无穷大与无穷小知识课件
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高中数学(人教版)无穷小与无穷大课件
x2 lim lim x0 x 0 x 0 x
lim x 0 x 1 3x 3
定义 设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0 （1） 如果 lim 0 那么就说β是比α高阶的无穷小， α是比β低阶的无穷小， 记作 o( )
C 0 那么就说β与α是同阶无穷小； 如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小， 记作 （3） 如果 lim k C 0, k 0 那么就说β是α的k阶无穷小；
第四讲 无穷小与无穷大
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
（一）无穷小的概念
（二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念
（二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
定义 如果函数f(0
lim
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和 仍为该过程中的无穷大. 性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积 仍为该过程中的无穷大.
M 0 , 存在“一个时刻”， 使得在该“时刻以后”
恒有： f ( x ) M 记作：lim f ( x ) 注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ３.不要把无穷大和极限相混淆
定义３ 把定义２中的 f ( x ) M 换成 f ( x ) M ( f ( x ) M ) 就可得到函数f(x)为某过程中的正无穷大
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
微积分——无穷大量与无穷小量讲解.ppt
x 因为lim lim x 0, 当x 0时，x 2比x较高阶的 x 0 x x 0 无穷小量，可以记做 x 2 o( x )
反之，当 x 0时，x是比x 2较低阶的无穷小量。
x 1 1 lim lim , 当x 0时，x与2 x是同阶的 x 0 2 x x 0 2 2 无穷小量。
练习题答案
一、1、0； 3、 ； 二、0 x
1 . 4 10 2
2、 lim f ( x ) C ；
x x
1 4、 . f ( x)
（二）无穷小量
定义2.9: 以0为极限的变量，称为无穷小量.
亦即，对于任意给定的 正数，如果在变量y的 变化过程中，总有那么 一个时刻，在那个时刻 以后，不等式 | y | 无穷小量。 例如
1 1 lim n 0, 当n 时，变量yn n 是无穷小量. n 2 2
| y | M 又因为 是无穷小量，所以，对于任意的 0，总有
那么一个时刻，在那个时刻以后，恒有
| |
M
于是，在上述两个时刻 中较晚的时刻以后，恒 有
| y || || y | M
M
成立，故 y 是无穷小量。
推论
常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量
1 例4 求 lim x sin x 0 x 1 1 解 因为lim x＝0. 而 | sin | 1，即sin 是有界变量。 x 0 x x 1 故 lim x sin ＝0 x 0 x
0
显然，x2比x与2x趋于0的速度快得多。 快慢是相对的，是相互比较而言。因此有
定义2.10 设，是同一过程中的两个无穷小量，
如果 lim 0, 则称是比较高阶的无穷小量， 记做 o( ) 如果 lim c 0 c为常量） （ , 则称是比是同阶的 无穷小量。特别当 c 1时，称与是等价的 无穷小量，记做 ～。 如果 lim , 则称是比较低阶的无穷小量。
微积分教学课件1-5无穷大和无穷小
注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
判断下面的函数是否为无穷小量
当x 0时， x , tan x,1 cos x
2
当x 时，
sin x x 2 ,e x
1 当n 时， n
2、定义：在某种变化趋势下，绝对值无限增大的变量 称为无穷大量.
例8、求
解
1 cos x lim x 0 1 cos x
1 cos x 1 cos x lim lim x0 1 cos x x0 (1 cos x )( cos x ) 1
lim
x 0
1 2 x 2 1 (1 cos x ) x 2
推论1、 ~ ~ ~ lim ( x) f ( x)存在， ( x) ~ ( x) lim ( x) f ( x) lim ( x) f ( x)
定理5
~ ( x) ~ ~( x) ~ ( x), ( x) ~ ( x) 推论2、 lim ~ f ( x)存在， ( x) ~ ( x) ( x) lim f ( x) lim ~ f ( x) ( x) ( x)
(4) 如果 lim k C 0, k 0, 就说 是 的 k 阶的 无穷小.
例如，
x2 lim 0， x 0 3 x
sin x lim 1， x 0 x
即 x o( 3 x ) ( x 0).
2
当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小 ;
x x0
的图形的铅直渐近线.
定义 ： 如果 xlim f ( x) A 或 xlim f ( x) A ，则直线 y A 是函数 y f (x) 图形 的水平渐进近线 。
《无穷小于无穷大》PPT课件
界变量.（2）当x 0时，f (x)不是无穷大.
证 (1) 任给M 0(无论M多么大），存在k N+ ,
使
xk
1
2k
(0,1).
于是
f
( xk
)
2k
2
,
2
当k充分大时, f (xn ) M . 无界，
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1, 2,3, )
对任意正数 ，当k充分大时, xk ,
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
函数与极限
14
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0.
M
x x0
0, 对
1 M
,
0,使得当0
x x0
时
恒有 f (x) 1 , 由于 f ( x) 0, 从而 1 M .
M
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
15
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小的概念
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
证 (1) 任给M 0(无论M多么大），存在k N+ ,
使
xk
1
2k
(0,1).
于是
f
( xk
)
2k
2
,
2
当k充分大时, f (xn ) M . 无界，
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1, 2,3, )
对任意正数 ，当k充分大时, xk ,
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
函数与极限
14
反之,设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0.
M
x x0
0, 对
1 M
,
0,使得当0
x x0
时
恒有 f (x) 1 , 由于 f ( x) 0, 从而 1 M .
M
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
15
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大.
第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小的概念
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
07-无穷小与无穷大课件
x3
x3
x
x0 x
M 0 ， 0 ，当 0 x x0 时，恒有 f x M .
定理 在自变量 x 的同一变化过程中
，
如果 f x 是无穷大，
则
f
1
x
是无穷小 ；
如果
f
x
是无穷小，且
f
x
0
，则
f
1
x
是无穷大 .
比如，由 limx 3 0 可得lim 1 .
x3
x3
无穷大
如果函数 f x 当 x x0 (或 x )时,
其绝对值 f x 无限增大，则称函数 f x
为
当 x x0 （或 x ）时的无穷大.
定义 设函数 f x 在 x0 的某一去心邻域内有
定义（或 x 大于某一正数时有定义）. M 0 ，
0（或 X 0 ），当 0 x x0 （或 x X ）时
恒有 f x M ，则称函数 f x 为
x x0 （或 x ）时的无穷大.
(infinity)
注 1.我们也说“函数的极限为无穷大”，并记作
lim f x 或 lim f x , 等等
xx0
x
如果 lim f x 或 lim f x ，则
xx0
x x0
直线 x x0 是函数 y f x 的图形的铅直渐近线.
(vertical asymptote)
2 . lim f x ， lim f x ，
xx0
x
lim f x ，等等
xx0
例 证明lim 1 .
y
x0 x
1
O1
y1 x
x
例 证明lim 1 . x0 x
证明 M 0 ， 要使 1 M ，只要 x 1 ，
1-5-无穷小与无穷大的性质PPT课件
二、根据定义证明:当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 .
函数与极限
18
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大.
函数与极限
19
练习题答案
一、1、0；
3、 ； 二、0 x 1 .
函数与极限
15
思考题
若 f ( x) 0，且 lim f ( x) A， x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
函数与极限
16
思考题解答
不能保证.
例 f (x) 1 x
x 0,
lim f ( x) lim 1 A 0.
x
x x
有 f (x) 1 0 x
函数与极限
17
一、填空题:
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
14
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
函数与极限
1
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 .
函数与极限
18
三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当 xx
x 0 时 ,这个函数不是无穷大.
函数与极限
19
练习题答案
一、1、0；
3、 ； 二、0 x 1 .
函数与极限
15
思考题
若 f ( x) 0，且 lim f ( x) A， x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
函数与极限
16
思考题解答
不能保证.
例 f (x) 1 x
x 0,
lim f ( x) lim 1 A 0.
x
x x
有 f (x) 1 0 x
函数与极限
17
一、填空题:
当x
x0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
函数与极限
14
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
函数与极限
1
一、无穷小
1、定义: 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x0 (或 x X )的一切 x,对应的函数值
无穷大与无穷小课件
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
1 例 f ( x) = x
∀ x > 0,
1 有 f ( x) = > 0 x
1 lim f ( x ) = lim = A = 0. x → +∞ x x → +∞
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 无穷小与无穷大的关系 四、小结 思考题
一、无穷小
无穷小. 1.定义 极限为零的变量称为无穷小 定义: 极限为零的变量称为无穷小 定义
定义 1 如果函数 如果函数 f (x)当 x → x0(或 x → ∞)时的极 限为零， 么称函数 f (x)当 x → x0(或 x → ∞)时的 那 限为零， 无穷小, 无穷小,记作 lim f ( x) = 0 (或lim f ( x) = 0).
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
x→x0
lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α( x),
时的无穷小. 其中α(x)是当x → x0时的无穷小
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 将一般极限问题转化为特殊极限问题 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷 小);
高等数学无穷小和无穷大PPT
1-4 无穷小和无穷大
2022/11/17
1
一、无穷小
• 定义1： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → 0，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷小。
lim
=
0
.
→
0
(→∞)
2022/11/17
2
一、无穷小
• 误区：很小的数、-9999999、0.0000001、…
• 0也是无穷小，是可作为无穷小的唯一常数。
2022பைடு நூலகம்11/17
3
一、无穷小
• 无穷小+无穷小= 无穷小
• 无穷小-无穷小= 无穷小
C 无穷小=无穷小
• 无穷小无穷小= 无穷小
（不用区分C是否为0）
• 无穷小/无穷小= 不一定
2022/11/17
4
一、无穷小
• 定理1： lim = ⟺ = + ，其中为
• 无穷大无穷大= 无穷大
0 =0
C 无穷大=ቊ
∞ ≠0
• 无穷大/无穷大= 不一定
2022/11/17
7
二、无穷大
• 定理2： ()无穷大 ⟺
()无穷小 ⟺
2022/11/17
1
无穷小
()
1
无穷大
()
8
→0
→ 0 时的无穷小量。
2022/11/17
5
二、无穷大
• 定义2： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → ∞，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷大。
lim = ∞
→0
(→∞)
2022/11/17
6
二、无穷大
2022/11/17
1
一、无穷小
• 定义1： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → 0，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷小。
lim
=
0
.
→
0
(→∞)
2022/11/17
2
一、无穷小
• 误区：很小的数、-9999999、0.0000001、…
• 0也是无穷小，是可作为无穷小的唯一常数。
2022பைடு நூலகம்11/17
3
一、无穷小
• 无穷小+无穷小= 无穷小
• 无穷小-无穷小= 无穷小
C 无穷小=无穷小
• 无穷小无穷小= 无穷小
（不用区分C是否为0）
• 无穷小/无穷小= 不一定
2022/11/17
4
一、无穷小
• 定理1： lim = ⟺ = + ，其中为
• 无穷大无穷大= 无穷大
0 =0
C 无穷大=ቊ
∞ ≠0
• 无穷大/无穷大= 不一定
2022/11/17
7
二、无穷大
• 定理2： ()无穷大 ⟺
()无穷小 ⟺
2022/11/17
1
无穷小
()
1
无穷大
()
8
→0
→ 0 时的无穷小量。
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5
二、无穷大
• 定义2： → 0 时（或 → ∞时）， 有() → ∞，
称()是 → 0 （或 → ∞）时的无穷大。
lim = ∞
→0
(→∞)
2022/11/17
6
二、无穷大
《无穷小和无穷大》课件
无穷小序列
讨论无穷小序列的定义及其特点。
无穷大序列
介绍无穷大序列的定义和性质。
性质
无穷小性质
探讨无穷小的性质， 比如加法、乘法和 极限运算。
无穷大性质
讨论无穷大的性质， 如无穷大和有界函 数的关系。
无穷小与有 界函数
探讨无穷小和有界 函数之间的关联。
无穷大与趋 向无穷函数
讨论无穷大和趋向 无穷函数之间的关 系。
讨论
1
无穷小的判定
介绍判断一个数是否为无穷小的方法
无穷大的判定
2
和技巧。
讨论判断一个数是否为无穷大的方法
和策略。
3
常用的无穷小和无穷大
列举常见的无穷小和无穷大，并探究
可比无穷大和同阶无穷小
4
它们的应用。
解释可比无穷大和同阶无穷小的概念 及其重要性。
应用
洛必达法则
介绍洛必达法则及其在无穷小 和无穷大中的应用。
泰勒公式
解释泰勒公式及其在无穷小和 无穷大中的作用。
解析几何中的应用
探讨无穷小和无穷大在解析几 何中的实际应用。
总结
定义和性质回顾
回顾无穷小和无穷大的定义及其性质。
应用场景总结
总结无穷小和无穷大在不同领域中的应用场景。
未来深入学习方向
指导听众进一步学习无穷小和无穷大相关领域的知识。
ห้องสมุดไป่ตู้
参考文献
提供相关学术文献和参考资料，供听众进一步学习和研究。
《无穷小和无穷大》PPT 课件
# 无穷小和无穷大 介绍无穷小和无穷大的概念及其重要性。
前言
1 基础研究
2 概念讨论
无穷小和无穷大在研究区间内函数性质中 扮演着重要角色。
相关主题
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解: (1)lxi m 0x20,当x0时,x2是无穷.小量
(2)lx i0m coxs1,当x0时, cosx不是无穷 . 小量
1 (3)lim 0,
x x
当x时, 1是无穷.小量 x
注: 无穷小的判断方法
——求极限——无穷小量是以零为极限的变量
目录
2、无穷大：如果自变量 x 在某个变化过程中，函数f (x)
2 .1(x 0 ), 1(x ), 1(x 1 ),
x
x
x
3 . 在 x 0 时 ， 0 、 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 、 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
目录
1 .x 2 ( x ) , x 2 ( x 0 ) , x 2 ( x 1 )
y
x
o xx
故n个1之和1为 不是无穷 . 小 n
2.有限个无穷小的积仍然是无穷小
目录
3.有界变量与无穷小的积仍然是无穷小 有界变量：y=sinu,y=cosu.
目录
例：求 lim x sin 1
x0
x
[分析] 当 x → 0 时, sin(1/x) 在[-1, 1]之间摆动无极限,
又因|s为 in1|1 , sin1是有界. 变量
不能直接求极限. 考虑用无穷大与无穷小关系求极限。
解 因 为 lxi m 3 xx2311000，
当x3时 ,xx231是 无 穷 ,其小 倒量 数 为 . 无 穷
所以 limx2 1 x3 x3
错误写法：
limx21lx im 3(x21)10 x3 x3 lim (x3) 0
x3
利用无穷小与无
穷大的关系求
x24x4 0
x22x1
2.lx i2mx22x110,lx i2m x24x4
A 0
极限.
目录
练习： 求函数极限：
1、 lim
x2 ,
x1 x 1
2 、lim x 2
x x
2 2
2x 4x
1 4
3.求 . lim (xx2)sin 1
x0
x
4..求limx2co s1
x0
x
5..求l i m1cosx x x
目录
解
x1 0
x2
1.lx i1mx2
0为无穷大量?
解 1(x0) lim1
y
x
x x0
1,(x0) lim 1 x0 x0 x
x
x x0
o
1 lim
x0 x
1为x0时的无穷大 x
注: 1、判断方法—— 求极限
目录
练习:判断在给定趋向下,下列变量是无穷大、无穷小或两者皆非.
1 .x 2 ( x ) , x 2 ( x 0 ) , x 2 ( x 1 )
x
x
但是当 x → 0 时, x 是无穷小量 ,
所以, 利用无穷小量的性质来求极限.
解: (1) lim x0, (当 x 0 时 ,x无穷 ) 小量 x 0
(2)又|sin1|1 , (sin1是有界) 变量
x
x
(3)故lim xsin10.
x0
x
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三、无穷小量与函数极限的关系
定1 .3 理 lim f(x)A f (x)Aα
Qlimx2,当x时,x2 是无穷大量. x
Q lim x20 , 当 x 0时 ,x2是 无 穷 小 量 . x 0
Q lim x21 , 当 x 1时 ,x2不 是 无 穷 小 、 大 量 . x 1
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2 .1(x 0 ), 1(x ), 1(x 1 ),
x
x
x
Q lim 1 , 当 x 0时 ,1是 无 穷 大 量 .
lim00 x0
lim 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x 0
lim 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
x 0
0 是 无 穷 小 , 其 余 则 不 是 无 穷 小 、 大 量 .
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§1.3 无穷小量与无穷大量
教学目的: 1、理解无穷小量、大量的概念，掌握无穷小量的性质. 2、了解无穷小量与函数极限的关系与无穷小量的阶. 3、掌握无穷小量与无穷大量关系.
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例：判断下列变量是否为无穷小量?
(1)当x0时, x² 是否为无穷小量;
(2)当x0时, cosx 是否为无穷小量; (3)当x时, (1/x) 是否为无穷小量;
x 0
说明：
2.零是常数中唯一的无穷小. 3.无穷小、无穷大是变量,不能与很小及很大的数混淆
二 、无穷小的性质
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（在自变量的同一变化过程中）
1.有限个无穷小的代数和仍然是无穷小
注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例: lim10,故n时,1是无穷小，
n
n
n
但ln i m (n 1n 1n 1)n [项]和 10.
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四、无穷小与无穷大的关系
定理：在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
例 :如 函 数 yx2是 x 当 时 的 无,穷 大 量
11
则
y x2
为 无穷小
意义: 关于无穷大的讨论,可归结为关于无穷小的 讨论.
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例 求lim x2 1
x3 x 3
[分析] 将 x → 3 代入函数中, 分子趋于10; 分母趋于 零 ,
的绝对值越来越大且可以无限增大，则称在该变
.
化过程中的，f (x)无穷大。记作
lim f (x)
分类：正无穷大：lim f (x)
负无穷大，lim f (x)
注意:虽然函数f (x)的极限不
存在,但是它有确定的变化 趋势,所以,借用极限符号来
表示这种变化趋势.
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例：
判断
1 在x 0时 x
或 f ( x ) A α . 其 ,α 0 [ x 中 x 0 ,或 x ] .
即: 在同一变化过程中, 函数f(x)极限是A的充要条件为:
函数 f(x) 可以表示成: 极限A与一个无穷小 之和.
定理的重要意义:
1. 将极限的描述性定义转化为量化性的精确形式; 2. 可以作为极限运算的证明的依据.
x 0x
x
Q lim 1 0 , 当 x 时 ,1 是 无 穷 小 量 .
x x
x
Q lim 1 1 , 当 x 1 时 ,1 不 是 无 穷 小 、 大 量 .
x 1 x
x
y
说明： 1.一个变量是否为无 穷小、
无穷大与自变量的变化过程 有关.
x
o
x
x
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3 . 在 x 0 时 ， 0 、 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 、 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1