高考纠错专题29离散型随机变量的分布列、期望与方差(解析版)
离散型随机变量的期望值和方差
12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差. D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b 为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，D ξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.二、例题剖析【例1】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、Dξ.拓展提高 既要会由分布列求E ξ、D ξ，也要会由E ξ、D ξ求分布列，进行逆向思维.如：若ξ是离散型随机变量，P （ξ=x 1）=53，P （ξ=x 2）=52，且x 1<x 2，又知E ξ=57，D ξ=256.求ξ的分布列.解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有E ξ=53x 1+52x 2=57， D ξ=53x 12+52x 22－E ξ2=256. 从而得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1123,723222121x x x x【例2】 人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p 1，非意外死亡的概率为p 2，则a 需满足什么条件，保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求E ξ、D ξ.特别提示求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ=2时，此时有两种情况：①有2个空盒子，每个盒子投2个球；②1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p （0<p <1），用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差D ξ的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值. 【例5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n 的球n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
离散型随机变量的分布列及均值、方差
离散型随机变量的分布列及均值、方差1.离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量.(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.(3)设离散型随机变量X 的取值为a 1，a 2，…随机变量X 取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…)，记作：P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…)， 或把上式列表：称为离散型随机变量X 的分布列. (4)性质：①p i >0，i ＝1,2，...； ②p 1＋p 2＋ (1)2.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…r ). (1)均值EX ＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r ，均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”. (2)方差DX ＝E (X －EX )2为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度. 3.均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aEX ＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2DX .(a ，b 为常数) 4.超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品.从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN(其中k 为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布.概念方法微思考1.随机变量和函数有何联系和区别？提示 区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域. 2.离散型随机变量X 的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？ 提示 代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的. 3.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？ 提示 可用p i >0，i ＝1,2，…，n 及p 1＋p 2＋…＋p n ＝1检验. 4.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示 随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.( √ )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ )(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布.( √ ) (4)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (5)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.( √ )(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.( √ ) 题组二 教材改编2.设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14.3.已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.73 B.4 C.－1 D.1 答案 A解析 EX ＝－12＋16＝－13，EY ＝E (2X ＋3)＝2EX ＋3＝－23＋3＝73.4.有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________. 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3. 题组三 易错自纠5.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2.6.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______. 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.题型一 分布列的求法例1 设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完. (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列.解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49. (2)X 的所有可能值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2) ＝23×23＋13×13＝59， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫232＝29， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4) ＝⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫133×23＝1081，P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝881. 故X 的分布列为思维升华 求离散型随机变量X 的分布列的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；(2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.跟踪训练1 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列.解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的分布列为题型二 均值与方差例2 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为∴EX 1＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为∴EX 2＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.DX 1＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，DX 2＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.∴EX 1＝EX 2，DX 1<DX 2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断. 跟踪训练2 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值Eξ，方差Dξ. 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为⎝⎛⎭⎫1－14－12＝14，⎝⎛⎭⎫1－16－23＝16.两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则 P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为Eξ＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.Dξ＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.题型三 超几何分布例3 (2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与均值EX .解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为所以X 的均值EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数. (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体.跟踪训练3 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列.解 (1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27C 310＝2140.(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3).∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为离散型随机变量的均值与方差问题例 (12分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.规范解答解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.[2分]②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为[4分]所以顾客所获的奖励额的均值为 EX ＝20×12＋60×12＝40.[5分](2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元， 所以，先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元； 如果选择(50,50,50,10)的方案， 因为60元是面值之和的最小值， 所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况， 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案， 所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析. 对于方案1，即方案(10,10,50,50)， 设顾客所获的奖励额为X 1， 则X 1的分布列为[7分]X 1的均值为EX 1＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为DX 1＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.[9分]对于方案2，即方案(20,20,40,40)， 设顾客所获的奖励额为X 2， 则X 2的分布列为[10分]X 2的均值为EX 2＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为DX 2＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.[12分]求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能取值； 第二步：求每一个可能取值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)； 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范性.1.若离散型随机变量X 的分布列为则X 的均值EX 等于( ) A.2 B.2或12 C.12D.1答案 C解析 由题意知，a 2＋a 22＝1，a >0，所以a ＝1，所以EX ＝0×12＋1×12＝12.故选C.2.设随机变量X 的分布列如下，则P (|X －2|＝1)等于( )A.712B.12C.512D.16 答案 C解析 由16＋14＋m ＋13＝1，得m ＝14，所以P (|X －2|＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＝16＋14＝512.故选C.3.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字和为X ，则X ≥8的概率是( ) A.415 B.715 C.815 D.35 答案 C解析 由题意知，X 的取值为6,9,12，又P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，所以X ≥8的概率为715＋115＝815，故选C.4.设随机变量ξ的分布列为P ⎝⎛⎭⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫110<ξ<710等于( ) A.35 B.45 C.25 D.15 答案 C解析 由题意知，分布列为由分布列的性质可得，a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1， 解得a ＝115.所以P ⎝⎛⎭⎫110<ξ<710＝P ⎝⎛⎭⎫ξ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫ξ＝25＋ P ⎝⎛⎭⎫ξ＝35＝115＋215＋315＝25.故选C. 5.一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( ) A.1335 B.1435 C.1835 D.2235 答案 A解析 记得分为X ，则X 的可能取值为5,6,7,8，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235；P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135，所以P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.6.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A.1 B.32±336 C.32－336 D.32＋336答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336. 7.口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________. 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为8.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________. 答案 23 ⎝⎛⎭⎫－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0<13－d <23，0<13＋d <23，∴－13<d <13.9.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为____________________. 答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为10.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则估计该公司一年后可获收益的均值是________元. 答案 4 760解析 由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元).11.(2018·河南豫南九校联考)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列及均值.解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人， 送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A ，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B ，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C ，“这两人送考次数相同”为事件D ， 由题意知X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝C 120C 1100C 2200＋C 1100C 180C 2200＝100199，P (X ＝2)＝P (C )＝C 120C 180C 2200＝16199，P (X ＝0)＝P (D )＝C 220＋C 2100＋C 280C 2200＝83199， ∴X 的分布列为EX ＝0×83199＋1×100199＋2×16199＝132199.12.某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关，如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600桶，如果最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)，需求量为400桶，如果最高气温低于20 ℃，需求量为200桶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种冰激凌一天的需求量X (单位：桶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y (单位：元)，当六月份这种冰激凌一天的进货量n (单位：桶)为多少时，Y 的均值取得最大值？解 (1)由已知得，X 的所有可能取值为200,400,600，记六月份最高气温低于20 ℃为事件A 1，最高气温(单位：℃)位于区间[20,25)为事件A 2，最高气温不低于25 ℃为事件A 3， 根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P (X ＝200)＝P (A 1)＝1890＝15，P (X ＝400)＝P (A 2)＝3690＝25，P (X ＝600)＝P (A 3)＝3690＝25，故六月份这种冰激凌一天的需求量X (单位：桶)的分布列为(2)由题意得，当n ≤200时，E (Y )＝2n ≤400；当200<n ≤400时，E (Y )＝15×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋45×n ×2＝65n ＋160∈(400,640]；当400<n ≤600时，EY ＝15×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋25×[400×2＋(n －400)×(－2)]＋25×n ×2＝－25n ＋800∈[560,640)； 当n >600时，EY ＝15×[200×2＋(n －200)×(－2)]＋25×[400×2＋(n －400)×(－2)]＋25×[600×2＋(n －600)×(－2)]＝1 760－2n <560，所以当n ＝400时，Y 的均值取得最大值640.13.已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染.下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止.方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验.(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和均值. 解 (1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10,18,24,30,36. P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为所以Eη＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元).14.为了研究学生的数学核心素养与抽象(能力指标x )、推理(能力指标y )、建模(能力指标z )的相关性，并将它们各自量化为1,2,3三个等级，再用综合指标w ＝x ＋y ＋z 的值评定学生的数学核心素养：若w ≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w ≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w ≤4，则数学核心素养为三级.为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a ，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b ，记随机变量X ＝a －b ，求随机变量X 的分布列及均值.解 (1)由题意可知，建模能力指标为1的学生是A 9；建模能力指标为2的学生是A 2，A 4，A 5，A 7，A 10；建模能力指标为3的学生是A 1，A 3，A 6，A 8. 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A ，则P (A )＝C 25＋C 24C 210＝1645.(2)由题意可知，数学核心素养等级是一级的有A 1，A 2，A 3，A 5，A 6，A 8，数学核心素养等级不是一级的有A 4，A 7，A 9，A 10. X 的所有可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝C 13C 12C 16C 14＝14；P (X ＝2)＝C 13C 11＋C 12C 12C 16C 14＝724； P (X ＝3)＝C 13C 11＋C 12C 11＋C 11C 12C 16C 14＝724； P (X ＝4)＝C 12C 11＋C 11C 11C 16C 14＝18； P (X ＝5)＝C 11C 11C 16C 14＝124.∴随机变量X 的分布列为∴EX ＝1×14＋2×724＋3×724＋4×18＋5×124＝2912.15.设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，( ) A.D (ξ)减小 B.D (ξ)增大C.D (ξ)先减小后增大D.D (ξ)先增大后减小 答案 D解析 由题意知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12，D (ξ)＝⎣⎡⎦⎤0－⎝⎛⎭⎫p ＋122×1－p 2＋⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫p ＋122×12＋⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫p ＋122×p 2 ＝⎝⎛⎭⎫p ＋122×1－p 2＋⎝⎛⎭⎫p －122×12＋⎝⎛⎭⎫32－p 2×p2 ＝12⎝⎛⎭⎫p ＋122＋12⎝⎛⎭⎫p －122－p 2⎝⎛⎭⎫p ＋122＋p 2⎝⎛⎭⎫32－p 2 ＝12⎝⎛⎭⎫2p 2＋12－p 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫p ＋122－⎝⎛⎭⎫p －322 ＝p 2＋14－p (2p －1)＝－p 2＋p ＋14＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋12， ∴D (ξ)在⎝⎛⎭⎫0，12上是增加的，在⎝⎛⎭⎫12，1上是减少的，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大后减小. 故选D.16.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2，求随机变量ξ的均值.解 ξ的可能取值为0，2，1,2，则P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111，P (ξ＝1)＝12C 212＝211， P (ξ＝2)＝24C 212＝411. ∴ξ的分布列为∴Eξ＝0×411＋2×111＋1×211＋2×411＝10＋211.。
离散型随机变量的分布列与期望和方差
离散型随机变量的分布列与期望和方差考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，考点三：二项分布二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12B ．18.22C ．19.12D ．19.222.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知X 的分布列为X ﹣1 0 1 P且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.设随机变量X ∼N(1,δ2),且P(X>2)=51,则P(0<X<1)=___.5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,410b x p a x p x p ======若()1=X E ，则 ()=X D .6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =，13()2D X = B ．()2E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7()4E X =，()8D X = 超几何分布VS 二项分布1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50~(,)X B n p 52EX =54DX =(1)P X ==条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)考点四：正太分布1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（ ）A ．0.3413B ．0.3174C ．0.1587D ．0.15863.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）A ．0.1359B ．0.7282C ．0.8641D ．0.932054.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1215.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．X 2~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥=①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求()E X ．12.2≈．若2(,)Z N μσ～，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)P Z μσμσ-<<+0.9544=．。
高考数学离散型随机变量的期望及方差解答题
高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
属于基础题或中档题的层面。
高考中一定要尽量拿满分。
● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。
● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。
2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。
4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。
● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。
② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。
③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。
④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。
（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。
高考专题复习 超几何分布(解析版)
第4讲 超几何分布一．离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X (3)离散型随机变量的概率分布的性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 二．两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 三．超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即其中l ＝min(M ，n )，且n 如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布 四．离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：（1）称1122()n n E X x p x p x p =++⋅⋅⋅+为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称21()(())nii i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏X 的标准差． 2．均值与方差的性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量， 且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；D (aX ＋b )＝a 2D (X )考向一 分布列性质【例1】（1）设离散型随机变量X 的概率分布为下表，求2X ＋1的概率分布．（2）若（1（3）若（1）中条件不变，求随机变量η＝X2的概率分布．【答案】见解析【解析】（1）由概率分布的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为从而2X＋1的概率分布为（2）由（1）知m＝0.3∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的概率分布为（3）依题意知η的值为列表为从而η＝X 2的概率分布为【举一反三】1．设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为则q ＝________. 【答案】 32－336【解析】 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336.2．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为________．【答案】2738【解析】 由概率分布的性质得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝m ×23＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝38m 27＝1，∴m ＝2738. 考向二 超几何分布【例2-1】 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的概率分布． 【答案】（1）47. （2）见解析【解析】(1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)由题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435， P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235， P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的概率分布为【例2-2】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求x ；（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为1ζ， 2ζ，令12=ηζζ+，求η的分布列和期望.【答案】(1)8；(2)答案见解析.【解析】（1）由题意()10510711311511912612013213414112210x ++++++++++=，解得8x =．（2）由题意知，随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4.()227622101070;45C C p C C η=== ()112736221010911;225C C C p C C η===()222211113674736422101012;3C C C C C C C C p C C η++=== ()211112364734221010223;225C C C C C C p C C η+=== ()223422101024;225C C p C C η===η∴的分布列为：η0 1 2 34P745 91225 13 22225 2225∴()012344522532252255E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【举一反三】1．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[]60,150），按下列分组[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130,140，[]140,150作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[)70,90内的所有数据的茎叶图如图2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．【套路总结】超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)；（1）求n 的值及频率分布直方图中的,x y 值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）0.014；（2）616625；（3）见解析 【解析】（1）由图2知分数在[)70,80的学生有4名， 又由图1知，频率为：0.008100.08⨯=，则：4500.08n == 50.015010x ∴==⨯，()10.0420.0820.10.120.160.240.01410y -⨯+⨯++++==（2）能被专科院校录取的人数为：()500.0040.008106⨯+⨯=人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：635025= ∴从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为325， 记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为A则此2人都不能录取为专科的概率：()23616125625P A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人成绩能过自招线人数为：()500.0120.0040.0081012⨯++⨯=人， 又随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3∴()363182050816204C P C ξ∴====；()2161231818015181668C C P C ξ====； ()1261231839633281668C C P C ξ====；()03612318220553816204C C P C ξ==== ∴随机变量ξ的分布列为：()012322046868204E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 【套路运用】1．随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝________． 【答案】 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据概率分布的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.2．若离散型随机变量X的分布列是则常数c的值为_____.【答案】【解析】由随机变量的分布列知，9c2﹣c≥0，3﹣8c≥0，9c2﹣c+3﹣8c＝1，∴c ＝．故答案为：．3．我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量0--50 优201--250 中度污染51--100 良251--300 中度重污染101--150 轻微污染>300 重污染151----200 轻度污染我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天.下图是某市2018年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本做的茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（1）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；（2）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）从这18天中任取3天，取法种数有种，3天中至少有2个A类天的取法种数有种，所以这3天至少有2个A类天的概率；（2）的一切可能的取值是，当时，；当时，；当时，；当时，；的分布列为：X 3 2 1 0P数学期望。
离散型随机变量的分布列、期望、方差-复习指导
离散型随机变量的分布列、期望、方差复习指导学习要求：了解随机变量，离散型随机变量的意义，会求简单的离散型随机变量，掌握离散型随机变量的分布列，会求出期望、方差。
知识总结：一、离散型随机变量的分布列1.随机变量：如果一个随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，可以按一定次序列出的随机变量叫做离散型随机变量，常用ξ，等希腊字母表示2.离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量ξ的一切可能取值为：a1, a2, ……, a n, ……, 相应取这些值的概率为：p1，P2，……, P n, ……，则称下表：为离散型随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列具有的两个性质：①P i0(i=1,2,……,n,……) ②P1+P2+……+P n+……=1 一种典型的离散型随机变量的分布列：二项分布：设重复独立地进行n次随机试验A，在每一次试验中，P(A)=P(0<P<1)，ξ为n次试验中A 发生的次数，则ξ的分布列为：称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,P)注：是二项展开式[P+(1-P)]n=++……++……+中的第k+1项。
P1+P2+……+P n=++……+=[P+(1-P)]n=1。
二、离散型随机变量的期望与方差1．期望：设离散型随机变量ξ的分布列是：ξa1a2……a n……p p1p2……p n……称a1p1+a2p2+……+a n p n+……为ξ的数学期望，简称期望，记作Eξ。
期望的性质：①若=aξ+b (a,b均为常数), 则E=aEξ+b。
②E(ξ1+ξ2)=Eξ1+Eξ2。
③若ξ～B(n, p), 则Eξ=np注：期望Eξ是反映随机变量ξ集中趋势的指标，也反映了ξ取值的平均水平。
2．方差:设离散型随机变量ξ的分布列是ξa1a2……a n……p p1p2……p n……称(a1-Eξ)2p1+(a2-Eξ)2p2+……+(a n-Eξ)2p n+……为随机变量ξ的均方差，简称方差，记作Dξ。
高三数学离散型随机变量的期望值和方差
高三数学离散型随机变量的期望值和方差离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要：1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3...xn...PP1P2P3...Pn...则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+...+xnPn+...为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=nP2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2・P1+(x2-Eξ)2・P2+...+(xn-Eξ)2・Pn+...称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。
C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。
D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。
解：选C说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。
（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。
解：含红球个数ξ的Eξ=0×+1×+2×=1.2说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的"了解......，会......"的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。
高中离散型随机变量的分布列、期望与方差
第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差【学习目标】1．了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布．2．会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题．3．理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解．【知识要点】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取到的值，可以按一定顺序一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，而每一个值的概率为P(X＝x i)＝p i (i＝1，2，…，n)．则称表为随机变量X的概率分布列．(4)分布列的两个性质①0≤p i≤1，i＝1，2，…，n. ②p1＋p2＋…＋p n＝1．2．两点分布如果随机变量X 的分布列为(其中0<p<1)，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布列．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C M k C N－M n－kC N n，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称此分布列：P148．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．P13为超几何分布列．、4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量ξ的分布列为：(1)均值：称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量ξ的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称Dξ＝∑ni＝1(x i－Eξ)2p i为随机变量ξ的方差，它刻画了随机变量ξ与其均值Eξ的平均偏离程度，其算术平方根Dξ为随机变量ξ的标准差．5．均值与方差的性质(1)E(aξ＋b)＝aEξ＋b．(2)D(aξ＋b)＝a2Dξ．6．基本性质若ξ服从两点分布，则Eξ＝p，Dξ＝p(1－p)若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．典型例题考点一、超几何分布及其应用例题1.某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>10且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率等于12，求n的值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和Eξ.考点二、二项分布及其应用例题2. (2013福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？7．某公司规定：员工的销售津贴按季度发放，如果员工没有完成季度销售任务，则在其相应季度的销售津贴中扣除500元，但每个员工全年最多扣除1000元销售津贴．设某员工完成季度销售任务的概率为0.8，且每个季度是否完成销售任务是相互独立的，计算(结果精确到0.01)：(1)一年内该员工连续两个季度扣销售津贴的概率；(2)一年内该员工恰好两个季度扣销售津贴的概率；(3)一年内该员工平均扣多少销售津贴．6．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．P4 考点三、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差例题3. (2013浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.P54．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝____(结果用最简分数表示)．5．设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为：则EX的最大值为____；DX的最大值为____．P10考点集训1．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n和p值分别为( )A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.82．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck（k＋1），k＝1，2，3，c为常数，则P(0.5＜ξ＜2.5)＝____．3．随机变量ξ的分布列如下：则：(1)x＝____；(2)P(ξ>3)＝____；(3)P(1≤ξ<4)＝____．考点四、期望与方差的实际应用例题4.(2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．【基础检测】1．设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n与p的值为( )A．60，34B．60，14C．50，34 D．50，142．已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数ξ的期望E(ξ)＝( )A．2 B.5928 C.6128 D.943．已知随机变量X的分布列为：则E(6X＋8)等于____．4．已知随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是____．方法总结1．关于离散型随机变量分布列的计算方法如下：(1)写出ξ的所有可能取值．(2)用随机事件概率的计算方法，求出ξ取各个值的概率．(3)利用(1)(2)的结果写出ξ的分布列．2．常见的特殊离散型随机变量的分布列．(1)两点分布．它的分布列为(p0q1)，其中0＜p＜1，且p＋q＝1；(2)二项分布．它的分布列为(0p01p12p2……k p k……n p n)，其中p k＝C n k p k q n－k，k＝0，1，2，…，n，且0＜p＜1，p＋q＝1，p k＝C n k p k q n－k可记为b(k；n，p)．3．对离散型随机变量的期望应注意：(1)期望是算术平均值概念的推广，是概念意义下的平均．(2)Eξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而Eξ是不变的，它描述ξ取值的平均状态．(3)Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＋…直接给出了Eξ的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加4．对离散型随机变量的方差应注意：(1)Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之Dξ越小，ξ的取值越集中，在Eξ附近，统计中常用Dξ来描述ξ的分散程度．(2)Dξ与Eξ一样也是一个实数，由ξ的分布列唯一确定．。
知识讲解_高考总复习：离散型随机变量及其分布列、均值与方差
高考总复习：离散型随机变量及其分布列、期望与方差【考纲要求】一、离散型随机变量及其分布列（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
二、离散型随机变量的均值与方差（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
【知识网络】【考点梳理】考点一、离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量的概念随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，,ξη，……表示。
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
要点诠释：1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。
这与函数概念在本质上是相同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。
2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。
3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。
二、离散型随机变量的分布列及性质1．一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,i nx x x x ，，，，X 取每一个值(=1,2,,)i x i n 的概率(=)=i i P X x p ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式(=)=,=1,2,,i i P X x p i n 表示X 的分布列。
2．离散型随机变量的分布列的性质 ①i p ≥0（=1,2,,i n ）； ②1=1ni i p =∑。
要点诠释：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格。
1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。
在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率。
离散型随机变量的均值与方差详解教师版
离散型随机变量的均值与方差一、考点、热点回顾【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。
（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：①()E E E ξηξη+=+；②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(；b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：：η的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++…＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。
要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。
2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-⋅＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．要点诠释：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。
高中数学离散型随机变量的分布列、均值与方差
离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
抓高考命题的“形”与“神” 离散型随机变量均值与方差的计算
1．均值与方差的一般计算步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出均值E(X)，进一步由公
n
式D(X)＝ xi－EX2pi＝E(X2)－(E(X))2求出D(X)．
突破点一
突破点二
课时达标检测
离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
[易错提醒] 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此 时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
突破点一
突破点二
课时达标检测
离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
求离散型随机变量的分布列 [例2] 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
i＝1
了随机变量X与其均值E(X)的_平__均__偏__离__程__度__，其算术平方根 DX为随机变量X的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝_a_E__(X__)＋__b__， (2)D(aX＋b)＝_a_2_D_(_X_)_ (a，b为常数)．
突破点一
突破点二
课时达标检测
考点贯通
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求 随机变量X的分布列．
突破点一
突破点二
课时达标检测
离散型随机变量的分布列、均值与方差 结 束
[解] (1)由已知，有P(A)＝C31CC41＋120 C23＝13.
所以事件A发生的概率为13.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝C23＋CC21320＋C24＝145，
突破点一
离散型随机变量的分布列、期望与方差
=2.752.
学例2 (2008·广东卷)随机抽取某厂的某种
产品200件，经质检，其中有一等品126件、 二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生 产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万 元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设 1件产品的利润为ξ（单位：万元）.
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);
ξ
0
1
…
M
P
C C 0 n0 M NM
C C 1 n1 M NM
CNn
CNn
…
C C m nm M NM
CNn
为⑦超几何分布列.如果随机变量ξ的分布列为超
几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布.
3.离散型随机变量的分布列的性质 ⑧ Pi≥0,P1+P2+…+Pi+…=1 (i=1,2,3,…) . 4.离散型随机变量的均值 若离散型随机变量ξ的分布列为：
是随机变量的特征数，期望反映了随 机变量的平均取值，方差与标准差都 反映了随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度.在进行决策时，一 般先根据期望值的大小来决定，当期 望值相同或相差不大时，再去利用方 差决策.
备选题
某工厂每月生产某种产品三件,经检测发 现，工厂生产该产品的合格率为45.已知生产 一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将 亏损10万元.假设该产品任何两件之间合格与 否相互之间没有影响.
设随机变量ξ表示在取得合格品以前
已取出的不合格品数，则ξ=0,1,2,3,
可得P(ξ=0)=
9 12
,
P(ξ=1)=
3× 9
12 11
=
9 44
,
高三数学离散型随机变量的分布列、期望与方差知识精讲
高三数学离散型随机变量的分布列、期望与方差【本讲主要内容】离散型随机变量的分布列、期望与方差求解某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差．【知识掌握】【知识点精析】1. 离散型随机变量的分布列（1）随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母ξ、η表示．例如课本上的两个例子：①某人射击一次可能出现的命中环数ξ是一个随机变量，ξ可取值为：0，1，2， (10)②某次产品检验所取4件产品中含有的次品数η是一个随机变量，η可取值为：0，1，2，3，4．③一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3只球， 被取出的球的最大数ξ是一个随机变量，ξ可取值为3，4，5．ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或 2，4，5或3，4，5．随机变量最常见的两种类型：①离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．②连续型随机变量：如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．（2）离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ的可能取值为x 1，x 2，…，x i ，…，ξ取每一个值x i （i ＝1，2，…）的概率P （＝x i ）＝p i ，则表例如抛掷一个色骰子得到的点数ξ可能取值为1，2，3，4，5，6．ξ取各值的概率都等于61．此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况． 离散型随机变量的分布列具有下列性质： ①,2,1(0=≥i p i ...)；②p 1＋p 2＋ (1)一般地，离散型随机变量在某一取值X 围内取值的概率等于它取值这个X 围内各值的概率之和．（3）常见的离散型随机变量的分布①0—1例如，任意抛掷一枚硬币的实验结果：ξ＝0表示正面向上；ξ＝1表示正面向下.②二项分布：如果在一次试验中某事件Ａ发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中事件Ａ恰好发生k 次的概率是P （ξ＝k ）．kn k k n qp C )k (P -==ξ，其中k ＝1，2，3，…，n ，q ＝1－p ，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：kn k k n qp C -＝b(k ；n ，p). 例如，抛掷一个骰子，得到任一确定的点数（比如2点）的概率是61．重复抛掷骰子n 次，得到此确定点数的次数ξ服从二项分布，ξ～Ｂ(n ，61) 显然，当n ＝1时，二项分布即为0—1分布． ③几何分布：在独立重复试验中，某次事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个取值为正整数的离散型随机变量．“ξ＝k ”表示在第k 次独立试验时事件第一次发生．如果把第k 次试验时事件A 发生记为A k ，事件A 不发生记为k A ，p A P k =)(，q A P k =)(，那么p q A P A P A P A P A P A A A A A P k P k k k k k 113211321)()()()()()()(---==== ξ.（k ＝1，2，3，…）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：，…，分布列的表达式可有如下几种：（1）表格形式；（2）一组等式；（3）压缩为一个带“i ”的等式．2. 离散型随机变量期望和方差（1则称E ξ＝∑=1i x i p i， ++++=n n p x p x px 2211.为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．则其n 次射击的环数ξ的期望为E ξ＝4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.28＝8.32若b a +=ξη其中a ，b 是常数，则η也是随机变量．因为P （b ax i +=η）＝P （ξ＝x i ）i ＝1，2，3， …所以η于是E η＝（a x 1＋b ）p 1＋（a x 2＋b ）p 2＋…＋（a x n ＋b ）p n ＋…＝a （1p 1＋2p 2＋…＋x n p n ＋…）＋b （p 1＋p 2＋…＋p n ＋…）aE ξ＋b即（2那么，把 D ξ＝∑∞=1(i x i －E ξ)2p i ＝(x 1－E ξ)2·p 1＋(x 2－E ξ)2·p 2＋…＋(x n － E ξ)2·pn＋…叫做随机变量ξ的均方差，简称方差．其中E ξ是随机变量ξ的期望．D ξ的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位．两个计算方差的简单公式(不要求证明)：①D(a ξ＋b)＝a 2D ξ．②如果ξ～B(n ，p)，那么D ξ＝npq ，这里q ＝1－p说明：在实际问题中，人们常关心随机变量的特征，而不是随机变量的具体值．离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位，在实际中应用更广泛．【解题方法指导】例1.盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）．记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ．（I ）求随机变量ξ的分布列； （II ）求随机变量ξ的期望ξE ．解：（I ）由题意可得，随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10． 随机变量ξ的概率分布列如下：ξE ＝2×0.09＋3×0.24＋4×0.16＋6×0.18＋7×0.24＋10×0.09＝5.2.例2.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：（Ⅰ）依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3．3,2,1,0,)(310346=⋅==-k C C C k P k k ξ.甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ＝0×301＋1×103＋2×21＋3×61＝59. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P(A)＝310361426C C C C +＝1202060+＝32，P(B)＝310381228C C C C +＝1205656+＝1514. 方法一：因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(B A ⋅)＝P(A )P(B )＝（1－32）(1－1514)＝451. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P(B A ⋅)＝1－451＝4544. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二：因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P ＝P(A ·B )＋P(A ·B)＋P(A ·B)＝P(A)P(B )＋P(A )P(B)＋P(A)P(B) ＝32×151＋31×1514＋32×1514＝4544. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 说明：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．【考点突破】【考点指要】离散型随机变量是高考的重点内容，它是随机事件的概率的深化，它的本质是某些随机试验结果的数量化．离散型随机变量的分布列整体地反映了随机变量所有可能的取值及其相应值的概率P （ξ＝x i ）＝P i ．期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都建立在分布列的基础之上．方差又与期望紧密相连，求期望与方差的关键是求ξ的分布列．期望与方差是随机变量的最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价值，所以成为高考的热点之一．历年高考中所占的分值为5~13分，多以填空题和解答题的形式出现．【典型例题分析】例1. （2005卷17题）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32． （I ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ； （II ）求乙至多击中目标2次的概率；（III ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．分析：本题主要考查概率的内容，考查点有随机事件的分布列、互斥事件的概率及相互独立事件的概率等.解：（I ）P (ξ＝0)＝03311()28C =，P (ξ＝1)＝13313()28C =， P (ξ＝2)＝23313()28C =，P (ξ＝3)＝33311()28C =.ξE ξ＝130123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=， （或E ξ＝3·2＝1.5）； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C ＝1927；（III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．1231121()()()8278924P A P B P B =+=⋅+⋅=所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124．例2. （2004某某卷理18题）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（Ⅰ）ξ的概率分布列及期望E ξ；（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率． 解：（I ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4用A K 表示“汽车通过第k 个路口时不停（遇绿灯）”，则P （A K ）＝4321,,,),4,3,2,1(43A A A A k 且=独立.从而ξ有分布列：ξ 01234P41 16364925627256812562564256364216140=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （II ）256175256811)4(1)3(=-==-=≤ξξP P 答：停车时最多已通过3个路口的概率为256175．【综合测试】一. 选择题1.随机变量ξ的分布列如下，则m ＝ （ ）ξ1 2 3 4P41 M31 61 A.31 B. 2 C. 6 D. 42.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P （ξ≥1）等于（）A. 0.9163B. 0.0081C. 0.0756D. 0.99193. 某一计算机网络，有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率p ，则这个网络中一天平均使用的终端个数为 （）A. np(1－p)B. npC. nD. p(1－ p) 4.设随机变量ξ～B(n ，p)，且E ξ＝1，D ξ＝1.8，则（ ）A. n ＝8，p ＝0.2B. n ＝4，p ＝0.4C. n ＝5，p ＝0.32D. n ＝7，p ＝0.45二. 填空题5.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ε，则P(ε>3)＝______________.6. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 ．(结果用分数表示) 7. 有一批数量很大的商品的次品率为100，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，则E ξ＝__________， D ξ＝_____________．8. 在有奖摸彩中，一期(发行10000X 彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一X 彩票的合理价格是_______________元．三. 解答题9.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么?10. A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A 机床B 机床问：哪一台机床加工质量较好?11. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率．12.（2004年高考全国卷Ⅳ（19））某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率．参考答案一. 选择题1. D 解析：∵41＋m ＋31＋61＝1 ∴m ＝．∴选D 2. D 解析：∵P （ξ≥1）＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.7)4＝1－0.0081＝0.9919. ∴选D3. B 解析：设这个网络中一天使用的终端个数为ξ，则ξ～Ｂ(n ，p)，∴E ξ＝np ．∴选B ．4. A 解析：由E ξ＝ np ，D ξ＝np(1－p) 可知⎩⎨⎧-==)1(28.16.1p np np ∴⎩⎨⎧==2.08p n ∴选A二. 填空题 5.388813解：依题意，随机变量ε～Ｂ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴Ｐ(ε＝4)＝6561C 445⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛＝777625，P(ε＝5)＝55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛＝77761． ∴Ｐ(ε>3)＝P(ε＝4)＋P(ε＝5)＝388813． 6. 190119解：属于同一个国家的概率为190712202524211=++C C C C ， 所求概率为 190119190711=-，或：所求概率为 19011954511411220=⨯+⨯+⨯C 7. 2，1.98解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~B(200，1%). 因为E ξ＝n ξ，D ξ＝npq ，这里n ＝200，p ＝1%，q ＝99%， 所以，E ξ＝200⨯1%＝2，D ξ＝200%99%1⨯⨯＝1.98．8. 0.2解：设一X 彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取得的值为0，5，25，100.依题意，可得ξ的分布列为∴E ξ＝0400⨯2.0200010050025505=⨯+⨯+⨯+ 答：一X 彩票的合理价格是0.2元.三. 解答题9. 答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点，10.解：E ξ1 ＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44 E ξ2 ＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44 它们的期望相同，再比较它们的方差．D ξ1 ＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44) 2×0.2＋(2－0.44) 2×0.06＋(3－0.44) 2×0.04＝0.6064，D ξ2 ＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44) 2×0.06＋(2－0.44) 2×0.04＋(3－0.44) 2×0.10 ＝ 0.9264，∴D ξ1＜D ξ2，故A 机床加工较稳定、质量较好11. （Ⅰ）解：ξ可能取的值为0，1，2．2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ. 所以，ξ的分布列为（Ⅱ）解：由（1），ξ的数学期望为1525150=⨯+⨯+⨯=ξE（Ⅲ）解：由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为54)1()0()1(==+==≤ξξξP P P12. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ＝－300）＝0.23＝0.008，P （ξ＝－100）＝3×0.22×0.8＝0.096，P （ξ＝100）＝3×0.2×0.82＝0.384，P （ξ＝300）＝0.83＝0.512， 所以ξ的概率分布为E ξ＝（－300）×0.008＋（－100）×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180. （Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）＝0.384＋0.512＝0.896.。
高中数学专题28_离散型随机变量的分布列_、期望与方差、正态分布(有答案)
专题28 离散型随机变量的分布列、期望与方差、正态分布一、解答题。
1. （哈尔滨第九中学二模）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．求直方图中a的值；由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(200,12.22)，试计算数据落在(187.8,212.2)上的概率；参考数据：Z∼N(μ,δ2)，则P(μ−δ<Z<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<Z<μ+2δ)=0.9544．设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y={0.4x， x≤205，0.8x−80,x>205，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．2. （陕西宝鸡质检三）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．求顾客抽奖1次能获奖的概率；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．3. （乌鲁木齐三诊）小明和他的一些同学住在同一小区，他们上学、放学坐公交在路上所用的时间X（分钟）只与路况畅通情况有关（上学、放学时的路况是一样的），小明在一年当中随机地记录了200次上学（或放学）在路上所用的时间，其频数统计如表所示．求他上学（或放学）在路上所用时间的数学期望E(X)；小明和他的另外两名同学4月23日彼此独立地从小区到学校去，设他们3人中所用时间不超过E(X)的人数为Y，求Y的分布列及数学期望；小明在某天上学和放学总共所花的时间不超过40分钟的概率是多少？4. （郑州一次质测）为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲、乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示．若甲单位数据的平均数是122，求x；现从如图所示的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为ξ1，ξ2，令η=ξ1+ξ2，求η的分布列和数学期望．5. （山东青岛统一质检）某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试，已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[60, 70)，第二组[70, 80)，第三组[80, 90)，⋯，第八组[130, 140]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．求第七组的频率，并完成频率分布直方图；估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中位数；若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2人，记这2名学生中属于第一组的人数为ξ，令η=2ξ+1，求ξ的分布列及E(η)．6. （江西赣州摸底）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a、b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．在（Ⅰ）的条件下，（ⅰ）求该团队能进入下一关的概率；（ⅱ）该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小，并说明理由．7. （福州质检）从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如下频率分布直方图：公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．（ⅰ）利用该正态分布，求P(87.8<Z<112.2)；（ⅱ）某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于(87.8,112.2)的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求E(X)．附：√150≈12.2．若Z∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544．8. （河北衡水中学九模）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为3：若初检不合4格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再．每台仪器各项费用如表：检合格率为45求每台仪器能出厂的概率；求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价−生产成本−检验费−调试费）；假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．专题28 离散型随机变量的分布列 、期望与方差、正态分布一、解答题。
离散型随机变量的期望和方差
岚山一中导学学案学习改写人生，反思启迪智慧离散型随机变量的期望和方差【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题． 【知识梳理】1、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝ 为随机变量X 的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差称D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 的 ，其 为随机变量X 的标准差． 2、三种分布(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；(2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；(3)若X 服从超几何分布，则E (X )＝n MN.（不用记忆） 3、六条性质(1)E (C )＝C (C 为常数) (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数)(3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2 (4)D (aX ＋b )＝a 2·D (X)【基础自测】 1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．22、已知X 的分布列（如图）设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )． A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 3、(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.94．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45【考向透析】 【例1】（2012济南一模）将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第k 号卡片恰好落入第k 号小盒中，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数. （1）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率; （2）求匹对数ξ的分布列和数学期望ξE .【例2】（2013山东）甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.【例3】某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品.现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（II）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率.巩固练习1、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）． 2、某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。
新高考数学备考专题离散型随机变量的期望与方差考点真题训练(解析版)
新高考 离散型随机变量的期望与方差 专题训练一、单选题1．（2021·四川雅安·模拟预测（文））按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆前后继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作.该区设置有A ，B ，C 三个接种点位，每个市民需间隔28天左右完成两针的疫苗接种，每一针都可以随机选择去任何一个点位接种.则该区有接种意愿的人，在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是（ ）A ．15B ．13C ．12D ．23【答案】B 【分析】结合独立事件乘法公式即可求解. 【详解】设事件A 为两针疫苗都在A 点位接种，则()111339P A =⨯=，同理在B ，C 点位接种的概率也为19，所以在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是11393P =⨯=.故选：B2．（2021·广东·石门中学模拟预测）在一个抛硬币的游戏里，抛出的前2个硬币都是正面朝上，则在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．38【答案】C 【分析】由于抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，进而可得结果. 【详解】因为抛每一个硬币正面朝上的概率均为12，且抛第3个硬币出现的结果与前2个硬币出现的结果没有关系，所以在抛第3个硬币时，正面朝上的概率为12. 故选：C.3．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误. 故选：D.4．（2019·浙江·高考真题）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时 A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．（2018·全国·高考真题（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B 【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =-p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．6．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立【答案】B 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁， ，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙， 故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．（2017·浙江·高考真题）已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【详解】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确．8．（2021·全国·模拟预测）世界读书日全称为世界图书与版权日，又称“世界图书日”，最初的创意来自于国际出版商协会.1995年正式确定每年4月23日为“世界图书与版权日”，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界100多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2021年4月23日这一天，某高校中文系为了解本校学生每天的课外阅读情况，随机选取了200名学生进行调查，其中女生有120人．根据调查结果绘制了如下学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频数分布表．将日均课外阅读时间在[]30,60内的学生评价为“课外阅读时间合格”，已知样本中“课外阅读时间合格”的学生中有20男生．那么下列说法正确的是（）A．该校学生“课外阅读时间”的平均值约为26分钟B．按分层抽样的方法，从样本中“课外阅读时间不合格”的学生抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，则这2人恰好是一男一女的概率为5 9C．样本学生“课外阅读时间”的中位数为24分钟D．若该校有10000名学生，估计“课外阅读时间合格”的女生有3500人【答案】B【分析】利用组中值乘以频率最后作和，求得平均值，可以判断A 项是错误的；根据题中所给的条件，可以判断出合格的同学有80人，根据男生20人，得到女生60人，从而求得不合格男女生人数，利用分层抽样方法，结合概率公式求得B 项是正确的；利用中位数满足的条件，可以确定其为26，可得C 项错误；利用所占比例可求得其人数为3000，得到D 项错误，最终选出正确结果. 【详解】50.25150.1250.25350.3450.06550.0426x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≠，A 错；合格的同学有80人，其中男生20人，女生60人 不合格的同学有120人，其中男生60人，女生60人 在不合格的同学中分层抽样抽10人，则男生5人，女生5人10人中任取两人为一男一女的概率为1155210C C 5C 9P ==，B 对；设中位数为x ，则200.250.10.250.510x -++⨯= ∴2624x =≠，C 错课外阅读合格女生所占全体学生的概率60320010P == 30100003000100⨯=人，D 错． 故选：B ．二、多选题9．（2022·湖南株洲·一模）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A ．1A 、2A 为对立事件 B ．()1411P B A =C ．()310P B =D ．()()121P B A P B A +=【答案】AB 【分析】只需注意到事件B 是在事件1A 或2A 发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A 正确；当1A 发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B 发生的概率为411，故B 正确；当2A 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B 发生的概率为311，故D 不正确；14137()21121122P B =⨯+⨯=，故 C 不正确.故选：AB10．（2021·湖南·衡阳市八中模拟预测）下列说法正确的有（ ） A ．1~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，且()2D X =，则6n =B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ≤= 【答案】BD 【分析】A 利用二项分布的方差公式求参数即可；B 根据回归方程直接可判断x 、y 的增量间的影响；C 线性相关性强弱与|r |有关；D 根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】A ：由1~,3XB n ⎛⎫⎪⎝⎭，()12233D X n ==⨯⨯，则，所以9n =，故不正确；B ：若有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，()351355y x x =-+=--，故y 平均减少5个单位，正确；C ：线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；D ：在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，由于正态曲线关于1x =对称，则(1)0.5P ξ≤=，正确． 故选：BD ．11．（2021·湖南长沙·模拟预测）人民日报智慧媒体硏究院在2020智慧媒体髙峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI 算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a 个､图片b 张()*,,1a b a b ∈>>N ，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，则下列判断中正确的是（ ） A ．()()()P A P B P C =+ B ．()()()P A P B P C =⋅ C ．()()()P A P BC P BC >+D ．()()P BC P BC < 【答案】BC 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A 错误，B 正确；事件A 包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入选”三种情况，所以()()()()P A P BC P BC P BC =++，则()()()P A P BC P BC >+，所以C 正确；由题可知，111()1a P BC a b ab -⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭，111()1b P BC a b ab -⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭，因为a ，*b N ∈，1a b >>，所以11a b ab ab-->，即()()P BC P BC >，故D 错误. 故选:BC .12．（2021·全国·模拟预测）假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹.该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完.设耗用子弹数为X ，则（ ） A ．目标被击中的概率为3132B ．()314P X == C ．()2316E X =D ．()87256D X =【答案】BD 【分析】求随机变量X 的分布列，由期望，方差公式求其期望，方差，由此判断各选项对错. 【详解】由题意可得，目标没有被击中的概率为30311464C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以目标被击中的概率为16316464-=，A 错误.易知该射手每次射击命中失败的概率为14，X 的取值范围为{1，2，3}，所以()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()11134416P X ==⨯=，所以X 的分布列为：()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=，()2222132132118712316416161616256D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， B ，D 正确，C 错误， 故选：BD.三、填空题13．（2011·广东·一模（理））在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>.若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为_______________. 【答案】0.8 【分析】利用正态分布的对称性求解即可 【详解】因为正态分布的平均数为1， 所以(12)(01)0.4P P ξξ<<=<<=所以(02)(01)(12)0.8P P P ξξξ<<=<<+<<= 故答案为： 0.814．（2019·全国·高考真题（理））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查． 【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.【答案】35【分析】利用条件概率公式即可得到结果. 【详解】设“甲同学被选出”记为事件A ，“乙同学被选出”记为事件B ，则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率()2435C ()3()|C 5n AB P B A n A ===. 故答案为：3516．（2022·重庆·模拟预测）已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,,101aP X n n n n ===⋅⋅⋅+，则实数=a ______．【答案】1110【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，()11()1P X n a n n ==-+， 由分布列的性质得1011111110()[(1)()()]1223101111n a P X n a ===-+-++-==∑，解得1110a =， 所以实数1110a =. 故答案为：1110。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题29 离散型随机变量的分布列、期望与方差（解析版） 易错点1：二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混；通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）；事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n n P k C p p -=-；()=,0,1,2,3,01,1k k n k n p k C p q k n p p q 且ξ-==<<+=；易错点2：混淆二项分布和超几何分布的期望和方差；题组一1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =A ．0．7B ．0．6C ．0．4D ．0．3【解析】由题意，X~B(10,p),所以DX=10×p×(1-p)=2.4,p=0.4或0.6，又(4)(6)P X P X =<=，即()()644466101011C p p C p p -<-，得1,0.62p p >=所以2.（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ．【解析】由题意，X~B(100,0.02),所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96题组二3．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时， 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）解：X 的所有可能取值为﹣1，0，1．(1)1P X ，(0)11P X ,(1)1P X∴X 的分布列为：X﹣1 0 1 P 1 11 1（2）（i ）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，∴由（1）得，a ＝0.4，b ＝0.5，c ＝0.1．因此p i ＝0.4p i ﹣1+0.5p i +0.1p i +1（i ＝1，2，…，7），故0.1（p i +1﹣p i ）＝0.4（p i ﹣p i ﹣1），即（p i +1﹣p i ）＝4（p i ﹣p i ﹣1），又∵p 1﹣p 0＝p 1≠0，∴{p i +1﹣p i }（i ＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p 1的等比数列；（ii ）解：由（i ）可得，881887761001p 1441143p p p p p p p p p ∵p 8＝1，∴183=41p ∴P 4＝（p 4﹣p 3）+（p 3﹣p 2）+（p 2﹣p 1）+（p 1﹣p 0）+p 0＝4413p 1＝1257． P 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为41p 0.0039257，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．4．（2018全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值点0p ．(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解答】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1-p)18.因此f′(p)= C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2 C 202p(1-p)17(1-10p)令f′(p)=0，得p=0.1.当p ∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p ∈(0.1,1)时，f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1.（2）由（1）知，p=0.1.（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B(180,0.1)，X=40+25Y ，所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.5．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解答】（1）由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为：（2），因此只需考虑200n ≤≤500当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20,25），则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-当200300n ≤<时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-因此2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+所以300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元。
6．(2016年全国I)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ；16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ；2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ；08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P .所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时， 08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .7．（2013新课标1）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望．【解析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1.第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取岀的4件产品都是优项品为事件B 1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A 1B 1)∪(A 2B 2). 且A 1B 1与A 2B 2互斥,所以 1122111222)(|)(|P A P A B P A B P A P B A P A P B A 41113161616264 (2) X 可能的取值为400，500，800，并且 4111(400)1161616P X ,1(500)16P X ,41(800)164P X 所以X 的分布列为11161111400500800506.2516164EX8．（2012新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩（2）（i ）X 可取60，70，80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=（ii ）购进17枝时，当天的利润为 (14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯= 76.476> 得：应购进17枝。