奇偶性与单调性与典型例题
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知 是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则 在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则 在区间[-b,-a]上也是减函数(增函数).
若a>0,在区间 ,函数是减函数;在区间 ,函数是增函数;
若a<0,在区间 ,函数是增函数;在区间 ,函数是减函数.
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数,则 为减函数;若 是减函数,则 为增函数;
(2)若 和 均为增(或减)函数,则在 和 的公共定义域上 为增(或减)函数;
(3)若 且 为增函数,则函数 为增函数, 为减函数; 若 且 为减函数,则函数 为减函数, 为增函数.
(1) ; 1)x∈[5,10]; 2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);
(2) ;
(3) ;
(4) .
举一反三:
【变式1】已知 当 的定义域为下列区间时,求函数的最大值和最小值.
(1)[0,3];(2)[-1,1];(3)[3,+∞).
例5.(2015 西安周至县一模)已知函数 ,x∈[―5,5],
(2) 存在 ,使得 ,那么,我们称 是函数的最大值(或最小值).
要点诠释:
①最值首先是一个函数值,即存在一个自变量 ,使 等于最值;
②对于定义域内的任意元素 ,都有 (或 ),“任意”两字不可省;
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个;
④函数 在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标;最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
高中数学:函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案
高中数学:函数的单调性、奇偶性、最值问题练习及答案1.已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1,x2都成立,则下列不等式中,正确的是()A.f(-5)>f(3)B.f(-5)<f(3)C.f(-3)>f(-5)D.f(-3)<f(-5)2.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则()A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小不确定3.已知函数f(x)是奇函数,且在(-∞,+∞)上为增函数,若x,y满足等式f(2x2-4x)+f(y)=0,则4x+y的最大值是()A.10B.-6C.8D.94.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实根.现有四个说法:①若a>0,则不等式f(f (x))>x对一切x∈R成立;②若a<0,则必存在实数x0使不等式f(f(x0))>x0成立;③方程f(f(x))=x一定没有实数根;④若a+b+c=0,则不等式f(f(x))<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是()A.1B.2C.3D.45.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最________值________. (2)若f(x)为奇函数,f(x)+2在[a,b]上有最大值M,则f(x)+2在[-b,-a]上有最________值________.6.设定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递增,且有f(1-m)+f<0,求实数m的取值范围.7.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.8.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)是R上的增函数.9.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f()=f(x)-f(y).(1)求f(1)的值;(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f()<2.10.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0. (1)求f(1)的值;(2)求证f=f(m)-f(n);(3)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数;(4)若f(2)=1,解不等式f(x+2)-f(2x)>2;(5)比较f的大小.11.若函数f(x)的定义域是R,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)若f(8)=4,求f(-)的值.12.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(x·y)=xf(y)+yf(x). (1)求f(0),f(1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论.13.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证:f(x)是R上的减函数;(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域;(4)若对任意x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.14.设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a,b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;(2)解不等式f(x-)<f(x-);(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)这两个函数的定义域的交集是空集,求c的取值范围.15.已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若对于任意的m,n∈[-1,1]有>0. (1)判断函数的单调性(不要求证明);(2)解不等式f<f(1-x);(3)若f(x)≤-2at+2对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.16.已知函数f(x)=x-.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)用定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数;(3)若函数f(x)在区间[2,a]上的最大值与最小值之和不小于,求a的取值范围.17.已知函数f(x)=x2+2.(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)判断函数f(x)的奇偶性和单调性;(3)求函数f(x)在区间(-1,2]上的最大值和最小值.18.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b均为实数),x∈R,F(x)=(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)是否大于零,并说明理由.19.已知函数f(x)=-(常数a>0).(1)设m·n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;(2)设0<m<n,且f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值.20.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)为R上的单调减函数,①求a的取值范围;②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.21.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.22.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有>0成立. (1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性;(2)解不等式f(x+)<f();(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.答案1.已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1,x2都成立,则下列不等式中,正确的是()A.f(-5)>f(3)B.f(-5)<f(3)C.f(-3)>f(-5)D.f(-3)<f(-5)【答案】C【解析】设0<x1<x2,则x1-x2<0,由>0,得f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数,∴由-3>-5,可得f(-3)>f(-5).2.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则()A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)的大小不确定【答案】A【解析】∵x1<0,x1+x2>0,∴x2>-x1>0,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(x2)<f(-x1),∵f(x)是偶函数,∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1).3.已知函数f(x)是奇函数,且在(-∞,+∞)上为增函数,若x,y满足等式f(2x2-4x)+f(y)=0,则4x+y的最大值是()A.10B.-6C.8D.9【答案】C【解析】∵奇函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,∴f(2x2-4x)=-f(y)=f(-y),∴2x2-4x=-y,∴4x+y=4x-2x2+4x=-2(x-2)2+8≤8,故选C.4.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实根.现有四个说法:①若a>0,则不等式f(f (x))>x对一切x∈R成立;②若a<0,则必存在实数x0使不等式f(f(x0))>x0成立;③方程f(f(x))=x一定没有实数根;④若a+b+c=0,则不等式f(f(x))<x对一切x∈R成立.其中说法正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】∵方程f(x)=x无实根,∴f(x)-x>0或f(x)-x<0.∵a>0,∴f(x)-x>0对一切x∈R成立,∴f(x)>x,用f(x)代替x,∴f(f(x))>f(x)>x,∴说法①正确;同理若a<0,则有f(f(x))<x,∴说法②错误;说法③正确;∵a+b+c=0,∴f(1)-1<0,∴必然归为a<0,有f(f(x))<x,∴说法④正确.故选C.填空5.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最________值________. (2)若f(x)为奇函数,f(x)+2在[a,b]上有最大值M,则f(x)+2在[-b,-a]上有最________值________.【答案】(1)小-M(2)小-M+4【解析】(1)设x∈[-b,-a],则-x∈[a,b],∴f(-x)≤M且存在x0∈[a,b],使f(x0)=M.∵f(x)为奇函数,∴-f(x)≤M,f(x)≥-M,且存在-x0∈[-b,-a],使f(-x0)=-M.∴f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.(2)由(1)知,f(x)在[a,b]上有最大值M-2时,f(x)在[-b,-a]上有最小值-M+2.∴f(x)+2在[-b,-a]上有最小值-M+4.解答6.设定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在[0,1)上单调递增,且有f(1-m)+f<0,求实数m的取值范围.【答案】由于函数f(x)的定义域为(-1,1),则有解得0<m<.又f(1-m)+f<0,所以f(1-m)<-f.而函数f(x)为奇函数,则有f(1-m)<f.因为函数f(x)是奇函数,且在[0,1)上单调递增,所以函数f(x)在定义域(-1,1)上单调递增,则有1-m<2m-,解得m>,故实数m的取值范围为.7.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.【答案】(1)设x<0,则-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是当x<0时f(x)=x2+2x,又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以f(x)=(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].8.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)是R上的增函数.【答案】(1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2,∵f(0)≠0,∴f(0)=1.(2)令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)f(-x),∴f(-x)=.由已知当x>0时,f(x)>1>0,则当x<0时,-x>0,f(-x)>0,∴f(-x)=>0,又当x=0时,f(0)=1>0,∴对任意x∈R,f(x)>0.(3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0,∴=((x 2)·f(-x1)=f(x2-x1)>1,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数.9.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f()=f(x)-f(y).(1)求f(1)的值;(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f()<2.【答案】(1)在f()=f(x)-f(y)中,令x=y=1,则有f(1)=f(1)-f(1),∴f(1)=0.(2)∵f(6)=1,∴f(x+3)-f()<2=f(6)+f(6),∴f(3x+9)-f(6)<f(6).即f()<f(6).∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,∴解得-3<x<9,即不等式的解集为(-3,9).10.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0. (1)求f(1)的值;(2)求证f=f(m)-f(n);(3)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数;(4)若f(2)=1,解不等式f(x+2)-f(2x)>2;(5)比较f与的大小.【答案】(1)令m=n=1,由条件得f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.(2)f(m)=f(·n)=f()+f(n),即f()=f(m)-f(n).(3)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则>1.由(2)得f(x2)-f(x1)=f()>0,即f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(4)由于f(2)=1,∴2=f(2)+f(2)=f(4),∴f(x+2)-f(2x)>2⇒f(x+2)>f(2x)+f(4)⇒f(x+2)>f(8x).又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴解得0<x<.故不等式f(x+2)-f(2x)>2的解集为{x|0<x<}.(5)∵f(mn)=f(m)+f(n),∴=f(mn),f()=[f()+f()]=f[()2],∵()2-mn=()2≥0,∴()2≥mn(当且仅当m=n时取等号),又f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f[()2]≥f(mn).∴f()≥11.若函数f(x)的定义域是R,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)若f(8)=4,求f(-)的值.【答案】(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.再令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故f (x)为奇函数.(2)令y=x,由条件f(x+y)=f(x)+f(y),得f(2x)=2f(x).由此可得f(8)=2·f(4)=2·2f(2)=2·2·2f(1)=24·f=4,∴f=,∴f=-f=-.12.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(x·y)=xf(y)+yf(x). (1)求f(0),f(1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论.【答案】(1)∵f(x·y)=xf(y)+yf(x),令x=y=0,得f(0)=0+0=0,即f(0)=0.令x=y=1,得f(1)=1·f(1)+1·f(1),∴f(1)=0.(2)∵f(1)=f[(-1)·(-1)]=(-1)f(-1)+(-1)f(-1)=0,∴f(-1)=0.对任意的x∈R,f(-x)=f[(-1)·x]=(-1)f(x)+xf(-1)=-f(x),∴f(x)是奇函数.13.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证:f(x)是R上的减函数;(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域;(4)若对任意x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,∴f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,∴f(x2)<-f(-x1).又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)是R上的减函数.(3)由(2)知f(x)在R上为减函数,∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=6,f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6].(4)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+f(-2x)<f(x)+f(-2),则f(ax2-2x)<f(x-2),∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴ax2-2x>x-2,当a=0时,-2x>x-2在R上不是恒成立,与题意矛盾;当a>0时,ax2-2x-x+2>0,要使不等式恒成立,则Δ=9-8a<0,即a>;当a<0时,ax2-3x+2>0在R上不是恒成立,不合题意.综上所述,a的取值范围为(,+∞).14.设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a,b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;(2)解不等式f(x-)<f(x-);(3)如果g(x)=f(x-c)和h(x)=f(x-c2)这两个函数的定义域的交集是空集,求c的取值范围. 【答案】(1)任取-1≤x 1<x2≤1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=·(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在[-1,1]上是增函数.∵a,b∈[-1,1],且a>b,∴f(a)>f(b).(2)∵f(x)是[-1,1]上的增函数,∴由不等式f(x-)<f(x-)得解得∴-≤x≤,∴原不等式的解集是{x|-≤x≤}.(3)设函数g(x),h(x)的定义域分别是P和Q,则P={x|-1≤x-c≤1}={x|c-1≤x≤c+1},Q={x|-1≤x-c2≤1}={x|c2-1≤x≤c2+1}于是P∩Q=∅的条件是c-1>c2+1(无解),或c+1<c2-1,即c2-c-2>0,解得c>2或c<-1.故c的取值范围是{c|c>2或c<-1}.15.已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若对于任意的m,n∈[-1,1]有>0. (1)判断函数的单调性(不要求证明);(2)解不等式f<f(1-x);(3)若f(x)≤-2at+2对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.【答案】(1)函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,由f<f(1-x),得解得0≤x<.所以不等式f<f(1-x)的解集为.(3)因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f(1)=1,要使得对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]都有f(x)≤-2at+2恒成立,只需对任意的a∈[-1,1],-2at+2≥1恒成立.令y=-2at+1,此时y可以看作a的一次函数,且在a∈[-1,1]时,y≥0恒成立.因此只需解得-≤t≤,所以实数t的取值范围为.16.已知函数f(x)=x-.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)用定义证明函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数;(3)若函数f(x)在区间[2,a]上的最大值与最小值之和不小于,求a的取值范围. 【答案】(1)函数f(x)=x-是奇函数,∵函数f(x)=x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在x轴上关于原点对称,且f(-x)=-x-=-(x-)=-f(x),∴函数f(x)=x-是奇函数.(2)证明设任意实数x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-)-(x2-)=,∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0,x1x2+1>0,∴<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数.(3)∵[2,a]⊆[1,+∞),∴函数f(x)在区间[2,a]上也为增函数.∴f(x)max=f(a)=a-,f(x)min=f(2)=,若函数f(x)在区间[2,a]上的最大值与最小值之和不小于,则a-+≥-,∴a≥4,∴a的取值范围是[4,+∞).17.已知函数f(x)=x2+2.(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)判断函数f(x)的奇偶性和单调性;(3)求函数f(x)在区间(-1,2]上的最大值和最小值.【答案】(1)定义域为R,值域为{y|y≥2}.(2)因为f(x)定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数;在区间(0,+∞)上单调递增,在区间(-∞,0]上单调递减.(3)f(x)的对称轴为x=0,f(x)min=f(0)=2,f(-1)=3,f(2)=6,所以f(x)max=6.18.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b均为实数),x∈R,F(x)=(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)是否大于零,并说明理由. 【答案】(1)∵若f(-1)=0,∴a-b+1=0,①又∵函数f(x)的值域为[0,+∞),∴a≠0.由y=a(x+)2+,知=0,即4a-b2=0.②解①②,得a=1,b=2.∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.∴F(x)=(2)由(1)得g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1=(x+)2+1-. 又∵当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数.∴≤-2或≥2,即k≤-2或k≥6,故实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).(3)大于零,理由如下:∵f(x)为偶函数,∴f(x)=ax2+1,∴F(x)=不妨设m>n,则n<0.由m+n>0,得m>-n>0,∴|m|>|-n|,又a>0,∴F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-(an2+1)=a(m2-n2)>0,∴F(m)+F(n)大于零.19.已知函数f(x)=-(常数a>0).(1)设m·n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;(2)设0<m<n,且f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值.【答案】(1)证略;(2)因为f(x)在[m,n]上单调递增,f(x)的定义域、值域都是[m,n]⇔f(m)=m,f(n)=n,即m,n是方程f(x)=x的两个根,即方程-=x有两个正根.整理得a2x2-(2a2+a)x+1=0,所以n-m==,令=t(t>0),n-m==,所以当t=时,n-m最大值为.20.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)为R上的单调减函数,①求a的取值范围;②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.【答案】(1)当x<0时,-x>0,又∵f(x)为奇函数,且a=-2,∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=x2-2x,∴f(x)=(2)①当a≤0时,对称轴x=≤0,∴f(x)=-x2+ax在[0,+∞)上单调递减,由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,又在(-∞,0)上f(x)>0,在(0,+∞)上f(x)<0,∴当a≤0时,f(x)为R上的单调减函数.当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,不合题意.∴函数f(x)为单调减函数时,a的取值范围为a≤0.②∵f(m-1)+f(m2+t)<0,∴f(m-1)<-f(m2+t),又∵f(x)是奇函数,∴f(m-1)<f(-t-m2),又∵f(x)为R上的单调减函数,∴m-1>-t-m2恒成立,∴t>-m2-m+1=-2+对任意实数m恒成立,∴t>.即t的取值范围是.21.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围. 【答案】(1)由已知,得函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,可设f(x)=a(x-1)2+1,由f(0)=3,得a=2,故f(x)=2x2-4x+3.(2)要使函数f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,则3a<1<a+1,解得0<a<.(3)由已知y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,得2x2-4x+3>2x+2m+1恒成立,化简得x2-3x+1-m>0恒成立,其中-1≤x≤1.设g(x)=x2-3x+1-m,则只要g(x)min>0即可,而g(x)min =g(1)=-1-m,由-1-m>0,得m<-1.22.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时,有>0成立.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性;(2)解不等式f(x+)<f();(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. 【答案】(1)任取x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,则-x2∈[-1,1].∵f(x)为奇函数,∴f(x 1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=·(x1-x2).由已知得>0,又x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[-1,1]上单调递增.(2)∵f(x)在[-1,1]上单调递增,∴结合不等式的性质及二次函数的图象,得-≤x<-1.故原不等式的解集为{x|-≤x<-1}.(3)∵f(1)=1,且f(x)在[-1,1]上单调递增,∴在[-1,1]上,f(x)≤1.问题转化为m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]成立.设g(a)=-2m·a+m2,①若m=0,则g(a)=0≥0,对a∈[-1,1]恒成立.②若m≠0,则g(a)为关于a的一次函数,若g(a)≥0对a∈[-1,1]恒成立,必须有g(-1)≥0,且g(1)≥0,即结合相应各函数图象,得m≤-2或m≥2.综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).。
函数奇偶性和单调性(包含详细答案)
函数的奇偶性和单调性1.对任意实数x,下列函数中的奇函数是()A.y=2x-3 B.y=-3x2C.y=ln5x D.y=-|x|cos x答案 C2.对于定义在R上的任意奇函数f(x),均有()A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)>0 D.f(x)·f(-x)≤0答案 D解析∵f(-x)=-f(x),∴f(-x)f(x)=-f2(x)≤0.3.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是() A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数答案 A解析由f(x)是偶函数知b=0,∴g(x)=ax3+cx是奇函数.4.(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=()A.2 B.1C.0 D.-2答案 D解析由f(x)为奇函数知f(-1)=-f(1)=-2.5.函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足:对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),f(1+x)=-f(x),则f(x)是()A.奇函数但非偶函数B.偶函数但非奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案 B解析依题意,得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,所以f(-x+2)=f(-x).又f(2+x)=f(2-x),因此有f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数;若f(x)是奇函数,则有f(-x)=-f(x)=f(x),得f(x)=0,这与“f(x)不是常数函数”相矛盾,因此f(x)是偶函数但不是奇函数,选B.6.(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e x,则g(x)=()A.e x-e-x B.12(ex+e-x)C.12(e-x-e x) D.12(ex-e-x)答案 D解析由f(x)+g(x)=e x,可得f(-x)+g(-x)=e-x.又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得f(x)-g(x)=e-x,则两式相减,可得g(x)=e x-e-x2,选D.7.(2013·辽宁)已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg2)+f(lg 12)=()A.-1 B.0C.1 D.2答案 D解析由已知,得f(-x)=ln(1+9x2+3x)+1,所以f(x)+f(-x)=2.因为lg2,lg 12互为相反数,所以f(lg2)+f(lg12)=2.8.f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log126)的值等于()A.-43B.-72C.12D.-12答案 C解析f(log126)=-f(-log126)=-f(log26)9.(2014·湖北八校)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(2 013)+f(-2 014)的值为()A.-2 B.-1C.1 D.2答案 C解析依题意得,x≥0时,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即x≥0时,f(x)是以4为周期的函数.因此,f(2 013)+f(-2 014)=f(2 013)+f(2 014)=f(1)+f(2).而f(2)=-f(0)=-log2(0+1)=0,f(1)=log2(1+1)=1,故f(2 013)+f(-2 014)=1.10.下列判断中正确的是________.①f(x)=(x)2是偶函数;②f(x)=x3是奇函数;③y=x0及y=(x-1)0都是偶函数;④f(x)=ln(1-x2-x)是非奇非偶函数;⑤f(x)=3-x2+91-|x|是偶函数.答案⑤11.函数f(x)=x3+sin x+1的图像关于________点对称.答案(0,1)解析f(x)的图像是由y=x3+sin x的图像向上平移一个单位得到的.12.(2014·金华十校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R,都有f(x+8)=f(x)+f(4),且x∈[0,4]时,f(x)=4-x,则f(2 015)的值为________.答案 3解析∵f(4)=0,∴f(x+8)=f(x),∴T=8.∴f(2 015)=f(7)=f(-1)=f(1)=3.13.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+32),且f(1)=3,则f(2 014)=________.答案 3解析∵f(x)=-f(x+3 2),∴f(x+3)=f[(x+32)+32]=-f(x+32)=f(x).∴f(x)是以3为周期的周期函数.则f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=3.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为________.答案-415.定义在(-∞,+∞)上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(512)的大小关系是__________.答案f(512)<f(-1)<f(4)解析∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x)关于x=2对称.又y=f(x)在(-∞,2)上为增函数,∴y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,而f(-1)=f(5),∴f(512)<f(-1)<f(4).16.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数;②f(x)关于直线x=1对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0).其中正确的序号是________.答案①②⑤解析由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x).∴f(x)是周期为2的函数,①正确.f (x )关于直线x =1对称,②正确.f (x )为偶函数,在[-1,0]上是增函数,∴f (x )在[0,1]上是减函数,[1,2]上为增函数,f (2)=f (0).因此③、④错误,⑤正确.综上,①②⑤正确.17.设函数f (x )=x 3+x ,若0≤θ≤π2时,f (m cos θ)+f (1-m )>0恒成立,求实数m 的取值范围.答案 (-∞,1)解析 f (x )=x 3是R 上的奇函数与增函数,因此,由f (m cos θ)+f (1-m )>0,得f (m cos θ)>-f (1-m )=f (m -1),m cos θ>m -1,即m (1-cos θ)<1对任意θ∈[0,π2]恒成立.而当θ=0时,不等式m (1-cos θ)<1成立,当θ∈(0,π2]时,cos θ∈[0,1),1-cos θ∈(0,1],11-cos θ∈[1,+∞).由m (1-cos θ)<1,得m <11-cos θ,即m <1.因此,m 的取值范围是(-∞,1).18.若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )=af (x )+bg (x )+2在(0,+∞)上有最大值8,求F (x )在(-∞,0)上的最小值.答案 -4解析 由题意知,当x >0时,F (x )≤8.∵f (x ),g (x )都是奇函数,且当x <0时,-x >0.∴F (-x )=af (-x )+bg (-x )+2=-af (x )-bg (x )+2=-[af (x )+bg (x )+2]+4≤8.∴af (x )+bg (x )+2≥-4.∴F (x )=af (x )+bg (x )+2在(-∞,0)上有最小值-4.。
映射、函数、单调性奇偶性、反函数典型例题(有详细答案)
例1下列集合到集合的对应中,判断哪些是到的映射? 判断哪些是到的一一映射?(1),对应法则.(2),,,,.(3),,对应法则取正弦.(4),,对应法则除以2得的余数.(5),,对应法则.(6),,对应法则作等边三角形的内切圆.例2 给出下列关于从集合到集合的映射的论述,其中正确的有_________.(1)中任何一个元素在中必有原象;(2)中不同元素在中的象也不同;(3)中任何一个元素在中的象是唯一的;(4)中任何一个元素在中可以有不同的象;(5)中某一元素在中的原象可能不止一个;(6)集合与一定是数集;(7)记号与的含义是一样的.例3 (1) ,,,,.在的作用下,的原象是多少?14的象是多少?(2)设集合{偶数},映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素,则在映射下,象20的原象是多少?(3)是从到的映射,其中,,,则中元素的象是多少?中元素的原象是多少?例1 判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.(1)与;(2)与(3)与;(4)与;(5)与例2已知集合,,那么集合中所含元素个数为( ).0 1 0或1 1或2例3 求下列函数的定义域,要求把结果写成区间形式.(1);;(3);(4);(5);(6),(为圆的半径)画出下列函数的图象(1)且;(2);(3);(4)例5 某商场饮料促销,规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折,一次购买两箱可打8.5折,一次购买三箱可打8折,一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠.若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱,试用解析法写出顾客购买的箱数与所支付的费用之间的函数关系,并画出其图象.例6 若求的值.例1给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.例2用函数单调性定义证明:(1)为常数)在上是增函数.(2)在上是减函数.例3函数在上是减函数,求的取值集合.例4 下列函数是否具有奇偶性.(1); (2);(3); (4)例5已知函数.判断的奇偶性,并加以证明.例6若函数在上是奇函数,试确定的解析式例7已知函数与的定义域都是,值域分别是与,在上是增函数而是减函数,)例1 给出下列函数:(1); (2);(3); (4);(5).其中不存在反函数的是__________________.例2求下列函数的反函数:(1) ; (2) ;(3)例3已知函数,求的值.例4已知函数与其反函数是同一个一次函数,试指出的所有取值可能.例5.已知函数,,求的反函数.例6.设定义域和值域都是的函数的反函数为,且对于任意都有,求证:对任意也成立.典型例题例1下列集合到集合的对应中,判断哪些是到的映射? 判断哪些是到的一一映射?(1),对应法则.(2),,,,.(3),,对应法则取正弦.(4),,对应法则除以2得的余数.(5),,对应法则.(6),,对应法则作等边三角形的内切圆.分析:解决的起点是读懂各对应中的法则含义,判断的依据是映射和一一映射的概念,要求对“任一对唯一”有准确的理解,对问题考虑要细致,周全.解:(1)是映射,不是一一映射,因为集合中有些元素(正整数)没有原象.(2)是映射,是一一映射.不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数,任何一个正数都存在倒数.(3)是映射,是一一映射,因为集合中的角的正弦值各不相同,且集合中每一个值都可以是集合中角的正弦值.(4)是映射,不是一一映射,因为集合中不同元素对应集合中相同的元素.(5)不是映射,因为集合中的元素(如4)对应集合中两个元素(2和-2).(6)是映射,是一一映射,因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆,而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆.边长不同,圆的半径也不同.说明:此题的主要目的在于明确映射构成的三要素的要求,特别是对于集合,集合及对应法则有哪些具体要求,包括对法则是数学符号语言给出时的理解.例2 给出下列关于从集合到集合的映射的论述,其中正确的有_________.(1)中任何一个元素在中必有原象;(2)中不同元素在中的象也不同;(3)中任何一个元素在中的象是唯一的;(4)中任何一个元素在中可以有不同的象;(5)中某一元素在中的原象可能不止一个;(6)集合与一定是数集;(7)记号与的含义是一样的.分析:此题是对抽象的映射概念的认识,理论性较强,要求较高,判断时可以让学生借助具体的例子来帮助.解:(1)不对(2)不对(3)对(4)不对(5)对(6)不对(7)不对说明:对此题的判断可以将映射中隐含的特点都描述出来,对映射的认识更加全面,准确.例3 (1) ,,,,.在的作用下,的原象是多少?14的象是多少?(2)设集合{偶数},映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素,则在映射下,象20的原象是多少?(3)是从到的映射,其中,,,则中元素的象是多少?中元素的原象是多少?分析:通过此题让学生不仅会求指定元素象与原象,而且明确求象与原象的方法.解:(1)由,解得,故的原象是6;又,故14的象是.(2)由解得或,又,故即20的原象是5.(3)的象是,由解得,故的原象是1.说明:此题主要作用在于明确利用代入法求指定元素的象,而求原象则需解方程或方程组.在本题中第(2)小题和第(3)小题在求象时,对和的制约条件都是两条,应解方程组,且还可以对方程组解的情况进行讨论(无解,有唯一解,无数解).其中第(3)小题集合中的元素应是二元数(有序数对),计算出的象必须写成有序数对的形式,所以求原象时必须先认清集合的特征.例1 判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.(1)与;(2)与(3)与;(4)与;(5)与.分析:判断两个函数是否相同,应着眼于两个函数的定义域和对应法则的比较,而求定义域时应让原始的解析式有意义,而不能进行任何非等价变换,对应法则的判断需判断它的本质是否相同而不是从表面形式上下结论.解:(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者的定义域是或,后者的定义域是.(3)相同,定义域均为非零实数,对应法则都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是相同的,但对应法则不同.(4)相同,将利用绝对值定义去掉绝对值结果就是.说明:此题的目的在于强化函数是三要素构成的整体,且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的,判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同,同时提醒学生,认识函数对应法则必须认清它的本质,而不是从表面上做判断.例2已知集合,,那么集合中所含元素个数为( ).0 1 0或1 1或2分析:此题是以集合语言表述的问题,解决问题的第一步在于集合语言的翻译与理解,然后结合函数概念在运动变化过程中进行研究,求解时,可以先从形的角度,再从数的角度提高认识.解:从函数观点看,两个集合的交集中所包含的元素的个数,从数的角度即在中,令,看有几个相应的与之对应;从形的角度即的图象与直线有几个公共点,由于是不确定的,于是当时,有一个交点,当时,则没有交点,所以应选.说明:此题目的在于进一步认识函数概念本质,纠正只注意对应法则而忽视定义域作用的毛病,而且还应从数和形两角度认识问题,解决问题.例3 求下列函数的定义域,要求把结果写成区间形式.(1);;(3);(4);(5);(6),(为圆的半径)分析:求定义域即使的解析式有意义,其中要注意有实际背景的问题和人为限制因素对定义域的影响.解:(1)使有意义应满足.故函数的定义域为.(2)使有意义应满足.故函数定义域为.(3)使有意义应满足.故函数定义域为.(4)分段函数的定义域为.(5)由于,所以或.故定义域为.(6)从有意义的角度对没有限制,但由于使圆的半径,应使非负数,故函数定义域为.说明:此题的目的一方面掌握求定义域的基本方法,熟悉用区间表示集合,另一方面包含对分段函数定义域的认识及有人为限制的问题求定义域应注意的问题.例4 画出下列函数的图象(1)且;(2);(3);(4).分析:对于常见函数由于其特征学生很熟悉,故一般只要选几个关键点,但要注意人为限制的定义域对图象的影响.对分段函数可先处理为若干段常见函数,在转折点的取舍上格外注意.解:如图所示:例5 某商场饮料促销,规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折,一次购买两箱可打8.5折,一次购买三箱可打8折,一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠.若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱,试用解析法写出顾客购买的箱数与所支付的费用之间的函数关系,并画出其图象.分析:阅读理解题意是解此题的第一步,其次注意题目的限制条件对定义域的制约.解:由题意可得, .如图:说明:一方面提高应用意识,另一方面体会函数图象的特点可以是一群孤立的点.例6 若求的值.分析:既然求,当然应在已知中令得,从方程的观点看,把和都当作未知数而要求得的值,还须再找出另一个与的方程.解:另 得,另,得.由此消去,解得=1.说明:把抽象函数记号与方程思想融与一体,深刻体会两者之间的关系是此题的主要目的.例1给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.分析:通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理.解:图(1)中的单调区间有,,,.其中在和上是减函数,在和上是增函数.图(2)中的单调区间有和,其中在和上都是减函数.说明:图(1)中和不在定义域内,因此写单调区间时在这两个点上必须写成“开”而其余端点写成“开”或“闭”均可.图(2)中虽在两个区间上均为减区间,但不能把两个区间并起来.例2用函数单调性定义证明:(1)为常数)在上是增函数.(2)在上是减函数.分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论.证明: (1)设是上的任意两个实数,且,则=由得,由得,.,,即.于是即.在上是增函数.(2) 设是上的任意两个实数,且,则由得,由得.又,.于是即.在上是减函数.说明:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子,分母都化成乘积的形式便于判断符号.例3函数在上是减函数,求的取值集合.分析:首先需要对前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究.解:当时,函数此时为,是常数函数,在上不具备增减性.当时,为一次函数,若在上是减函数,则有,解得.故所求的取值集合为.说明:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用.例4 下列函数是否具有奇偶性.(1); (2);(3); (4).分析:根据定义,检验与的关系,同时注意定义域.解: (1).是奇函数.(2). 是偶函数.(3)由于定义域不关于原点对称,故既不是奇函数也不是偶函数.(1) 的定义域为且,是关于原点对称的,且有和同时成立,故既是奇函数又是偶函数.例5已知函数.判断的奇偶性,并加以证明.分析:这是一个分段函数,且每一段的解析式都比较熟悉,所以在判断其奇偶性时可以借助函数图象观察图象的对称性而得出结论,但要证明则只能依靠定义.解: 为奇函数.下面给出证明.当时,;当时,综上为奇函数.说明:根据定义进行证明时,必须分别证明和时均有成立,二者缺一不可.例6若函数在上是奇函数,试确定的解析式.分析:欲求的值,根据方程思想只需找出关于的两个独立条件列方程,而列方程的依据是是上的奇函数.解:在中,由得,由得,得,.说明:由奇函数的定义得到的制约条件时,应利用一般与特殊的思想让取某两个特殊值即可.这个想法是建立在对奇函数定义中恒等关系的理解.例7已知函数与的定义域都是,值域分别是与,在上是增函数而是减函数,求证:在上为减函数.分析:证明的依据应是减函数的定义.证明:设是上的任意两个实数,且,则是上的增函数,是上的减函数,且.,即,.又的值域为,的值域为,.即在上为减函数.说明:此题涉及抽象函数的有关证明,要求较高,此外在的变形中涉及到增减项的技巧,它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值,必须构造出与的差和与的差.例1 给出下列函数:(1); (2);(3); (4);(5).其中不存在反函数的是__________________.分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数.解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和,且.对于(4)时,和.对于(5)当时,和.故(3),(4),(5)均不存在反函数.说明:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.例2求下列函数的反函数:(1) ; (2) ;(3).分析:求反函数时,通常先由给定的解析式中解出,再求出原来的函数的值域,再把与互换.解: (1)由得,又得值域是..(2)由变形得.又得值域是,(3)由得; 由得.又(的值域是,而的值域是,.说明:在求解方程时,一定要注意题目中对 的限制条件的使用,分段函数存在反函数时,也应分段求解它的反函数,一般情况下,它的反函数仍然是个分段函数.例3 已知函数 ,求 的值.分析: 符号 的意义即反函数 在 时的值,故可先求 ,再求 的值,但如果真正搞清了反函数与原来函数的关系,就会知道它的另一层含义即当原来函数的函数值为4时相应的自变量的取值.解: 令,解此方程得,再考虑到,故.说明:此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系,还能从符号角度认识它们之间的关系,也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法.(此法对于求反函数比较复杂的题目尤为适用)例4 已知函数 与其反函数 是同一个一次函数,试指出 的所有取值可能.分析:此题可以有两种求解思路:一是求解 的反函数的解析式,与比较,让对应系数相等,列出关于 的方程,二是利用两个函数图象的对称性,找对称点,利用点的坐标满足解析式来列方程.解:由 知点在图象上,则点定在的图象上,于是 (1)又 过点,则点也在的图象上,于是 (2)由(1)得 或,当时,代入(2),此时(2)恒成立即;当代入(2)解得.综上, 的所有取值可能有 或 .说明:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.另外此题在最后作答时,要求写出 的所有取值可能即要把 的取值与 的取值搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点.例5.已知函数 , ,求 的反函数.分析: 由于已知是,所求是的反函数,因此应首先由找到,再由求出的表达式,再求反函数.解:令,则,,,.于是有.由得,由于,.又,的值域是,的反函数是.说明:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.例6.设定义域和值域都是的函数的反函数为,且对于任意都有,求证:对任意也成立.分析:由函数的性质推证其反函数的性质,应首先要把的问题转化成的问题,转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解.证明:令,其中,那么.则有 (1)由于对任意成立,.由于,则.故有,即.说明:使用抽象函数符号进行简单的证明,是提高研究函数性质理论层次的一种要求,对于较好的学生应适当做一些这样的题目.。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题解析
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间;(1)y=x2-3|x|+2;(2)解:(1)由图象对称性,画出草图∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三:【变式1】求下列函数的单调区间:(1)y=|x+1|;(2)(3).解:(1)画出函数图象,∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞);(2)定义域为,其中u=2x-1为增函数,在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数;(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小.解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则.4. 求下列函数值域:(1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);(2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2].1)f(x)在[5,10]上单增,;2);(2)画出草图1)y∈[f(1),f(-1)]即[2,6];2).举一反三:【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.解:(1)上单调递增,在上单调递增;(2)故函数f(x)在[1,3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值,f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1,3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数,求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)的取值范围.解:(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键,联系图象可知只需;(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2,∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三:【变式1】(2011 北京理13)已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.解:单调递减且值域(0,1],单调递增且值域为,由图象知,若有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1).类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性:(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解:(1)∵f(x)的定义域为,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;(2)∵x-1≥0,∴f(x)定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;(3)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数;(4)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;(5),∴f(x)为奇函数;(6)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;(7),∴f(x)为奇函数.举一反三:【变式1】判断下列函数的奇偶性:(1);(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=x2+x+1;(4).思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断.解:(1);(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数;(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数;(4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0,则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时,f(0)=-f(0) ∴x∈R时,f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).解:法一:∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三:【变式1】(2011 湖南文12)已知为奇函数,,则为:解:,又为奇函数,所以.8. f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象.解:∵奇函数图象关于原点对称,∴x>0时,-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0,,如图9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1)<f(a)时,求a的取值范围.解:∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|,|a|∈[0,3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案:①③.11. 求下列函数的值域:(1)(2)(3)思路点拨:(1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;(2)由单调性求值域,此题也可换元解决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t 的范围.解:(1);(2)经观察知,,;(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.解:(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时,如图1,g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时,如图2,g(a)=f(a)=-13°当a>1时,如图3,g(a)=f(1)=a2-2a,如图13. 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f(2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3.解:令x=2,y=2,∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为:f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性,并证明.证明:任取0<x1<x2,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1,∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1,x2∈(1,+∞)时,上是增函数.15. 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值. 解:当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数;当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数.(1)当x≥a时,[1]且[2]上单调递增,上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时,[1]上单调递减,上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上:.。
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间;(1)y=x2-3|x|+2;(2)解:(1)由图象对称性,画出草图∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三:【变式1】求下列函数的单调区间:(1)y=|x+1|;(2)(3).解:(1)画出函数图象,∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞);(2)定义域为,其中u=2x-1为增函数,在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数;(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小.解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则.4. 求下列函数值域:(1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);(2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2].1)f(x)在[5,10]上单增,;2);(2)画出草图1)y∈[f(1),f(-1)]即[2,6];2).举一反三:【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间;(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.解:(1)上单调递增,在上单调递增;(2)故函数f(x)在[1,3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值,f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1,3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数,求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)的取值范围.解:(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键,联系图象可知只需;(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2,∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三:【变式1】(2011 北京理13)已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.解:单调递减且值域(0,1],单调递增且值域为,由图象知,若有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1).类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性:(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3(4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)解:(1)∵f(x)的定义域为,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;(2)∵x-1≥0,∴f(x)定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;(3)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数;(4)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;(5),∴f(x)为奇函数;(6)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;(7),∴f(x)为奇函数.举一反三:【变式1】判断下列函数的奇偶性:(1);(2)f(x)=|x+1|-|x-1|;(3)f(x)=x2+x+1;(4).思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断.解:(1);(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数;(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数;(4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0,则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时,f(0)=-f(0) ∴x∈R时,f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).解:法一:∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三:【变式1】(2011 湖南文12)已知为奇函数,,则为:解:,又为奇函数,所以.8. f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象.解:∵奇函数图象关于原点对称,∴x>0时,-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0,,如图9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1)<f(a)时,求a的取值范围.解:∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|,|a|∈[0,3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案:①③.11. 求下列函数的值域:(1)(2)(3)思路点拨:(1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;(2)由单调性求值域,此题也可换元解决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t 的范围.解:(1);(2)经观察知,,;(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.解:(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时,如图1,g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时,如图2,g(a)=f(a)=-13°当a>1时,如图3,g(a)=f(1)=a2-2a,如图13. 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f(2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:f(x)+f(x-2)≤3.解:令x=2,y=2,∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为:f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性,并证明.证明:任取0<x1<x2,∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1,∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1,x2∈(1,+∞)时,上是增函数.15. 设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值. 解:当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数;当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数.(1)当x≥a时,[1]且[2]上单调递增,上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时,[1]上单调递减,上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上:.。
高中数学:函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学:函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中,既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是()A。
$y=x^3$B。
$y=|x|+1$C。
$y=-x^2+1$D。
$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。
是偶函数,在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。
是偶函数,在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。
不是偶函数,在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数,且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$,则函数()A。
是奇函数,且在$(0,+\infty)$上是减函数B。
是偶函数,且在$(0,+\infty)$上是减函数C。
是奇函数,且在$(0,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数,且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数,且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$,则函数$f(x)$A。
在$[-1,0]$上是增函数B。
在$[-1,0]$上增函数,在$(-\infty,0]$上是减函数C。
在$[1,0]$上是减函数D。
在$[-1,0]$上是减函数,在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数,则下列结论一定正确的是()A。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$,下列大小关系正确的是()A。
$f(1)>f(2)$B。
$f(1)>f(-2)$C。
$f(-1)>f(-2)$D。
$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数,对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$,都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$,则下列关系式中成立的是()A。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、(1)函数f(x)=x-2,x∈{1,2,4}的最大值为3.在区间[1,5]上的最大值为9,最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)=(2/x)在(-∞,0)上是减函数。
证明:对于x1<x2.由于x1和x2都小于0,所以有x1<x2<0,因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此,f(x)在(-∞,0)上是减函数.3、函数f(x)=|x|+1的图像是一条V型曲线,单调区间为(-∞,0]和[0,∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线,单调区间为(-∞,+∞).5、已知二次函数y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线,比较大小:(1)f(6)与f(4);(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线,所以对于x>3,f(x)是减函数,对于x<3,f(x)是增函数。
因此,f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线,所以对于x3,f(x)是增函数。
因此,f(2)>f(15).6、已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(3a-2),求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1,1)上是减函数,所以对于0f(3a-2)。
因此,实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间:1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线,单调区间为(-∞,-3]和[1,+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线,单调区间为(-∞,1]和[1,+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线,单调区间为(-∞,-1]和[1,+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线,单调区间为(-∞,-4]和[-1,1]和[5,+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.因为f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以对于x>1,有f(x)>f(1)。
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考察内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数.案例探究[例1]函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)(y)(),试证明:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.★★★★题目.知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析:此题对思维能力要求较高,如果"赋值"不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.技巧与方法:对于(1),获得f(0)的值进而取-y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点.证明:(1)由f(x)(y)(),令0,得f(0)=0,令-x,得f(x)(-x)()(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.令0<x1<x2<1,那么f(x2)-f(x1)(x2)-f(-x1)()∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0,即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(-1,1)上为减函数.[例2]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a21)<f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数()的单调递减区间.★★★★★级题目.知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法:此题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过此题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法.解:设0<x1<x2,那么-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)(x2)(-x1)(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.由f(2a21)<f(3a2-2a+1)得:2a21>3a2-2a+1.解之,得0<a<3.又a2-3a+1=(a-)2-.∴函数()的单调减区间是[,+∞]结合0<a<3,得函数()的单调递减区间为[,3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有:(1)判断函数的奇偶性与单调性假设为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性.假设为抽象函数,在依托定义的根底上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性.同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的"磁场"及"训练"认真体会,用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于:既把握复合过程,又掌握根本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决根本应用题目,下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)以下函数中的奇函数是( )(x)=(x-1) (x)=(x)= (x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数,那么(1|)的一个单调递减区间是.4.(★★★★★)假设函数f(x)32满足f(0)(x1)(x2)=0 (0<x1<x2),且在[x2∞上单调递增,那么b的取值范围是.三、解答题5.(★★★★)函数f(x) (a>1).(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1,+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)=;()存在正常数a使f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数,且有一个周期是4a.8.(★★★★★)函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f()(m)(n)-1,且f(-)=0,当x>-时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.参考答案难点磁场(1)解:依题意,对一切x∈R,有f(x)(-x),即.整理,得(a -)(-)=0.因此,有a-=0,即a2=1,又a>0,∴1(2)证法一:设0<x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=由x1>02>02>x1,∴>0,1-e<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)∴f(x)在(0∞)上是增函数证法二:由f(x)-x,得f′(x)-e--x·(e2x-1).当x ∈(0∞)时,e-x>02x-1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析:f(-x)= =-f(x),故f(x)为奇函数.答案:C2.解析:f(-x)=-f(x)(x)是奇函数,图象关于原点对称.答案:C二、3.解析:令1|,那么t在(-∞,-1上递减,又(x)在R 上单调递增,∴(1|)在(-∞,-1上递减.答案:(-∞,-14.解析:∵f(0)(x1)(x2)=0,∴f(0)0(x)(x-x1)(x-x2)3-a(x12)x21x2x,∴-a(x12),又f(x)在[x2∞单调递增,故a>0.又知0<x1<x,得x12>0,∴-a(x12)<0.答案:(-∞,0〕三、5.证明:(1〕设-1<x1<x2<+∞,那么x2-x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>02+1>0∴>0,于是f(x2)-f(x1) >0∴f(x)在(-1,+∞〕上为递增函数.(2〕证法一:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,那么且由0<<1得0<-<1,即<x0<2与x0<0矛盾,故f(x)=0没有负数根.证法二:设存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,假设-1<x0<0,那么<-2,<1,∴f(x0)<-1与f(x0)=0矛盾,假设x0<-1,那么>0, >0,∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.6.证明:∵x≠0,∴f(x)=,设1<x1<x2<+∞,那么.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1,+∞〕上是减函数.(此题也可用求导方法解决〕7.证明:(1〕不妨令1-x2,那么f(-x)(x2-x1)==-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数.(2〕要证f(4a)(x),可先计算f()(2a).∵f()[x-(-a)]=.∴f(4a)[(2a)+2a](x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1〕证明:设x1<x2,那么x2-x1->-,由题意f(x2-x1-)>0,∵f(x2)-f(x1)[(x2-x1)1]-f(x1)(x2-x1)(x1)-1-f(x1)(x2-x1)-1(x2-x1)(-)-1[(x2-x1)-]>0, ∴f(x)是单调递增函数.(2)解:f(x)=21.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握根本方法,形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,解不等式f[2(x2+54)]≥0.●案例探究[例1]奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)(x2-3)<0,设不等式解集为A,∪{1≤x≤},求函数g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.命题意图:此题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目.知识依托:主要依据函数的性质去解决问题.错解分析:题目不等式中的"f"号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域.技巧与方法:借助奇偶性脱去"f"号,转化为不等式,利用数形结合进展集合运算和求最值.解:由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)(3-x2),又f(x)在(-3,3)上是减函数,∴x-3>3-x2,即x2-6>0,解得x>2或x<-3,综上得2<x<,即{2<x<},∴∪{1≤x≤}={1≤x<},又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-)2-知:g(x)在B上为减函数,∴g(x)(1)=-4.[例2]奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(2θ-3)(4m-2θ)>f(0)对所有θ∈[0,]都成立?假设存在,求出符合条件的所有实数m的范围,假设不存在,说明理由.命题意图:此题属于探索性问题,主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目.知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解:∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ-3)>f(2θ-4m),即2θ-3>2θ-4m,即2θ-θ+2m-2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2-2m-2=(t-)2-+2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正.∴当<0,即m<0时,g(0)=2m-2>0m>1与m<0不符;当0≤≤1时,即0≤m≤2时,g(m)=-+2m-2>04-2<m<4+2,∴4-2<m≤2.当>1,即m>2时,g(1)-1>0m>1.∴m>2综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m>4-2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(-∞∞)上的奇函数,f(2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.52.(★★★★)定义域为(-1,1)的奇函数(x)又是减函数,且f(a-3)(9-a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2,3)B.(3,)C.(2,4)D.(-2,3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f(2)=-f(x),试比拟f()()(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数f-1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f-1(x)>.7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数f(x)满足f(m-)≤f(-2x)对任意x∈R都成立,求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式;(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,假设存在,求出点的坐标;假设不存在,说明理由.参考答案难点磁场解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为f[2(x2+54)]≥f(2).又∵f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0〕上为减函数且f(-2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤-2②由①得x2+54≥4∴x≤-5或x≥0③由②得0<x2+54≤得≤x<-4或-1<x≤④由③④得原不等式的解集为{≤-5或≤x≤-4或-1<x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析:f(7.5)(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案:B2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1〕上的奇函数又是减函数,且f(a-3)(9-a2)<0.∴f(a-3)<f(a2-9).∴∴a∈(2,3).答案:A二、3.解析:由题意可知:(x)<0∴x∈(-3,0)∪(0,3)答案:(-3,0〕∪(0,3〕4.解析:∵f(x)为R上的奇函数∴f()=-f(-)()=-f(-)(1)=-f(-1),又f(x)在(-1,0)上是增函数且->->-1.∴f(-)>f(-)>f(-1),∴f()<f()<f(1).答案:f()<f()<f(1)三、5.解:函数f(x)在(-∞,0〕上是增函数,设x1<x2<0,因为f(x)是偶函数,所以f(-x1)(x1)(-x2)(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是有f(-x1)<f(-x2),即f(x1)<f(x2),由此可知,函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.6.解:(1〕1.(2)f(x)= (x∈R)f--1(x)2 (-1<x<1.(3)由2>22(1-x)<2k,∴当0<k<2时,不等式解集为{1-k<x<1;当k≥2时,不等式解集为{-1<x<1.7.解:,对x∈R恒成立,∴m∈[,3]∪{}.8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)=≥2,当且仅当时等号成立,于是2=2,∴2,由f(1)<得<即<,∴2b2-52<0,解得<b<2,又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x).(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上,并且关于(1,0〕的对称点(2-x0,-y0)也在(x)图象上,那么消去y0得x02-2x0-1=00=1±.∴(x)图象上存在两点(1+,2),(1-,-2)关于(1,0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握根本方法,形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,解不等式f[2(x2+54)]≥0.●案例探究[例1]奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)(x2-3)<0,设不等式解集为A,∪{1≤x≤ },求函数g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.命题意图:此题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目.知识依托:主要依据函数的性质去解决问题.错解分析:题目不等式中的“f〞号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域.技巧与方法:借助奇偶性脱去“f〞号,转化为不等式,利用数形结合进展集合运算和求最值.解:由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)(3-x2),又f(x)在(-3,3)上是减函数,∴x-3>3-x2,即x2-6>0,解得x>2或x<-3,综上得2<x< ,即{2<x< },∴∪{1≤x≤ }={1≤x< },又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2-知:g(x)在B上为减函数,∴g(x)(1)=-4.[例2]奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(2θ-3)(4m-2θ)>f(0)对所有θ∈[0, ]都成立?假设存在,求出符合条件的所有实数m的范围,假设不存在,说明理由.命题意图:此题属于探索性问题,主要考察考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目.知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解:∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(2θ-3)>f(2θ-4m),即2θ-3>2θ-4m,即2θ-θ+2m-2>0.设θ,那么问题等价地转化为函数g(t)2-2m-2=(t- )2-+2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正.∴当 <0,即m<0时,g(0)=2m-2>0 m>1与m<0不符;当0≤≤1时,即0≤m≤2时,g(m)=- +2m-2>04-2 <m<4+2 ,∴4-2 <m≤2.当 >1,即m>2时,g(1)-1>0 m>1.∴m>2综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m>4-2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为根本的简单的式子去解决.特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(-∞∞)上的奇函数,f(2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x),那么f(7.5)等于( )A.0.5B.-0.52.(★★★★)定义域为(-1,1)的奇函数(x)又是减函数,且f(a-3)(9-a2)<0,那么a的取值范围是( )A.(2 ,3)B.(3, )C.(2 ,4)D.(-2,3)二、填空题3.(★★★★)假设f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,那么(x)<0的解集为.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f(2)=-f(x),试比拟f( )( )(1)的大小关系.三、解答题5.(★★★★★)f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)f(x)= (a∈R)是R上的奇函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数f-1(x);(3)对任意给定的k∈,解不等式f-1(x)> .7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数f(x)满足f(m-)≤f( - 2x)对任意x∈R都成立,求实数m的取值范围.8.(★★★★★)函数(x)= (∈>0>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式;(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,假设存在,求出点的坐标;假设不存在,说明理由.参考答案难点磁场解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为f[2(x2+54)]≥f(2).又∵f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0〕上为减函数且f(-2)(2)=0∴不等式可化为2(x2+54)≥2①或2(x2+54)≤-2 ②由①得x2+54≥4∴x≤-5或x≥0③由②得0<x2+54≤得≤x<-4或-1<x≤④由③④得原不等式的解集为{≤-5或≤x≤-4或-1<x≤或x≥0}歼灭难点训练一、 1.解析:f(7.5)(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)(3.5)(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案:B2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1〕上的奇函数又是减函数,且f(a-3)(9-a2)<0.∴f(a-3)<f(a2-9).∴∴a∈(2 ,3).答案:A二、3.解析:由题意可知:(x)<0∴x∈(-3,0)∪(0,3)答案:(-3,0〕∪(0,3〕4.解析:∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=-f(- )( )=-f(- )(1)=-f(-1),又f(x)在(-1,0)上是增函数且- >- >-1.∴f(- )>f(- )>f(-1),∴f( )<f( )<f(1).答案:f( )<f( )<f(1)三、5.解:函数f(x)在(-∞,0〕上是增函数,设x1<x2<0,因为f(x)是偶函数,所以f(-x1)(x1)(-x2)(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是有f(-x1)<f(-x2),即f(x1)<f(x2),由此可知,函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.6.解:(1〕1.(2)f(x)= (x∈R) f--1(x)2 (-1<x<1 .(3)由2 >2 2(1-x)<2k,∴当0<k<2时,不等式解集为{1-k<x<1 ;当k≥2时,不等式解集为{-1<x<1 .7.解:,对x∈R恒成立,∴m∈[ ,3]∪{ }.8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即∴0,∵a>0>0>0,∴f(x)= ≥2 ,当且仅当时等号成立,于是2 =2,∴2,由f(1)<得<即< ,∴2b2-52<0,解得<b<2,又b ∈N,∴1,∴1,∴f(x) .(2)设存在一点(x00)在(x)的图象上,并且关于(1,0〕的对称点(2-x0,-y0)也在(x)图象上,那么消去y0得x02-2x0-1=00=1± .∴(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1- ,-2 )关于(1,0)对称.。
函数的奇偶性与单调性经典练习题
函数的奇偶性与单调性【基础训练】1.在下列命题中,正确的是 ( )A .函数y = 1x 是奇函数,且在定义域内为减函数B .函数y =3x 3(x -1)0是奇函数,且在定义域内为增函数C .函数y = x 2是偶函数,且在(-3,0)上为减函数D .函数y = ax 2+c (ac ≠0)是偶函数,且在(0,2)上为增函数2.定义在(a ,c )上的函数f (x ),在区间(a ,b )及(b ,c )上均为增函数,函数f (x )在区间(a ,c )上是否为增函数如何?请举例说明 .3.下列函数中是偶函数的为 ( ) A .f (x ) = x 2|x |(x ∈(-1,1]) B .f (x ) = xx +21C .f (x ) = lgxx-+11 D .f (x ) = ⎩⎨⎧x ,x ≥0-x ,x <04.给出下列四个函数:①f (x )=1-x 2;②f (x )= -3x +1;③f (x )=x 2;④f (x )=12--x x x .其中既是奇函数又是定义域上的减函数的函数个数是 ( )A .0B .1C .2D .35.已知xa x a x f -+-=2log )(3是奇函数,则a a20032003+= . 【例题讲解】 例1 试判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=|x +2| + |x -2|;(2)f (x )2|2|22-+-=x x ;(3)0)1(||)(-=x x x x f .变题1 函数2)1ln()(xe xf x-+=是 ( ) A .奇非偶函数 B .偶非奇函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数变题2: 定义在R 上的任意函数f (x )都可以表示为一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和,若f (x )=lg(10x +1),则 ( )A .g (x ) = x ,h (x ) = lg(10x+ 10– x+2)B .g (x ) = ])110[lg(21x x++,h (x ) = ])110[lg(21x x-+C .g (x ) =2x ,h (x ) = lg(10x+1) - 2xD .g (x ) = -2x ,h (x ) = lg(10x+1) - 2x 例2 已知定义在(-∞,+∞)上的函数f (x )的图像关于原点对称,且当x >0时,f (x )= x 2-2x +2,求函数f (x )的解析式.变题1 已知函数211)(xa x x f ---=是奇函数,则实数a 的值为 ( )A .1-B .1C .21-D .21变题2 )(x f 是定义域为R 的奇函数,方程0)(=x f 的解集为M ,且M 中有有限个元素,则M ( )A .可能是∅B .中元素个数是偶数C .中元素个数是奇数D .中元素个数可以是偶数,也可以是奇数 例3 函数f (x ) = log 3(x 2-2x -8)的单调减区间为__________。
专题:函数的奇偶性与单调性题型汇总
专题:函数的奇偶性与单调性题型汇总题型1:证明函数的奇偶性与单调性 班级 姓名例1、 证明函数y =在定义域上是奇函数.例2、 证明函数31y x =--在定义域上是减函数.题型2:函数奇偶性的判断例3、 判断函数y =奇偶性.题型3:研究函数的单调性并确定函数的单调区间例4、 研究函数1x y x =+的单调性并确定它的单调区间.题型4:函数的奇偶性的简单应用例5、已知53()8f x x ax bx =++-,且f(-2)=10,则f(2)= .例6、已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,2()21f x x x =-+,求()f x 在R 上的表达式.例7、已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数,且其定义域为[1,2]a a -则a= b= .例8、函数1()1a f x x x a=+-+是奇函数,求实数a .题型5:二次函数单调性的应用例9、已知函数2()(1)28f x x a x a =+-+-在(,3]-∞上是减函数,求a 的取值范围.例10、已知函数2()(31)1f x ax a x =--+在[1,2]-上是增函数,求a 的取值范围.题型6:复合函数的单调区间的确定例11、函数()f x =————————————————————————.例12、函数227()2x x f x x ++=-的递减区间是————————————————————————.例13、已知2()28f x x x =-++,求函数2(2)f x -的单调区间.题型7:函数的奇偶性与单调性的综合应用1、 求值2、 例14、若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,求满足2(3)(2)f x f x -=的所有x 的值.例15、若函数()f x 在R 上的奇函数,(1)2,(3)()f f x f x =+=-,求(2003)f 的值.2、解不等式例16、若函数()f x 是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(-1,0)]上是减函数,解不等 式2(2)(4)0f x f x ---<.例17、函数()f x 是定义在(0,)∞上的增函数,且满足()()(),(2)1f a b f a f b f ⋅=+=,解不等式:()(2)3f x f x -->.例18、若函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数,且()()()xf f x f y y=-,若(3)1f =,解不等式:1()()28f x f x -≥-.3、其他综合题例19、已知函数(1)y f x =-是偶函数,且(0,)x ∈+∞时有1()f x x =,求当(,2)x ∈-∞-时()y f x =的解析式.例20、函数()f x 的定义域是R ,对任意的实数x ,y 都有()()()f x f y f x y +=+,当0x >,()0f x >,判断函数的奇偶性与单调性.例21、若奇函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,且满足(4)f -=0,(1)画出一个满足条件的()f x 的图象;(2)解不等式()0x f x ⋅<.例22、设函数()f x ax =,其中0a >,求a 的取值范围,使函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数.。
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、(2023·广东·高三统考学业考试)已知函数()f x 对任意,R x y ∈,都有()()()f x y f x f y +=+成立.有以下结论:①()00f =;②()f x 是R 上的偶函数;③若()22f =,则()11f =;④当0x >时,恒有()0f x <,则函数()f x 在R 上单调递增.则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,解得()00f =,①正确;对于②令y x =−,则()()()00f f x f x =+−=,∴()()f x f x −=−,∴()f x 是R 上的奇函数,②错误;对于③令1x y ==,则()()()()211212f f f f =+==,∴()11f =,③正确;对于④设12x x >,则120x x −>,∴()()()12120f x x f x f x −=+−<,则()()()122f x f x f x <−−=,∴()f x 在R 上单调递减,④错误.故答案为:①③.例2、(2022·山东聊城·二模)已知()f x 为R 上的奇函数,()22f =,若对1x ∀,()20,x ∈+∞,当12x x >时,都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦,则不等式()()114x f x ++>的解集为( ) A .()3,1−B .()()3,11,1−−−C .()(),11,1−∞−− D .()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<,得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<, 因为121200x x x x −>>,,所以()()11220x f x x f x −<,即()()1122x f x x f x <,设()()g x xf x =,则()g x 在()0,∞+上单调递减,而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==,则012x <+<,解得:11x −<<;因为()f x 为R 上的奇函数,所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==,则()g x 为R 上的偶函数,故()g x 在(,0)−∞上单调递增,()()()()11142g x x f x g +=++>=−,则210x −<+<,解得:31x −<<−;综上,原不等式的解集为(),111)3(,−−−.故选:B .例4、(2022·全国·模拟预测(理))已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且()y f x =在[]0,1上单调递增,若()3a f =−,12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭,()2c f =,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c b a <<B .b a c <<C .b c a <<D .c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−,结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=,()()200c f f ===.由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增, 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭, 所以b c a <<.故选:C例5、(2022·黑龙江大庆·三模(理))已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=,当01x ≤≤时,()1e 1x f x −=−,则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为( ) A .8B .7C .6D .5【答案】A【解析】 解:因为函数()f x 满足()()2f x f x −=,所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称, 又函数()f x 为偶函数,所以()()()2−==−f x f x f x ,所以函数()f x 是周期为2的函数, 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称, 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像,如图所示:由图可知,函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点,且关于直线1x =对称, 所以方程。
函数的单调性和奇偶性的综合应用
精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性的综合应用知识要点:对称有点对称和轴对称:O点对称:对称中心O轴对称:数的图像关奇函于原点成点对称,偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性:应用:若y f ( x) 是增函数, f ( x1 )应用:若y f ( x) 是减函数, f ( x1 )f (x2 )x1x2 f (x2 )x1x2相关练习:若 y f (x) 是R上的减函数,则 f (1) f ( a2 2 a 2 )2、熟悉常见的函数的单调性:y kx b 、y k、 y ax2bx cb在 (x相关练习:若 f ( x) ax ,g ( x),0) 上都是减函数,则 f (x)ax 2bx 在 (0,) 上是函x数(增、减)3、函数的奇偶性:定义域关于原点对称, f (x) f (x) f (x) 是偶函数定义域关于原点对称, f (x) f ( x) f ( x) 是奇函数(当然,对于一般的函数,都没有恰好f ( x) f ( x) ,所以大部分函数都不具有奇偶性)相关练习:( 1)已知函数f ( x)ax2bx4a1是定义在 [a 1,2a] 上的奇函数,且 f (1) 5 ,求 a 、bb(2) 若f ( x)(K2) x2( K1)x 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是。
(3) 若函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数,则 f (0)。
(4)函数 y f (x) 的奇偶性如下:画出函数在另一半区间的大致图像奇函数偶函数奇函数奇函数y y y yo x o x o x o x精品资料欢迎下载例题分析:4、单调性和奇偶性的综合应用【类型 1转换区间】相关练习:( 1)根据函数的图像说明,若偶函数y f ( x) 在 (,0) 上是减函数,则 f ( x) 在 (0,) 上是函数(增、减)(2)已知 f ( x) 为奇函数,当x0时, f ( x)(1x) x ,则当x0 时, f (x)=(3)R 上的偶函数在(0,) 上是减函数, f (3) f ( a2a 1 )4(4) 设f (x)为定义在((,) 上的偶函数,且 f (x) 在 [0,) 为增函数,则 f (2) 、 f () 、f (3) 的大小顺序是()A. f () f (3) f (2)B. f () f (2) f (3)C. f () f (3) f (2)D. f () f (2) f (3)(5)如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7] 上的最小值是5,那么 f ( x) 在区间 [ 7, 3]上 ()A.最小值是 5B. 最小值是-5C. 最大值是-5D. 最大值是 5(6)如果偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数,且最小值是-5那么 f (x) 在 [ 7,3]上是( )A.增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5(7)已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数,且在(, 0)上 f (x) 是单调增函数,那么当x10 , x20 且x1x20 时,有()A. f (x1) f ( x2 )B. f ( x1 ) f (x2 )C. f ( x1) f ( x2 )D. 不确定(8)如果 f ( x) 是奇函数,而且在开区间( ,0) 上是增函数,又 f (2)0 ,那么 x f ( x) 0的解是()A. 2 x 0 或 0 x2B. 2 x 0 或 x 2C. x 2 或 0 x 2D. x 3 或 x 3(9)已知函数f ( x)为偶函数,xR ,当 x0 时,f ( x)单调递增,对于x1,x2,有| x1|| x2|,则()A. f ( x1)f ( x2)B.f ( x1) f ( x2)C.f ( x1)f ( x2 ) D. | f ( x1 ) | | f ( x2 ) |精品资料 欢迎下载5、单调性和奇偶性的综合应用【类型 2利用单调性解不等式】(1 相关练习: (1)已知y f ( x)是( 3,3)上的减函数,解不等式f (x 3) f (2 x)1 ,)2(0, 2 (2) 定义在( 1,1)上的奇函数f ( x)是减函数,且满足条件 f (1 a) f (1 2a) 0),求 a的取值范围。
(完整word版)函数单调性与奇偶性的综合应用
(完整word版)函数单调性与奇偶性的综合应用函数单调性与奇偶性的综合应用【学习目标】掌握函数单调性与奇偶性的关系;用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式.【重难点】用函数单调性与奇偶性解抽象函数不等式.【知识链接】1.函数单调性定义:2.函数奇偶性定义:3.函数单调性与奇偶性的关系:4.函数单调性、奇偶性性质:典例示范:题型一抽象函数的单调性例 1.已知函数()f x对任意,x y R∈,总有()()(),f x f y f x y+=+且当0x>时,()0f x<,2(1).3f=-(1)求证:()f x在R上是减函数;(2)求()f x在[]3,3-上的最值。
变式训练:函数()f x当0x>时有意义,且满足条件(2)1,()()()f f xy f x f y==+,()f x是增函数。
(1)证明(1)0;f=(2)若(3)(48)2f f x+->,求x的取值范围.(完整word 版)函数单调性与奇偶性的综合应用题型二 解抽象函数不等式例1. 已知奇函数()()(),1,1,()1,1y f x x f x =∈--且在上是减函数,解不等式(1)(13)0.f x f x -+-<变式训练:函数()2()1,11ax b f x x +=-+是定义在上的奇函数,且12().25f = (1)确定函数()f x 的解析式;(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数; (3)解不等式:(1)()0.f t f t -+<例2。
已知定义在[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时,()g x 单调递减,若(1)()g m g m -<成立,求m 的取值范围。
(完整word版)函数单调性与奇偶性的综合应用变式训练:定义在R上的偶函数()-∞上是单调递增的,若f x在(),022++<-+,求实数a的取值范围.(21)(321)f a a f a a。
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奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数.案例探究[例1]已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.命题意图:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析:本题对思维能力要求较高,如果"赋值"不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.技巧与方法:对于(1),获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键;对于(2),判定的范围是焦点.证明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(-x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴>0,又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0∴x2-x1<1-x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0,即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(-1,1)上为减函数.[例2]设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.命题意图:本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托:逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析:逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法:本题属于知识组合题类,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,通过本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法.解:设0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.由f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得:2a2+a+1>3a2-2a+1.解之,得0<a<3.又a2-3a+1=(a-)2-.∴函数y=()的单调减区间是[,+∞]结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为[,3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有:(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性.若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性.同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的"磁场"及"训练"认真体会,用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于:既把握复合过程,又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目,下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f(x)=(x-1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数,则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在[x2,+∞上单调递增,则b的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ (a>1).(1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1,+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)=;(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证:(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数,且有一个周期是4a.8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-)=0,当x>-时,f(x)>0.(1)求证:f(x)是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.参考答案难点磁场(1)解:依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即+aex.整理,得(a-)(ex-)=0.因此,有a-=0,即a2=1,又a>0,∴a=1(2)证法一:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1-e<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数证法二:由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex-e-x=e-x·(e2x-1).当x∈(0,+∞)时,e -x>0,e2x-1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析:f(-x)= =-f(x),故f(x)为奇函数.答案:C2.解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称.答案:C二、3.解析:令t=|x+1|,则t在(-∞,-1上递减,又y=f(x)在R上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1上递减.答案:(-∞,-14.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x-x1)(x-x2)=ax3-a(x1+x2)x2+ax1x2x,∴b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞单调递增,故a>0.又知0<x1<x,得x1+x2>0, ∴b=-a(x1+x2)<0.答案:(-∞,0)三、5.证明:(1)设-1<x1<x2<+∞,则x2-x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2)-f(x1)=+ >0∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数.(2)证法一:设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则且由0<<1得0<-<1,即<x0<2与x0<0矛盾,故f(x)=0没有负数根.证法二:设存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-1<x0<0,则<-2,<1,∴f(x0)<-1与f(x0)=0矛盾,若x0<-1,则>0, >0,∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.6.证明:∵x≠0,∴f(x)=,设1<x1<x2<+∞,则.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)7.证明:(1)不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)==-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数.(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f[x-(-a)]=.∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1)证明:设x1<x2,则x2-x1->-,由题意f(x2-x1-)>0,∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(-)-1=f[(x2-x1)-]>0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解:f(x)=2x+1.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,解不等式f [log2(x2+5x+4)]≥0.●案例探究[例1]已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,设不等式解集为A,B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目.知识依托:主要依据函数的性质去解决问题.错解分析:题目不等式中的"f"号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域.技巧与方法:借助奇偶性脱去"f"号,转化为xcos不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值.解:由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3,3)上是减函数,∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-)2-知:g(x)在B上为减函数,∴g(x)max=g(1)=-4.[例2]已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈[0,]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由.命题意图:本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目.知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解:∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2-mt+2m-2=(t-)2-+2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正.∴当<0,即m<0时,g(0)=2m-2>0m>1与m<0不符;当0≤≤1时,即0≤m≤2时,g(m)=-+2m-2>04-2<m<4+2,∴4-2<m≤2.当>1,即m>2时,g(1)=m-1>0m>1.∴m>2综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m>4-2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.52.(★★★★)已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则a的取值范围是( )A.(2,3)B.(3,)C.(2,4)D.(-2,3)二、填空题3.(★★★★)若f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f(x+2)=-f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数f-1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f-1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数f(x)满足f(m-sinx)≤f(-+cos2x)对任意x∈R都成立,求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式;(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.参考答案难点磁场解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为f[log2(x2+5x+4)]≥f(2).又∵f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤-2②由①得x2+5x+4≥4∴x≤-5或x≥0 ③由②得0<x2+5x+4≤得≤x<-4或-1<x≤④由③④得原不等式的解集为{x|x≤-5或≤x≤-4或-1<x≤或x≥0}歼灭难点训练一、1.解析:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案:B2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0.∴f(a-3)<f(a2-9).∴∴a∈(2,3).答案:A二、3.解析:由题意可知:xf(x)<0∴x∈(-3,0)∪(0,3)答案:(-3,0)∪(0,3)4.解析:∵f(x)为R上的奇函数∴f()=-f(-),f()=-f(-),f(1)=-f(-1),又f(x)在(-1,0)上是增函数且-> ->-1.∴f(-)>f(-)>f(-1),∴f()<f()<f(1).答案:f()<f()<f(1)三、5.解:函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,设x1<x2<0,因为f(x)是偶函数,所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是有f(-x1)<f(-x2),即f(x1)<f(x2),由此可知,函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.6.解:(1)a=1.(2)f(x)= (x∈R)f--1(x)=log2 (-1<x<1.(3)由log2>log2log2(1-x)<log2k,∴当0<k<2时,不等式解集为{x|1-k<x<1;当k≥2时,不等式解集为{x|-1<x<1.7.解:,对x∈R恒成立,∴m∈[,3]∪{}.8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2,当且仅当x=时等号成立,于是2=2,∴a=b2,由f(1)<得<即<,∴2b2-5b+2<0,解得<b<2,又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上,则消去y0得x02-2x0-1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1-,-2)关于(1,0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,解不等式f [log2(x2+5x+4)]≥0.●案例探究[例1]已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,设不等式解集为A,B=A∪{x|1≤x≤ },求函数g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目.知识依托:主要依据函数的性质去解决问题.错解分析:题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域.技巧与方法:借助奇偶性脱去“f”号,转化为xcos不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值.解:由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3,3)上是减函数,∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,综上得2<x< ,即A={x|2<x< },∴B=A∪{x|1≤x≤ }={x|1≤x< },又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2-知:g(x)在B上为减函数,∴g(x)max=g(1)=-4.[例2]已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈[0, ]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由.命题意图:本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目.知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解:∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正.∴当 <0,即m<0时,g(0)=2m-2>0 m>1与m<0不符;当0≤≤1时,即0≤m≤2时,g(m)=- +2m-2>04-2 <m<4+2 ,∴4-2 <m≤2.当 >1,即m>2时,g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m>4-2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力,并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是:往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.52.(★★★★)已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0,则a的取值范围是( )A.(2 ,3)B.(3, )C.(2 ,4)D.(-2,3)二、填空题3.(★★★★)若f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f(x+2)=-f(x),试比较f( ),f( ),f(1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数f-1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f-1(x)>lg .7.(★★★★)定义在(-∞,4]上的减函数f(x)满足f(m-sinx)≤f( - +cos2x)对任意x ∈R都成立,求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当x>0时,f(x)有最小值2,其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式;(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.参考答案难点磁场解:∵f(2)=0,∴原不等式可化为f[log2(x2+5x+4)]≥f(2).又∵f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)在(-∞,0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤-2 ②由①得x2+5x+4≥4∴x≤-5或x≥0 ③由②得0<x2+5x+4≤得≤x<-4或-1<x≤④由③④得原不等式的解集为{x|x≤-5或≤x≤-4或-1<x≤或x≥0}歼灭难点训练一、1.解析:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.答案:B2.解析:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)<0.∴f(a-3)<f(a2-9).∴∴a∈(2 ,3).答案:A二、3.解析:由题意可知:xf(x)<0∴x∈(-3,0)∪(0,3)答案:(-3,0)∪(0,3)4.解析:∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=-f(- ),f( )=-f(- ),f(1)=-f(-1),又f(x)在(-1,0)上是增函数且- > - >-1.∴f(- )>f(- )>f(-1),∴f( )<f( )<f(1).答案:f( )<f( )<f(1)三、5.解:函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,设x1<x2<0,因为f(x)是偶函数,所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是有f(-x1)<f(-x2),即f(x1)<f(x2),由此可知,函数f(x)在(-∞,0)上是增函数.6.解:(1)a=1.(2)f(x)= (x∈R) f--1(x)=log2 (-1<x<1 .(3)由log2 >log2 log2(1-x)<log2k,∴当0<k<2时,不等式解集为{x|1-k<x<1 ;当k≥2时,不等式解集为{x|-1<x<1 .7.解:,对x∈R恒成立,∴m∈[ ,3]∪{ }.8.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 ,当且仅当x= 时等号成立,于是2 =2,∴a=b2,由f(1)<得<即< ,∴2b2-5b+2<0,解得<b<2,又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ . (2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上,则消去y0得x02-2x0-1=0,x0=1± .∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1- ,-2 )关于(1,0)对称.。