解析几何常用公式定理

解析几何常用公式(景斌汇编)

(内部资料仅限东方之子学校学生使用)

1、倾斜角(0180θ︒≤<︒)

2、斜率(刻画直线对于x 轴的倾斜程度) (1)tan (90)k θθ=≠o (2)()12

1212

y y k x x x x -=

≠- 【tan θ在(0,)2π、(,)2

π

π上单调递增】

3、直线的方程:

(1)斜截式:y kx b =+(不能表示斜率不存在的直线οx x =) (2)点斜式:00()()y y k x x -=-(不能表示斜率不存在的直线οx x =) (3)两点式:1

21

121x x x x y y y y --=--(不能表示0,x x y y ==o 两种直线)

(4)截距式:

1=+b

y

a x (不能表示y=kx,0,x x y y ==o 三种直线) (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为零) 41111:0l A x B y C ++= 2222:0l A x B y C ++=

平 行

12k k =且12b b ≠

1122A B A B =1

2C C ≠ 重 合 12k k =且12b b =

1122A B A B =1

2C C = 垂 直

121k k =-

12120A A B B +=

5、 设1122:,:l y k x b l y k x b =+=+,

（1） 到角(0,)π:1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角

当k 1,k 2都存在且k 1k 2≠－1时,1l 到2l 的角为θ,则21

12

tan 1k k k k θ-=

+;

(2)夹角(0,]2

π

:1l 与2l 相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角,简称夹角

当k 1,k 2都存在且k 1k 2≠－1时,1l 与2l 的夹角为θ,则21

12

tan 1k k k k θ-=

+

6、点到直线的距离公式

点P ()00,x y 到:0l Ax By C ++=

的距离d =、

7、平行线间距离公式

两平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=

之间的距离为d =

、

8、若A ),(),,(2211y x B y x ,P(x,y)P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为λ,

定比1122x x y y AP x x y y PB λ--===

--u u u r u u u r ,则⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧λ

+λ+=

λ

+λ+=11212

1y y y x x x

9、两点间距离:若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地:x //AB 轴, 则=AB 12x x - y //AB 轴, 则=AB 12y y - 10、直线系方程

(1)平行直线系0=++C By Ax 与10Ax By C ++= (2)垂直直线系0=++C By Ax 与10Bx Ay C -+=

(3)过已知点的直线系111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=(不包括2220A x B y C ++=) 11、线性规划

（1） 二元一次不等式表示平面区域

如果000Ax By C ++>(A>0)则点00(,)x y 在直线右侧;如果000Ax By C ++<(A>0)则点00(,)x y 在直线左侧;如果000Ax By C ++=(A>0)则点00(,)x y 在直线上

(2)线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题,统称为线性规划;满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫可行域 12、圆

(一)圆方程常见形式:

(1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=r 2(R>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径;

(2)一般式:x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0,配方得

:

22

()()22

4

D E x y +++=

(3)参数式:(x-a)2+(y-b)2=R 2(R>0)的参数式为:cos sin x r a

y r b θθ=+⎧⎨=+⎩,θ为参数[0,2)θπ∈

圆与二元二次方程一一对应,这些二元二次方程方程特征为: (1)二次项中无xy 交叉项; (2)x 2,y 2项前面系数相等;

(3)x,y 的一次项系数D,E 及常数项F 满足D 2+E 2-4F>0

(二)直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若2

2

B

A C Bb Aa d +++=

,d r >

⇔相离,

d r =⇔相切,d r <⇔相交

(三)圆与圆的位置关系

圆C 1:212121)()(r b y a x =-+

- 圆

C 2:222222)()(r b y a x =-+- (1)2121r r C C +>相离 (2)2121r r C C +=外切

(3)212121r r C C r r +<<- 相交 (4)2121r r C C -=内切 (5)2121r r C C -< 内含

外离 外切

相交 内切 内含 13圆锥曲线

(一)椭圆与双曲线 1、第一定义

椭圆:若F 1 F 2就是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ (a 为常数)则P 点的轨迹就是