中国数学史

1、盖天说

西汉时期关于宇宙结构的学说。
给出四分历法（用润月调节四时气候的阴历 历法），一个回归年为365又1/4天。
2、分数运算
3、勾股定理
特例（西周初公元前１１世纪）：32+42=52 一般形式（公元前6～7世纪）：勾2+股2=弦2 最早的证明 公元３世纪赵爽（三国时期）在注《周髀 算经》时作“弦图”证明，运用了“出入相补 原理”（割补法）进行证明
圭田术曰：半广以乘正从 刘徽注：半广者，以盈补虚得圭田也

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如图，CD为高，取AD、 BD中点E、F，则面积 Ⅰ﹦Ⅰ′，Ⅱ﹦Ⅱ′ 注:证明可推广到一 般三角形
H Ⅰ’
C
Ⅱ’
G
Ⅰ A E D F
Ⅱ B
邪田术曰：并两邪以半者,以乘正从者广 刘徽注：并而半之者,以盈补虚也
如图,求直角梯形的面积
圆田术曰：半周乘半径者也 刘徽注：割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆合体而无所失也




（一）三角术的创立 为建立定量天文学，以便用来预报天体运行的路线、 位置，帮助报时、计算日历和航海，古希腊人创立了一门 全新的学科——三角术。 三角术主要由希帕克斯、梅内劳斯和托勒玫（天文学家） 建立。其中希帕克斯作了奠基性工作，梅内劳斯给予发展， 托勒玫进行完善、总结并将成果收集在《大成》中。 （二）弦表的制作 在三角术的建立过程中，古希腊人获得了包括今天我 们知道的相当于两角和、差的三角公式、半角与倍角等公 式。此外，还制成30°～180°每隔0.5度的圆心角所对弦 的长度表（相当于正弦函数表），其制作过程和原理介绍 如下：
亚历山大后期数学 中世纪的中国数学
数本2003级



教学目标: 了解亚历山大后期数学及《九章算术》 《周髀算经》数学内容,理解刘徽、祖冲之及祖 恒重要数学成就的数学思想和方法，掌握刘徽 及祖恒获得球体积公式的“牟合方盖”模型构 造及过程，熟练掌握《九章算术》中的重要数 学成就和“出入相补”原理及其运用。 教学重点：《九章算术》及刘徽、祖氏父子数 学成就 教学难点：球体积公式的证明
三、 《九章算术》


《九章算术》——集中了过去和当时的几乎全部数学 知识，以应用问题解法集成的题例编成，成书于公元 前1世纪前，是先秦至西汉中叶期间编篡。共246个问 题，分九章。 （一）方田章 讲平面图形的面积和边界的计算，还涉及分数及 其算法。 1、面积计算
方田术曰：广从步数相乘得积步 （“广”即“长”，“从”即 “宽”）
例：（本章第一问） 今有粟一斗，欲为粝，问得几何？ 答曰：为粝米六升 术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率而法，实 如法而一。
注：“今有术”变形：所求数/所求率＝所有数/所有 率 即四项比例算法，此法传到欧洲称：“黄金算法”。 所 有术是解决比例问题的基础理论，刘徽称“此 都术也”
（三）衰分章 衰（cui)即有递减之意。衰分是按一定比 率分配的意思。 （四）少广章 截多补少之意，本章讲由田亩的面积、 长 方体的体积或球的体积出发，求田亩的边长、 长方体的边长或球径长。因此有世界上最早的 多位数开方的法则。

Σ2i-1Yi’：Σ2i-1 Bi’ = 2：1 设原渐堵体积为1 则Un= 2nYn + 2n Bn=2n-1×2(Yn+Bn) = 2 n-1 ×(1/4) ×(1/8) n-1 =1/4n
0
Y：B= Σ2i-1Yi’：Σ2i-1 Bi’ = 2：1
阳马 鳖

关于体积计算的刘徽定理一般地说，柱体或多 面体的体积计算较比容易解决，而圆锥、圆台 之类的体积就难以求得。刘徽经过苦心思索， 终于找到了一条途径，他分别做圆锥的外切正 方锥和圆台的外切正方台，结果发现：“求圆 亭（圆台）之积，亦犹方幂中求圆幂，圆面积 与其外切正方形的面积之比为π∶4，由此他 推得：圆台（锥）的体积与其外切正方台（锥） 的体积之比，也是π∶4。
四、刘徽的主要数学成就

三国以前，我国数学要籍，首推 《九章算术》。刘徽在数学上的贡 献，主要在其《九章算术注》一书。 《隋书》卷16《律历上》载：“魏 陈留王景元四年刘徽注《九章》”。 是知《九章算术注》完成于景元四 年（263年）。《隋书》卷34《经籍 志三》有《九章算术》十卷、《九 章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。
1、问题

A

已知弧AB所对圆心角2 求弦AB
O

C
B
由今天的知识知AC／AO﹦sin 当时，托勒玫将圆周分为360份，直径分为120份， ∴ sin ﹦AC／AO﹦(1/2)AB／60﹦1/120（2 所对弦）
2、计算特殊角的弦

A
90°的弦 AB=84 51’10’’
O
B
E为CO中点，BE=EF FO、BF分别为圆内接正十、五边形的一边 EB2=BO2+EO2=602+302=4500 EB=67 4’55’‘ 36°的弦FO=EF-EO=EB-EO=37 4’55‘’ 72°的弦BF=70 32‘3’‘
B
A
C F O E
3、补弧定理
A

C
B
已知弧BC的弦为BC，圆心角为 ， 则( 的弦)2+[(1800－ )的弦]2=AB2 相当于sin2 +cos2 =1 4、托勒玫定理：圆内接四边形两对角线长的 乘积等于两对边乘积之和。
凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十 相望，万百相当。满六以上，五在上方，六十积算， 五不单张。

２、古算特点： 讲求实用：为天文、经济、军事和文化需 要而产生并发展起来的。 机械化算法体系：计算为主，独创计算工 具“算筹”，促进了计算技术的发展，成为当 时世界最先进的数学成就。 构造性和可计算性。 著作形式。
6、托还求出相当于今天的半角、倍角及求 和公式，根据这些定理制作出了弦表。




丢番图（公元246——330年），代数学的 鼻祖。 墓志铭：童年占一生的1/6，此后过了一生 的1/12开始长胡子，再过一生的1/7后结婚， 婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲的一半 的年龄，孩子死后4年父亲也去世，问丢番 图活了多少岁？ 主要代表作《算术》，以解不定方程而著 称。创用了一套缩写符号。 著名问题：将一个已知的平方数分为两个 平方数。（引出了费马大定理：xn+yn=zn 没有正整数解）
3、理论几何萌芽
《算经十书》——汉唐时期的数学 代表作。
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、 《孙子算经》、《张丘建算经》、《缉古算 经》、《数术记遗》、《五曹算经》、《五经 算术》、《夏侯阳算经》 （二）《周髀算经》——中国古代数学著作中 最早的一部。以盖天说为中心的天文学著作， 有许多数学知识。如以文字叙述了勾股算法， 还有许多属于分数乘、除法的实际问题，演算 水平相当高。


阳马体积记为Y，鳖体积记为B
小阳马体积记为Y1，小鳖体积记为B1 则Y= Y1’+ 2Y1 ，B= B1’ + 2 B1
继续剖分小阳马和小鳖，在第n次剖分后有 Y=Σ2i-1Yi’+ 2nYn ，B= Σ2i-1 Bi’ + 2n Bn
继续剖分小阳马和小鳖，在第n次剖分后有 Y=Σ2i-1Yi’+ 2nYn ，B= Σ2i-1 Bi’ + 2n Bn
重要贡献：创用一套缩写符号，使用 了特殊的记号表示未知数 。
K M
r r 0
表示方程 x3－5x2+8x －1=0
不足：解题方法上缺乏一般性。
帕波斯（约公元300—350年），数学评注家， 著作《数学汇编》（是希腊数学的安魂曲）



其他数学家： 尼马可修斯（公元100年左右），《算术入 门》，数论著作，采用“筛法”寻找质数。 梅内劳斯——《球面论》 希帕蒂娅——第一位杰出的女数学家。被基 督教暴徒残杀。
后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内有 关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其中 第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。刘徽这 两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上 也有一定的地位。今述其主要贡献如下：


刘徽《九章注》和《九章算术》与古希腊的《几 何原本》相辉映，各具特色。 主要成就： 1、割圆术：圆周率精确到二位小数即3.14，称 为“徽率”， π值是否正确，直接关系到天文历 法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用， 所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务。 公元前三世纪希腊数学家阿基米得曾提出圆 周长于内接圆内多边形而小于圆外切多边形周长， 算出了的数值。但阿基米得是用的归谬法，他避 开了无穷小和极限，而刘徽应用了极限的概念， 且只用圆内接正多边形的面积计算，而省去了计 算圆外切正多边形的面积，从而收到了事半功倍 之效。
5、差弧定理

B
C
当圆内接四边形一边为直径时， A 已知AB，AC，则可求出BC 由托勒玫定理有 AC· BD=AB· CD+BC· AD 由补弧定理,AB已知,由BD可求; 同理可求CD,ADO为直径,故BC可求
D
结论：∠ADC和∠ ADB所对弦已知， 差角∠ BDC所对弦可求，即两角差的 三角函数公式
五、祖冲之与祖暅
祖冲之，字文远（公元429—500 年）。 祖冲之的主要成就在数学、天文 历法和机械制造三个领域。此外 祖冲之精通音律，擅长下棋，还 写有小说《述异记》。祖冲之著 述很多，但大多都已失传。研究 过《易经》、《老子》、《庄子》 等书。祖冲之是一位少有的博学 多才的人物。
二 《周髀算经》

（一）古代背景 １、背景：我国在公元前两千多年前（大禹时 期）进入奴隶社会，于公元前400多年左右 （战国时期）进入封建社会，以后有几段太平 盛世，形成超稳定社会结构。生产力发展较快， 数学研究也处于较高水平。在萌芽期，水平与 古埃及、巴比伦相当，春秋战国至魏晋南北朝 时期数学可与古希腊媲美，中世纪宋元时期则 发展为一枝独秀。





（五）商功章：商即商量、度量之意，商功就是度量 土土石方等的方法。本章讲多种体积算法。 （六）均输章：讲合理运输的数学问题，还有行程、 抽税、按等级分物等问题，内容较复杂，涉及比例、 复比、等差级数等知识。 （七）盈不足章：讲用过剩（盈）与不足近似值逐步 逼近求解方程的根，称为“盈不足术”，又称试位法 或双设法。中世纪传入欧洲后称为“契丹算法”，现 称弦位法。 （八）方程章：讲线性方程组的消元法，同时还引进 了负数，两者长期在世界上是首屈一指的。 （九）句股章：即勾股，讨论用勾股定理解应用问题。
2个小渐堵 2个小鳖
大渐堵
1个长方体 2个小渐堵
2个小渐堵
1个长方体体积+4个小渐堵体积=3/4大渐堵的体积 2个小阳马+2个小鳖= 1/4大渐堵的体积
1个长方体 2个小渐堵 体积记为Y1’
2个小渐堵
体积记为B1’
1个长方体体积+4个小渐堵体积=3/4大渐堵的体积 2个小阳马+2个小鳖= 1/4大渐堵的体积

2、体积理论：出入相补原理 （1）阳马术：运用极限法 （2）球体积：创立了新的图形“牟合方盖” （正方体内两个圆柱垂直相交部分）
阳马术：运用极限法

即求锥体的体积
c
V锥体=1/3abc
b a
渐堵
1个长方体 2个小渐堵 2个小阳马
阳马
1个长方体 2个小渐堵 2个小鳖
鳖
1个长方体 2个小渐堵 2个小阳马 阳马 鳖

见P79
2、分数理论
实如法而一，不满法者，以法命之 约分术曰：可半者半之，不可半者，由量 分母之数，以少减多，更相减损，求其 等也，以等数约之。 齐同术 刘徽注：凡母互乘谓之齐，群母相乘谓之 同，母同则子通
（二）粟米章 讲各种谷物之间的换算，主要用“今有 术”，即按今有数据比例进行计算。 率：交换中等价物的数量 粟米之法：粟米五十，粝米三十，橰米二十 七…… 率即一组相关变量x1,……xn；x1’……xn’ 成立线性关系：xi’=kxi 则称每一个xi为一个率 今有术：所求数＝（所有数×所求率）/所有率
一、 亚历山大后期和希腊数学的衰落


主要代表人物：海伦、托勒玫、丢番图、帕波斯 海伦（公元前1世纪——公元1世纪），代表作《量 度》，发现三角形面积公式 S=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 其中a，b，c为三边，s=(a+b+c)/2 托勒玫（约100—170年），代表作《天文学大成》， 创立了三角学，并列出了从1/2度到1800每隔半度的 圆心角所对的弦的长度，相当于00到900的正弦表。 在《大成》中提出了地心说，后被中世纪基督教尊为 教条，文艺复兴时期被哥白尼日心说取代。