高考立体几何大题及答案理

1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，

∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()II 求二面角S AM B --的大小。

2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别

为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求

AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，

PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：

平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，

PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中

点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B

C D E

O

A P

B M

（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；

（2）求直线PC 与平面ABM 所成的角；

（3）求点O 到平面ABM 的距离．

6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面

（III ）求二面角F BD A --的大小。

7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、

1），

都有AC ⊥BE :

(Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4,

17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ︒==∠=

（I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，

求证： PM ∥BCE 平面

（III ）求二面角F BD A --的大小。

10.如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π

∠=，2CD AD ==，四边形

ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==．求：

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；

（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．

11．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平

行

四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD ．

(1)证明：PA ⊥BD ；

(2)设PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．

12（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD ,AC ⊥BD ，垂足为H ， PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点

（1） 证明：PE ⊥BC

（2） 若∠APB =∠ADB =60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值

参考答案

1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，

连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =，则NC EB x ==,

在RT MEB ∆中，60MBE ∠=︒ME ∴=。

在RT MNE ∆中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+

解得1x =，从而12MN SD =

∴ M 为侧棱SC 的中点M . 解法二:过M 作CD 的平行线.

（II ）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角的补角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.

解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则

)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。

（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则

)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ，

)2,2,0(-=SC ，由题得

⎪⎩

⎪⎨⎧>=

2(22212)2(2)2(222b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M

所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设MC SM λ=，则)12,12,2(),12,12,0(λ

λλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<=

故o AB MB AB MB 60cos ||||⋅=•，即