《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平)

4
，则由误差估计式
| x k |
ba 20 4 ，所需迭代次数 k 满足 k 1 10 ，即取 k 13.28 便可，因此取 k 14 。 k 1 2 2
用二分法计算结果列表如下：
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ak
0 1 1 1 1 1.0625 1.09375 1.109375 1.109375 1.11328125 1.11328125 1.11328125
（当 0 C

2
时， C tgC ） ，命题得证。
4
习题二
1．找出下列方程在 x 0 附近的含根区间。 （1） x cos x 0 ； （2） 3x cos x 0 ； （3） sin( x) e x 0 ； （4） x e
2 x
0；
解： （ 1） 设 f( x) x c o s x 内， f ( x) =0 有根。
1 ，显然当 x 0 时， ( x) 单调递减， x2
(1.6) 1.390625 ，
( x) 1.3,1.6 。
2 2 3 0.92 1 ， 3 x 1.3 1 ， (k 0,1, 2, ) 收敛。 2 xk
'( x)
由迭代法收敛定理，对任意初值 x 1.3,1.6 ，迭代格式 xk 1 1 （B） ( x) (1 x2 ) 3 ，则 (1.3) 1.390755416 ，
， 则 f( 由 f ( x) 的连续性知在 x 1,0 0 ) 1 ， f (1) -0.4597 ，
5
同题（1）的方法可得： （2 ） ， （3 ） ， （4）的零点附近的含根区间分别为 0,1 ； 0,
； 0,1 2
2．用二分法求方程 x sin x 1 0 在 0, 2 内的根的近似值并分析误差。 解 ： 令
(S )
a b C b sin C (a) a sin C (b) ab cos C (C ) ab sin C ab sin C ab sin C
= (a) (b)
C (C ) tgC
(a) (b) (C )
1 1 1 1
0.105 10 2 0.144 10 2 0.657 101 1
= 0.167 10
1
g (2.19) ((0.81) 0.219 101 3) 0.219 101 1
0.123 101 0.219 101 1 = 0.169 101 1 1 即 f ( x) 0.167 10 ， g ( x) 0.169 10 3 2 而当 x 2.19 时 x 3x 3x 1的精确值为 1.6852，故 g ( x) 的算法较正确。
4
（2） f ( x) x 时
( x4 )
x 4 ( x ) ' ( x) 4 ( x) 4*2% 8% x4
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他 们各有几位有效数字。 （1） x 12.1 ； （2） x 12.10 ； （ 3） x 12.100 。 解：由教材 P9 关于 x a1a2 数字位数分别为： 3， 4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； 哪个较精确？ 解： （1）31.97+2.456+0.1352 （2）31.97+（ 2.456+0.1352）
( f ( x)) x f '( x) ( x) f ( x) f ( x)
( f ( x)) f ( x) ( f ( x)) x 2
xf '( x)
=
x 2x

( f ( x))
2
=0.5%
5．下面计算 y 的公式哪个算得准确些？为什么？
2
（1）已知 x 1 ， （ A） y （2）已知 x 1 ， （ A） y
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算） ： （1）
3
i 1
6
1
i 6
；(2)
3
i 6
1
1
i
。
解： （1 ）
3
i 1 1
1
i
1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 = 0.333 0.111 0.037 0.012 0.004 0.001 3 3 3 3 3 3
( xi ) 。 得
( S (a, b, C ))
a S (a, b, C ) b S (a, b, C ) C S (a, b, C ) (a ) (b) (C ) S (a, b, C ) a S (a, b, C ) b S (a, b, C ) C
2
x1 1015 x2 1015 x1 x2 2
假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
1 16 16 0.100 10 x1 0.100 10 x2 0.100 10 1 1 1 0.100 10 x1 0.100 10 x2 0.200 10
点数解该方程用消元法计算结果不可靠。 7．计算函数 f ( x) x 3x 3x 1和 g ( x) (( x 3) x 3) x 1在x 2.19 处的函数值（采用
3 2
3
十进制三位浮点数计算） 。哪个结果较正确？ 解： f (2.19) 0.480 10 0.219 10 3 0.480 10 0.657 10 1
0.489 1 1 1 1 1 1 1 （2） i 6 5 4 3 2 = 0.001 0.004 0.012 0.037 0.111 0.333 3 3 3 3 3 3 i 6 3 0.489
9．已知三角形面积 S 证明： ( S ) 证 明 ：
2 x2 1 1 x ， （B ） y ； 1 2x 1 x (1 2 x)(1 x)
2 x( x 1 1 x ) x x
， （B ） y
x
1 1 x ； x x
2sin 2 x 1 cos 2 x （3）已知 x 1 ， （ A） y ， （B） y ； x x 1 （4） （ A） y 9 80 ， （B） y 9 80
am .b1b2
bn
型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效
fl ( fl (0.3197 102 0.2456 101 ) 0.1352)
= fl (0.3443 10 0.1352)
2
=0.3457 10
2
（2）31.97+（ 2.456+0.1352）
fl (0.3197 102 fl (0.2456 101 ))
1 ab sin C ，其中 0 C 。 2 2
(a) (b) (C ) 。
自
n
由
变
量
的
误
差
对
函
数
值
的
影
响
公
式
：
( f ( x1 , x2 , , xn ))
i 1
xi f ( x1 , x2 ,
f ( x1 , x2 , , xn ) xi
, xn来自百度文库)
习题一
1．设 x >0 相对误差为 2%，求
x ， x 4 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
( f ( x))
1
( f ( x)) x f '( x) ( x) 得 f ( x) f ( x)
x时
（1） f ( x)
( x)
x 1 1 ( x ) ' ( x) ( x) *2% 1% ； 2 2 x
解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两 个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法 时应尽量避免上述情况发生。 （1） （ A）中两个相近数相减，而（ B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 （2） （ B）中两个相近数相减，而（ A）中避免了这种情况。故（ A）算得准确些。 （3） （ A）中 sin x 使得误差增大，而（ B）中避免了这种情况发生。故（ B）算得准确些。 （4） （ A）中两个相近数相减，而（ B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。 6．用消元法求解线性代数方程组
(1) (2)

1
（1） （ - 2） 得1 0 . 1 0
1 0 .61 1 0 x2

6 1
， 即 x2 1 0 . 1 0
. 0 ， 把 x2 的值代入 （ 1） 得 x1 0
；
把 x2 的值代入（ 2）得 x1 0.100 101
解
x1 0.100 101 x1 0.100 101 不满足（2）式，解 不满足（1）式，故在十进制三位浮 1 1 x 2 0.000 10 x 2 0.100 10
f( x )
， x s i x n 则 1有
f( 0 )
， 1
0 f (2) 0.8186 0
，
f '( x) sin x x cos x 0 ， x 0, 2
所以函数 f ( x) 在 0，2 上严格单调增且有唯一实根 x 。

本题中求根使得误差不超过 10
3 2
简单迭代法 xk 1 ( xk ) 的收敛性，其中
6
（A） ( x) 1 1/ x ； （ B） ( x) 1 x 2 ； （C） ( x)
2
3
1 x 1
解：取 1.5 附近区间 1.3,1.6 来考察。 （ A） ( x ) 1 而 (1.3) 1.59171596 ， 因此，当 x 1.3,1.6 时， 又当 x 1.3,1.6 时，
f ( xk )
-0.1585 0.4962 0.1862 0.015051 -0.0718 -0.02835 -0.00664 0.004208 -0.001216 0.001496 0.001398 -0.000538
12 13 14
1.11376953125 1.114013671875 1.1141357421875
= fl (0.3197 10 0.259110 )
2 1
=0.3456 10
2 2
易见 31.97+2.456+0.1352=0.345612 10 ，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为 1%，测量边长所允许的相对误差限为多 少？ 解：设该正方形的边长为 x ，面积为 f ( x) x 2 ，由 ( f ( x)) 解得 ( x)
1.1142578125 1.1142578125 1.1142578125
1.114013671875 1.1141357421875 1.11419677734375
-0.000199 -0.0000297 0.000055
由上表可知原方程的根 x14 1.11419677734375 该问题得精确解为 1.114157140871，故实际误差为 0.0000396 3．判断用等价方程 x ( x) 建立的求解的非线性方程 f ( x) x x 1 0 在 1.5 附近的根的
bk
2 2 1.5 1.25 1.125 1.125 1.125 1.125 1.1171875 1.1171875 1.115234375 1.1142578125
xk
1 1.5 1.25 1.125 1.0625 1.09375 1.109375 1.1171875 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 1.11376953125