1.1线性规划问题及其数学模型

v问 题 分 析
可控因素：从仓库 Ai 运往B j 的产品数量 设为 xij ;i 1,2, j 1,2,3,4 目标：总运费最小
24
费用函数 cij xij i1 j1
受控条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
xi1 xi2 xi3 xi4 ai ;i 1,2 x1 j x2 j b j ; j 1,2,3,4
x
j
,
x
j
为非负变量
❖目标转换
求最小可以等价成求负的最大
min cx
❖ 约束转换 ❖ 实例
max cx
v约 束 转 换 ❖等式变不等式
ai1 x1 ai2 x2 ainxn bi
ai1 x1 ai2 x2 ainxn bi ai1 x1 ai2 x2 ainxn bi
❖ 不等式变等式 ❖ 不等式变不等式
s.t.axij1
x1
0;
ai2 x2 ain j 1,2,...,q
xn
bi ;i
p 1,...,m
xj无限制; j 1,2,...,q
约束条件
v注 释
x j ; j 1 , 2 ,..., n 为 待 定 的 决 策 变 量 ， c (c1 ,c 2 , ,c n ) 为 价 值 向 量 ， c j ; j 1 , 2 ,..., n 为 价 值 系 数 ， b ( b 1 , b 2 ,..., b m ) 为 右 端 向 量 ， 矩阵
蕴含约束：数量非负 xij 0;i 1,2, j 1,2,3,4
v模 型
24
min
cij xij
i1 j1
xi1 xi2 xi3 xi4 ai ;i 1,2
s.t. x1j x2 j bj ; j 1,2,3,4
xij 0;i 1,2, j 1,2,3,4
v规划问题数学模型的三要素
| 变量（决策变量）
它是问题中要确定的未知量，它用以表明规划中用数 量表示的方案、措施，可由决策者决定和控制；
| 目标函数
它是决策变量的函数，按优化目标分别在这个函数前 加上max或min；
| 约束条件
指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常 表达为含决策变量的等式或不等式。
v线性规划的数学模型
剩余变量
v不等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
或
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
v 例1 把问题转化为标准形式
min z x1 x2
x1, x2 0
v模 型
max z 2x1 3x2 2x1 2x2 12
s.t. 4x1 1 6
5x2 15 x1, x2 0
v运 输 问 题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库 Ai ;i 1,2 发送到零售点 B j ; j 1,2,3,4 ，仓库 Ai 能供应的产品数量为 ai ;i 1,2 ，零售点 B j 所需的产品的数量为 b j ; j 1,2,3,4 。 假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库 Ai 运一个单 位产品往 B j 的运价为 cij 。问应如何组织运输才能使总运费 最 Ai 小？
如果规划问题的数学模型中，决 策变量的取值是连续的，既可以为整 数，也可以为分数、小数或实数，目 标函数是决策变量的线性函数，约束 条件是含决策变量的线性等式或不等 式，则该规划问题的数学模型为线性 规划的数学模型。
v一 般 形 式
目标函数
minz c1 x1 c2 x2 cn xn
ai1 x1 ai2 x2 ainxn bi ;i 1,2,...,p
v不 等 式 变 等 式
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
2x1 x2 2
s.t.
x1 x1
2x2 2 x2 5
x1 0
max z x1 (x2 x2)
2
x1
( x2
x2 )
x3
2
s.t.
x1
2( x2
x2 )
x4
Hale Waihona Puke Baidu
2
x1 (x2 x2) x5 5
xi 0;i 1,3, 4,5, x2, x2 0.
v 例1 把问题转化为标准形式
a 11
A
a 21
a 12
a 22
a 1 n a 2n
a m 1 a m 2 a mn
为系数矩阵。
v规 范 形 式
min c x
Ax b
s
.t
.
x
0
v标 准 形 式
max cx
s.t.
Ax b x 0
v模 型 转 换
❖变量转换
令自由变量 x j
x
j
x
j
，其中
运筹学课件
运
决
筹
胜
帷
线性规划
千
幄
里
之
之
中
Linear Programming
外
v线 性 规 划
| 线性规划问题及其数学模型 | 图解法 | 单纯形法原理 | 单纯形法计算步骤 | 单纯形法的进一步讨论 | 数据包络 | 其他应用例子 | 案例分析
v线 性 规 划 问 题 及 其 数 学 模 型
| 问题提出与建模
设备A（h）
2
设备B（h）
4
设备C（h）
0
利润（元）
2
Ⅱ 每天可用量
2
12
0
16
5
15
3
v问 题 分 析
可控因素：每天生产两种产品的数量，分别设为 x1, x2 目标：每天的生产利润最大
利润函数 2x1 3x2 受制条件：
每天资源的需求量不超过可用量：
设备 A： 2x1 2x2 12 设备 B： 4x1 16 设备 C： 5x2 15 蕴含约束：产量为非负数
生产计划问题 运输问题
| 线性规划模型
一般形式 规范形式 标准形式 形式转换
生产计划问题
v 常山机械厂制造Ⅰ、Ⅱ两种产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B、C的台时， 每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的 获利情况如下表所示。问该企业应制造两种产品 各多少件，可使获取的利润最大。
项目
Ⅰ