三角形全等之截长补短(整理)

三角形全等之截长补短（讲义）

一、知识点睛

截长补短：

题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________

___________________________________________________．

二、精讲精练

1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．

求证：AC=AB+BD．

2

1

D

B

A

2

1

D C B

A

2

1

D

B

A

2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．

求证：CD=AD+BC．

3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，

∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．

求证：EF=BF+DE．

E

D

C

B A

D A

4. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，

CE 交于点O ．

求证：AC =AE +CD ．

D B

F E

D

C

B A

5. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ．

O

E

D C

B

A

求证：CE 2

1

BD ．

【参考答案】

E

D

C

B A

E

D

C

A

F

A C

12

【知识点睛】 线段间的和差倍分；

把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 1. 补短法：

证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． ∵∠ABD 是△BDE 的一个外角 ∴∠ABD =∠E ＋∠BDE ∵BE =BD ∴∠E =∠BDE ∴∠ABD =2∠E ∵∠ABD =2∠C ∴∠E =∠C

在△ADE 和△ADC 中

12E C AD AD ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ADE ≌△ADC （AAS ） ∴AE =AC ∴AC =AB ＋BE

=AB ＋BD 截长法：

证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中

12AB AF AD AD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C

∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC ∴AC =AF +FC

E

2

1D

C

B

A

3

2

1

G C

D

B A E

F =AB +BD

2. 证明：如图，在CD 上截取CF =CB ．

∵CE 平分∠CBD ∴∠1=∠2

在△CFE 和△CBE 中

12CF CB CE CE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△CFE ≌△CBE （SAS ） ∴∠CFE =∠B ∵∠B =90°

∴∠CFE =∠DFE =90° ∵∠A =90° ∴∠DFE =∠A ∵DE 平分∠ADC ∴∠3=∠4

在△DEF 和△DEA 中

34DFE A DE DE ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△DEF ≌△DEA （AAS ） ∴DF =AD ∴CD =DF +CF =AD +BC

3. 证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ．

∵∠D =∠ABC =90°

∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中

AB=AD ABG= D BG=DE ⎧⎪

∠∠⎨⎪⎩

∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴AG =AE ，∠1=∠2

∵∠BAD =90°，∠EAF =45° ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° 即∠GAF =45° ∴∠GAF =∠EAF

432

1F

E D C

A

87

6543

21

F

O C

D

B

E

A

43F

E

D A 在△AGF 和△AEF 中

AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AGF ≌△AEF （SAS ） ∴GF =EF ∵GF =BF +BG ∴EF =BF +DE

4. 证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，连接OF ．

∵AD ，CE 为△ABC 的角平分线

∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△AEO 和△AFO 中

12AE AF AO AO =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△AEO ≌△AFO （SAS ）

∴∠5=∠6 ∵∠ABC =60°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180∠B =18060 =120 ∴∠2+∠3=60

∴∠AOC =180°60 =120°

∴∠5=∠6=∠7=∠8=60° 在△OFC 和△ODC 中

8734OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩

∠∠∠∠ ∴△OFC ≌△ODC （ASA ） ∴CF =CD ∴AC =AF +FC =AE +CD

5. 证明：如图，延长CE ，交BA 的延长线于点F ．

∵CE ⊥BD

∴∠BEF =∠BEC =90° ∵∠BAC =90° ∴∠CAF =∠BAD =90°

∵∠3=∠4