中国数学史

Σ2i-1Yi’：Σ2i-1 Bi’ = 2：1 设原渐堵体积为1 则Un= 2nYn + 2n Bn=2n-1×2(Yn+Bn) = 2 n-1 ×(1/4) ×(1/8) n-1 =1/4n
0
Y：B= Σ2i-1Yi’：Σ2i-1 Bi’ = 2：1
阳马 鳖

关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多 面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台 之类的体积就难以求得。刘徽经过苦心思索， 终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正 方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆 亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积 与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他 推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥） 的体积之比，也是π∶4。





（五）商功章：商即商量、度量之意，商功就是度量 土土石方等的方法。本章讲多种体积算法。 （六）均输章：讲合理运输的数学问题，还有行程、 抽税、按等级分物等问题，内容较复杂，涉及比例、 复比、等差级数等知识。 （七）盈不足章：讲用过剩（盈）与不足近似值逐步 逼近求解方程的根，称为“盈不足术”，又称试位法 或双设法。中世纪传入欧洲后称为“契丹算法”，现 称弦位法。 （八）方程章：讲线性方程组的消元法，同时还引进 了负数，两者长期在世界上是首屈一指的。 （九）句股章：即勾股，讨论用勾股定理解应用问题。
重要贡献：创用一套缩写符号，使用 了特殊的记号表示未知数 。
K M
r r 0
表示方程 x3－5x2+8x －1=0
不足：解题方法上缺乏一般性。
帕波斯（约公元300—350年），数学评注家， 著作《数学汇编》（是希腊数学的安魂曲）



其他数学家： 尼马可修斯（公元100年左右），《算术入 门》，数论著作，采用“筛法”寻找质数。 梅内劳斯——《球面论》 希帕蒂娅——第一位杰出的女数学家。被基 督教暴徒残杀。
2个小渐堵 2个小鳖
大渐堵
1个长方体 2个小渐堵
2个小渐堵
1个长方体体积+4个小渐堵体积=3/4大渐堵的体积 2个小阳马+2个小鳖= 1/4大渐堵的体积
1个长方体 2个小渐堵 体积记为Y1’
2个小渐堵
体积记为B1’
1个长方体体积+4个小渐堵体积=3/4大渐堵的体积 2个小阳马+2个小鳖= 1/4大渐堵的体积

见P79
2、分数理论
实如法而一，不满法者，以法命之 约分术曰：可半者半之，不可半者，由量 分母之数，以少减多，更相减损，求其 等也，以等数约之。 齐同术 刘徽注：凡母互乘谓之齐，群母相乘谓之 同，母同则子通
（二）粟米章 讲各种谷物之间的换算，主要用“今有 术”，即按今有数据比例进行计算。 率：交换中等价物的数量 粟米之法：粟米五十，粝米三十，橰米二十 七…… 率即一组相关变量x1,……xn；x1’……xn’ 成立线性关系：xi’=kxi 则称每一个xi为一个率 今有术：所求数＝（所有数×所求率）/所有率
圭田术曰：半广以乘正从 刘徽注：半广者，以盈补虚得圭田也


如图，CD为高，取AD、 BD中点E、F，则面积 Ⅰ﹦Ⅰ′，Ⅱ﹦Ⅱ′ 注:证明可推广到一 般三角形
H Ⅰ’
C
Ⅱ’
G
Ⅰ A E D F
Ⅱ B
邪田术曰：并两邪以半者,以乘正从者广 刘徽注：并而半之者,以盈补虚也
如图,求直角梯形的面积
圆田术曰：半周乘半径者也 刘徽注：割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆合体而无所失也
6、托还求出相当于今天的半角、倍角及求 和公式，根据这些定理制作出了弦表。




丢番图（公元246——330年），代数学的 鼻祖。 墓志铭：童年占一生的1/6，此后过了一生 的1/12开始长胡子，再过一生的1/7后结婚， 婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲的一半 的年龄，孩子死后4年父亲也去世，问丢番 图活了多少岁？ 主要代表作《算术》，以解不定方程而著 称。创用了一套缩写符号。 著名问题：将一个已知的平方数分为两个 平方数。（引出了费马大定理：xn+yn=zn 没有正整数解）




（一）三角术的创立 为建立定量天文学，以便用来预报天体运行的路线、 位置，帮助报时、计算日历和航海，古希腊人创立了一门 全新的学科——三角术。 三角术主要由希帕克斯、梅内劳斯和托勒玫（天文学家） 建立。其中希帕克斯作了奠基性工作，梅内劳斯给予发展， 托勒玫进行完善、总结并将成果收集在《大成》中。 （二）弦表的制作 在三角术的建立过程中，古希腊人获得了包括今天我 们知道的相当于两角和、差的三角公式、半角与倍角等公 式。此外，还制成30°～180°每隔0.5度的圆心角所对弦 的长度表（相当于正弦函数表），其制作过程和原理介绍 如下：
三、 《九章算术》


《九章算术》——集中了过去和当时的几乎全部数学 知识，以应用问题解法集成的题例编成，成书于公元 前1世纪前，是先秦至西汉中叶期间编篡。共246个问 题，分九章。 （一）方田章 讲平面图形的面积和边界的计算，还涉及分数及 其算法。 1、面积计算
方田术曰：广从步数相乘得积步 （“广”即“长”，“从”即 “宽”）
后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内有 关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其中 第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。刘徽这 两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上 也有一定的地位。今述其主要贡献如下：


刘徽《九章注》和《九章算术》与古希腊的《几 何原本》相辉映，各具特色。 主要成就： 1、割圆术：圆周率精确到二位小数即3.14，称 为“徽率”， π值是否正确，直接关系到天文历 法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用， 所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务。 公元前三世纪希腊数学家阿基米得曾提出圆 周长于内接圆内多边形而小于圆外切多边形周长， 算出了的数值。但阿基米得是用的归谬法，他避 开了无穷小和极限，而刘徽应用了极限的概念， 且只用圆内接正多边形的面积计算，而省去了计 算圆外切正多边形的面积，从而收到了事半功倍 之效。
五、祖冲之与祖暅
祖冲之，字文远（公元429—500 年）。 祖冲之的主要成就在数学、天文 历法和机械制造三个领域。此外 祖冲之精通音律，擅长下棋，还 写有小说《述异记》。祖冲之著 述很多，但大多都已失传。研究 过《易经》、《老子》、《庄子》 等书。祖冲之是一位少有的博学 多才的人物。
例：（本章第一问） 今有粟一斗，欲为粝，问得几何？ 答曰：为粝米六升 术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率而法，实 如法而一。
注：“今有术”变形：所求数/所求率＝所有数/所有 率 即四项比例算法，此法传到欧洲称：“黄金算法”。 所 有术是解决比例问题的基础理论，刘徽称“此 都术也”
（三）衰分章 衰（cui)即有递减之意。衰分是按一定比 率分配的意思。 （四）少广章 截多补少之意，本章讲由田亩的面积、 长 方体的体积或球的体积出发，求田亩的边长、 长方体的边长或球径长。因此有世界上最早的 多位数开方的法则。
凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十 相望，万百相当。满六以上，五在上方，六十积算， 五不单张。

２、古算特点： 讲求实用：为天文、经济、军事和文化需 要而产生并发展起来的。 机械化算法体系：计算为主，独创计算工 具“算筹”，促进了计算技术的发展，成为当 时世界最先进的数学成就。 构造性和可计算性。 著作形式。
亚历山大后期数学 中世纪的中国数学
数本2003级



教学目标: 了解亚历山大后期数学及《九章算术》 《周髀算经》数学内容,理解刘徽、祖冲之及祖 恒重要数学成就的数学思想和方法，掌握刘徽 及祖恒获得球体积公式的“牟合方盖”模型构 造及过程，熟练掌握《九章算术》中的重要数 学成就和“出入相补”原理及其运用。 教学重点：《九章算术》及刘徽、祖氏父子数 学成就 教学难点：球体积公式的证明
E为CO中点，BE=EF FO、BF分别为圆内接正十、五边形的一边 EB2=BO2+EO2=602+302=4500 EB=67 4’55’‘ 36°的弦FO=EF-EO=EB-EO=37 4’55‘’ 72°的弦BF=70 32‘3’‘
B
A
C F O E
3、补弧定理
A

C
B
已知弧BC的弦为BC，圆心角为 ， 则( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ弦)2+[(1800－ )的弦]2=AB2 相当于sin2 +cos2 =1 4、托勒玫定理：圆内接四边形两对角线长的 乘积等于两对边乘积之和。
一、 亚历山大后期和希腊数学的衰落


主要代表人物：海伦、托勒玫、丢番图、帕波斯 海伦（公元前1世纪——公元1世纪），代表作《量 度》，发现三角形面积公式 S=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 其中a，b，c为三边，s=(a+b+c)/2 托勒玫（约100—170年），代表作《天文学大成》， 创立了三角学，并列出了从1/2度到1800每隔半度的 圆心角所对的弦的长度，相当于00到900的正弦表。 在《大成》中提出了地心说，后被中世纪基督教尊为 教条，文艺复兴时期被哥白尼日心说取代。
二 《周髀算经》

（一）古代背景 １、背景：我国在公元前两千多年前（大禹时 期）进入奴隶社会，于公元前400多年左右 （战国时期）进入封建社会，以后有几段太平 盛世，形成超稳定社会结构。生产力发展较快， 数学研究也处于较高水平。在萌芽期，水平与 古埃及、巴比伦相当，春秋战国至魏晋南北朝 时期数学可与古希腊媲美，中世纪宋元时期则 发展为一枝独秀。
四、刘徽的主要数学成就

三国以前，我国数学要籍，首推 《九章算术》。刘徽在数学上的贡 献，主要在其《九章算术注》一书。 《隋书》卷16《律历上》载：“魏 陈留王景元四年刘徽注《九章》”。 是知《九章算术注》完成于景元四 年（263年）。《隋书》卷34《经籍 志三》有《九章算术》十卷、《九 章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。