投篮问题的数学建模

摘要

如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于33.1。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。

关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度

问题提出

在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。

我们建立数学模型研究以下数学问题：

1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心

命中框心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；

2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。检查上面得到

的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；

3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏

左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；

4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；

1问题的分析与模型的建立

1.1模型假设

①、假设球出手后不考虑自身的旋转；

②、不考虑篮球碰篮板；

③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；

符号假定

d 篮球直径

D 篮框直径

L 罚球点和篮框中心的水平距离

H 篮框中心的高度

h 篮球运动员的出手高度

v 篮球运动员投篮出手速度

按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm

1.2、问题的分析与模型的建立

①问题1)的分析与模型的建立

不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度、出手高度，计算出手角度和入射角度。

图1.1 投篮模型

由于不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力的影响，从未出手时的球心p 为坐标原点，x 轴为水平方向，y 轴为竖直方向，篮球在 t=0时以出手速度 v 和出手角度α投出，可视为质点(球心)的斜抛运动，其运动方程是我们熟知的

()cos x t vt α=

2

()sin 2

gt y t vt α=- (1.1)

其中g 是重力加速度，由此可得到球心运动轨迹为如下抛物线：

2

22tan 2cos g

y x x v αα

=- (1.2)

以x=L ，y=H-h 代入上式，就得到球心命中框心的条件

2tan 1v gL α⎡⎢=

±⎢⎣ (1.3) 可以看出，给定出手速度v 和出手高度h ，有两个出手角度满足这个条件。 而上式有解的前提为

2222102g gL H h v v ⎛⎫

--+≥ ⎪⎝⎭

(1.4) 可对v 求解得

2v g H h ⎡≥-⎣ (1.5) 于是对于一定的高度h ，使上式等号成立的为最小出手速度v 它是h 的减函

数。

由(1.3)式计算出两个出手速度角度记作1α、2α且设12αα>，可以看出1α是h 和v 的减函数

球入篮筐时的入射角度β可从下式得到

tan x L

dy dx

β==

(1.6)

这里的导数由(1.2)式计算代入后可得

2()

tan tan H h L

βα-=-

(1.7) 于是对应于1α、2α，有1β、1β，设12ββ> ② 问题2)的分析与模型的建立：

考虑篮球和篮框的大小时，篮球的直径d ，篮框的直径D 。显然，即使球心命中球框，若入射角β太小，球会碰到框的近侧A ，不能入框。如图所示：

图1.2 球入篮时的模型

由图不难得出β满足的球心应命中框心且球入框的条件。

sin d

D

β>

(1.8) 将d=24.6cm ，D=45.0cm 代入得 β>33.1，前面计算结果中不满足这个条件的，当然应该去掉。

③ 问题3)的分析与模型的建立：

球入框时，球心可以偏离框心，偏前的最大距离为x ∆，x ∆可以从入射角β算出.根据β和球心轨迹中x 与α的关系，能够得到出手角度α允许的最大偏差

x ∆，出手速度v 允许的最大偏差v ∆可以类似的处理。