等比数列经典例题

等比数列经典例题

例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.

答：这个数列的第1项与第2项分别是 .

8316

与

例2.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。

2,,aq aq a ：解：设原来的三个数是

431=

-+n n c c

问：如何用a 1和q 表示第n 项a n

1.叠乘法（累乘法）

a 2/a 1=q a 3/a 2=q a 4/a 3=q … a n /a n-1=q

这n-1个式子相乘得a n /a 1=q n-1 所以 a n =a 1q n-1 2.不完全归纳法 a 2=a 1q a 3=a 2q=a 1q 2 a 4=a 3q=a 1q 3 … a n =a 1q n-1

1． 在等比数列{a n }中，已知 a 2＝2，a 4a 6＝256，则 a 8 等于（128） 2． 等比数列{a n }中，a 5＝3，则 a 2·a 8 等于（9）

3． 将 20,50,100 这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，

则其公比是__ 5/3__. 4． 已知等比数列

a n /a 1 {a n }的公比 q ＝

－1

3，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8

＝

（-3）

5． 在等比数列{a n }中，若 a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25. 求 a 3＋

a 5 的值．

6． 在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和为 21，

则 a 3＋a 4＋a 5＝( 84 )

7． 在等比数列{a n }中，若 a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比 q 值

的可能个数为( 4 )

8． 已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前 n 项和，且

a 2＝3,4S 2＝S 4.

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证数列{2an }是等比数列；

(3)求使得 S n ＋2>2S n 的成立的 n 的集合．

解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

由题意得：⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＋d ＝3

4×(2a 1＋d )＝4a 1＋6d

，

解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.

(2)依题意得，12

2n

n a a -＝22n －

1

2

2n －3＝4，

∴数列{2n a }为首项为2，公比为4的等比数列，

(3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2，∴S n ＋2>2S n ⇒(n ＋2)2>2n 2⇒(n －2)2<8，∴n ＝1,2,3,4，故n 的集合为：{1,2,3,4}．

9. 在等比数列{a n }中，a 5、a 9 是方程 7x 2－18x ＋7＝0 的 两个根，试求 a 7.

正解：∵a 5、a 9 是方程 7x 2－18x ＋7＝0 的两个根，

∴⎩⎪⎨

⎪⎧

a 5＋a 9＝

187a 5a 9＝1

.

又∵a 7 是a 5 和a 9 的等比中项，

10. (2010年高考重庆卷)在等比数列{a n }中，a 2010＝8a 2007，则公比q 的值为( 2 )

11.设{a n }是等比数列，a 1＝2，a 8＝256，则a 2＋a 3＝____12____. 12. 若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则S n ＝________. 答案：2n －1

13. (2011年高考全国卷Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.

(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

【解】 (1)证明：由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2， 解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3， 又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1 ＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2) ＝4a n ＋1－4a n ，

∴a 27＝a 5a 9＝1，即a 7＝±

1. 又由方程可得a 5＞0，∴a 7＝a 5q 2＞0，∴a 7＝1.

于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．

(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2，

所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －

1，

于是a n ＋12

n ＋1－a n 2n ＝34，

因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为3

4的等差数列，

所以a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，

所以a n ＝(3n －1)·2n －2(n ∈N ＋)．

14.（1） (2010年高考江西卷)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( A ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1 C ．(－2)n

D ．－(－2)n

（2）(2010年高考辽宁卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( B ) A ．3 B ．4 C ．5

D ．6

(3)(2010年高考辽宁卷)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334 D.172