此由相关系数的定
义式有
XY
Cov(X ,Y ) DX DY
DX 1. DX DY
三、【解】
原式= 1 arctan exd(e2x ) 1 [e2x arctan ex
必能相似对角化,所以 A 与对角矩阵 B 相似. 作为实对称矩阵,当 A B 时,知 A 与 B 有相同的特征值,从而二次型 xT Ax 与 xT Bx 有相同的
正负惯性指数,因此 A 与 B 合同.
所以本题应当选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如
A
1 0
0 2
(D) 1.
三、(本题满分 6 分)
求
arctan e2x
e
x
dx
.
四、(本题满分 6 分)
设函数 z
f (x, y) 在点 (1,1) 处可微,且
f (1,1) 1, f x
|(1,1)
2
,
f y
|(1,1) 3 , (x)
f (x,
f
(x,
x))
.求
d dx
3 (x)
x 1
.
五、(本题满分 8 分)
f (t, 0)} |t0 {1, 0,
f x'(0, 0)} {1, 0,3}
.
(3)【分析】 当 f (0) 0 时, f ' (0) lim f (x) lim f (x) lim f (x) .
x0 x
x x0
x x0
关于(A):
lim
h0
1 h2
f (1 cos h) lim h0
定义法.
因为
( A E)( A 2E) 2E A2 A 4E 0 ,
故 按定义知
( A E)( A 2E) 2E ,即 ( A E)1 1 ( A 2E) .
2
(A E) A 2E E . 2
(5)【分析】 根据切比雪夫不等式
P{ X
E(X )
}
D(x) 2 ,
于是
lim
h0
1 h2
f (1 cosh) 存在.
(C)
lim
h0
1 h2
f (h sinh) 存在.
(B) lim 1 f (1 eh) 存在. h0 h
(D) lim 1 [ f (2h) f (h)] 存在. h0 h
1 1 1 1 4 0 0 0
(4)设
A
1 1
1 1
1 1
1 1
,
B
0 0
z f (x, y)
(C) 曲线
y0
在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{1,0,3}.
z f (x, y)
(D) 曲线
y0
在 (0, 0, f (0, 0)) 处的切向量为{3,0,1}.
(3)设 f (0) 0 ,则 f (x) 在 x =0 处可导的充要条件为
(A)
(2)【分析】 先求 gradr.
gradr=
r x
,
r y
,
r z
x r
,
y r
,
z r
.
再求
divgradr= ( x ) ( y ) ( z )
x r y r z r
=(1 r
x2 r3
)
Βιβλιοθήκη Baidu
(
1 r
y2 r3
)
(
1 r
z r
2 3
)
3 r
x2
y2 r3
z2
2 r
.
于是
九、(本题满分 6 分)
设1, 2 ,, s 为线性方程组 Ax 0 的一个基础解系, 1 t11 t22 , 2 t12 t23 , ,
s t1s t21 ,其中 t1 , t2 为实常数.试问 t1 , t2 满足什么条件时, 1 , 2 ,, s 也为 Ax 0 的一个
基础解系.
关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由 f (x, y) 在(0,0)存在两个偏导数 f (x, y) 在(0,0)处可
微.因此(A)不一定成立.
关于(B)只能假设
f
(x, y) 在(0,0)存在偏导数
f
(0, x
0)
,
f
(0, 0) y
,不保证曲面 z
f
(x, y) 在
(0, 0,
f
(0, 0))
f (x, y)dxdy .
1 1 y
D
由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D :
1 y 0,1 y x 2 .
见图.现可交换积分次序
原式=
0
dy
2
f (x, y)dx
2
dx
0
f (x, y)dy
2
1 x
dx f (x, y)dy .
1 1 y
1
1 x
1
0
(4)【分析】 矩阵 A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用
divgradr|
(1,2,2)
=
2 r
|(1,2,2)
2 3
.
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 1 y 0 时
1 y 2 .由此看出二次积分
0
2
dy
f (x, y)dx 是二重积分的一个累次
1 1 y
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
0
2
dy
f (x, y)dx
与B
1 0
0 3 ,
它们的特征值不同,故 A 与 B 不相似,但它们的正惯性指数均为 2,负惯性指数均为 0.所以 A 与 B 合
同.
(5)【分析】 解本题的关键是明确 X 和 Y 的关系: X Y n ,即 Y n X ,在此基础上利用性质:
相关系数 XY 的绝对值等于 1 的充要条件是随机变量 X 与 Y 之间存在线性关系,即 Y aX b (其 中 a, b 是常数),且当 a 0 时, XY 1 ;当 a 0 时, XY 1 ,由此便知 XY 1 ,应选(A).
面 x y 1 的交线,从 Z 轴正向看去, L 为逆时针方向.
七、(本题满分 7 分)
设 f (x) 在 (1,1) 内具有二阶连续导数且 f (x) 0 ,试证:
(1)对于 (1,1) 内的任一 x 0 ,存在惟一的 (x) (0,1) ,使 f (x) = f (0) + xf ( (x)x) 成立;
h sin h h2
0 .因而,若
f
' (0)
(C)成立.反之若(C)成立
lim
t0
f (t) t
(即
f
' (0)
).因为只要
f (t)
有界,任有(C)成立,如
f (x) | x | 满足(C),但
f
' (0) 不 .
t
因此,只能选(B).
(4)【分析】 由 | E A | 4 4 3 0 ,知矩阵 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A
十、(本题满分 8 分)
已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ,使得向量组 x, Ax, A2x 线性无关,且满足 A3 x 3Ax 2 A2 x . (1)记 P =（ x, Ax, A2 x ）,求 3 阶矩阵 B ,使 A PBP 1 ; (2)计算行列式 A E .
十一、(本题满分 7 分)
(5) 设 随 机 变 量 X 的 方 差 是 2 , 则 根 据 切 比 雪 夫 不 等 式 有 估 计
P{ X E( X ) 2}
y
_____________.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
O
(1)设函数 f (x) 在定义域内可导, y f (x) 的图形如右图所示,
P{
X
E(X )
2}
D(x) 22
1 2
.
二、选择题
(1)【分析】 当 x 0 时, f (x) 单调增 f ' (x) 0 ,(A),(C)不对;
当 x 0 时, f (x) :增——减——增 f ' (x) :正——负——正,(B)不对,(D)对.
应选(D).
(2)【分析】 我们逐一分析.
导.如
f
(x)
2x 1, 0,
x0 x0
满足(D),但 f (x) 在 x 0 处不连续,因而 f ' (0) 也不 .
再看(C):
lim
h0
1 h2
f
(h
sin
h)
lim
h0
h
sin h2
h
f (h sin h) h sinh
lim
h0
h
sin h2
h
f (t) t
(当它们都 时).
注意,易求得 lim h0
设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ( 0 )的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 p ( 0 p 1 ),且中途下车与否相互独立.以 Y 表示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率分布.
x
则 y f (x) 的图形为
(2)设 f (x, y) 在点 (0, 0) 附近有定义,且 f x(0,0) 3, f y(0,0) 1,则 (A) dz |(0,0) 3dx dy . (B) 曲面 z f (x, y) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为{3,1,1}.
(2) lim (x) 1 .
x0
2
八、(本题满分 8 分)
设有一高度为 h(t) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z h(t) 2(x 2 y 2 ) (设 h(t)
长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?