流体力学第七章习题
流体力学辅导材料7-第七章-明渠恒定流-【教学基本要求】-1
流体力学辅导材料7第七章 明渠恒定流【教学基本要求】1、理解明渠分类，掌握梯形渠道和矩形渠道过流断面的水力要素计算。
2、理解明渠恒定均匀流形成条件，,掌握明渠恒定均匀流水力特征。
3、掌握明渠恒定均匀流水力计算基本公式。
4、理解水力最优断面与允许流速的概念。
5、会进行明渠恒定均匀流水力计算（求流量、底坡、断面尺寸的确定等）。
6、理解明渠恒定非均匀流形成条件及明渠恒定非均匀流水力特征。
6、理解明渠水流的流态（缓流、临界流、急流），掌握其判别标准。
7、理解断面单位能量s E 、临界水深K h 、临界底坡K i 等概念。
8、了解弗劳德数Fr 的物理意义，熟悉其数学表达式。
9、了解水跃、跌水现象和流动特征，知道水跃方程、共轭水深、水跃能量损失和跃的计算。
10、知道明渠恒定非均匀渐变流微分方程。
11、会进行棱柱形渠道水面曲线定性分析。
12、会进行棱柱形渠道恒定非均匀渐变流水面曲线计算（分段求和法）。
【学 习 重 点】1、明渠的分类，明渠恒定均匀流的水流特征，及其形成条件。
2、明渠恒定均匀流计算基本公式。
3、明渠断面形状、尺寸，底坡的设计及其水力计算。
4、缓流、急流、临界流及其判别标准。
5、断面单位能量、临界水深、临界底坡等概念。
6、跌水、水跃水流特征，共轭水深等概念。
7、棱柱形渠道恒定非均匀渐变流水面曲线的变化规律及其定性分析。
8、棱柱形渠道恒定非均匀渐变流水面曲线的计算（分段求和法）。
【内容提要和学习指导】一.概述明渠水流是指河道或渠道中水流，其自由表面为大气压，相对压强为0，亦称无压流。
本章介绍明渠的分类，明渠水流特征，及其水力计算。
本章分为两大部分：第一部分为明渠恒定均匀流。
第二部分为明渠恒定非均匀流。
这一章的基本概念较多，要多从物理意义上加以理解。
有些水力计算比较繁，如梯形断面渠道的断面尺寸的设计、共轭水深、水面曲线的计算，要求掌握其计算方法，利用相关资料会进行计算。
考核内容为基本概念和矩形断面渠道的水力计算。
哈工程船舶流体力学答案第七章答案
第七章答案7-1 油在水平圆管内作定常层流运动，d=75mm, Q=7l/s, ρ=800kg/3m , 壁面上τ=48N/2m ,求油的粘性系数。
解：圆管层流，流量44482a p Q Q p l l aπμμπ∆=∆⇒= 管壁上342433444 3.5510/24p Q Q Q a y a a m s l a a a Q μμρυτπτυπππρ-∆=====⇒==⨯ （结论）7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么？答：把湍流中微团的脉动与气体分子的运动相比拟，将Reynolds 应力用混合长度与脉动速度表示。
7-3 无限大倾斜平板上有厚度为h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下作定常层流运动，自由面上压力为大气压Pa 且剪切应力为0。
流体密度为ρ ，运动粘性系数为 ν，平板倾斜角为 θ。
求垂直于x 轴的截面上流体的速度分布和压力分布。
解：不可压缩平面流动的Navier-Stokes 方程为：2211x y u u upu v f u t x y xv v v p u v f v tx y yυρυρ∂∂∂∂⎧++=-+∇⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂⎪++=-+∇⎪∂∂∂∂⎩连续方程为：0u v t t∂∂+=∂∂ 由于流动定常，故Navier-Stokes 方程中0u v t t∂∂==∂∂，则 Navier-Stokes 方程可简化为2211x y u u p u v f u x y x v v p u v f v xy y υρυρ∂∂∂⎧+=-+∇⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪+=-+∇⎪∂∂∂⎩边界条件为：y=0时，u=0 ,v=0y=h 时，v=0,τ=0，p=Pa由上述边界条件知，v 始终为0，故0,0v u x∂∂==∂∂。
则以上Navier-Stokes 方程的第二式可进一步简化为：10y pf yρ∂=-∂1cos cos cos y p pf g g p g y c y yθρθρθρ∂∂⇒==-⇒=-⇒=-+∂∂ 由y=h 时p=Pa 解得：常数cos c Pa g h ρθ=+故cos ()P Pa g h y ρθ=+-以上Navier-Stokes 方程的第一式可进一步简化为：210x pf u xυρ∂=-+∇∂ 因p 为y 的函数，所以上式中p x∂∂=0 上式最终简化为：22222212sin sin sin sin 2x u f g d ug dy d u g dy g y u c y c υθυθρθμρθμ∇=-=-⇒=-⇒=-⇒=-⋅++由边界条件，y=0时，u=0,立即得到2c =0，又由11sin 01sin g h c c g hρτμθμρθμ⎛⎫=-⋅+= ⎪⎝⎭⇒=⋅ 所以21sin sin 2g y u g h y ρθρθμμ=-⋅+⋅⋅2s i n 2y hy γθμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（答案）7-4 两块无限长二维平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为1μ、2μ，密度分别为1ρ、2ρ，厚度分别为1h 、2h 。
工程流体力学 禹华谦 习题答案 第7章
7.1 水以来流速度v 0=0.2m/s 顺流绕过一块平板。
已知水的运动粘度s /m 10145.126-⨯=ν，试求距平板前缘5m 处的边界层厚度。
【解】计算x=5m 处的雷诺数50x 107.8/x v Re ⨯=ν=该处的边界层属湍流m 12.0)107.8(537.0Re x 37.051551x=⨯==δ7.2 流体以速度v 0=0.8m/s 绕一块长 L=2m 的平板流动，如果流体分别是水（s /m 10261-=ν）和油（s /m 108252-⨯=ν），试求平板末端的边界层厚度。
【解】先判断边界层属层流还是湍流水：610L 106.1/L v Re ⨯=ν= 油：520L 102/L v Re ⨯=ν=油边界层属层流m 077.08.02108477.5v L 477.5502=⨯⨯=ν=δ-水边界层属湍流m 042.0)106.1(237.0Re L 37.051651L=⨯==δ7.3 空气以速度v 0=30m/s 吹向一块平板，空气的运动粘度s /m 101526-⨯=ν，边界层的转捩临界雷诺数6xcr 10Re =，试求距离平板前缘x=0.4m 及x=1.2m 的边界层厚度。
空气密度3m /kg 2.1=ρ。
【解】（1）x=0.4m ，xcr 60x Re 108.0/x v Re <⨯=ν=，为层流边界层m 0024.0304.01015477.5v x 477.560=⨯⨯=ν=δ- （2）x=1.2m ，xcr 60x Re 104.2/x v Re >⨯=ν=，为湍流边界层m 023.0)104.2(2.137.0Re x 37.051651x=⨯==δ7.4 边长为1m 的正方形平板放在速度v 0=1m/s 的水流中，求边界层的最大厚度及双面摩擦阻力，分别按全板都是层流或者都是湍流两种情况进行计算，水的运动粘度s /m 1026-=ν。
【解】b=1m, L=1m, 60L 10/L v Re =ν=层流： m 005.01110477.5v L 477.560=⨯=ν=δ- 3Lf 1046.1Re 46.1C -⨯==N 46.1bL 2C v 21F f 20D =ρ=湍流： m 023.0)101(137.0Re L 37.051651L =⨯==δ 32.0L f 105.4)(Re 072.0C -⨯==N 5.4bL 2C v 21F f 20D =ρ=7.5 水渠底面是一块长L=30m ，宽b=3m 的平板，水流速度v 0=6m/s ，水的运动粘度s /m 1026-=ν，试求：（1）平板前面x=3m 一段板面的摩擦阻力；（2）长L=30m 的板面的摩擦阻力【解】设边界层转捩临界雷诺数5xcr 105Re ⨯=，因为5cr 0105/x v ⨯=ν,所以 m 083.0x cr =(1) x=3m ，平板边界层为混合边界层60x 1018/x v Re ⨯=ν=0025.01805)002.00053.0(0026.0Re Re )Re 46.1Re 074.0(Re 074.0C xxcr xcr 5xcr5xfm =--=--=N 406bL v 21C F 20fmD =ρ= (2) L=30m ，平板边界层为混合边界层60L 10180/L v Re ⨯=ν=00159.018005)002.00053.0(0016.0Re Re )Re 46.1Re 074.0(Re 074.0C Lxcr xcr 5xcr5Lfm =--=--=N 2577bL v 21C F 20fm D =ρ=7.6 一块面积为m 8m 2⨯的矩形平板放在速度s /m 3v 0=的水流中，水的运动粘度s /m 1026-=ν，平板放置的方法有两种：以长边顺着流速方向，摩擦阻力为F 1；以短边顺着流速方向，摩擦阻力为F 2。
工程流体力学答案(陈卓如)第七章
[陈书7-6] 烟囱直径m d 1=，烟量h k 69.17g q m =，烟气密度3k 7.0m g =ρ，周围大气密度32.1m Kg a =ρ，烟囱内压强损失gVd h P w 2035.02=∆，V 为烟囱内烟气流动的速度，h 为烟囱高度。
为保证烟囱底部断面1处的负压不小于mm 10水柱，烟囱的高度h 应大于（或小于）多少？［解］ 此题用Bernoulli 方程求解。
对1、2断面列出总流的伯努利方程： w h gV gp z gV gp z +++=++222212221111αραρ（1）由质量守恒可知：21V V = 再假定动能修正系数：121==αα 式（1）可简化为： w h gp z g p z ++=+ρρ2211（2）()w h z z g p p --=-2112ρ（3）断面1处的负压：111p p p aV-=，移项可得：Vap p p 111-= 而断面2处的压强为当地的大气压，即： ap p 22= 其中ap 1和ap 2分别为断面1、2处的大气压 将以上各式代入（3）式得：()()w Vaah z z g p p p--=+-21112ρ（4）而：gh p p a aa ρ=-12，h z z =-21代入（4）式得：()gh h h g p a w V ρρ--=1（5）依题意，能量损失：gVd h P h w w 2035.02=∆=代入（5）式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a Vdg V gh gh dgV gh pρρρρ2035.012035.01221移项得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a Vdg V g p h ρρ2035.0121（6）令w ρ为水的密度，负压可用h ∆高的水柱表示为：h g p w V∆=ρ1代入（6）得：a w dg V hh ρρρ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=2035.012将流速：24dq V mρ=代入上式，得：a m w g d q hh ρρρρ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=322216035.01 （7）将：mm h 10=∆、210s m g =、3k 2.1m g a =ρ、3k 7.0m g =ρ、3k 1000m g w =ρ、h k 69.17g q m =和m d 1=代入（7）式得：()m h 20-=因为：h z z =-21，所以：m h z z 2012=-=-【陈书7-10】 将一平板伸入水的自由射流内，垂直于射流的轴线。
流体力学习题及答案-第七章(DOC)
第七章 粘性流体动力学7-1 油在水平圆管内做定常层流运动，已知75=d （mm ），7=Q （litres/s ），800=ρ (kg/m 3)，壁面上480=τ（N/m 2），求油的粘性系数ν。
答：根据圆管内定常层流流动的速度分布可得出2081m u λρτ=； 其中：λ是阻力系数，并且Re64=λ； m u 是平均速度，585.1075.014.325.010741232=⨯⨯⨯==-d Qu m π（m/s ）。
由于阻力系数208m u ρτλ=，因此0202886464Re τρτρλmm u u ===； 即：28τρνmm u du =；所以油的粘性系数为401055.3585.18008075.0488-⨯=⨯⨯⨯==m u d ρτν（m 2/s ）。
7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么？答：把湍流中流体微团的脉动与气体分子的运动相比拟。
7-3无限大倾斜平板上有厚度为h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下做定常层流运动，自由液面上的压力为大气压Pa ，且剪切应力为0，流体密度为ρ，运动粘性系数为ν，平板倾斜角为θ。
试求垂直于x 轴的截面上的速度分布和压力分布。
答：首先建立如图所示坐标系。
二维定常N-S 方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y u x u x pf y u v x u u x νρ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y v x v y pf y v v x v u y νρ 对于如图所示的流动，易知()y u u =，()y p p =，0=v ，θsing f x =，θcos g f y -=；即x 方向速度u 和压力p 仅是y 的函数，y 方向速度分量0=v 。
因此上式可改写为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=∂∂2222y u x u f x uu x ν ypf y ∂∂=ρ1 由不可压缩流体的连续方程0=∂∂+∂∂y v x u 可知，由于0=v ，0=∂∂yv，则0=∂∂x u ； 则上式可进一步简化为：022=∂∂+yuf x ν （1）ypf y ∂∂=ρ1 （2） 对于（1）式，将θsin g f x =代入，则有：θνsin 122g y u -=∂∂ 两端同时积分，得到：1sin 1C y g y u +-=∂∂θν由于当h y =时，0=∂∂=yuμτ，即0=∂∂y u ，代入上式有：h g C θνsin 11=因此：y g h g y u θνθνsin 1sin 1-=∂∂ 两端再次同时积分，得到：()22sin 21sin 1C y g hy g y u +-=θνθν由于0=y 时，()00=u ，代入上式，知02=C ；则有：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221sin 1y hy g y u θν 若将ρμν=代入，则上式成为： ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221sin y hy g y u θμρ 该式即为流动的速度分布。
华中科技大学流体力学第七章-2全解
j
p z
k
dxi
dyj
dzk
PF x
dx
PF y
dy
PF z
dz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dPF
dp
定义 如果流体密度只是当地压强的单值函数，即
p
该流体为正压流体。
此时，可以定义一空间函数
PF
dp
p
1
或者
PF
p ρ
PF -- 压强函数
PF
dp
p
PF
1 p ρ
解
L udx vdy L 6ydx 8xdy
在圆 x2 + y2 = 1上,
x cos
y sin
其速度环量为
2
2
0 6sind(cos ) 0 8cosd(sin ) 14
2．旋涡强度
涡量 -- 速度场的旋度
v 2
1 v
2
面积A上的涡通量 -- 涡量在 A 上法向分量的积分 也称为旋涡强度(或涡强)
例 密度是常数的均质不可压缩流体 是 正压流体,
ρC
PF
p
例 等熵流动的均质气体 是 正压流体,
p
1 ρ
p
p
C
PF
1
p
1
p
1 ρ
p
1
1
PF
dp
c
p
dp
1
c p 1
1
1
p
c
p
p 1
例 大气层中的空气 不是 正压流体，因为在大气层中 空气的密度不仅随压强变化，还与温度、湿度有关。
流体力学吴望一教材第七章作业参考答案
第七章作业参考答案12.设复位势为()()()()()2211ln 123ln 4z i z i z z ω=+++-++ 试分析它们是由哪些基本流动组成的？并求沿园周229x y +=的速度环量Γ及通过该圆周的流体体积流量Q .解：()()()()()()()11ln ln 23ln 2ln 2z i z i z i i z i z i zω=+++-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ =()()()()()()ln ln ln ln 2ln 22ln 2z i z i i z i i z i z i z i ++-+++-+++-()()13ln 23ln 2i z i i z i z-+--+ 它可看成是在()0,1±处强度为2π的点源，在()0,2±处强度为4π的的点源和在()0,1±处强度为2π-的点涡，在()0,2±处强度为6π的点涡，以及在原点强度为2M π=-的偶极子。
所以8πΓ=，12Q π=13.设复位势为()1ln z m z z ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭试问它们是由哪些基本流动组成的？求流线和单位时间通过z i =和1/2z =两点连线的流体体积.习题册，习题六（7）题中m 的定义有所不同。
18.证明沿正x 轴的均匀流V 加上在z a =-处强度为2m π的点源和在z a =处强度为2m π点汇组成卵形体的绕流，求驻点及卵形体方程.由题知()()()ln ln z vz m z a m z a ω=++--d m m V V dz z a z aω==+-+-，当0V =时为驻点。
，则驻点位置为z =()()()ln ln z vz m z a m z a ω=++--，z 用x iy +带入，则流线为()2222Im arctan y ay V m x y a ω=++-所以卵形体的方程为： 2222arctan 0y ay V m x y a+=+- 32.设一圆柱半径为a ，在距圆柱中心为()f f a >处分别放置（1）强度为2Q π的点源；（2）强度为2m π的偶极子；（3）强度为2πΓ的点涡.分别计算以上各种情况下圆柱所受的合力，设流体密度为ρ.解：（1）()()22()ln ln ln ln ln a a z Q z f Q f Q z f z z c z f ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据恰普雷金公式222211122c c i d i Q R dz dz z f z a f z ρωρ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()22222a Q f f a πρ=- （2）（3）方法同（1）结果为（2）()223224a m fR f a πρ=-，（3）()22222a R f f a ρπΓ=-。
流体力学课后答案第七章
1． 已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2，y xy u y 522+=。
求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。
解：（1）线变形速度：y x xu x x +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy y u yy θ 角变形速度：()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε 旋转角速度：()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222121ω 将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω2．已知有旋流动的速度场为z y u x 32+=，x z u y 32+=，y x u z 32+=。
试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。
解：旋转角速度：2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y z x ω 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ω 角变形速度：2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x u z u z x y ε 2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y u x u x y z ε 由z y x dz dy dxωωω==积分得涡线的方程为：1c x y +=，2c x z +=3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x +=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。
解：流场的涡量为：0=∂∂-∂∂=zu y u y z x Ω 22z y cz x u z u z x y +=∂∂-∂∂=Ω 22zy cy y u x u x yz +-=∂∂-∂∂=Ω 旋转角速度分别为：0=x ω222zy czy +=ω 222z y cyz +-=ω 则涡线的方程为：c dz dy z y +=⎰⎰ωω 即c y dz z dy +-=⎰⎰可得涡线的方程为：c z y =+224．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。
流体力学第7章不可压缩理想流体的平面运动(简化版)
AB AB dvx x lim t 0 xt dx
把εx叫做线段AB在x轴的线变形速度。
6
对于三维问题则有
v y vx vz x , y , z x y z
下标x,y,z表示变形发生的方向。 对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不 发生改变，则有
dy
A
o
dx vx
II
流线
x
在虚线AB上取一微元弧段dl，显然，vxdy是经 dl从区I进入区II的流量， vydx是经dl从II区 进入I 区的流量，那么经dl从I区进入II区的净流量为
33
dq vx dy v y dx
对虚线积分可得到两条流线之间的总流量
q dq vx dy v y dx d B A
15
例：如图一维剪切流动中，流体速度分布为
v x cy, v y 0
其中c为常数。判断流动是否无旋？ v0 y x vx
16
由判断条件
1 v y v x 1 z ( ) c0 2 x y 2
故运动是有旋的。
17
例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知 流体速度分布为
工程上有许多问题可简化为理想流体的
无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难。
20
7.3.1速度势函数
对于无旋流动，速度的旋度为零，即
v 2 0
此时流体质点都要满足以下条件
v x v y v z v x v y v z , , y x x z z y
39
练习
试求下面不可压缩流场的流函数及速度势：
流体力学课后习题及答案-第7章-5页精选文档
7-8解：64.022===d d A A c c ε 62.026.19005.014.38.32/01.022=⨯⨯⨯==gH A Q μ 7-9解：（1） 26.190.013.140.6222⨯⨯⨯⨯==gH A Q μ/s m 101.223-3⨯=（2）26.190.013.140.8222⨯⨯⨯⨯==gH A Q n μ/s m 101.613-3⨯= （3）m 5.1275.075.0=⨯==H gp vρ 7-10解：（1）)(22122111h H g A gh A Q -==μμ（2）07.16.190.023.140.6222111⨯⨯⨯⨯==gh A Q μ/s m 103.573-3⨯=7-11解：船不沉要求船内外水面必须保持一定的高差,此高差H 为7-12解：5.16.190.053.140.625.1102522222max ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===gH A V Q V t μh 7.89s 28420== 7-13解: t gH A t Q V d 2d d μ==7-14解：根据伯努利方程得gv d l l H c b a 2)(221++++=λζζζ 根据伯努利方程得gv d l g p h g p b a c a 2)1(21λζζρρ+++++= 7-16解：根据伯努利方程得7-17解:根据伯努利方程得gv d lH 2)241(2λζζζ++++=阀弯进dlgHv λζζζ++++=阀弯进2412m/s 21.415.08003.012.0248.045.01186.19=⨯+⨯+⨯++⨯=7-18 如图，压力水箱中的水，经由两段串联的管道恒定出流。
已知压力表的读值p M =98000Pa ，水头H =2m ，管长l 1=10m ， l 2=20m ，管径d 1=100mm ， d 2=200mm ，若沿程阻力系数λ1= λ2=0.03，试求通过的流量并绘制总水头线和测压管水头线。
流体力学第七章习题答案
第七章习题答案选择题（单选题）7.1比较在正常工作条件下，作用水头H ，直径d 相等时，小孔口的流量Q 和圆柱形外管嘴的流量n Q ：（b ）（a ）Q >n Q ；（b ）Q <n Q ；（c ）Q =n Q ；（d ）不定。
7.2圆柱形外管嘴的正常工作条件是：（b ）（a ）l =（3~4）d ，0H >9m ；（b ）l =（3~4）d ，0H <9m ；（c ）l >（3~4）d ，0H >9m ；（d ）l <（3~4）d ，0H <9m 。
7.3图示两根完全相同的长管道，只是安装高度不同，两管的流量关系是：（c ）（a ）1Q <2Q ；（b ）1Q >2Q ；（c ）1Q =2Q ；（d ）不定。
7.4并联管道1、2，两管的直径相同，沿程阻力系数相同，长度2l =31l ，通过的流量为：（c ）2（a ）1Q =2Q ；（b ）1Q =1.52Q ；（c ）1Q =1.732Q ；（d ）1Q =32Q 。
7.5并联管道1、2、3、A 、B 之间的水头损失是：（d ）1（a ）fAB h =1f h +2f h +3f h ；（b ）fAB h =1f h +2f h ；（c ）fAB h =2f h +3f h ；（d ）fAB h =1f h =2f h =3f h 。
7.6长管并联管道各并联管段的：（c ）（a ）水头损失相等；（b ）水里坡度相等；（c ）总能量损失相等；（d ）通过的流量相等。
7.7并联管道阀门为K 全开时各段流量为1Q 、2Q 、3Q ，现关小阀门K ，其他条件不变，流量的变化为：（c ）Q（a ）1Q 、2Q 、3Q 都减小；（b ）1Q 减小，2Q 不变，3Q 减小；（c ）1Q 减小，2Q 增加，3Q 减小；（d ）1Q 不变，2Q 增加，3Q 减小。
7.8 有一薄壁圆形孔口，直径d 为10mm ，水头H 为2m 。
流体力学吴望一教材第七章作业参考答案
第七章作业参考答案12.设复位势为()()()()()2211ln 123ln 4z i z i z z ω=+++-++ 试分析它们是由哪些基本流动组成的？并求沿园周229x y +=的速度环量Γ及通过该圆周的流体体积流量Q .解：()()()()()()()11ln ln 23ln 2ln 2z i z i z i i z i z i zω=+++-+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ =()()()()()()ln ln ln ln 2ln 22ln 2z i z i i z i i z i z i z i ++-+++-+++-()()13ln 23ln 2i z i i z i z-+--+ 它可看成是在()0,1±处强度为2π的点源，在()0,2±处强度为4π的的点源和在()0,1±处强度为2π-的点涡，在()0,2±处强度为6π的点涡，以及在原点强度为2M π=-的偶极子。
所以8πΓ=，12Q π=13.设复位势为()1ln z m z z ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭试问它们是由哪些基本流动组成的？求流线和单位时间通过z i =和1/2z =两点连线的流体体积.习题册，习题六（7）题中m 的定义有所不同。
18.证明沿正x 轴的均匀流V 加上在z a =-处强度为2m π的点源和在z a =处强度为2m π点汇组成卵形体的绕流，求驻点及卵形体方程.由题知()()()ln ln z vz m z a m z a ω=++--d m m V V dz z a z aω==+-+-，当0V =时为驻点。
，则驻点位置为z =()()()ln ln z vz m z a m z a ω=++--，z 用x iy +带入，则流线为()2222Im arctan y ay V m x y a ω=++-所以卵形体的方程为： 2222arctan 0y ay V m x y a+=+- 32.设一圆柱半径为a ，在距圆柱中心为()f f a >处分别放置（1）强度为2Q π的点源；（2）强度为2m π的偶极子；（3）强度为2πΓ的点涡.分别计算以上各种情况下圆柱所受的合力，设流体密度为ρ.解：（1）()()22()ln ln ln ln ln a a z Q z f Q f Q z f z z c z f ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据恰普雷金公式222211122c c i d i Q R dz dz z f z a f z ρωρ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()22222a Q f f a πρ=- （2）（3）方法同（1）结果为（2）()223224a m fR f a πρ=-，（3）()22222a R f f a ρπΓ=-。
流体力学 第七章 孔口、管嘴出流和有压管道 (2)
解：倒虹吸管一般作短管计算。本题管道出口淹没在水下；
而且上下游渠道中流速相同，流速水头消去。 因 所以 而
Q c A 2 gz c
d 4Q
d 2
4
2 gz
c 2 gz
c
1 l d
因为沿程阻力系数λ或谢才系数C都是d 的复杂函数，
因此需用试算法。
先假设d＝0.8m，计算沿程阻力系数：
v 1 l 1 d
1 1 l d
2 gH 0
通过管道流量 Q
c
1
A 2 gH 0
c A 2 gH0
式中
l 1 d
称为管道系统的流量系数。
当忽略行近流速v时，流量计算公式变为 Q c A 2gH
2、淹没出流
列断面1-1和2-2能量方程
z 3 1 105 85 20m
hw14 为吸水管及压力管水头损失之和。已求得吸水管
水头损失为 0.22m，当压力管按长管计算时，整个管道的 水头损失为
hw14
Q 0.22 2 l K
2
压力管的流量模数
K A2C2 3.14 0.52 1 0.5 2 3 R2 ( ) 4 0.013 4
g
lB v zs (1 e b ) hv d 2g
即 而
lB v2 z s hv (a e b ) d 2g
2
lB v2 hv (1 e b ) d 2g
20 7 (1 0.024 0.5 0.365) 1 1.9852 6.24m 2 3.14 1 2 2 9.8( ) 4
2
《流体力学导论》第七章(第一、二讲)+黏性流动-2015.12.24-26
1) 不可压缩流体 2) 均质流体 3) 因为粘性系数主要 随温度改变而改变，当 温度的空间分布变化不 大时，可以把粘性系数 看作常数。
Cv
dT 1 1 k 2T dt
2 2 Sij
1. 控制方程
1.1 控制方程及定解条件
(1) 初始条件
V V ( x, y, z;0), p p( x, y, z;0), T T ( x, y, z;0)
V 0 V 1 2 t (V )V p V f
p ui 1 1 T uj k q t x j xi xi xi 0 d dT d dT Cv dt t dt T dt dt
u ( y, t ) f ( y, t , ) , U
u U df , t 2 t d
y 2 t
2u U d 2 f 2 y 4 t d 2
u U df , y 2 t d
f ( ) 2 f ( ) 0
边界条件：
f (0) 1, f () 0
3. 非定常平行剪切流动 自由表面的瞬时变化
3. 非定常平行剪切流动
3.1 斯托克斯(Stokes)第一问题
假设有一块无限大平板浸没在无界的静止流体中。突然，平板以速度U沿 其自身平面运动，且一直保持着这一速度。 求：平板起动后流体运动的演化过程。
y
U U
o u u( y, t ), v w 0, p const.
流体力学导论
Introduction of Fluid Mechanics
中国科学院大学工程科学学院
《流体力学导论》 第七章 粘性不可压缩流动
流体力学习题及答案
2－9有一半封闭容器，左边三格为水，右边一格为油(比重为0.9)。试求A、B、C、D四点的相对压力。
2－10一小封闭容器放在大封闭容器中，后者充满压缩空气。测压表A、B的读数分别为8.28kPa和13.80kPa，已知当地大气压为100kPa，试求小容器内的绝对压力。
题2－10图题2－11图
题2－30图题2－31图
2－31有一三角形闸门，可绕AB轴旋转，油液的重度为γ，求液体对闸门的总压力及总压力对AB轴的力矩。
2－32倾斜的矩形平板闸门，长为AB，宽b＝2m，设水深h＝8m，试求作用在闸门上的静水总压力及其对端点A的力矩。
题2－32图题2－33图
2－33矩形平板闸门，宽b＝0.8m，高h＝1m，若要求箱中水深h1超过2m时闸门即可自动开启，铰链的位置y应设在何处？
1－16空气中水滴直径为0.3mm时，其内部压力比外部大多少？
1－17在实验室中如果用内径0.上升高度各为多少？
1－18两块竖直的平行玻璃平板相距1mm，求其间水的毛细升高值。
《流体力学》习题（二）
2－1质量为1000kg的油液(S＝0.9)在有势质量力 (N)的作用下处于平衡状态，试求油液内的压力分布规律。
1－4图示为一水暖系统，为了防止水温升高时体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一膨胀水箱，使水有膨胀的余地。若系统内水的总体积为8m3，加温前后温差为50℃，在其温度范围内水的膨胀系数为βT＝9×10－41/℃，求膨胀水箱的最小容积。
题1－4图题1－5图
1－5图示为压力表校正器。器内充满压缩系数为βp＝4.75×10－101/Pa的油液，器内压力为105Pa时油液的体积为200mL。现用手轮丝杆和活塞加压，活塞直径为1cm，丝杆螺距为2mm，当压力升高至20MPa时，问需将手轮摇多少转？
流体力学第七章习题答案
第七章习题答案选择题（单选题）7.1 比较在正常工作条件下，作用水头H ，直径d 相等时，小孔口的流量Q 和圆柱形外管嘴的流量Q n ：（b）（a）Q >Q n ；（b）Q <Q n ；（c）Q =Q n ；（d ）不定。
7.2 圆柱形外管嘴的正常工作条件是：（b）（a）l=（3~4）d，H0>9m；（b）l=（3~4）d ，H 0<9m；（c）l >（3~4）d ，H0>9m；（d）l <（3~4）d ，H 0<9m。
7.3 图示两根完全相同的长管道，只是安装高度不同，两管的流量关系是：（c）1H2a）Q1 <Q2；（b）Q1 > Q2 ；（c）7.4 并联管道1、2，两管的直径相同，沿程阻力系数相同，长度1Q1（a）Q1= Q2；（ b ）Q1=1.5 Q2；（c）Q1=1.73 Q2；（d）Q1=3 Q2。
7.5 并联管道1、2、3、A、B之间的水头损失是：（d）Q1=Q2 ；（d）不定。
l2 =3 l1 ，通过的流量为：（c）（a ） h fAB =h f1 +h f2+h f3 ；（b ） h fAB =h f1+h f2；（c ） h fAB =h f2+h f3；（d ） h fAB =h f1=h f 2=h f3。
7.6 长管并联管道各并联管段的： （c ）（ a ）水头损失相等； （ b ）水里坡度相等； （ c ）总能量损失相等； （d ）通过的流量相等。
7.7 并联管道阀门为 K 全开时各段流量为 Q 1 、 Q 2 、 Q 3 ，现关小阀门 K ，其他条件不变，流量的变化为： （ c ）KQ 3（a ）Q 1 、 Q 2 、 Q 3都减小；（b ） Q 1减小， Q 2不变， Q 3减小；（c ） Q 1减小， Q 2增加， Q 3减小；（ d ） Q 1不变， Q 2增加， Q 3减小。
7.8 有一薄壁圆形孔口， 直径 d 为 10mm ，水头 H 为 2m 。
工程流体力学闻德第七章流动阻力和能量损失课后习题答案
工程流体力学闻德课后习题答案 第七章 流动阻力和能量损失7—1 管道直径d = 100 mm ，输送水的流量为10 kg/s ，如水温为5℃，试确定管内水流的状态。
如用这管道输送同样质量流量的石油，已知石油密度ρ= 850 kg/m 3、运动粘度ν= 1.14 cm 2/s ，试确定石油流动的流态。
解：（1）2410m/s 1.27m/s 0.11000Q v A π⨯===⨯⨯ 621.51910m /s ν-=⨯ （t = 5℃）61.270.183********.51910ν-⨯===>⨯vd Re ，为湍流 （2）2410m/s 1.50m/s π0.1850Q v A ⨯===⨯⨯ 21.14cm /s ν=15010131620001.14ν⨯===<vd Re ，为层流7—2 有一管道，已知半径r 0 = 15 cm ，层流时水力坡度J = 0.15，湍流时水力坡度J =0.20，试求两种流态时管壁处的切应力0τ和离管轴r =10 cm 处的切应力τ。
（水的密度ρ=1000kg/m 3）。
解：（1）层流时，300.159.8100.15Pa 110.252gRJ τρ==⨯⨯⨯=Pa 00r r ττ=，110.250.1Pa 73.50Pa 0.15τ⨯== （2）湍流时，300.159.8100.20Pa 147Pa 2gRJ τρ==⨯⨯⨯= 00r r ττ=，1470.1Pa 98Pa 0.15τ⨯== 7—3 设有一恒定均匀有压圆管管流，如图所示。
现欲一次测得半径为r 0的圆管层流中的断面平均流速v ，试求毕托管端头应放在圆管中离管轴的径距r 。
解：2220()432gJ gJ u r r v d ρρμμ=-== 2220011()48r r r -=00.707r r ==7—4 明渠二维均匀层流流动如图所示。
若忽略空气阻力，sin J θ=,试证明切应力()g h y J τρ=-，流速(2)2J u gy h y ρμ=-，最大流速2max 2J u g h ρμ=，平均流速v = max 23u ；因水力半径R = h ，若令24λ=h Re ，ρμ=h vh Re ，则2f 42λ=l v h R g。
流体力学习题及答案
流体力学与叶栅理论 课程考试试题一、 选择题（每小题1分，共10分）1、在括号内填上“表面力”或“质量力”：摩擦力（ ）； 重力（ ）；离心力（ ）； 浮力（ ）；压力（ ）。
2、判断下列叙述是否正确（对者画√，错者画╳）：(a) 基准面可以任意选取。
（ ）(b) 流体在水平圆管内流动，如果流量增大一倍而其它条件不变的话，沿程阻力也将增大一倍。
（ ）(c) 因为并联管路中各并联支路的水力损失相等，所以其能量损失也一定相等。
（ ）(d) 定常流动时，流线与迹线重合。
（ ）(e) 沿程阻力系数λ的大小只取决于流体的流动状态。
（ ）二、 回答下列各题（1—2题每题5分，3题10分，共20分）1、什么是流体的连续介质模型？它在流体力学中有何作用？2、用工程单位制表示流体的速度、管径、运动粘性系数时，管流的雷诺数410Re ，问采用国际单位制时，该条件下的雷诺数是多少？为什么？3、常见的流量的测量方法有哪些？各有何特点？三、计算题（70分）1、如图所示，一油缸及其中滑动栓塞，尺寸D =120.2mm ，d =119.8mm ，L =160mm ，间隙内充满μ=0.065Pa·S 的润滑油，若施加活塞以F =10N 的拉力,试问活塞匀速运动时的速度是多少？（10分）题1图2、如图所示一盛水容器，已知平壁AB=CD=2.5m，BC及AD为半个圆柱体，半径R=1m，自由表面处压强为一个大气压，高度H=3m，试分别计算作用在单位长度上AB面、BC面和CD面所受到的静水总压力。
（10分）题2图3、原型流动中油的运动粘性系数υp=15×10-5m2/s，其几何尺度为模型的5倍，如确定佛汝德数和雷诺数作为决定性相似准数，试问模型中流体运动粘性系数υm=？（10分）4、如图所示，变直径圆管在水平面内以α=30。
弯曲，直径分别为d1=0.2m，d2=0.15m，过水流量若为Q=0.1m3/s，P1=1000N/m2时，不计损失的情况下，求水流对圆管的作用力及作用力的位置。
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第七章 相似原理与因次分析7－1 20℃的空气在直径为600 mm 的光滑风管中以8 m/s 的速度运动，现用直径为60 mm 的光滑水管进行模拟试验，为了保证动力相似，水管中的流速应为多大？若在水管中测得压力降为450 mmH 2O ，那么在原型风管中将产生多大的压力降？已已知知：：d a ＝600mm ，u a ＝8m/s ，ρa ＝1.2kg/m 3，νa ＝15.0×10－6m 2/s ，d w ＝60mm ，ρw ＝998.2kg/m 3，νw ＝1.0×10－6m 2/s ；Δp w ＝450mmH 2O 。
解析：(1) 根据粘性力相似，有Re w ＝Re a ，即 www aaa ννd u d u =则水管中的流速应为m/s 33.5)100.15100.1)(60600(8))((66a w w a a w =⨯⨯⨯==--ννd d u u(2) 根据压力相似，有Eu a ＝Eu w ，即 2ww w2a a a u p u p ρ∆ρ∆= 则在原型风管中将产生的压力降为 Pa 95.1181.9450)33.58)(2.9982.1())((2w 2w a w a a =⨯⨯=∆=∆p u u p ρρ 7－2 用20℃的空气进行烟气余热回收装置的冷态模型试验，几何相似倍数为1/5，已知实际装置中烟气的运动粘度为248×10－6m 2/s ，流速为2.5m/s ，问模型中空气流速为多大时，才能保证流动相似？已已知知：：l C ＝1/5，ν＝248×10－6m 2/s ，νm ＝15×10－6m 2/s ，u ＝2.5m/s 。
解析：根据雷诺数相等，即mmm ννd u du =，得m/s 76.05.2)102481015(5))((66m m m =⨯⨯⨯⨯==--u d d u νν只有模型中空气的流速为0.76m/s 时，才能保证流动相似。
7－3 用直径为25mm 的水管模拟输油管道，已知输油管直径500mm ，管长100m ，输油量为0.1m 3/s ，油的运动粘度为150×10－6m 2/s ，水的运动粘度为1.0×10－6m 2/s ，试求：(1) 模型管道的长度和模型的流量；(2) 若在模型上测得压差为2.5cm 水柱，输油管上的压差是多少？已已知知：：d ＝500mm ，d m ＝25mm ，l ＝100m ，Q ＝0.1m 3/s ，ν＝150×10－6m 2/s ，νm ＝1.0×10－6m 2/s ；(Δp/γ)m ＝2.5cmH 2O 。
解析：(1) 根据几何相似mm l ld d =，得 m 0.510050025)(m m =⨯==l d d l (2) 由雷诺数相等，即mmm ννd u d u =，或mm m d Q d Qνν=，得 /s m 1033.31.010150100.150025))((3566m m m ---⨯=⨯⨯⨯⨯==Q d d Q νν (3) 由欧拉数相等，即2m m m 2u p u p ρ∆ρ∆=，注意到24d Q u π=，可写成 2mm 4m m 24Q d p Q pd γ∆γ∆=，则O mH 41.1025.0)50025()1033.31.0()()(2425m m 4m 2m =⨯⨯==-γ∆γ∆p d d Q Q p 7－4 用同一管路通过空气进行水管阀门的局部阻力系数测定，水和空气的温度均为20℃，管路直径为50mm ，水速为2.5m/s 时，风速应为多大？通过空气时测得的压差应扩大多少倍方可与通过水时的压差相同？已已知知：：d ＝d m ＝50mm ，u ＝2.5m/s ，ρ＝1000kg/m 3，ρm ＝1.2kg/m 3，ν＝1.0×10－6m 2/s ，νm ＝νa ＝15×10－6m 2/s 。
解析：(1) 为保证粘性力相似，雷诺数必定相等，即mmm ννd u du =，得m/s 5.375.2)100.11015(1))((66m m m =⨯⨯⨯⨯==--u d d u νν (2) 根据欧拉数相等，即2mm m 2u p u pρ∆ρ∆=，得27.0)5.25.37)(10002.1())((22m m m===u u pΔp ρρ∆ 那么 7.327.01==n 倍 即通过空气时测得的压差应扩大3.7倍，方可与通过水时的压差相同。
7－5 为研究输水管道上直径600mm 阀门的阻力特性，采用直径300mm ，几何相似的阀门用气流做模型实验，已知输水管道的流量为0.283m 3/s ，水的运动粘度为1.0×10－6m 2/s ，空气的运动粘度为15×10－6m 2/s ，试求模型中空气的流量。
已已知知：：d ＝600mm ，d m ＝300mm ，Q ＝0.283m 3/s ，ν＝1.0×10－6m 2/s ，νm ＝νa ＝15×10－6m 2/s 。
解析：为了保证动力相似，雷诺数必定相等，即mmm ννd u du =，或写成mm m d Q d Qνν=。
由此得到 /s m 12.2283.0)100.11015)(600300())((366m m m =⨯⨯⨯==--Q d d Q νν 7－6 为研究风对高层建筑物的影响，在风洞中进行模型实验，当风速为8m/s 时，测得迎风面压力为40N/m 2，背风面压力为－24N/m 2。
若温度不变，风速增至10m/s 时，迎风面和背风面的压力将为多少？已已知知：：u 1＝8m/s ，u 2＝10m/s ，ρ1＝ρ2，p 1，迎＝40N/m 2，p 1，背＝－24N/m 2。
解析：根据欧拉准数相等，即22222111u p u p ρρ=，得 221212122N/m 5.6240)810(1))((=⨯⨯==，迎，迎p u u p ρρ 221212122N/m 5.37)24()810(1))((-=-⨯⨯==，背，背p u u p ρρ 7－7 已知汽车高为1.5m ，行车速度为108km/h ，拟在风洞中进行动力特性实验，风洞风速为45m/s ，测得模型车的阻力为1.50kN ，试求模型车的高度以及原型车受到的阻力。
已已知知：：h ＝1.5m ，u ＝108km/h ＝30m/s ，u m ＝45m/s ，ρ＝ρm ，ν＝νm ，F m ＝1.50kN 。
解析：(1) 根据雷诺数相等，即mmm ννh u hu =，得m 0.15.11)4530())((m m m =⨯⨯==h u u h νν (2) 根据牛顿准数相等，即2m2m m m 22h u F h u Fρρ=，得 kN 50.150.1)0.15.1()4530(1)())((222m 2m m =⨯⨯⨯==F h h u u F ρρ 7－8 直径为0.3m 的管道中水的流速为1.0m/s ，某段压降为70kN/m 2，现用几何相似倍数为1/3的小型风管作模型试验，空气和水的温度均为20℃，两管流动均在水力光滑区。
求：(1)模型中的风速；(2)模型相应管段的压力降。
已已知知：：l C ＝1/3，d ＝0.3m ，u ＝1.0m/s ，Δp ＝70kN/m 2，ρ＝1000kg/m 3，ρm ＝1.20kg/m 3，ν＝1.0×10－6m 2/s ，νm ＝15×10－6m 2/s 。
解析：(1) 根据雷诺数相等，即mmm ννd u du =，得m/s 450.1)100.11015(3))((66m m m =⨯⨯⨯⨯==--u d d u νν (2) 根据欧拉准数相等，即2mm m 2u p u pρ∆ρ∆=，得222m m m kN/m 1.17070)0.145()10002.1())((=⨯⨯==p u u p ∆ρρ∆ 7－9 模型水管的出口喷嘴直径为50mm ，喷射流量为15L/s ，模型喷嘴的受力为100N ，对于直径扩大10倍的原型风管喷嘴，在流量10000m 3/h 时，其受力值为多少？设水和空气的温度均为20℃。
已已知知：：l C ＝1/10，d m ＝50mm ，Q m ＝15L/s ，Q ＝10000m 3/h ，ρm ＝1000kg/m 3，ρ＝1.20kg/m 3，νm ＝1.0×10－6m 2/s ，ν＝15×10－6m 2/s ，F m ＝100N 。
解析：根据牛顿准数相等，即2m 2m m m 22d u F d u F ρρ=，注意到24d Q u π=，则有2mm 2m m 22Q d F Q Fd ρρ=。
由此可得到 N 2.41100)501050()1015360010000)(10002.1()())((223m 2m 2m m =⨯⨯⨯⨯⨯==-F d d Q Q F ρρ 7－10 防浪堤模型实验，几何相似倍数为1/40，测得浪的压力为130N ，试求作用在原型防浪堤上浪的压力。
已已知知：：l C ＝1/40，F m ＝130N 。
解析：将牛顿准数Ne 与付鲁德准数Fr 进行组合，得 3222Fr Ne lg F l g u l u F ρρ== 由组合后的准数相等，即3mm m 3l g F l g F ρρ=，得kN 8320130401))((3m 3mm =⨯⨯==F l l F ρρ 7－11 贮水池放水模型实验，已知模型几何相似倍数为1/225，开闸后10min 水全部放空，试求放空贮水池所需时间。
已已知知：：l C ＝1/225，τm ＝10min 。
解析：将斯特罗哈准数St 与付鲁德准数Fr 进行组合，得 l g glu l u 2222/)/(Fr St ττ== 由组合后的准数相等，即 m2m2l g l g ττ=，得 min 15010225/m m =⨯==ττl l7－12 溢水堰模型的几何相似倍数为1/20，模型中流量为300L/s ，堰所受推力为300N ，试求原型堰的流量和所受的推力。
已已知知：：l C ＝1/20，ρm ＝ρ，Q m ＝300L/s ，F m ＝300N 。
解析：(1) 根据付鲁德准数相等，即m 2m 2l g u l g u =，注意到A Q u =，则有5m2m 52l g Q l g Q =。
由此可得 /s m 7.5363.020)(225m 25m=⨯==Q l lQ(2) 将牛顿准数Ne 与付鲁德准数Fr 进行组合，得 3222Fr Ne lg Fl g u l u F ρρ== 根据组合后的准数相等，即3mm m 3l g F l g F ρρ=，得 kN 2400N 104.2300201))((63m 3mm =⨯=⨯⨯==F l l F ρρ 7－13 油池通过直径d ＝250mm 的管路输送Q ＝140L/s 的石油，油的粘度为75×10－6m 2/s ，现在几何相似倍数为1/5的模型中研究避免油面发生旋涡而卷入空气的最小油深h min ，试验应保证Re 数和Fr 数都相等。