力学课件：第4章 动能与势能

则，各质点的元位移
m2
dr 1
dr2
dr 3
dr n
故不能用一个共同的元位移 dr 来代替。
(2).平面自然坐标
F
Ftet
Fnen
dA F dr
dr dset
dA
（Ft
et
Fnen） dset
Ftds
F
s1
et
O dr dset
s0
(3).平面极坐标
F Frer F e
dr drer rde
Y x2 4y
x1 2(m)处运动到 x2 3(m)
2.25 4 y x 6
处该力作的功：沿直线和抛物线。
1
解：A
B F • dr
A
b a
Fxdx Fydy Fzdz
2
O
直线
A2
x2 x1 ,
, y2 y1
(Fxdx
Fydy)
x2 2 ydx
x1
y2 4dy
y1
dA F dr
e
Δr
F
er
(r, )
dA
（Fr
er
F e）（ drer
rde）O
A
Frdr F rd
一对内力作功之和
系dA统中dA任1 意d两A2质点f12md1r1m2f的21 相dr互2 作用力 f12
f12 f12
(ddrr11
drf212)f1d2 rf212
f 21
动能定义:
EK
1 2
m 2
为什么是这样的形式?
1.质点的动能定理
思路：与推导动量定理,仍然由牛顿 第二定律出发。
一种推导： 元功
代入牛顿第二定律
dA
mmFddtddrdr
dA
m
d
md
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
讨论
1）功A是标量 反映了能量的变化 正负：取决于力与位移的夹角 摩擦力作功一定是负的吗？
2）功A是过程量 ,一般来说功与受力质 点的运动路径有关
3）功A跟参考系有关
4) 功A的表达式中, dr是受力质点的位 移,而不是力作用点的位移
5) 计算功的过程中特别要分清研究对象
= N2drm对M , (因N1= - N2)
=0
(因N2 drm对M )
N2
m
N1，N2作功均各不为零， 但作功之和为零，因两物体
N1 M
无相对位移。
光滑
2、功率
•定义：单位时间内完成的功，叫做功率
P＝A t
P＝dA dt
•物理意义：表示作功的快慢
•功率的公式
P＝dA F dr F v dt dt
dA
dA1
dA2
Nm
drmM
0
一对滑动摩擦力作功
A
fr
drmM fr drmM
<0
Nm fr
drmM
m
M
中学熟知的例子
总功一定减少体系的动能 使用这些结果时，思考过是一对力作功之和吗？
证明 一对正压力作功之和。
解： dW对 = N1drM对地 + N2drm对地
= N1drM对地 + N2(drm对M + drM对地)
解 （：1）（A一＝维F运 动dr可 以用F标 d量r）dt
3
12tvdt
dt
0
v v0
t
adt 0
0
tF dt
0m
t 12t dt 3t 2 02
A
3
12t
3t
2dt
3
36t
3dt
9t
4
729J
（2）P＝0 F
v
12t
0
3t
2
t 3
972W
t 3
§４.3、动能与动能定理
对质点有：
(b)
A Ai F合 dr
i
(a)
即，各力作功之和等于合力作的功。
但对质点系：写不出像质点那样的简单式子， 即，各力作功之和不一定等于合力的功。
2)质点系问题
Ai
fi
dr i
?
(
fi ) dr
i
i Li
Li
对问号的解释： 一般的讨论：
m1 L1
如图，两个质点走的路径不同。
L2
3X
31
94
(x 6)dx 4dy 21.25J
2Baidu Nhomakorabea2
1
抛物线
A1
x2 x1 ,
, y2 y1
(Fx
dx
Fydy)
x2 2 ydx
x1
y2 4dy
y1
3
x2 dx
94
4dy 10.8J
2 2
1
例4. 质量为2kg的质点在力 F＝12t i (SI)
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求 （1）前三秒内该力所作的功；（2）t=3s时的功率。
m
m
A＝F r
r
说明 •功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 •单位：焦耳(J) 1J=1N·m
变力的功
Z
分成许多微小的位移元，在每
一个位移元内，力所作的功为
b
dr
dA F dr F cos ds
a
F
总功
O
Y
X
A＝ dA F dr F cos ds
合力的功
A＝ F dr＝ ( Fi )dr ( Fi dr ) Ai
力学教案
第四章 动能与势能
华南师范大学物理与电信工程学院
主要内容 §４.２ 功 功率 §４. 3 动能与动能定理 §４. 4 保守力与非保守力 势能 §４.５ 功能原理 机械能守恒 §４.6 碰撞
§４.２、功与功率
1、功 (描述力对空间的积累效应)
恒力的功
F
F
力对质点所作的功等于该力在位 移方向上的分量与位移大小的乘积
1m漏去0.2kg的水.
(1)画出示意图,设置坐标轴后,写出力所做元功的表达式.
(2)计算把水从井下匀速提到井口外力所做的功.
[解] (1)建立坐标并作示意图如右, F (m dm)g (m y)g dA F dy (m y)gdy
(2) A y2(m y)gdy y1
F
dr12
dr12 质点1相对质点2的元位移
f12 质点1受质点2的力
L1 m1 f12 r1 r2 o
f 21
f21 m2
L2
一对力作的功只决定于质点间的相对位移， 和所选参考系无关。
一对作用力和反作用力的总功不一定为零。
dA
f12
dr12
f 21
dr21
中学已使用过这个结论。如：
一对正压力的功
y
m
dm
O
10
0 (10 0.2 y) 9.8dy 882 J
例２小球在水平变力 F作用下缓慢移动，即在所
有 直方位向置上成均 角近。似处求于：力(1平) 衡的状功F态，，(2直)重到力绳的子功与。竖
解： l
m
l
变力
m
恒力曲线运动
例 3 作用 在质 点上的力为 F 2 yi 4 j(N ) 。求质点从
•单位：瓦特(W)
功的计算
(1)分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系；
(2)写出元功的表达式，选定积分变量；
(3)确定积分限进行积分，求出总功。
F Fxi Fy j Fzk dr dxi dyj dzk
A＝ Fxdx Fydy Fzdz
[例１] 从10m深的井中把10kg的水匀速上提,若每升高