投篮问题的数学建模

摘要
如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。

把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。

综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。

在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。

入射角度一般需要大于33.1。

分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。

关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度
问题提出
在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。

我们建立数学模型研究以下数学问题：
1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心
命中框心的条件。

对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；
2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。

检查上面得到
的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；
3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏
左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；
4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；
1问题的分析与模型的建立
1.1模型假设
①、假设球出手后不考虑自身的旋转；
②、不考虑篮球碰篮板；
③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；
符号假定
d 篮球直径
D 篮框直径
L 罚球点和篮框中心的水平距离
H 篮框中心的高度
h 篮球运动员的出手高度
v 篮球运动员投篮出手速度
按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm
1.2、问题的分析与模型的建立
①问题1)的分析与模型的建立
不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。

将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度、出手高度，计算出手角度和入射角度。

图1.1 投篮模型
由于不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力的影响，从未出手时的球心p 为坐标原点，x 轴为水平方向，y 轴为竖直方向，篮球在 t=0时以出手速度 v 和出手角度α投出，可视为质点(球心)的斜抛运动，其运动方程是我们熟知的
()cos x t vt α=
2
()sin 2
gt y t vt α=- (1.1)
其中g 是重力加速度，由此可得到球心运动轨迹为如下抛物线：
2
22tan 2cos g
y x x v αα
=- (1.2)
以x=L ，y=H-h 代入上式，就得到球心命中框心的条件
2tan 1v gL α⎡⎢=
±⎢⎣ (1.3) 可以看出，给定出手速度v 和出手高度h ，有两个出手角度满足这个条件。

而上式有解的前提为
2222102g gL H h v v ⎛⎫
--+≥ ⎪⎝⎭
(1.4) 可对v 求解得
2v g H h ⎡≥-⎣ (1.5) 于是对于一定的高度h ，使上式等号成立的为最小出手速度v 它是h 的减函
数。

由(1.3)式计算出两个出手速度角度记作1α、2α且设12αα>，可以看出1α是h 和v 的减函数
球入篮筐时的入射角度β可从下式得到
tan x L
dy dx
β==
(1.6)
这里的导数由(1.2)式计算代入后可得
2()
tan tan H h L
βα-=-
(1.7) 于是对应于1α、2α，有1β、1β，设12ββ> ② 问题2)的分析与模型的建立：
考虑篮球和篮框的大小时，篮球的直径d ，篮框的直径D 。

显然，即使球心命中球框，若入射角β太小，球会碰到框的近侧A ，不能入框。

如图所示：
图1.2 球入篮时的模型
由图不难得出β满足的球心应命中框心且球入框的条件。

sin d
D
β>
(1.8) 将d=24.6cm ，D=45.0cm 代入得 β>33.1，前面计算结果中不满足这个条件的，当然应该去掉。

③ 问题3)的分析与模型的建立：
球入框时，球心可以偏离框心，偏前的最大距离为x ∆，x ∆可以从入射角β算出.根据β和球心轨迹中x 与α的关系，能够得到出手角度α允许的最大偏差
x ∆，出手速度v 允许的最大偏差v ∆可以类似的处理。

球入筐时球心可以偏前(偏后与偏前一样)的最大距离为
22sin D d x β
∆=
-
(1.9)
为了得到出手角度允许的最大偏差，可以在(1.3)式中以L+x ∆代替L 重新计算，但是由于x ∆中包含β，从而α也包含，所以这种方法不能解析的求出。

如果从(1.2)式出发并将y=H-h 代入，可得
2
tan 0222g x H h x v cos αα
-+-= (1.10)
对α求导并令x=L ，就有
()
22L v gLtan dx d gL v sin cos α
ααα
-=
- (1.11)
用
x
α
∆∆近似代替左边的导数，即可得到出手角度的偏差α∆与x ∆的如下关系 2gL -sin cos v =x 2L(-gLtan )
v αααα∆∆ (1.12)
由α∆和已经得到的α也容易计算相对偏差
类似的，(1.10)式对v 求导并令x=L ，可得到出手速度允许的最大偏差
x
α
∆∆ 2sin cos 2gL v v v x gL
αα-∆=∆ (1.13)
由(1.12)、(1.13)式的相对偏差为
2tan v
v v gL αα⎛⎫∆=∆- ⎪⎝⎭
(1.14)
2模型的求解及结果分析
2.1对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度
使(1.5)式等号成立的v 为最小出手速度min v ，在这个速度下由(1.3)式可得相应的出手角度0α为
2
0tan v gL
α= (2.1)
取出手高度 h=1.8~2.1(m)，利用公式2v g H h ⎡=-⎣求出min v ，
再根据2
0tan v gL
α=，求出α，用MATLAB 求解，代码如下：
function v=fun(h); H=3.05; g=9.8; L=4.6;
v=sqrt(g*[H-h+sqrt(L^2+(H-h)^2)]); fun(1.8) ans =
7.6789 fun(1.9) ans =
7.5985 fun(2.0) ans =
7.5186 fun(2.1) ans =
7.4392
结果如下图所示。

表2.1对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度
由此得出，对应与最小出手速度是最小出手角度，他们均随着出手高度的增加而略有减小;出手速度一般不要小于8米/秒.
2.2 对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度 对出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度1.8~2.1(m)，由公式
2tan 1v gL α⎡⎢=
⎢⎣，用MATLAB 求解1α、2α function f=fun1(v); L=4.6; H=3.05; g=9.8; h=1.8;
t=v^2/(g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v^2*(H-h+g*L^2/(2*v^2)))); f=atan(t)/pi*180; fun1(8.0) ans =
62.4099
用此求出所有的1α，同理可求出2α
function f=fun1(v); L=4.6; H=3.05; g=9.8; h=1.8;
t=v^2/(g*L)*(1-sqrt(1-2*g/v^2*(H-h+g*L^2/(2*v^2)))); f=atan(t)/pi*180; fun1(8.0) ans =
42.7925
求出所有的2α，利用所求出的α，再根据公式2()
tan tan H h L
βα-=-
，计算出不同的出手角度1α、2α所对应的不同的入射角度1β、2β，结果见下表2
表2.2 对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
根据前面计算，β应大于33.1才能保证球入框，这里的2β均小于33.1，不满足条件，所以在考虑篮球和篮框大小的实际情况下，出手角度只能是1α所对应的1β。

可以发现，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，这种影响在1左右；出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大，出手速度的影响在7~9之间。

2.3 分析出手角度和出手速度的最大偏差
利用
2sin cos 2(tan )
gL v x L gL v αα
αα-∆=
∆-和上面所求的的1α，计算出手角度最大偏差α∆和
α
α
∆，再利用(13)、(14)式计算出手速度的最大偏差v ∆和
v
v
∆，下面只将h=1.8(m)，h=2.0(m)的结果列入下表中。

表2.3 出手角度和出手速度之间的偏差关系
总的看来，允许偏差都相当小。

进一步分析可知，速度越大，角度的允许偏差越小，而速度的允许偏差越大，且对角度的要求比对速度的要求严格；出手速度一定时，高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大，但这时对出手角度和出手速度的要求都相对较低。

3模型的改进
3.1当考虑空气阻力的影响时，出手角度有什么变化。

考虑水平方向的阻力时，应该用微分方程求解球心的运动轨迹，由于阻力很小，可作适当简化。

然后与前面类似的作各种计算。

假设只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比，设比例系数为 k 。

这时水平方向的运动由微分方程
0,(0)0,(0)cos x kx x x v α+=== (3.1)
其解为：
1()cos kt
e x t v k
α--= (3.2)
因为阻力不大，时间t 也很小(约1秒)，所以将(3.2)式中的公式做泰勒展开后忽略二阶以上的项得到(不考虑竖直方向的阻力，故 y(t)仍与(1.1)式相同)，得到
2cos ()cos 2
kvt x t vt α
α=-
2
()sin 2
gt y t v t α=-
(3.3)
在不考虑篮球和篮筐大小时，球心命中框心的条件由方程组
2cos cos 02
kvt vt L α
α--=
2
sin ()02
gt vt H h α---= (3.4)
同理于模型1)，2) 的求解，即可求出对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度。

总结
篮球比赛投篮命中率是关键，本论文用数学理论知识做物理运动分析，结合微分方法对其求出了投篮时最佳高度和最佳投篮速度，以及在一定高度下，投篮所需的出手角度和入射角度，当然也运用极值原理求出角度和速度的最大偏差，其中，用MATLAB 工具去求解出了较为复杂的公式，通过这次建模，使我更加了解了数学的理论知识如何应用到实践中去，运用到生活中去，也更加熟悉了MATLAB 在数学上的广泛用途。